正余弦定理讲义上课讲义

弦定理讲义




正余

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培优教育一对一辅导讲义
科目：＿数＿＿ 年级：＿＿高一＿＿ 姓名：＿＿＿＿ 教师：＿＿＿＿ 时间：＿＿＿＿
课题
授课时间：
正弦定理、余弦定理
备课时间：

1、 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题
2、 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何
计算有关的实际问题
3、 会运用三角公式进行简单三角函数式化简、求值和恒等式证明与解
决有关实际问题，会运用三角方法、袋 鼠方法和解析方法求三角函
数的最值，会由已知三件函数值求角

重点、难点
1、三角函数值域及最值的求法
2、三角函数与向量、函数、不等式的综合问题及生产生活中的实际问
题




高考对正余弦定理的考查主要涉及三角形的边角转化。三角形形状的判断、
三角形内角的三角函数求值及三角恒等式的证明、立体几何中的空间角及解
析几何中有关角等问题。今 后的命题中仍会以正余弦定理为框架，以三角形
为主要依托，来综合考查三角形知识，题型一般是选择题 和填空题，也有可
能是中档难度的解答题，关注利用正余弦定理解决实际问题
三角函数的 综合应用在高考中地位显著，可以综合考查对三角函数知识的
掌握情况。分析近几年高考，主要有以下几 种类型：
1、可转化为
y?Asin(
?
x?
?
)< br>的形式，然后研究性质
2、可转化为
y?asin
2
x?bsi nx?c
的形式，然后借助于二次函数求闭区间
上的最值
3、与向量、三角形知识结合的综合题
4、用三角函数知识解决生产生活中的实际问题









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教学目标
考点及考试要求

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教学内容

探究一：在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？
直角三角形中的正弦定理： sin
A
=
sin
B
= sin
C
=1 即
c
=
a
c
b
c
abc
.
??
sinAsinBsinC
探究二：能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）
当
?
ABC
是锐角三角形时，设 边
AB
上的高是
CD
，根据三角函数的定义，有
CD?asinB? bsinA
,则
abc
.
??
sinAsinBsinC
abac
. 同理，（思考如何作高？），从 而
??
sinAsinBsinAsinC
探究三：你能用其他方法证明吗？
1.证明一：（等积法）在任意斜△
ABC
当中
111
S
△
ABC
=
absinC?acsinB?bcsinA
.
222
1abc
两边同除以
abc
即得：==.
2si nAsinBsinC
C
a
b
A
O
B
D
c

2．证明二：（外接圆法）如图所示，∠
A
＝∠
D
，∴
同理
bc
=2
R
，
＝2
R
.
sinBsinC
aa
??CD?2R
，
sinAsinD

rr
uuuruuuruuur
uuur
3．证明三：（向量法）过
A
作单位向量
j
垂直于
AC
， 由
AC
+
CB
=
AB
边同乘以单位向量
j
得…..
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
c
ab
=2R
?
?
sin
A
sin
B
sin
C

[理解定理]
1公式的变形：

abc
(1)a?2RsinA ,b?2RsinB,c?2RsinC
(2)sinA?,sinB?,sinC?,

2R2R2R

abaccb

(3)a:b:c?sinA:si nB:sinC
(4)?,?,?
sinAsinBsinAsinCsinCsinB

2.正弦定理的基本作用为：
b
sin
A
①已知三角形的任意 两角及其一边可以求其他边，如
a
?
；
sin
B
a
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如
sin
A
?< br>sin
B
。
b
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.

3.利用正弦定理解三角形使,经常用到:
1
①
A?B?C?
?< br>②
sin(A?B)?sinC,cos(A?B)?sinC
③
S
? abc
?
ab
sin
C

2
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三、 教学例题：
例1 已知在
?
ABC中，c
?10,A
?
45
0
,C
?
30
0
,求 a,b和B
.
分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两角一边
解：




例2
?< br>ABC
中，
c
?
6,A
?
45
0
, a
?
2,
求
b
和
B,C

解：




例3在
?
ABC
中，
b
?
3,B
?
60
0
,c
?
1,
求
a
和
A,C








课后作业
abc
???
k
,则
k
为( )
sinAsinBsinC
1
A2
R
B
R
C4
R
D
R
(
R
为△
ABC
外接圆半径)
2
43
2 在
?ABC
中，已知角
B?45
?，c?22,b?
，则角A的值是( )
3
A.
15
?
B.
75
?
C.
105
?
D.
75
?
或
15
?

3、在△
ABC
中,
若A?30?,B?60?,则a:b:c?


