三角恒等变换倍角公式

中小学一对一辅导专家

授课主题 三角恒等变换之倍、半角公式
1．能从 两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解
教学目的
它们之间的内在联系.
2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和 差、和差化积、半角公
式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用．
教学重点

通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用.

教学内容


两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
cos
?
?< br>?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；⑵
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；
⑶
sin
?
?
?
?
?
? sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
； ⑷
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；
⑸
ta n
?
?
?
?
?
?
tan
?
?ta n
?

?

1?tan
?
tan
?< br>tan
?
?tan
?

?

1?tan
?
tan
?
⑹
tan
?
?
?
?< br>?
?

要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2
?
?2sin
??cos
?
(S
2
?
)

cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
(C
2
?
)
?2cos
2
?
?1
?1?2sin
2?
tan2
?
?
2tan
?
(T
2
?
)

1?tan
2
?

要点诠释：

中小学一对一辅导专家

(1)公式成立的条件是：在公式
S
2?
,C
2
?
中，角
?
可以为任意角，但公式
T
2
?
中，只有当
?
?
?
2
?k
?
及
?
?
?
4
?
k
?
(k?Z)< br>时才成立；
2
(2)倍角公式不仅限于
2
?
是
?< br>的二倍形式，其它如
4
?
是
2
?
的二倍、
?
?
是的二倍、
3
?
是
24
3
?
的 二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公
2
式， 这是灵活运用公式的关键. 如：
sin
?
?2sin
2．和角公式、倍角公式之间的内在联系
?
2
cos
?
2
；
sin
?
2
n
?2sin
?
2
cos
n?1
?
2
n? 1
(n?Z)

在两角和的三角函数公式
S
?
?
?
,C
?
?
?
,T
?
?
?
中，当< br>?
?
?
时，就可得到二倍角的三角函数公式，
它们的内在联系如下：

要点二：二倍角公式的逆用及变形


要点三：半角公式的逆用及变形

中小学一对一辅导专家

α
sin
2
＝±
α
tan
2
＝±
1－cos α
α
；cos
22
＝±
1＋cos α
；
2
1－cos α1－cos α
sin α
＝＝
sin α
.
1＋cos α1＋cos α
α
根号前的正负号，由角
2
所在象限确定．
要点四：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型
求值题、化简题、证明题 1．对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑
项、 添项、换元等；
2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如 ?
?(
?
?
?
)?
?
,2
?
?(
?
?
?
)?(
?
?
?
)
等等 ，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住
角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)；
3．将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接.



类型一：二倍角公式的简单应用
例1．化简下列各式：
（1）
4sin
?
2
cos
?
2
；（2）
sin
2
?
8
?cos
2
?
8
；（3）
tan3 7.5?
．
1?tan
2
37.5?
【答案】（1）
2s in
?
（2）
?
【解析】 （1）
4sin
（2）
sin
2
22?3
（3）
22
2
?2?2sin
?
2
cos
??
2
cos
?
2
?2sin
?
．
?
8
?co s
2
???
?
?
2
?
．
??
?
cos
2
?sin
2
?
??cos??
888?
42
?
（3）
tan37.5?12sin37.5?12?3
．
???tan75??
22
1?tan37.5?21?tan37.5?22
举一反三：

中小学一对一辅导专家


类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值
例2． 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．
sin20?sin50?sin70?

2cos10?
sin80?1< br>sin20?cos20?sin50?sin40?sin50?sin40?cos40?
? ?
．
???
8cos10?8
2cos10?4cos10?4cos10 ?
1
∴
sin10?sin30?sin50?sin70??

1 6
12sin20?cos20?cos40?cos80?
方法二：原式
?cos2 0?cos40?cos80??

