高三复习：等差数列与等比数列性质题型分类(含答案)

小古数学
一对一辅导教案

学生姓名
授课教师
教学课题
【等差数列的性质】
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如 果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等
差数列．符 号表示为a
n
＋
1
－a
n
＝d(n∈N
*
，d为常数)．
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：a
n
＝a
1
＋(n－1)d.
(2)前 n项和公式：S
n
＝na
1
＋
3．等差数列的常用性质
( 1)通项公式的推广：a
n
＝a
m
＋(n－m)d(n，m∈N
*< br>)．
(2)若{a
n
}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N
*
)，则a
k
＋a
l
＝a
m
＋a
n
.
(3)若{a
n
}是等差数列，公差为d，则{a
2n
}也是等差数列，公差为2d.
(4)若{a
n
}是等差数列，公差为d，则a< br>k
，a
k
＋
m
，a
k
＋
2m
，…(k，m∈N
*
)是公差为md的等差数列．
(5)若数列{a
n< br>}，{b
n
}是公差分别为d
1
，d
2
的等差数列， 则数列{pa
n
}，{a
n
＋p}，{pa
n
＋qb
n
}都是等差数列(p，q
都是常数)，且公差分别为pd
1
，d
1
，pd
1
＋qd
2
.

4.等差数列前n项和的性质
(1)数列S
m
，S
2m
－ S
m
，S
3m
－S
2m
，…(m∈N
*
) 也是等差数列，公差为m
2
d.
(2)S
2n
－
1
＝(2n－1)a
n
，S
2n
＝n(a
1
＋a
2 n
)＝n(a
n
＋a
n
＋
1
)．
(3) 当项数为偶数2n时，S
偶
－S
奇
＝nd；项数为奇数2n－1时，S
奇
－S
偶
＝a
中
，S
奇
∶S
偶
＝n∶(n－1)．
a
n
S
2n
－
1
(4){a
n
}，{b
n
}均为等差数列且其前n项和为S
n
，Tn
，则
b
＝.
n
T
2n
－
1





n?n－1?n?a
1
＋a
n
?
d＝.
22
a＋b
，其中A叫做a，b的等差中项．
2


性别 年级 高三 学科 数学
2小时 上课时间 2020年7月28日 第（ ）次课
等差数列与等比数列性质
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小古数学
例1.(1)在等差数列{a
n
}中，a
3
＋a
9
＝27－a
6
，S
n
表示数列{ a
n
}的前n项和，则S
11
＝( )
A．18
C．198
B．99
D．297
(2)已知{a
n< br>}，{b
n
}都是等差数列，若a
1
＋b
10
＝9， a
3
＋b
8
＝15，则a
5
＋b
6
＝__ ______.
[解析] (1)因为a
3
＋a
9
＝27－a6,
2a
6
＝a
3
＋a
9
，
所以3a
6
＝27，所以a
6
＝9，
11
所以S
11
＝(a
1
＋a
11
)＝11a
6
＝9 9.
2
(2)因为{a
n
}，{b
n
}都是等差数列，
所以2a
3
＝a
1
＋a
5,
2b
8
＝b
10
＋b
6
，
所以2(a
3
＋b
8
)＝(a
1
＋b
10
)＋(a
5
＋b
6
)，
即2×15＝9＋(a
5
＋b
6
)，
解得a
5
＋b
6
＝21.
[答案] (1)B (2)21



【变式1】设S
n
为等差数列{an
}的前n项和，若a
1
＝1，公差d＝2，S
n
＋
2
－S
n
＝36，则n＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选D 由题意知S
n
＋
2
－S
n
＝ a
n
＋
1
＋a
n
＋
2
＝2a
1< br>＋(2n＋1)d＝2＋2(2n＋1)＝36，解得n＝8.

【变式2】设等差数 列{a
n
}的前n项和为S
n
，已知前6项和为36，最后6项的和为180 ，S
n
＝324(n＞6)，求数列
{a
n
}的项数及a
9
＋a
10
.
解：由题意知a
1
＋a
2
＋…＋a
6
＝36，①
a
n
＋a
n
－
1
＋a
n
－
2
＋…＋a
n
－
5
＝180，②
①＋②得(a
1
＋a
n
)＋(a
2
＋a
n
－
1
)＋…＋(a
6
＋a
n
－
5
)＝6(a
1
＋a
n
)＝216，
∴a
1
＋a
n
＝36， < br>又S
n
＝
n?a
1
＋a
n
?
＝32 4，
2
∴18n＝324，∴n＝18.
∵a
1
＋a
n
＝36，n＝18，
∴a
1
＋a
18
＝36，
从而a
9
＋a
10
＝a
1
＋a
18
＝36.


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【变式3 】已知两个等差数列{a
n
}和{b
n
}的前n项和分别为A
n和B
n
，且
的个数是________．
a
n
A2n
－
1
14n＋387n＋19
12
解析：由等差数列前n项 和的性质知，＝＝＝＝7＋，
b
n
B
2n
－
1
2 n＋2n＋1n＋1
a
n
故当n＝1,2,3,5,11时，为整数，
b
n
a
n
故使得为整数的正整数n的个数是5.
b
n
答案：5

【变式4】一个等差数列的前12项的和为354 ，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数
列的公差d＝________. < br>解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为S
奇
，偶数项的和为S
偶
，等差数列的公差为d.由已知条件，
??
?
S
奇
＋S
偶
＝354，
?
S
偶
＝192，
得
?
解得< br>?