4、在
?ABC
中，若
B?60
?
，b?7 6,a?14
，则A= 。
1
在△
ABC
中，
5、在
?ABC
中，已知
a?3,b?2,B?45
?
，解三角形。


探究一．在
?
ABC中，已知
a
,
b
,
A
，讨论三角形解的情况
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b
sin
A
可进一步求出B；
a
asinC
则
C
?180
0
?(
A
?< br>B
)
，从而
c?

sinA
1．当A为钝角或 直角时，必须
a
?
b
才能有且只有一解；否则无解。
2．当A为锐角时，如果
a
≥
b
，那么只有一解；
3.如果
a
?
b
，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若
a
?
b
sin
A
，则有两解；
（2）若
a
?
b
sin
A
，则只有一解；
（3）若
a
?
b
sin
A
，则无解。
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且
b
sin
A
?
a
?
b
时，有两解；其它情况时则只有一解或无 解。
探究二 你能画出图来表示上面各种情形下的三角形的解吗？











分析：先由
sin
B
?
三例题讲解
例1.根据下列条件，判断解三角形的情况
(1) a＝20，b＝28，A＝120°.无解
(2)a＝28，b＝20，A＝45°；一解
(3)c＝54，b＝39，C＝115°；一解
(4) b＝11，a＝20，B＝30°；两解

[随堂练习1]
（1）在
?
ABC中，已知
a
?80
，
b
?100
，
?
A
?45
0
，试判断此三角形的解的情况。
1
2
（3）在
?
ABC中，
a
?
xcm
，
b
?2
cm
，
?
B
?45
0
，如果利用正弦定理解三 角形有两解，求x的取值
（2）在
?
ABC中，若
a
?1
，
c
?
，
?
C
?40
0
，则符合题意的b的 值有_____个。
范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3）
2?
x
?22
）

abc
例2.在
?ABC
中,已知
??
,
判断
?ABC
的形状．
cosAcosBcosC


[随堂练习2]
1.△
ABC
中，
sin
2
A?sin
2
B?sin
2
C

，则△
ABC
为（ A ）
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A.直角三角形 B.等腰直角三角形
C.等边三角形 D.等腰三角形
2. 已知
?
ABC满足条件
a
cos
A
?
b
cos
B
，判断
?
ABC的类型。
答案：

?
ABC是等腰或直角三角形
1.根据下列条件，判断解三角形的情况
(1)、a?14,b?16,A?45
?
(2)、a?12,c?15,A?120
?


(3)、a?8, b?16,A?30
?
(4)、b?18,c?20,B?60
?

2.在
?ABC
中，a=15,b=10,A
=
60°，则
cosB
=
226
6
B
22
C － D
33
3
3
3.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所 对的边，若a=1,b=
3
, A+C=2B,则sinC= .
A －

4根据条件解三角形：
（1）c?10,A?45
?
,C?30
?
,求边a,b.
(2)A?30
?
,B?120
?
,b?12,求边a,c.
(3)a?16,b?163,A?30
?
,求角B，C 和边c.

(4)b?13,a?26,B?30
?
,解这个三角形。
（5）b?40,c?20,C?45
?
,解这个三角形
(6)c?1，b?3，B ?60
?
，求a,A，C。


5.设锐角△ABC的内角A、B、 C的对边分别为a、b、c，a＝2bsinA．(1)求B的大小；(2)求cosA
＋sinC的取 值范围．









同步分层能力测试题（一）

一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．在△ABC中， 若a=
5
,b=
15
,A=30
,则边c= 。
0
2. 在△ABC中，已知A=45
，B=60，c =1，则a= .
3. 在△ABC中， 已知a=5,b=12,c=13.最大内角为 度。
4. 在△ABC中，已知b=4,c=8,B=30.则a= 。
5. a,b, c是△ABC的三边，且B=120
0
,则a
2
+ac+c
2
-b
2
的值为 .
6．在△ABC中，若a=50，b=256 , A=45°则B= .
0
00
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7.在△ABC中，有等式：①asinA=bsinB；②asi nB=bsinA；③acosB=bcosA；④
_______________.
ab?c
. 其中恒成立的等式序号为
?
sinAsinB?sinC
urr
urr
p
8．在
?ABC
中，
a,b,c
分别为三个内角A
、
B
、
C所对的边,设向量
p?
?
a?c,b
?
,q?
?
b?a,c?a
?
，若向量
q
，则
角C 的大小为 。
二．解答题(本大题共4小题，共54分)
9.在△ABC中，a=3，c=3



3
，A=30
0
，则角C及b.
10.在
?ABC
中， ⑴ 已知： acosB=bcosA ,试判断
?ABC
形状;
⑵求证：



（1）在锐角三角形中，边a、b是方程x－23 x+2=0的两根，角A、B满足2sin(A+B)－3 =0，求角C的度数，边c的长度.



