高中数学 2.1 1随机变量教案 新人教A版选修选修23

2013年高中数学 2.1 1随机变量教案 新人教A版选修选修2-3
一、

对于随机试验：

E

甲,乙两人同时向某目标射击
一次

中靶情况
概念
AB,AB,

AB,AB


E:
2。

定义：随机变量是定义在样本空间S={ω}上的一个单值实函数，记作X=X(ω),简记为X。

二、
1、
2、

§2.2 离散型随机变量

一?离散型随机变量的分布
设离散型随机变量可能取的值为:
取这些值的概率为
P(X=
分类
离散型随机变量
非离散型随机变量
S?{AB, AB,AB,AB}
，X表示射击中靶的次数，对应的取值为；0，1，
x
1
,x
2
,??,

x
i
)= p
i
,i=1,2,... (2.1)
称(2.1)式为离散型随机变量X的分布律。(2.1)式也可以用表格的形式表示如下:
X
P
x

1


p
1

x
2


p
2

…

…

x
i
…

…
p
i

- 1 -

上述表格称为离散型随机变量X的分布列，分布列也可以表示成下列矩阵的形式：

?
x
1
x
2
?x
i
?
?
??
?
pp?p?
?
i
?
12
?

离散型随机变量的分布律，分布列（以及下一节介绍的分布函数）统称为离散型随机变量 的
概率分布，简称为离散型随机变量的分布。

根据概率的性质，可知离散型随机变量的分布律具有下列性质
（1）p
i
（2）

?
?
p
i
0,i=1,2,...
i
?1

常见的几种分布
1、 单点分布
例: 若随机变量X只取一个常数值C，即P(X=C)=1，则称X服从单点分布。（也叫退化分
布。）

2、0-1分布
例: 若随机变量X只能取两个数值0或1，其分布为
X
P
0 0
q
k1-k
1
p
X?k
)=pq ,k=0,1
则称X 服从参数为p 的两点分布或参数为p的0-1分布。

3、 几何分布
例: 一射手每次打靶射击一发子弹，打中的概率为p(0作独立重复射击，直到中靶为止，则消耗的子弹数X 是一个离散型随机变量，其分布为
- 2 -

X
P
1
p
2

qp

3

q
2
p

…
…
k
k-1
qp

…
…

或记为
k?1
qp
, k=1,2, ...
X?k
P
()=
则称X服从参数为p的几何分布。

4、超几何分布
例: 设一批同类型的产品共有N件，其中次品有M件。今从中任 取n(假定n
?
N-M)件，则这
n件中所含的次品数X是一个离散型随机变量，其分 布为
mn?m
C
M
C
N?M
P(X?m)?
n

C
N
则称X服从超几何分布。

(二） 二项分布
,m=0,1…,k,k=min(M,n)
在n重伯努利试验中，事件A发生的次数X是一个离散型随机变量，其分布为
P( X= k )=
Cpq
k
n
kn?k
,k=0,1,2,?,n,称X服从参数为n ，p的二项分布。记为
X~B(n,p)
。

例2:P39.


例3:P40.

在电脑上，应用相应的数学或统计分析软 件，这些概率是很容易计算出来的，所以，还有必
要用逼近的方法吗？
- 3 -

泊松分布

1． 定义 若离散型随机变量 X的分布为
P(X?k)?
?
k
k!
e
?
?
，
k=0,1,2,? 其中常数?>0，则称X服从参数为?的泊松分布,记为

2． 泊松Poisson定理P41, 设有一列二项分布X
n
～B(
X ~
?
(
?
)
。
n,p
n
), n=1, 2, ...,如果
lim
np
n???
n
?
?
,
?
为与n无关的正常数，则对任意固定的非负整数k，
均有
lim
P
?
X
n??
证略。


例5:P43.
例6:P44,自学。


n
?k< br>?
?
lim
Cp(1?p
n
)
k
n
k
n
n??
n?k
?
k
?
?
?e

k!
§2.3 随机变量的分布函数

一、概念
定义2.1 设X是一随机变量（不论是离散型还是非离散型），对任意的实数
x
,令
F(x)?P(X?x)
(2.11)
则称F（

x
）为X的分布函数。
- 4 -

例1:（书上例2.8） 设X服从参数为p的（0-1）分布，即：
P(X?k)?p< br>k
q1?k
,
k
= 0,1,其中0F(
x
).


例: 设R.V. X的分布函数为
?
?
0x??1
F (x)?
?
?
0.4?1?x?1
?
0.81?x?3

?
?
1x?3

求X的概率分布。


二、性质

性质1 若
x
1
<
x
2< br>,则F(
x
1
)
?
F(
x
2
).即 F(
x
)是
x
的单调不减函数。

性质2 对任意的实数
x
，均有
0
? F(
x
)?
1 (2.15)
且

lim
F(x)?0
x???
(2.16)

lim
F(x)?1
x???
(2.17)
- 5 -

性质3 对任意的实数
x
0
,有

lim
F(x)?F(x)
x?x
0
?
0
(2.18)
即F(
xx
)在轴上处处右连续。
证明见P-44.