24sin20?
sin40?cos40?co s80?sin80?cos80?1sin160?1
?????
．
4sin20?2sin20?16sin20?16
【解析】方法一：
sin10 ?sin50?sin70??
【总结升华】本题是二倍角公式应用的经典试题．方法一和方法二通过观 察角度间的关系，
发现其特征（二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式，使得问题出现连用二倍角的正弦 公式的形
式．在此过程中还应该看到化简以后的分子分母中的角是互余（补）的关系，从而使最终的结< br>果为实数．利用上述思想，我们还可以把问题推广到一般的情形：一般地，若
sin
?< br>?0
，则
cos
?
cos2
?
cos4
?< br>sin2
n?1
?
cos2
?
?
n?1
．
2sin
?
n
举一反三：
【变式1】求值：sin10°cos40°sin70°．
【解析】原式
?cos 20?cos40?cos80??
2sin20?cos20?cos40?cos80?

2sin20?
2sin40?cos40?cos80?2sin80?cos80?
??

4sin20?8sin20?

中小学一对一辅导专家

?
sin160?sin20?1
??
．
8sin20?8sin20?8
类型三：利用二倍角公式化简三角函数式
例3．化简下列各式：
(1)
sin
?
?sin2
?1?cos
?
?cos2
?
(2)1?sin4

【思 路点拨】（1）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，再进行化简．（2）观
察式子分析， 利用二倍角公式把倍角展开成单角，利用平方差公式进行化简．
【答案】（1）
tan
?
（2）
sin2?cos2
【解析】(1)
sin
?
?sin2
?
sin
?
?2sin
?
?cos
?
sin
?
(1?2cos
?
)
???tan
?
.

2
1?cos
?
?cos2
?
cos
?
(1?2cos
?
)cos
?
?2cos
?
(2)
1?sin4

?sin
2
2?2sin2?cos2?cos
2
2?(sin2?cos2 )
2
?|sin2?cos2|?sin2?cos2.

【总结升华】①余 弦的二倍角公式的变形形式：
1?cos2
?
?2cos
2
?
,1?cos2
?
?2sin
2
?
．经
常起到消除式子中 1的作用．②由于
sin2
?
?2sin
?
?cos
?，从而1?sin2
?
?(sin
?
?cos
?
)2
，可进
行无理式的化简和运算．
2cos
2
?
?1
例4．化简：．
??
????
2tan
?
?
?
?
?sin
2
?
?
?
?
?
4
??
4
?
【解析】 原式
?
cos2
?

?
?
?
2sin?
?
?
?
?
4
?
?cos
2
?
?
?
?
?
??
4
?
?
?
??
cos
?
?
?
?
?
4
?

?
cos2
?
cos2
?
?

?????????
2sin
?
?
?
?
cos
??
?
?
sin
?
?2
?
?
?
4
??
4
??
2
?
cos2
?
?1
．
cos2
?

?
【总结升华】 三角函数的 化简要从减少角的种类、函数的种类入手．通过切化弦、弦化切、
异化同、高次降幂等手段，使函数式的 结构化为最简形式．
举一反三：

中小学一对一辅导专家

【变式1】（1）
1?sin6
的化简结果是 ．
?
sin2
?
3
（2）已知
sin
?
?< br>，且α∈( ，π)，则 的值为 ．
2
2cos
?
5
3
【答案】（1）
sin3?cos3
（2）
?

2
（1）原式=
1?sin3cos3

=
(sin3?cos3)
2

=
|sin3?cos3|

=
sin3?cos3

?
34
2sin
?
cos
?
353
?2? ?(?)??
（2）因为
sin
?
?
，且α∈( ，π)，所以
cos
?
??
，原式=．
2
2
55
cos
?
542
类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用
例5．求值：
（1）已知
sin(
?
3
?
?)?
，求
cos(
?
?)
．
12256
?
4
?
（2）已知
sin(
?
?)?m
，求
sin2< br>?
．
【解析】
97
?
?
??
?
?
?
??
??
?
（1）
cos(
?
?)? cos
?
?
?
?
?cos2
?
?
?
=
1?2sin
2
?
?
?
=
1?2?
=
2525
6
?
122
?
?
6
??122
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
（2）
sin2
?
??cos(?2
?
)
=
?
?
1?2sin
2
?
?
?
?
?
=
?1?2sin
2
?
?
?
?
=
2m
2
?1