??
S∶S＝32∶27，S＝162.
偶奇奇
??A
n
7n＋45
a
n
＝，则使得为整数的正整数n
B< br>n
n＋3
b
n

192－162
又S
偶
－S
奇
＝6d，所以d＝＝5.
6
答案：5

【变式5】若{a
n
}是公差为1的等差数 列，则{a
2n
－
1
＋2a
2n
}是( )
A．公差为3的等差数列
B．公差为4的等差数列
C．公差为6的等差数列
D．公差为9的等差数列
解析：选C 令b
n
＝a
2n
－
1
＋2a
2n
，则b
n
＋
1
＝a
2n
＋
1
＋2a
2n
＋
2
，故b
n
＋
1
－b
n
＝a
2n
＋
1
＋2a
2n
＋
2
－(a
2n
－
1
＋2a
2n< br>)＝(a
2n
＋
1
－a
2n
－
1
) ＋2(a
2n
＋
2
－a
2n
)＝2d＋4d＝6d＝6×1 ＝6.即{a
2n
－
1
＋2a
2n
}是公差为6的等差数列 ．

S
3
S
2
【变式6】已知等差数列{a
n< br>}的前n项和为S
n
，且满足－＝1，则数列{a
n
}的公差d是__ ______．
32
a
1
＋a
2
＋a
3
a
1
＋a
2
2a
1
＋d
dS
3
S
2
解析：由－＝1得－＝a
1
＋d－＝＝1，所以d＝2.
323222
答案：2

例2.等差数列{a
n
}的首项 a
1
>0，设其前n项和为S
n
，且S
5
＝S
12
，则当n为何值时，S
n
有最大值？
1
[解] 设等差数列{a< br>n
}的公差为d，由S
5
＝S
12
得5a
1
＋10d＝12a
1
＋66d，d＝－a
1
<0.
8
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法一：S
n
＝na
1
＋
＝na
1
＋
＝－
n?n－1?
d
2
n?n－1?
?
1
?
·
?
－
8
a
1
?

2
17
11289
n－
?
2
＋a
1
， a
1
( n
2
－17n)＝－a
1
?
2
?
1616
?
64
因为a
1
>0，n∈N
*
，所以当n＝8或n＝9时 ，S
n
有最大值．
?
?
a
n
≥0，
法二 ：设此数列的前n项和最大，则
?
即
?
a
n
＋
1< br>≤0，
?

?
?
?
－
1
a
?
≤0，a＋n·
?
?
8
?
1
1
?
－
1
a
1
?
≥0，a
1
＋?n－1?·
?
8
?

?
?
n≤9，
解得
?
即8≤n≤9，
?
n≥8，
?

又n∈N
*
，所以当n＝8或n＝9时，S
n
有最大值．
n?n－1?
d
2
?
d
法三：由于S
n
＝na1
＋d＝n＋
?
a
1
－
2
?
?
n，
22

d
d
a
1
－
?
x ，则函数y＝f(x)的图象为开口向下的抛物线， 设f(x)＝x
2
＋
?
2
??
2
由S
5
＝S
12
知，抛物线的对称轴为x ＝
5＋12
17
＝(如图所示)，
22
由图可知，当1≤n≤8时 ，S
n
单调递增；当n≥9时，S
n
单调递减．又n∈N
*
，所以当n＝8或n＝9时，S
n
最大．



【变式1 】在等差数列{a
n
}中，a
1
＝29，S
10
＝S
20
，则数列{a
n
}的前n项和S
n
的最大值为( )
A．S
15
B．S
16

C．S
15
或S
16
D．S
17

解析：选A ∵a
1
＝29，S
10
＝S
20
，
10×920×19
∴10a
1
＋d＝20a
1
＋d，解得 d＝－2，
22
n?n－1?
∴S
n
＝29n＋×(－2)＝－n
2
＋30n＝－(n－15)
2
＋225.
2
∴当n＝15时，S
n
取得最大值．


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a
8
【变式2】设S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，(n＋1) S
n
＜nS
n
＋
1
(n∈N
*
)．若＜－ 1，则( )
a
7
A．S
n
的最大值是S
8
B．S
n
的最小值是S
8

C．S
n
的最大值是S
7
D．S
n
的最小值是S
7

n?a
1
＋a
n
??n＋1??a
1
＋a
n
＋
1
?
解析 ：选D 由(n＋1)S
n
＜nS
n
＋
1
得(n＋1)＜n ，整理得a
n
＜a
n
＋
1
，所以等差数列{a
n< br>}
22
a
8
是递增数列，又＜－1，所以a
8
＞0， a
7
＜0，所以数列{a
n
}的前7项为负值，即S
n
的最 小值是S
7
.
a
7


【变式3】在等差数列{a
n
}中，a
1
＝7，公差为d，前 n项和为S
n
，当且仅当n＝8 时S
n
取得最大值，则d 的
取值范围为________．
解析：由题意，当且仅当n＝8时S
n
有最大值，可得
d<0，
?
?
?
a
8
>0，
?
?
a
9
<0，

d<0，
?
?
即
?
7＋7d>0，?
?
7＋8d<0，

7
解得－18
7
－1，－
?
答案：
?
8
??




证明等差数列的方法：
方法
定义法
等差中
项法
通项公
式法
前n项和
公式法

1
例3.已知 数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且满足：a
n
＋2Sn
S
n
－
1
＝0(n≥2，n∈N
*
)，a< br>1
＝，判断{a
n
}是否为等差数列，
2
并说明你的理由．
[解] 因为a
n
＝S
n
－S
n
－
1(n≥2)，a
n
＋2S
n
S
n
－
1
＝0，
解读
对于数列{a
n
}，a
n
－a
n< br>－
1
(n≥2，n∈N
*
)为同一常数
?{a
n}是等差数列
2a
n
－
1
＝a
n
＋a
n
－
2
(n≥3，n∈N
*
)成立?{a
n
}是 等差
数列
a
n
＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立
?{a
n
}是等差数列
验证S
n
＝An
2
＋B n(A，B是常数)对任意的正整数
n都成立?{a
n
}是等差数列
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所以S< br>n
－S
n
－
1
＋2S
n
S
n
－
1
＝0(n≥2)．
11
所以－＝2(n≥2)．
S
n
S
n
－
1
1
又S
1
＝a
1< br>＝，
2
?
1
?
所以
?
S
?
是以2为首项，2为公差的等差数列．
?
n
?
11
所以＝2＋( n－1)×2＝2n，故S
n
＝.
S
n
2n
所以当n≥2 时，a
n
＝S
n
－S
n
－
1
＝
所 以a
n
＋
1
＝
－1
11
－＝，
2n2?n－1?2n?n－1?
1
－1－1－1－1
1
1
，而a< br>n
＋
1
－a
n
＝－＝
?
n＋1
－< br>n－1
?
＝
?
n?n－1??n＋1?
.
2n?n ＋1?2n?n＋1?2n?n－1?
2n
?
所以当n≥2时，a
n
＋
1
－a
n
的值不是一个与n无关的常数，故数列{a
n
} 不是等差数列．