性质4 若F(

性质5 P(a
例: 设R.V.X的分布为
x
)在X=
x
0
处连续，则P(X=
x
0
)=0
?
A?e
?3x
,x?0
F(x)?
?

0,x?0
?
确定A ,且求P(-1<


§2.4 连续型随机变量

一、

设随机变量X的分布函数为F(
定义2.2
x
?2)
x
),如果 存在一个非负可积函数f(
x
),使对任意的实数
x
，均有
F(
x
?
x
)=
??
f(t)dt
(2.20)
- 6 -

则称X是连续型随机变量，称f(
x< br>)是X的概率密度或密度函数，简称密度。

二、图形
例如：正态分布

(x?
?
)
2
2
?
2
密度函数
f(x)?
1
2
??
e
?
图形：

data normal;
do i=-3 to 3 by 0.01;
z0=exp(-i**22)sqrt(2*(3.1415926));
output;
end;
run;

proc gplot data=normal;
plot z0*i=1
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;

x
1
(t?
?
)
2
2
?
2
分布函数
F(x)?
?
?
?
?
2
??
edt
图形：

data normal;
do x=-3 to 5 by 0.01;
y=PROBNORM(x);
output;
- 7 -

end;
run;

proc gplot data=normal;
plot y*x=1
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;


三、性质

性质1 f(
x
)
?
0 (2.21)

性质2
?
?
??
f(x)dx?F(??)?1
(2.22)

性质3 P(a?
b)=F(b)-F(a)
=
?
b
a
f(x)dx

(2.23)

性质4 在f(
x
)的连续点
x
处，有

f(x)
=
F
?
(x)
(2.24)

性质5 在f(
x
)的连续点
x
处，当
?x
>0,且很小时，有
xx
+
?x
x??x
P(
?

?
x
f(t)dt?f(x)?x

- 8 -

几点说明：
1．
2．
3．
由5可以看出f(
x
)值的大（小）反映R.V.X在
x
邻域概率的大（小 ）。
连续型随机变量X取任一点
x
0
的概率为零。即：P(X=
x
0
)=0。
连续型随机变量X的密度函数为f(
上的概率都相等，即
x
),则它取值于区间（a,b）、（a,b]、[a,b）、[a,b]

P(a?X?b)?P(a?x?b)?P(a?X?b)?P(a?X?b)

F(b)?F(a)?
?
f(x)dx

b
a

?
同理，
P(X?a)?P(X?a)?1?P(X?a)?1?F(a)?1??
f(x)dx
??
。
4．连续型R.V.X的F(

例1：（P51）设计R.V.X具有概率密度

a
x
)是连续函数。但f(
x
)不一定是连续的。
?3x
,x?0Ke
f(x)?

0,x?0
?
?
?
?
?
确定常数K,并求P{X>0.1}

指数分布：

f(x)?
?
0,

?
?
?
?
?
?
?
1
?x
?
e,x?0
x?0

- 9 -

例：(第一版)设R.V.
?
0x??1
?
1
X~f(x)?
?
?1?x?0

?
3
?x
x?0
?
Ae
1??
X?
?
。 (1)确定常数A；(2)写出X的分布函数F(
x
); (3)P
?
2
??

例：(第一版) 已知随机变量
1< br>x
?
?
A?
2
e,x?0
X~F(x)?
?
1
x

?
B?e,x?0

2
?
（1）

二、均匀分布

确定A和B；（2）求
f(x)
；(3)求
P(?1?X?2)
< br>?
k,a?x?b
X~f(x)?
?
例：设R.V.，称X在[
a
其它
?
0,
,b]上服从均匀
分布。（1）确定k。（2）求P (??
?+s)(a 定义：若随机变量X的概率密度为
x
)。
?
1
?
a?x?b
f(x)?
?
b?a

?
其他
?
0
- 10 -

则称X在[< br>a,b
]上服从均匀分布，记为X～U[a,b]
*
,相应的分布函数为 ?
0x?a
?
x?a
F(x)?
?
a?x?b

?
b?a
b?x
?
1

一般地，设
D
是轴上一些不相交的区间之和，若
X
的概率密度为
1
?
?
?D
f(x)?
?
D的长度

?
0x?D
?

则称
X
在
D
上服从均匀分布。
如果
X~U[a, b]
，则对于满足
a?c?d
d
?b
的任意的
c,d
,有
P(c?X?d)?
?