12. 在△ABC中，已知角A、B、C对应的边分别为a、b、c，．且 C=2A．cos A=
(1)求cosC和cosB的值；
(2)当
BA?BC< br>??
2
cos2Acos2B11
??
2
?
2
a
2
b
2
ab
。
3

4
?
27
时，求a、b、c的值．
2






余弦定理
①a
2
＝b
2
＋c
2
－2bc·cosA，②b
2
＝c
2
＋a
2
－2ca·cosB，③c
2
＝a
2
＋b
2－2ab·cosC.
(4)余弦定理的变式
b
2
＋c
2< br>－a
2
c
2
＋a
2
－b
2
a
2
＋b
2
－c
2
cosA＝； cosB＝； cosC＝.
2bc2ca2ab

正余弦定理考点
考点一
：
利用正、余弦定理解三角形
在△ABC中，
(1)若b＝2，c＝1，B＝45°，求a及C的值；
(2)若A＝60°，a＝7，b＝5，求边c.
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知识概括、方法总结与易错点分析
1．已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无解三种情况，应根据已知条件判断解
的情况 ，主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断．
2．应熟练掌握余弦定理及其推论．解三角形时，有 时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用
哪一个定理更方便、简捷．
3．三角形中常见的结论
(1)A＋B＋C＝π.
(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
针对性练习
在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC.









考点二： 利用正、余弦定理判断三角形形状
典型例题
△ABC中，已知acosA＝bcosB，则△ABC为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
知识概括、方法总结与易错点分析
依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两种方法：
1．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从
而判断三角形的形状；
2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间关系，通过三角函 数恒等变形，得出内
角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
针对性练习：
sinA＋sinB
已知△ABC中，sinC＝，试判断△ABC的形状．
cosA＋cosB



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考点三：
三角形面积公式的应用
典型例题
已知△ABC中，cosA＝
6
，a，b，c分别是角A、B、C的对边．
3
π
22
求tan2A； (2)若sin(＋B)＝，c＝22，求△ABC的面积．
23

知识概括、方法总结与易错点分析
1．三角形面积公式的选取取决于三角形中的哪个角可求，或三角形的哪个角的正弦值可求．
111
2．在解决三角形问题中，面积公式
S
＝
ab
sin
C
＝
bc
sin
A
＝
ac
sin
B
最常用，因为公式中既有边也有角，容易
222
和正弦定理、余弦定理联系起来．
针对性练习：
在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足(2a－c)cosB＝bcosC.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝7，a＋c＝4，求△ABC的面积．



考点四：正、余弦定理的综合应用
典型例题：
310
在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的分别为a、b、c，且cos2A＝，sinB＝.
510
(1)求A＋B的值；
(2)若a－b＝2－1，求a、b、c的值．


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知识概括、方法总结与易错点分析
(1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理运用，有时还需要交替使用．
(2)条件中出现平方关系多考虑余弦定理，出现一次式，一般要考虑正弦定理．
针对性练习：
A25
→→
1、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且满足cos＝，AB·AC＝3.
25
(1)求△ABC的面积； (2)若b＋c＝6，求a的值．

2、设△
ABC
是锐角三角形，
a
，
b
，
c
分别是内角
A
，
B
，
C
所对边长，并且
sin
A
＝sin(＋
B
)sin(－
B
)＋sin
B
.
33
1）求角
A
的值；
→→
2）(2)若
AB< br>·
AC
＝12，
a
＝27，求
b
，
c
(其中
b
<
c
)．
2
ππ
2

巩固作业
1．(2010·北京高考)在△ABC中，若b＝1，c＝3，C＝
2π
，则a＝________.
3
2．(2010·广东高考)已知a，b，c分别是 △ABC的三个内角A，B，C所对的边．若a＝1，b＝3，A＋C＝
2B，则sinC＝_____ ___.
batanCtanC
3．(2010·江苏高考)在锐角△ABC中，角A、B、 C的对边分别为a、b、c，若＋＝6cosC，则＋
abtanAtanB
的值是_____ ___．
3
4．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知：b＝2，c＝ 4，cosA＝.
4
(1)求边a的值；
(2)求cos(A－B)的值．





5．(2010·辽宁高考)在△ABC中，a ，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋
b)sin C.
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(1)求A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．





1
6．(2010·浙江高考)在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－.
4
(1)求sinC的值；
(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，求b及c的长．







7、某人在山顶观察A、B两个目标，测得A在南偏西60 °距山底1000米处，B在南偏东60°距山底800米处，求
A、B之间的距离．




8、(2010·宝鸡质检一)如右图，为了计算渭河岸边两景点B与 C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和
D两个测量点，现测得AD⊥CD，AD＝100 m，AB＝140 m，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求两景点B与C之
间的距离(假设A ，B，C，D在同一平面内，测量结果保留整数；参数数据：2＝1.414，3＝1.732，5＝
2 .236)．







9、 ( 2010·江苏高考)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)，如示意图，垂直放置的标杆BC的高 度h
＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.
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(1)该小组已测得一组α、β的值，tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差 较大，可
以提高测量精度．若电视塔实际高度为125 m，试问d为多少时，α－β最大？












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