一元二次不等式及其解法(例题分类)

一对一个性化辅导教案
课题 一元二次不等式及其解法
教学
一元二次不等式及其解法

重点

教学
一元二次不等式及其解法

难点

教学
掌握二元一次不等式与线性规划的基本知识及方法技巧

目标


教
学
一、课前热身
1.检查作业
2.了解学生本周学习情况
3.告知本节课内容，准备上课
步
二、内容讲解
骤
三．课堂小结
及
四、作业布置
教

学
内
容









管理人员签字： 日期： 年 月 日
1

一元二次不等式及其解法


【要点梳理】
要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集
x
2
?5x?0
.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：
一元二次不等 式的一般形式：
ax
2
?bx?c?0
(a?0)
或
ax< br>2
?bx?c?0
(a?0)
.
设一元二次方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的两根为
x
1
、x
2
且
x
1
?x
2
，则不等式
ax
2
?bx ?c?0
的解集为
?
xx?x或x?x
?
，不等式
ax12
2
?bx?c?0
的解集为
?
xx
1
?x ?x
2
?

要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证
(a?0)
成立.
要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系
对于一元二次方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的两根为
x
1
、x
2
且
x
1
?x
2
，设
??b
2
?4ac< br>，它的解按照
??0
，
??0
，
??0
可分三种情况 ，相应地，二次函数
y?ax
2
?bx?c
(a?0)
的图像与x
轴的位置关
?c?0
(a?0)
或系也分为三种情况.因此我们分三种 情况来讨论一元二次不等式
ax
2
?bx
ax
2
?bx?c ?0
(a?0)
的解集.
??b
2
?4ac

??0

??0

??0

二次函数
y?ax
2
?bx?c
（
a?0
）的图象


有两相异实
根
有两相等实
根
x
1
?x
2
??
b
2a

ax
2
?bx?c?0
(a?0)的根

无实根
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)


ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集

< br>?
xx?x或x?x
?
12
?
b
?
xx??
??
2a
??

R


2

ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集


要点诠释：
?
xx
1
?x?x
2
?
?

?


（1）一元二次方程
ax
2
?bx?c?0 (a?0)
的两根
x
1
、x
2
是相应的不等式的解集的端点 的取值，是抛
物线
y?
ax
2
?bx?c
与
x轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利 用不等式的性质转
化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3）解集分
??0 ,??0,??0
三种情况，得到一元二次不等式
ax
2
?bx?c?0与
ax
2
?bx?c?0
的
解集.
要点三、解一元二次不等式的步骤
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
（2）写出相应的方 程
ax
2
?bx?c?0
(a?0)
，计算判别式
?
：
①
??0
时，求出两根
x
1
、x
2
，且
x
1
?x
2
（注意灵活运用因式分解和配方法）；
开始
②
??0
时，求根
x
1
?x
2??
③
??0
时，方程无解
（3）根据不等式，写出解集.
b
；
2a
将原不等式化成一般形式
2
ax+bx+c>0(a>0)
用程序框图表示求解一元二次不等式ax
2
+bx+c>0(a>0)的过程














要点诠释：

是
Δ=b-4ac
2
Δ≥0?
是
否
求方程ax+bx+c=0
的两个根x
1
、x
2

2
方程ax+bx+c=0
没有实数根
2
x
1
=x
2
?
否
原不等式解集为R
原不等式解集为
{x|x??
b
}

2a
原不等式 解集为
{x|x1
,或x>x
2
}(x
1
2
)
结束
3

1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；
2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；
3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；
4．根据 不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集
与其系数之间的关 系；
5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数.
【典型例题】
类型一：一元二次不等式的解法
例1. 解下列一元二次不等式
（1）
x
2
?5x?0
； （2）
x
2
?4x?4?0
； （3）
?x
2
?4x?5?0





举一反三：

【变式1】已知函数
f(x)?
?
?
?
x
2
?2x,x?0,
?
x
2
?2x,x?0
解不等式
f
(
x
)＞3.
?
?






类型二：含字母系数的一元二次不等式的解法
例2．解关于x的不等式：ax
2
-x+1>0








【总结升华】对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：
①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；
②求根：求相应方程的根.当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解；

4

③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论.
举一反三：
【变式1】解关于x的不等式：
x
2
?(a?
1
a
)x?1?0(a?0)







【变式2】求不等式12
x
2
－
ax
＞
a
2
(
a
∈R)的解集．





.
例3．解关于x的不等式：ax
2
－(a+1)x+1＜0.
















举一反三：
【变式1】解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)≥0；


5

【变式2】解关于x的不等式：ax
2
＋2x-1<0；











类型三：一元二次不等式的逆向运用
例4. 不等式
x
2
?mx? n?0
的解集为
x?(4,5)
，求关于
x
的不等式
nx< br>2
?mx?1?0
的解集.










举一反三：
【变式1】不等式ax< br>2
+bx+12>0的解集为{x|-3

【变式2】已知
ax
2
?2 x?c?0
的解为
?
11
3
?x?
2
,试求
a
、
c
,并解不等式
?cx
2
?2x?a?0
.
6

【变式3】已知关于
x
的不等式
x
2
?ax?b?0
的解集为
(1,2)
，求关于
x
的不等式
bx
2
?ax?1?0
的
解 集.



类型四：不等式的恒成立问题
例5．已知关于x的不 等式(m
2
+4m-5)x
2
-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立 ，求实数m的取值范围.





举一反三：
【变式1】 若关于
x
的不等式
mx
2
?(2m?1)x? m?1?0
的解集为空集，求
m
的取值范围.





【变式2】已知不等式
ax
2
＋4
x
＋
a
＞1－2
x
2
对一切实数
x
恒成立，
求实数
a
的取值范围．


7