【变式1】已知数列{a
n
}中，a
1
＝2，a
n
＝2－
差数列．
证明：∵a
n
＝2－
∴b
n
＋
1
－b
n
＝
1
，∴a
n
＋
1
＝2－.
a
n
a
n
－
1< br>a
n
－1
11
－＝＝1，
1
a
n
－1a
n
－1
2－
a
－1
n
1
1
(n≥2，n∈N
*
)，设b
n
＝(n∈N
*
)．求证：数 列{b
n
}是等
a
n
－
1
a
n
－ 1
1
11
－＝
a
n
＋
1
－1a
n
－1
∴{b
n
}是首项为b
1
＝


1
＝1，公差为1的等差数列．
2－1
【变式2】已知公差大于零的等差数 列
{
a
n
}
的前n项和为S
n
，且满足a
3
·a
4
＝117，a
2
＋a
5
＝22.
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
S
n
(2)若数列< br>{
b
n
}
满足b
n
＝，是否存在非零实数c使得{b
n
}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，
n＋c
请说明理由． < br>解：(1)∵数列
{
a
n
}
为等差数列，∴a
3＋a
4
＝a
2
＋a
5
＝22.
又a
3
·a
4
＝117，
∴a
3
，a< br>4
是方程x
2
－22x＋117＝0的两实根，
又公差d＞0，∴a
3
＜a
4
，∴a
3
＝9，a
4
＝13，
??
?
a
1
＋2d＝9，
?
a
1
＝1，
∴
?
解得
?

?
a
1
＋3d＝13，
?
??
d＝4.

∴数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝4n－3.
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(2)由(1)知a
1
＝1，d＝4，
∴S
n
＝na1
＋
n?n－1?
×d＝2n
2
－n，
2
2n
2
－n
S
n
∴b
n
＝＝，
n＋cn＋c
1615
∴b
1
＝，b
2
＝，b3
＝，其中c≠0.
1＋c2＋c3＋c
∵数列
{
b
n
}
是等差数列，∴2b
2
＝b
1
＋b
3
，
即
6115
×2＝＋，∴2c
2
＋c＝0，
2＋c1＋c3＋c
11
∴c＝－或c＝0(舍去)，故c＝－.
22
1
即存在一个非零实数c＝－，使数列{b
n
}为等差数列．
2




【等比数列的性质】
1．等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等 于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做
等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表 示，定义的表达式为
a
n
＋
1
＝q.
a
n
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项?a ，
G，b成等比数列?G
2
＝ab.
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：a
n
＝a
1
q
n
1
.
na
1
，q＝1，
?
?
(2)前n项和公式：S
n
＝
?
a
1
?1－q
n
?a
1
－a
n
q

＝，q≠1.
?
1－q
?
1－q< br>3．运用方程的思想求解等比数列的基本量
a
n
＝a
1
q< br>1
，
?
?
(1)若已知n，a
n
，S
n，先验证q＝1是否成立，若q≠1，可以通过列方程(组)
?
求出关键量
a1
?1－q
n
?
S＝，
n
?
1－q
?
a
1
和q，问题可迎刃而解．
n
1
?
?
a
n
＝a
1
q，
(2)若已知数列{a
n
}中的两 项a
n
和a
m
，可以利用等比数列的通项公式，得到方程组
?
计算时两
－
?
a
m
＝a
1
q
m
1
，
?
－
－

n
－


式相除可先求出q，然后代入其中一式求得a
1
，进一步求得S
n
.另外，还 可以利用公式a
n
＝a
m
·q
n
－
m
直接 求得q，
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可减少运算量．

4.基本性质：
(1)通项公式的推广：a
n
＝a
m
·q
n
－
m
(n，m∈N
*
)．
(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N
*
)，则a
m
·a
n
＝a
p
·a
q
＝a
2
k
.
?
1
??
a
n
?
2
(3) 若数列{a
n
}，{b
n
}(项数相同)是等比数列，则{λa
n< br>}，
?
a
?
，{a
n
}，{a
n
· b
n
}，
?
b
?
(λ≠0)仍然是等比数列．
?
n
??
n
?
(4)在等比数列{a
n
}中，等距离 取出若干项也构成一个等比数列，即a
n
，a
n
＋
k
，a< br>n
＋
2k
，a
n
＋
3k
，…为等比数列，< br>公比为q
k
.
(5)公比不为－1的等比数列{a
n
}的前 n项和为S
n
，则S
n
，S
2n
－S
n
， S
3n
－S
2n
仍成等比数列，其公比为q
n
.


例4.(1)在各项均为正数的等比数列{a
n
}中，若a
2＝1，a
8
＝a
6
＋2a
4
，则a
6
的值是________．
(2)在等比数列{a
n
}中，若公比q＝4，且前3项 之和等于21，则该数列的通项公式a
n
＝________.
[解析] (1)设 等比数列{a
n
}的公比为q，q>0，则a
8
＝a
6
＋2 a
4
即为a
4
q
4
＝a
4
q
2< br>＋2a
4
，解得q
2
＝2(负值舍去)，
又a
2＝1，所以a
6
＝a
2
q
4
＝4.
(2)由 题意知a
1
＋4a
1
＋16a
1
＝21，解得a
1
＝1，所以等比数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝a
1q
n
1
＝4
n
1
.
[答案] (1)4 (2)4
n
1

－
－－

【变式1】已知等比数列 {a
n
}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则a
n
＝( )
3
?
n
A．4×
?
?
2
?

2
?
n
C．4×
?
?
3
?

3
?
n
－
1
B．4×
?
?
2
?

2
?
n
－
1
D．4×
?
?
3
?