2
?
4
?
?4
?
??
【总结升华】给值求值是求值问题中常见的题型，求解的要点是利用公式 沟通已知条件和所求
式子之间的联系，考查公式运用和变换的技巧．
举一反三：
s in2
?
?cos
2
?
?
?
?
1
【变式1】已知
tan
?
?
?
?
?
，（1）求ta n
?
的值；（2）求的值．
1?cos2
?
?
4
?
2
?tan
?
1
1?tan
?
1
??
?
4
【解析】 （1）
tan
?
?
??
???
，解得
tan
?
??
．
3
?
4
?
1?tan
?
tan
?
1?tan
?
2
4
tan
?

中小学一对一辅导专家

sin2
?
?cos
2
?
2sin
?
cos
?
?cos
2
?
2si n
?
?cos
?
??
（2）
2
1?cos2?
1?2cos
?
?12cos
?

?tan
?
?
1115
?????
．
2326
类型五：二倍角公式的综合应用
例6．已知
f(x)?sin< br>2
x?2sinxcosx?3cos
2
x
，求：
（1）f (x)的最大值以及取得最大值的自变量的集合；
（2）f (x)的单调区间．
?
3
??
?
??
?
【答案】（1）
2?2

?
x|x?k
?
?,k?z
?
（2）单增区间
?
k
?
?,k
?
?
?
,k?z
单减区间
8
88
?
??
?
?
5
?
??
k
?
?,k
?
?,k?z

??
88
??
（1）原式=
1?sin2x?cos2x?1

=
sin2x?cos2x?2

?
=
2sin(2x?)?2

4
则当
2x?
?
4< br>?2k
?
?
?
?
??
,
即
?
x|x?k
?
?,k?z
?
时，
2
8
??

f
max
(x)?2?2

（2）f (x)的单调递增区间为：
2k
?
?
3
??
??

x?
?
k
?
?,k
?
?
?
,k? z

88
??
?
2
?2x?
?
4
?2k
?
?
?
2
，则
f (x)的单调递减区间为：2k
?
?
?
2
?2x?
?
4
?2k< br>?
?
3
?
，则
2
?
5
?
??

x?
?
k
?
?,k
?
?
?
,k?z

88??
【总结升华】本题主要考查特殊角的三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦公式及
y?Asin(
?
x?
?
)
的性质等知识．要记住倍 角公式两类重要变形并能熟练应用：（1）缩角升幂
?
??
?
公式
1 ?sin
?
?
?
sin?cos
?
22
??
2
?
??
?
，
1?sin
?
?
?
sin?cos
?
22
??
2
．
1?cos
?< br>?2cos
2
?
2
，

中小学一对一辅导专家

1?cos
?
?2sin
2
?
2
．（2）扩角降幂公式
cos
2
?
?
1?c os2
?
1?cos2
?
，
sin
2
?
?
．
22
例7． 已知向量
a?(1?sin2x,sinx?cosx)< br>，
b?(1,sinx?cosx)
，求函数
f(x)?a?b
．
（1）求
f(x)
的最大值及相应的x值；
（2）若
f(
?
)?
8
?
?
?
，求
cos2
?
?2
?
?
的值．
5
?
4
?
3
?
16
(k?Z)
（2）
825
【答案】（1）
2?1