三、指数分布
c
1
1
(d?c)
(2.32)
dx
=
b?a
b?a
若随机变量
X
的概率密度为

?
?
e
?
?
x
f(x )?
?
?
0
x?0
x?0
（2.33）
其中常数
?
?0
，则称
X
服从参数为
?
的指数分布 ，相应的分布函数为
x?0
x?0
(2.34)
?
1?e
?
?
x
F(x)?
?

?
0


例：（第一版书上例2.12） 经过长期的观测，对某些电子元件的寿命可作如下假定：在已
- 11 -

使用了
th
的条件下，在以后的
?th
内损坏的概率为
?
? t?0(?t)
，其中
?
是不依赖于
t
的常数；电子元件寿命为零的 概率是零，求电子元件在内损坏的概率。略

四、正态分布

1、定义： 若随机变量
X
的概率密度为
?
1
f(x)?e
2
??

其中
(x?
?
)
2
2
?
2
,
???x???
(2.35)
的正态分布，记为
?
,
?
都为常数且
?
?0
，则称
X
服从参数为
?
,
?
(t?
?
)
2
2
?
2
X~ N(
?
,
?
2
)
，有时也简称
X
为正态随 机变量。
X
的分布函数为
x

F(x)?验
??
?
?
1
e
2
??
dt
（2.36）
2、 证
??
?
(x?
?
)
22
?
2
1
F(?
?
)?
?
e
2
??
??
dx令
x?
?
?
1
?t??
edt
2
?
??
?
t
2
2
??

11

??2
?
?1

?
edt?
2
?
2
?
3、 作出
f(x)
的图形
??
?
t
2
2
??

1
0
?1
f'(x)?(x?
?
)e
2
??
3< br>?
(x?
?
)
2
2
?
2
?0
，得驻点
x?
?
，
- 12 -

1
?
(x?
?
)
?
?1e
2

f''(x) ?
??
2
0
?
(x?
?
)
2
2< br>?
2
?0
得
2
??
3
?
?
2
?
x?
?
?0
，
3
0

lim
x???
f(x)?0




作图SAS程序：

data normal;
do i=-3 to 3 by 0.01;
z0=exp(-i**22)sqrt(2*(3.1415926));
output;
end;
run;

proc gplot data=normal;
plot z0*i=1
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;



注意：一定要和由正态随机数区别开来。如下面产生的是正态随机数。


data normal;
- 13 -

retain _seed_ 0;
do _i_ = 1 to 1000;
z = 0 + 1 * rannor(_seed_);
output;
end;
drop _seed_

run;

proc gplot data=normal;
plot z*_i_=1
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;



4、 性质：
（1） f(x)的图形是关于直线x=?对称的曲线
（2）
f(
?
)?
1
2
??
为最大值，当x远离?时，f(x)?0
（3） 当?固定而?变化时对图形的影响，?
?
小

f(x)?
大，分布曲线在
x?
?
形成陡峭的高峰。
?< br>?
大
f(x)?
小，分布曲线在
x?
?
变成缓峰。

?=2, ?=0.5, 1, 2

data normal;
do i=-2 to 6 by 0.01;
- 14 -

z0=exp(-(i-2)**22)sqrt(2*(3.1415926));
z1=exp(-(i-2)**2(2*0.25))(0.5*sqrt(2*(3.141592 6)));
z2=exp(-(i-2)**2(2*4))(2*sqrt(2*(3.1415926)));
output;
end;
proc gplot data=normal;
plot z0*i=1 z1*i=1 z2*i=1 overlay
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;

?=2, ?=0.5, 1, 2, 5, 10图形：


data normal;
do i=-5 to 9 by 0.01;
z0=exp(-(i-2)**22)sqrt(2*(3.1415926));
z1= exp(-(i-2)**2(2*0.25))(0.5*sqrt(2*(3.1415926)));
z2=exp(-(i-2)**2(2*4))(2*sqrt(2*(3.1415926)));
z3=exp(-(i-2)**2(2*25))(5*sqrt(2*(3.1415926))) ;
z4=exp(-(i-2)**2(2*100))(10*sqrt(2*(3.141592 6)));
output;
end;
run;

proc gplot data=normal;
plot z0*i=1 z1*i=1 z2*i=1 z3*i=1 z4*i=1 overlay
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;

（4）

当?固定而当?变化时对图形的影响是分布曲线形状不变，仅曲线左、右平移。
- 15 -

如图：?=1, ?=0, 2

data normal;
do i=-3 to 5 by 0.01;
z0=exp(-i**22)sqrt(2*(3.1415926));
z1=exp(-(i-2)**22)sqrt(2*(3.1415926));


output;
end;
run;

proc gplot data=normal;
plot z0*i=1 z1*i=1overlay
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;


分布函数图：
x
(t?
?
)
2F(x)?
2
?
2
dt
?
?
1
?2
??
e
?
?
?0,
?
?1


data normal;
do x=-5 to 10 by 0.01;
y=PROBNORM(x);
output;
- 16 -