3
?
n
－
1
3
解析：选B 由题意得(a＋1)< br>2
＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，故a
1
＝4，a
2
＝6，所以q＝，则a
n
＝4×
?
?
2
?
.
2

S
n
55
【变式2】已知等比数列{a
n}的前n项和为S
n
，且a
1
＋a
3
＝，a
2
＋a
4
＝，则
a
＝( )
24
n
A．4
n
1

C．2
n
1

1
－
－
B．4
n
－1
D．2
n
－1
3
?
a＋a＝
2
，
解析：选D 设{a}的公比为q，∵< br>?
5
a＋a＝，
?
4
n
24
5


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?
∴
?
5
aq＋aq＝， ②
?
4
11< br>3
5
a
1
＋a
1
q
2
＝， ①
2

1＋q
2
11
?
1
?
n< br>－
1
＝
4
n
， 由①②可得＝2，∴q＝，将q＝代入①得a ＝2，∴a＝2×
1n
?
2
?
222
q＋q
3?
1－
1
n
?
?
1
?
n
?< br>4
2×
?
1－
??
2
??
?
1?
S
n
?
2
?
S
n
＝＝4
?
1－
2
n
?
，∴
a
＝＝2
n
－1 ，选D.
14
n
1－
22
n

【变式3】已知等 比数列{a
n
}中，a
2
＝1，则其前3项的和S
3
的取值 范围是( )
A．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
B．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
1
11＋q＋
q
?
＝1＋q＋，当q>0时，S
3
＝1＋q解析：选 D 设等比数列{a
n
}的公比为q，则S
3
＝a
1
＋a< br>2
＋a
3
＝a
2
?
??
q
1
＋≥1＋2
q
1
1
－q－
?
≤1－2 q·＝3(当且 仅当q＝1时取等号)；当q<0时，S
3
＝1－
?
q
??
q
?
－
1
?
＝－1(当且?－q?·
?
q
?
仅当q＝－1时取等号)．所以S
3
∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故选D.



【变式4】在等比数列{a
n
}中，若a
7
＋a
8
＋a
9
＋a
10
＝
11
a
7
＋a
10
11
a
8
＋a
9
因为 ＋＝，＋＝，
a
7
a
10
a
7
a
10< br>a
8
a
9
a
8
a
9
由等比数列的性 质知a
7
a
10
＝a
8
a
9
，
1111
a
7
＋a
8
＋a
9
＋a
1015
?
9
?
5
－
＝－. 所以＋＋＋＝＝÷
a
7
a
8
a
9
a
10
a
8
a
9
8
?
8
?
3


【变式5】 设等比数列{a
n
}中，前n项和为S
n
，已知S
3
＝8， S
6
＝7，则a
7
＋a
8
＋a
9
等于( )
1
A.
8
57
C.
8
1
B．－
8
55
D.
8
1591111
，a
8
a
9
＝－，则＋＋＋＝________.
88a
7
a
8
a
9
a
10
S
10
31
【变 式6】等比数列{a
n
}的首项a
1
＝－1，前n项和为S
n
，若＝，则公比q＝________.
S
5
32
[解析] (1)因为 a
7
＋a
8
＋a
9
＝S
9
－S
6
，在等比数列中S
3
，S
6
－S
3
，S
9
－S
6
成等比数列，
即8，－1，S
9
－S
6
成等比数列，
1
所以有 8(S
9
－S
6
)＝1，则S
9
－S
6
＝ ，
8
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1
即a
7
＋a
8
＋a
9
＝.
8
(2)由
S
10
－S
5
S
10
311＝，a
1
＝－1知公比q≠－1，＝－.
S
5
32S
5
32
由等比数列前n项和的性质知S
5
，S
10
－S5
，S
15
－S
10
成等比数列，且公比为q
5
，
11
故q
5
＝－，q＝－.
322

【变 式7】已知各项均为实数的等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若S
10
＝10，S
30
＝70，则S
40
＝( )
A．150
C．130
B．140
D．120
解析：选A 在等比数列{a
n
}中，由S
10
＝10，S
30
＝70可知q≠－1，
所以S
10
，S
20
－S10
，S
30
－S
20
，S
40
－S
30
构成公比为q′的等比数列．
所以(S
20
－S
10
)
2
＝S
10
·(S
30
－S
20
)，
即(S
20
－10)
2
＝10·(70－S
20
) ，
解得S
20
＝30(负值舍去)．
所以
S
20
－S
10
30－10
＝＝2＝q′，
S
10
10
所以S
40
－S
30
＝2(S
30
－S
20
)＝80，S
40
＝S
30
＋80＝150.

【变式8】等比数列{a
n
}满足a
1
＋a
3
＝10，a
2
＋a
4
＝5，则a
1
a
2
…a
n
的最大值为________．
1
解析：设 等比数列{a
n
}的公比为q，则由a
1
＋a
3
＝10，a
2
＋a
4
＝q(a
1
＋a
3
)＝5，知q ＝.又a
1
＋a
1
q
2
＝10，所以
2
a
1
＝8.
n
1
故a
1
a
2
…a
n
＝a
1
q
＋
2
＋…＋
(
n－
1)
?
1
?
?n－1?n
＝2
3
n
·
?
2
?
2
n
2
nn
2
7
＝23n－＋＝2－＋n.
2222
7
n
2
7n1149
n－
?
2
＋， 记t＝－＋＝－(n
2
－7n )＝－
?
2
?
2222
?
8
结合n∈N
*
可知n＝3或4时，t有最大值6.
又y＝2
t
为增函数，从而a
1
a
2
…a
n
的最大值为2
6
＝64.
答案：64
【变式9】在等比数列{a
n
}中，a
1
＝2 ，前n项和为S
n
，若数列{a
n
＋1}也是等比数列，则S
n＝( )
A．2
n
1
－2
C．2n
＋
B．3n
D．3
n
－1
－
解析：选C 因为数列{a
n
}为等比数列，a
1
＝2，设其公比为q，则a
n< br>＝2q
n
1
，因为数列{a
n
＋1}也是等比数
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2
列，所以( a
n
＋
1
＋1)
2
＝(a
n
＋1)(a< br>n
＋
2
＋1)，即a
2
n
＋
1
＋2 a
n
＋
1
＝a
n
a
n
＋
2
＋a
n
＋a
n
＋
2
，则a
n
＋a
n
＋
2
＝2a
n
＋
1
，即a
n
(1＋q－2q)
＝0，所以q＝1，即a
n
＝2，所以S
n
＝2n ，故选C.