x?k
?
?
【解析】 （1）因为
a?(1?sin2x,sinx ?cosx)
，
b?(1,sinx?cosx)
，
?
??
所以
f(x)?1?sin2x?sin
2
x?cos
2
x?1? sin2x?cos2x?2sin
?
2x?
?
?1
．
4
??
3
?
(k?Z)
时，
f(x)
取得最大值2?1
．
428
839
（2）由
f(
?
)? 1?sin2
?
?cos2
?
及
f(
?
)?
得
sin2
?
?cos2
?
?
，两边平方得
1? sin4
?
?
，
5525
因此，当
2x?
?
?2k
?
?
?
，即
x?k
?
?
即
sin4
?
?
16
16
?
?
??
??
．因此，
cos2
?
?2
?
?
?cos?
?4
?
?
?sin4
?
?
．
25
25
?
4
??
2
?
举一反三： xxx
【变式1】已知函数
f(x)?sincos?cos
2
?1.
222
（Ⅰ）求函数
f(x)
的最小正周期及单调递减区间；
???
（Ⅱ）求函数
f(x)
在
[,]
上的最小值.
??
2?1
?
5
?
??
【答案】（Ⅰ）
2
?
，
?
2k
?
?,2k
?
?
?
，
k?z
（Ⅱ）
?

2
44
??
xx1?cosx
?1
【解析】（Ⅰ）
f(x)?sincos?
222
111
?sinx?cosx?
222


?
2?1
sin(x?)?.
242

所以函数
f(x)
的最小正周期为
2?
.
由
2k??
??3??5?
?x??2k??
，
k?Z
，则
2k???x?2k??
.
24244

中小学一对一辅导专家

?5?
函数
f(x)
单调递减区间 是
[2k??,2k??]
，
k?Z
.
44
?
3
?
??
7
?
(Ⅱ)由
?x?
，得
?x??
.
42244
则当
x?
5?
?3?
2?1
?
，即
x?
时，
f(x)
取得最小值
?
.
4
42
2【变式2】已知向量m=（sinA，cosA），
n?(3,?1)
，m·n=1，且A 为锐角．
（1）求角A的大小；
（2）求函数
f(x)?cos2x?4cosAsinx
（x∈R）的值域． 【答案】（1）
?
?
3
?
（2）
?
?3,?

3
?
2
?
【解析】（1）由题意，得
m? n?3sinA?cosA?1
，
?
?
?
?
1
? ?
2sin
?
A?
?
?1
，
sin
?A?
?
?
．
6
?
6
?
2
? ?
由A为锐角得
A?
?
66
1
（2）由（1）知
c osA?
，
2
?
?
，
A?
?
3
．
1
?
3
?
所以
f(x)?cos2x?2sinx?1?2sin
2
x?2sinx??2?
?
sinx?
?
?
．因为x∈R， 所以sinx∈
2
?
2
?
[－1,1]．
因此，当
sinx?
3
1
时，
f(x)
有最大值，当sin x=－1时，
f(x)
有最小值－3，所以所求函
2
2
2
?
3< br>?
数
f(x)
的值域是
?
?3,
?
．
?
2
?

中小学一对一辅导专家




一、选择题
ππ
37
1． 若θ∈[
4
，
2
]，sin 2θ＝
8
，则sin θ等于
3473
A.
5
B.
5
C.
4
D.
4

3
解析 由sin 2θ＝
8
7和sin
2
θ＋cos
2
θ＝1得
3＋7
37
(sin θ＋cos θ)
2
＝
8
＋1＝(
4
)
2
，
3＋7
ππ
又θ∈[
4
，
2
]，∴sin θ＋cos θ＝
4
.
3－7
3
同理，sin θ－cos θ＝
4
，∴sin θ＝
4
.
π
?
1
π
?
2
??
β－α＋
2． 已知tan(α＋β)＝
5
，tan
?
4
?
＝
4< br>，那么tan
?
等于
4
?
????
131331
A.
18
B.
22
C.
22
D.
6

ππ
解析 因为α＋
4
＋β－
4
＝α＋β，
π< br>?
π
?
所以α＋
4
＝(α＋β)－
?
β－< br>4
?
，
??
π
????
π
??
所 以tan
?
α＋
4
?
＝tan
?
?α＋β?－?
β－
4
??