等比数列的四种常用判定方法
a
n
＋
1< br>a
n
若
a
＝q(q为非零常数，n∈N
*
)或＝q( q为非零常数且n≥2，n
a
n
－
1
n
∈N
*)，则{a
n
}是等比数列
中项公式法
通项公式法
若 数列{a
n
}中，a
n
≠0且a
2
a
n
＋
2
(n∈N
*
)，则{a
n
}是等比数列
n＋
1
＝a
n
·
若数列{a
n
}的通项公式可写 成a
n
＝c·q
n
1
(c，q均是不为0的常数，n
∈N< br>*
)，则{a
n
}是等比数列
若数列{a
n
}的前 n项和S
n
＝k·q
n
－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an
}
是等比数列
－
定义法
前n项和公式法



35
例5.设数列
{
a
n
}
的前n项和为S
n
，n∈N
*
.已知a
1
＝1，a
2
＝，a
3
＝，且当n≥2时，4S
n
＋
2
＋5S
n
＝8S
n
＋
1
＋S
n
24
－< br>1
.
(1)求a
4
的值；
1
??
(2) 证明：
?
a
n
＋
1
－
2
a
n?
为等比数列．
??
[解] (1)当n＝2时，4S
4
＋5 S
2
＝8S
3
＋S
1
，
35335
7< br>1＋＋＋a
4
?
＋5
?
1＋
?
＝8
?
1＋＋
?
＋1，解得a
4
＝. 即4
?
?
24
??
2
??
24
?
8
(2)证明：由4S< br>n
＋
2
＋5S
n
＝8S
n
＋
1＋S
n
－
1
(n≥2)，
得4S
n
＋
2
－4S
n
＋
1
＋S
n
－S
n
－
1
＝4S
n
＋
1
－4S
n
(n≥2)，
即4a
n
＋
2
＋a
n
＝4a
n
＋
1
(n≥2)．
5
∵4a
3
＋a
1
＝4 ×＋1＝6＝4a
2
，
4
∴4a
n
＋
2
＋a
n
＝4a
n
＋
1
，
1
a
n
＋
2
－a
n
＋
1
2
4a
n
＋
2
－2a
n
＋
1
4a
n
＋
1
－a
n
－2a
n
＋
1
2a
n
＋< br>1
－a
n
1
∴＝＝＝＝，
1
4a
n
＋
1
－2a
n
4a
n
＋
1
－2a
n
2?2a
n
＋
1
－a
n
?
2
a
n
＋
1
－a
n
2
1
??
11< br>∴数列
?
a
n
＋
1
－
2
a
n
?
是以a
2
－a
1
＝1为首项，为公比的等比数列．
22
??

1
【变式1】已知一列非零向量a
n
满 足a
1
＝(x
1
，y
1
)，a
n
＝(x< br>n
，y
n
)＝(x
n
－
1
－y
n< br>－
1
，x
n
－
1
＋y
n
－
1
)(n≥2，n∈N
*
)，
2
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则下列命题正确的是( )
A．{|a
n
|}是等比数列，且公比为
2

2
B．{|a
n
|}是等比数列，且公比为2
C．{|a
n
|}是等差数列，且公差为
2

2
D．{|a
n
|}是等差数列，且公差为2
解析：选A ∵|a
n
|＝
122
222
?x
n
－
1
－y
n
－
1
?
2
＋?x
n
－
1< br>＋y
n
－
1
?
2
＝·x
n
|a|( n≥2，n∈N
*
)，|a
1
|＝x
2
－
1
＋y
n
－
1
＝
1
＋y
1
222
n
－
1
|a
n
|
22
≠0，＝为常数，∴{|a< br>n
|}是等比数列，且公比为，选A.
2
|a
n
－
1
|
2

【变式2】 已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，a
1
＝1，S
n
＋
1
＝4a
n
＋2(n∈N
*
)，若b
n
＝a
n
＋
1
－2a
n
，求证：{b
n
}是等
比数列．
证明：∵a
n
＋
2
＝S
n
＋
2
－S
n
＋
1
＝4a
n
＋< br>1
＋2－4a
n
－2＝4a
n
＋
1
－4a< br>n
，
b
n
＋
1
a
n
＋
2
－2a
n
＋
1
?4a
n
＋
1
－4 a
n
?－2a
n
＋
1
2a
n
＋
1
－4a
n
∴
b
＝＝＝＝2.
a
n
＋1
－2a
n
a
n
＋
1
－2a
n
a
n
＋
1
－2a
n
n
∵S
2
＝ a
1
＋a
2
＝4a
1
＋2，∴a
2
＝5. ∴b
1
＝a
2
－2a
1
＝3.
∴数列{b
n
}是首项为3，公比为2的等比数列．

【变式3】 已知数列{a
n
}的前n项和S
n
＝1＋λa
n
，其中λ≠ 0.
(1)证明{a
n
}是等比数列，并求其通项公式；
31
(2)若S
5
＝，求λ.
32
解：(1)证明：由题 意得a
1
＝S
1
＝1＋λa
1
，
故λ≠1，a
1
＝
1
，故a
1
≠0.
1 －λ
由S
n
＝1＋λa
n
，S
n
＋
1＝1＋λa
n
＋
1
得a
n
＋
1
＝λa
n
＋
1
－λa
n
，
即a
n
＋
1
(λ－1)＝λa
n
.
由a
1
≠0，λ≠0得a
n
≠0，
a
n
＋
1
λ
所以
a
＝.
λ－1
n
λ
1
因此{a
n
}是首项为，公比为的等比数列， 1－λ
λ－1
于是a
n
＝
1
?
λ
?< br>n
－
1
.
1－λ
?
λ－1
?
λ< br>(2)由(1)得S
n
＝1－
?
λ－1
?
n
.
??
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λ
3131
由S
5
＝得1－
?
λ－1
?< br>5
＝，
32
??
32
λ
1
即
?< br>λ－1
?
5
＝.
??
32
解得λ＝－1.


【课后练习-等差】
1
．
在等差数列{a
n
}中，a
2
＝2，a
3
＝4，则 a
10
＝ ( )
A．12 B．14 C．16 D．18
解：由a
2
＝2，a
3
＝4知d＝
4－2
＝2
．

3－2
所以a
10
＝a
2
＋8d＝2＋8×2＝18
．故选D．
2
．
已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若 a
3
＋a
2 018
＝1，则S
2 020
＝ ( )
A．2
2 020
B．2 021 C．1 010 D．2
1 010

解：因为{a
n
}为等差数列， a
3
＋a
2 018
＝1，所以a
1
＋a
2 020
＝a
3
＋a
2 018
＝1，所以S
2 020
＝
1 010
．
故选C．
3
．
已知数列{ a
n
}为等差数列，a
2
＋a
3
＝1， a
10
＋a
11
＝9，则a
5
＋a
6
＝ ( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解：设等差数列{a
n
}的公差为d，因为a
2
＋ a
3
＝1，a
10
＋a
11
＝9，所以2a
1
＋3 d＝1，2a
1
＋19d＝9，解得
1111
a
1
＝－，d ＝
．
所以a
5
＋a
6
＝2a
1
＋9d＝ －2×＋9×＝4
．

4242
1
另解：a
10
＋ a
11
－(a
2
＋a
3
)＝16d＝8?d＝，所以a5
＋a
6
＝a
2
＋a
3
＋6d＝1＋3＝4< br>．
故选A．
2
4
．
设S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，若a
1
＝1，公差d＝2，S
k
＋
2
－S
k
＝24，则k＝ ( )
A．8 B．7 C．6 D．5
解：由a
1
＝1，公差d＝2得 通项a
n
＝2n－1，又S
k
＋
2
－S
k
＝a
k
＋
1
＋a
k
＋
2
，所以2k＋1＋ 2k＋3＝24，得k＝5
．
故
选D．
S
n
n＋1
a
5
5
．
已知两等差数列{a
n
}，{b
n}的前n项和分别为S
n
，T
n
，且＝，则＝ ( )
T
n
2nb
5
235
A． B． C． D．2
359
n（a
1
＋a
n
）< br>2
a
1
＋a
n
n＋1
S
n
a
5
2a
5
a
1
＋a
9
9＋1
5
解：因为＝＝＝，所以＝＝＝＝
．
故选C．
T
n
n（b
1
＋b
n
）b
1
＋b
n
2nb
5
2 b
5
b
1
＋b
9
2×9
9
2
6< br>．
已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，a
1< br>＝9,
A．4 B．5 C．6 D．4或5
S9
S
5
解：由{a
n
}为等差数列，设公差为d，有－ ＝a
5
－a
3
＝2d＝－4，即d＝－2，又a
1
＝9，所以a
n
＝－2n
95
11
＋11，由a
n
＝－2n＋1 1<0，得n>，所以S
n
取最大值时n为5
．
故选B．
2
S
9
S
5
－＝－4，则S
n
取最大值时的n为 ( )
95
（a
1
＋a
2 020
）×2 020
＝
2
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7
．
中位数为1 011的一组数构成等差数列，其末项为2 019，则该数列的首项为________
．

解：设首项为a
1
，则a
1
＋2019＝2×1 011，解得a
1
＝3
．
故填3
．

8
．
等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，已知a
1
＝ 1，且数列{S
n
}也为等差数列，则a
10
＝________
．

解：因为数列{a
n
}是等差数列，设公差为d，
n（n－1） d
d
2
?
d
?
则S
n
＝n＋＝n＋
?
1－
2
?
n，
22
所以S
n
＝d
2
?
d
?
n＋
?
1－
2
?
n，又{S
n
}也为等差数列，设为{b
n
}，显然b
1< br>＝1，公差设为d
1
，则 b
n
＝1
2
d
22
＋(n－1)d
1
＝nd
1
＋(1－d
1)，因为b
2
n
＝(S
n
)，比较平方后两边的系数，则有(1 －d
1
)＝0且1－＝2d
1
(1－d
1
)，所
2
以d＝2
．
所以a
10
＝1＋(10－1)× 2＝19
．
故填19
．

9
．
已知公差大于零的等 差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且满足a
3
·a
4
＝117，a
2
＋a
5
＝22，求a
n
和S< br>n
．

解：因为数列{a
n
}为等差数列，所以a
3
＋a
4
＝a
2
＋a
5
＝22
．

又a
3
·a
4
＝117，所以a
3
，a
4
是方程x
2
－22x＋117＝0的两实根，
又公差d＞0，所以a
3
＜a
4
，所以a
3
＝9，a
4
＝13， ??
?
a
1
＋2d＝9，
?
a
1
＝1 ，
所以
?
所以
?

?
a
1
＋3 d＝13，
?
d＝4
．
??
所以通项公式a
n
＝4 n－3
．

n（n－1）
所以S
n
＝na
1
＋·d＝2n
2
－n
．

2
10已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，等比数列{b
n
}的前n项和为T
n
，a
1
＝－1，b
1
＝1，a
2
＋b
2
＝2
．

(1)若a
3
＋b
3
＝5 ，求{b
n
}的通项公式；
(2)若T
3
＝21，求S
3
．

解：(1)设{a
n
}的公差为d，{b
n
}的公比为q，
－
则a
n
＝－1＋(n－1)d，b
n
＝q
n
1
．

由a
2
＋b
2
＝2得d＋q＝3
．
①
由 a
3
＋b
3
＝5得2d＋q
2
＝6
．
②
?
?
d＝1，
?
?
d＝3，
联立①②解得
?
或
?
(舍去)
?
q＝2，
?
?
q＝0
．
?
因此{b
n
}的通项公式为b
n
＝2
n
1
．