??????
π
??
β－
tan?α＋β?－tan
?
4
?
??
3
＝＝ .
?
π
?
22
1＋tan?α＋β?tan
?
β －
4
?
??
3． (2013·重庆)4cos 50°－tan 40°等于
A.2 B.
2＋3
2
C.3 D．22－1
( )
( )
( )
4sin 40°cos 40°－sin 40°
解析 4cos 50°－tan 40°＝
cos 40°

中小学一对一辅导专家

＝
＝
2sin 80°－sin 40°2sin?50°＋30°?－sin 40°
＝
cos 40°cos 40°
3sin 50°＋cos 50°－sin 40°
3sin 50°
＝
cos 40°
＝3.
cos 40°
( )
110
πππ
4． 若tan α＋
tan α
＝
3
，α∈(
4
，
2
)，则sin(2α＋
4
)的值为
223272
A．－
10
B.
10
C.
10
D.
10

110sin αcos α10
解析 由tan α＋
tan α
＝
3
得
cos α
＋
sin α
＝
3
，
1103
∴
sin αcos α
＝
3
，∴sin 2α＝
5
.
πππ
4
∵α∈(
4
，
2< br>)，∴2α∈(
2
，π)，∴cos 2α＝－
5
.
πππ
∴sin(2α＋
4
)＝sin 2αcos
4
＋cos 2αsin
4

2342
＝
2×(
5
－
5
)＝－
10
.
5． 在△ABC中，tan A＋tan B＋3＝3tan A·tan B，则C等于
π2πππ
A.
3
B.
3
C.
6
D.
4

解析 由已知可得tan A＋tan B＝3(tan A·tan B－1)，
tan A＋tan B
∴tan(A＋B)＝＝－3，
1－tan Atan B
2
π
又03
π，∴C＝3
.
二、填空题
π
3
6． 若sin(
2
＋θ)＝
5
，则cos 2θ＝________.
π
3
解析 ∵sin(
2
＋θ)＝cos θ＝
5
，
37
∴cos 2θ＝2cos
2
θ－1＝2× (
5
)
2
－1＝－
25
.
7． 若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为________．
tan α＋tan β
解析 由tan(α＋β)＝＝tan 45°＝1可得
1－tan αtan β
( )

中小学一对一辅导专家

tan α＋tan β＋tan αtan β＝1，
所以(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2.
3tan 12°－3
8. ＝________.
?4cos
2
12°－2?sin 12°
3sin 12°
cos 12°
－3
解析 原式＝
2?2cos
2
12°－1?sin 12°
?
1
?
3
?
23
?
sin 12°－cos 12°
2
?
2
?
cos 12°
＝
2cos 24°sin 12°
23sin?－48°?－23sin 48°
＝
2cos 24°
＝
sin 12°cos 12°sin 24°cos 24°
＝
－23sin 48°
＝－43.
1
2
sin 48°
三、解答题
15
ππ
9． 已知tan α＝－
3
，cos β＝
5
，α∈(
2
，π) ，β∈(0，
2
)，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．
5
π
解 由cos β＝
5
，β∈(0，
2
)，
25
得sin β＝
5
，tan β＝2.
1
－
3
＋2
tan α＋tan β
∴tan(α＋β)＝＝
2
＝1.
1－tan αtan β
1 ＋
3
πππ
3π
∵α∈(
2
，π)，β∈(0，
2
)，∴
2
<α＋β<
2
，
5π
∴α＋β＝
4
.
αα
6
?
π
?
10．已知α∈
?
2
，π
?
，且sin
2
＋cos
2
＝
2
.
??
(1)求cos α的值；
3
?
π
?
(2) 若sin(α－β)＝－
5
，β∈
?
2
，π
?
，求 cos β的值．
??

中小学一对一辅导专家

αα
6
解 (1)因为sin
2
＋cos
2
＝
2
，
1
两边同时平方，得sin α＝
2
.
π
3
又
2
<α<π，所以cos α＝－
2
.
ππ
(2)因为
2
<α<π，
2
<β<π，
ππ π
所以－π<－β<－
2
，故－
2
<α－β<
2
.
34
又sin(α－β)＝－
5
，得cos(α－β)＝
5
.
cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
43＋3
341
?
3
?
＝－
2
×
5
＋
2
×
?
－
5
?
＝－
10
.
??