(2)由b
1
＝1，T
3
＝21 得q
2
＋q－20＝0
．

解得q＝－5，q＝4
．

当q＝－5时，由①得d＝8，则S
3
＝21
．

当q＝4时，由①得d＝－1，则S
3
＝－6
．

a
n
－
1
1
11
．
已知数列{a
n
}满足 a
1
＝1，a
n
＝(n∈N
*
，n≥2)，数列{b
n
}满足关系式b
n
＝(n∈N
*
)
．

a
n
2a
n
－
1
＋1
(1)求证：数列{bn
}为等差数列；
(2)求数列{a
n
}的通项公式
．

a
n
－
1
1
解：(1)证明：因为b
n
＝，且a
n
＝ ，
a
n
2a
n
－
1
＋1
－
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1
所以bn
＋
1
＝＝
a
n
＋
1
2a
n
＋1
1
＝，
a
n
a
n
2a
n< br>＋1
2a
n
＋1
1
所以b
n
＋
1< br>－b
n
＝－＝2
．

a
n
a
n
1
又因为b
1
＝＝1，
a
1
所以数列{b
n
}是以1为首项，2为公差的等差数列
．
1
(2)由(1)知数列{b
n
}的通项公式为b
n
＝1＋(n－1)×2＝2n－1，又b
n
＝，
a
n
11
所以a
n
＝＝
．

b< br>n
2n－1
1
所以数列{a
n
}的通项公式为a
n< br>＝
．

2n－1
12.（难题） (
2018·辽宁凌源二中 联考
)已知数列{a
n
}与{b
n
}的前n项和分别为S
n
，T
n
，且a
n
＞0， 6S
n
*
＝a
2
n
＋3a
n
，n∈N，b
n
＝
2
a
n
，若对任意的n∈N
*
，k＞T
n
恒成立，则 k的最小值是
a
n
a
n?1
(2?1)(2?1)
( )
118
A． B．49 C． D．
7494 41
22
解：当n＝1时，6a
1
＝a
2
1
＋3a
1
，解得a
1
＝3或a
1
＝0(舍去)，又6S
n
＝a
n
＋3a
n
，所以6S
n
＋
1
＝a
n
＋
1
＋3a
n
＋
1
，两
2
式作差可得6a
n
＋
1
＝a
2
n
＋1
－a
n
＋3a
n
＋
1
－3a
n，
整理可得(a
n
＋
1
＋a
n
)(a
n
＋
1
－a
n
－3)＝0，结合 a
n
＞0 可得a
n
＋
1
－a
n
－3＝0，所以a
n
＋
1
－a
n
＝3，故数列{a
n
}是
首项为3，公 差为3的等差数列，
1
?
2
a
n
8
n
1
?
1
－
＋
所以a
n
＝3＋(n－1)×3＝3n， 则b
n
＝
a
＝＝，
＋
nn
1
nn
1
(2
n
?1)(2
a
n?1
?1)
（8－1） （8－1）
7
?
8－18－1
?
11111
1111
1
11
所以T
n
＝[
?
8－1
－
82
－1
?
＋
?
8
2
－1
－
8
3
－1
?
＋…＋(
n
－
n
＋
1< br>)]＝
?
7
－
8
n
＋
1
－1
?
＜，所以k≥
．
故选
7
?
7
?
49< br>????
49
8－18－1
C．

【课后练习-等比】 < br>1
．
已知正项等比数列{a
n
}满足a
4
＝4，a< br>2
＋a
6
＝10，则公比q＝ ( )
A．2或
211
B．2 C． D．2或
222
a
4
1
解：因为a
4
＝4，a
2
＋a
6
＝10，所以
2
＋a
4
q
2
＝10，得2q
4
－5q
2
＋2＝0，得q
2
＝2或，又q＞0，所以q＝2或< br>q2
2
．
故选A．
2
2
．
在正项等比数列 {a
n
}中，S
n
是其前n项和
．
若a
1
＝1，a
2
a
6
＝8，则S
8
＝ ( )
A．8 B．15(2＋1)
C．15(2－1) D．15(1－2)
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解：因为 a
2
a
6
＝a
2
4
＝8，所以
6
a
2
1
q＝8，所以
1－q
8
q＝2，所以S
8< br>＝＝15(2＋1)
．
故选B．
1－q
3
．
等比数 列{a
n
}中，a
1
＋a
2
＝40，a
3
＋a
4
＝60，则a
7
＋a
8
＝ ( )
A．135 B．100 C．95 D．80
60
?
解：因为{a
n
}是等比数列，所以a
1
＋a
2
，a
3
＋a
4
，a
5
＋a
6
，a
7
＋a
8
也是等比数列，所以a
7
＋a
8
＝40 ×
?
故
?
40
?
＝135
．
选A． 4
．
已知等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且S< br>4
＝2，S
8
＝10，则S
16
＝ ( )
A．50 B．70 C．170 D．250
解：显然等比数列{an
}的公比不等于－1，由等比数列的性质可得S
4
，S
8
－S
4
，S
12
－S
8
，S
16
－S
12
成等比数列，
8
??
8
?
＝128，所以S
1 6
＝128＋即2，8，S
12
－10，S
16
－S
12< br>成等比数列，所以S
12
－10＝2×
?
＝32，S
16－S
12
＝2×
?
2
??
2
?
S12
＝128＋(32＋10)＝170
．
故选C．
5
．已知等比数列{a
n
}各项均为正数，满足a
1
＋a
3
＝3，a
4
＋a
6
＝62， 则a
1
a
3
＋a
2
a
4
＋a
3
a
5
＋a
4< br>a
6
＋a
5
a
7
＝
( )
A．62 B．622 C．61 D．612
a
4
＋a
6
解：设等比数列{a
n
}的公比为q，由题知q
3
＝＝22，所以q ＝2
．
因为a
1
＋a
1
q
2
＝3，所以a
1
＝1，a
3
a
1
＋a
3
＝2
．
而a
1
a
3
，a
2
a
4
，a3
a
5
，a
4
a
6
，a
5
a
7
成等比数列，且公比为
1×2×（1－2
5
）
＝＝62< br>．
故选A．
1－2
6
．
若数列{a
n
}是 正项递减等比数列，T
n
表示其前n项的积，且T
8
＝T
12
，则当T
n
取最大值时，n的值等于
( )
A．9 B．10 C．11 D．12
解：因为T
8
＝T
12
，所以a
9
a
10
a
11
a
12
＝1，又a
9
a
12
＝a
10
a
11
＝1 ，且数列{a
n
}是正项递减数列，所以a
9
>a
10
>1 >a
11
>a
12
，
因此T
10
取最大值
．
故选B．
21
7
．
已知正项等比数列{a
n
} 的公比为3，若a
m
a
n
＝9a
2
的最小值等于_____ ___
．

2
，则＋
m2n
m
2
m
解：因为正项等比数列{a
n
}的公比为3，且a
m
a
n
＝9a
2
·a
2
·3
n
2
＝a
2
2
，所以a
2
·3
2
·3
－－＋
n
－4
3
23
q
2
，故
a
1
a
3
[1－（q
2
）
5
]
a
1
a
3< br>＋a
2
a
4
＋a
3
a
5
＋a
4
a
6
＋a
5
a
7
＝
1－q
2
＝9a
2
2
，所以m
21
?
1211m2n11< br>5
3
3
＋
＝(2＋＋＋)≥×
?
＋2
?＝，＋n＝6，所以＋＝(m＋n)
?
当且仅当m＝2n＝4时取等号
．
故填
．

?
m2n
?
6m2n62nm26
?2
?
4
4
8
．
(
2018·山西晋城一模)已知在公比不为1的等比数列{a
n
}中，a
2
a
4
＝9，且2a
3
为3a
2
和a
4
的等差中项，设
数 列{a
n
}的前n项积为T
n
，则T
8
＝________
．

解：由题意得a
2
a
4
＝a
2
3
＝9
．
设等比数列{a
n
}的公比为q，由2a
3为3a
2
和a
4
的等差中项可得4a
3
＝3a
2
＋a
4
，
3a
3
8
q
28
＝( a
8
q
16
)·即4a
3
＝＋a
3
q，整 理得q
2
－4q＋3＝0，由公比不为1，解得q＝3
．
所以T
8< br>＝a
1
·a
2
·…·a
8
＝a
1
q
12
1
q
124122020
＝(a
1
q
2
)
8
·q
12
＝a
8
3
·q＝9×3＝ 3
．
故填3
．

全国卷Ⅲ
)已知各项都为正数的数列{a< br>n
}满足a
1
＝1，a
2
9
．
(
2 016·
n
－(2a
n
＋
1
－1)a
n
－ 2a
n
＋
1
＝0
．

(1)求a
2
，a
3
；
(2)求{a
n
}的通项公式
．

11
解：(1) 由题意得a
2
＝，a
3
＝
．

24
(2) 由a
2
n
－(2a
n
＋
1
－1)a
n－2a
n
＋
1
＝0，
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得2a
n
＋
1
(an
＋1)＝a
n
(a
n
＋1)
．

a
n
＋
1
1
因为{a
n
}的各项都为正数，所以＝< br>．

a
n
2
11
故{a
n
}是首项 为1，公比为的等比数列，因此a
n
＝
n
－
1
．

2
2
10
．
已知数列{a
n
}的前n项和为Sn
，在数列{b
n
}中，b
1
＝a
1
，bn
＝a
n
－a
n
－
1
(n≥2)，且a
n
＋S
n
＝n
．

(1)设c
n
＝a< br>n
－1，求证：{c
n
}是等比数列；
(2)求数列{b
n
}的通项公式
．

解：(1)证明：因为a
n
＋S
n
＝n，①
所以a
n
＋
1
＋S
n
＋
1
＝n＋1，②
②－ ①得a
n
＋
1
－a
n
＋a
n
＋
1
＝1，
所以2a
n
＋
1
＝a
n
＋1，所 以2(a
n
＋
1
－1)＝a
n
－1，
11
又易得a
1
＝，a
1
－1＝－≠0，
22< br>a
n
＋
1
－1
1
所以＝
．

a
n
－1
2
11
所以{c
n
}是以－为首项，为 公比的等比数列
．

22
11
－
?
·
??
(2)由(1)可知c
n
＝
?
?
2
??
2
?
1
?
所以a
n
＝c
n
＋1＝1－
?
?
2
?
．

所以当n≥2时，
1
?
?
?
1
?
b
n
＝a
n
－a
n
－
1
＝1－
?
?
2
?
－
?< br>1－
?
2
?
1
?
＝
?
?
2
?
n－1
n
n－1
n
n－1
1
?
＝－
?
?
2
?
，
n
?

?1
??
1
?
－
?
?
2
?
＝< br>?
2
?
．

nn
1
?
n
1
?
又b
1
＝a
1
＝代入上式也符合，所以b
n＝
?
2
?
．

2
11
．
已知 数列{a
n
}是递增的等比数列，且a
1
＋a
4
＝9，a< br>2
a
3
＝8
．

(1)求数列{a
n
}的通项公式；
a
n
＋
1< br>(2)设S
n
为数列{a
n
}的前n项和，b
n
＝， 求数列{b
n
}的前n项和T
n
．

S
n
S
n
＋
1
解：(1)由题设知a
1
a
4
＝a
2
a
3
＝8，
?
?< br>a
1
＝1，
?
?
a
1
＝8，
又a< br>1
＋a
4
＝9，可解得
?
或
?
(舍去)．

?
a
4
＝8
?
a
4
＝1
??
设等比数列{a
n
}的公比为q，由a
4
＝a
1
q
3
得q＝2，
－－
故a
n
＝a
1< br>q
n
1
＝2
n
1
．

a
1
（1－q
n
）
n
(2)S
n
＝＝2－1，
1－q
a
n
＋
1
S
n
＋
1
－S
n
11
又b
n
＝＝＝－，
S
n
S
n
＋
1
S
n
S
n
＋
1
S
n
S
n
＋
1
所以T
n
＝b
1
＋ b
2
＋…＋b
n

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小古数学
11
?
11
??
11< br>?
－
＋
－
＋…＋
?
S
－
＝
?

S
?
SS
??
SS
?
1223
?
n
n
＋
1
?
111
＝－＝1－
n＋
1
．

S
1
S
n
＋
1
2－1



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