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胡不归问题专题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 13:09
tags:高中数学一对一辅导

高中数学几何app-高中数学课本习题

2020年10月6日发(作者:潘正涛)


金牌教育一对一个性化辅导教案

学生 学校 文汇中学 年级
时段
九年级

学科 数学
次数
1
教师 王老师 日期
20180
课题

一.选择题(共2小题)
胡不归问题专题

1.如图,抛物线y =x
2
﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点,过B的直线交抛物线于E,
且tan∠EB A=,有一只蚂蚁从A出发,先以1单位s的速度爬到线段BE上的
点D处,再以单位s的速度沿着DE 爬到E点处觅食,则蚂蚁从A到E的最短时
间是 s.

2.如图,△AB C在直角坐标系中,AB=AC,A(0,2),C(1,0),D为射线
AO上一点,一动点P从A出 发,运动路径为A→D→C,点P在AD上的运动速
度是在CD上的3倍,要使整个运动时间最少,则点 D的坐标应为( )

A.(0,




) B.(0,) C.(0,) D.(0,)



二.填空题(共1小题)
3.如图,一条笔直的公路l穿过草原,公路边有一消防站A,距离 公路5
的地方有一居民点B,A、B的直线距离是10
千米
千米.一天,居民点B着火 ,消
防员受命欲前往救火.若消防车在公路上的最快速度是80千米小时,而在草地
上的最快速 度是40千米小时,则消防车在出发后最快经过 小时可到达
居民点B.(友情提醒:消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.)




三.解答题(共5小题)
4.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y =ax
2
+bx+c的图象经过点A(﹣1,0),
B(0,﹣),C(2,0),其 对称轴与x轴交于点D
(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标;
(2)若P为y轴上的一个动点,连接PD,则PB+PD的最小值为 ;
(3)M(x,t)为抛物线对称轴上一动点
①若平面内存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形,则这样的点
N共有 个;
②连接MA,MB,若∠AMB不小于60°,求t的取值范围.



5.如图,在△ACE中,CA=CE,∠CAE=30°,⊙O经过点C, 且圆的直径AB在线
段AE上.
(1)试说明CE是⊙O的切线;
(2)若△ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示⊙O的直径AB;
(3)设点 D是线段AC上任意一点(不含端点),连接OD,当CD+OD的最小
值为6时,求⊙O的直径AB的 长.



















6.如图,已知抛物线y=(x+2)(x﹣4)(k为常数,且k>0)与x轴从左至 右
依次交于A,B两点,与y轴交于点C,经过点B的直线y=﹣
另一交点为D.
(1)若点D的横坐标为﹣5,求抛物线的函数表达式;
(2)若在第一象限内的抛物线上有 点P,使得以A,B,P为顶点的三角形与△
ABC相似,求k的值;
(3)在(1)的条件 下,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点
M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位 的速度运动到F,再沿线段FD以每秒
2个单位的速度运动到D后停止,当点F的坐标是多少时,点M在 整个运动过
程中用时最少
x+b与抛物线的












< p>
7.(1)如图1,已知正方形ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上
的一 个动点,求PD+的最小值和PD﹣的最大值;
(2)如图2,已知正方形ABCD的边长为9,圆B 的半径为6,点P是圆B上的
一个动点,那么PD+的最小值为 ,PD﹣的最大值为 .
(3)如图3,已知菱形ABCD的边长为4,∠B=60°,圆B的半径为2,点P是圆
B上的一个动点,那么PD+
为 .
的最小值为 ,PD﹣的最大值
















< p>
8.如图1,抛物线y=ax
2
+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A( 4,0),与y轴
交于点B,在x轴上有一动点E(m,0)(0<m<4),过点E作x轴的垂线交直
线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM⊥AB于点M.
(1)求a的值和直线AB的函数表达式;
(2)设△PMN的周长为C
1
,△AEN的周长为C
2
,若=,求m的值;
(3)如图2,在(2)条件下,将线 段OE绕点O逆时针旋转得到OE′,旋转角
为α(0°<α<90°),连接E′A、E′B,求E′ A+E′B的最小值.



2018年05月25日187****4779的初中数学组卷
参考答案与试题解析

一.选择题(共2小题)
1.如图,抛物线y=x
2
﹣2x﹣ 3与x轴交于A、B两点,过B的直线交抛物线于E,
且tan∠EBA=,有一只蚂蚁从A出发,先以 1单位s的速度爬到线段BE上的
点D处,再以单位s的速度沿着DE爬到E点处觅食,则蚂蚁从A到E 的最短时
间是 s.

【分析】过点E作x轴的平行线,再过D点作y轴的平行线 ,两线相交于点H,
如图,利用平行线的性质和三角函数的定义得到tan∠HED=tan∠EBA= =,设
DH=4m,EH=3m,则DE=5m,则可判断蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D
爬到H点所用的时间相等,于是得到蚂蚁从A出发,先以1单位s的速度爬到
线段BE上的点D处,再 以单位s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A
以1单位s的速度爬到D点,再从D点以1单位s 速度爬到H点的时间,利用
两点之间线段最短得到AD+DH的最小值为AQ的长,接着求出A点和B点 坐标,
再利用待定系数法求出BE的解析式,然后解由直线解析式和抛物线解析式所组
成的方程 组确定E点坐标,从而得到AQ的长,然后计算爬行的时间.
【解答】解:过点E作x轴的平行线,再过D点作y轴的平行线,两线相交于点
H,如图,
∵EH∥AB,
∴∠HEB=∠ABE,
∴tan∠HED=tan∠EBA==,


设DH=4m,EH=3m,则DE=5m,
∴蚂蚁从D爬到E点的时间==4(s)
=4若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位s,则蚂蚁从D爬到H点的时间=
(s),
∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等,
∴蚂蚁从A出发,先以1 单位s的速度爬到线段BE上的点D处,再以单位s的
速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单 位s的速度爬到D点,再从D
点以1单位s速度爬到H点的时间,
作AG⊥EH于G,则AD+DH≥AH≥AG,
∴AD+DH的最小值为AQ的长, 当y=0时,x
2
﹣2x﹣3=0,解得x
1
=﹣1,x
2=3,则A(﹣1,0),B(3,0),
直线BE交y轴于C点,如图,
在Rt△OBC中,∵tan∠CBO=
∴OC=4,则C(0,4),
设直线BE的解析式为y=kx+b,
把B(3,0),C(0,4)代入得
∴直线BE的解析式为y=﹣x+4,
,解得,
=,
解方程组得或,则E点坐标为(﹣,),
∴AQ=,
∴蚂蚁从A爬到G点的时间=
即蚂蚁从A到E的最短时间为
故答案为.
=
s.
(s),



【点评】本题考查了二次函数 与x轴的交点:把求二次函数y=ax
2
+bx+c(a,b,
c是常数,a≠0)与 x轴的交点坐标化为解关于x的一元二次方程.解决本题的
关键是确定蚂蚁在DH和DE上爬行的时间相 等.

2.如图,△ABC在直角坐标系中,AB=AC,A(0,2),C(1,0), D为射线
AO上一点,一动点P从A出发,运动路径为A→D→C,点P在AD上的运动速
度是 在CD上的3倍,要使整个运动时间最少,则点D的坐标应为( )

A.(0,) B.(0,) C.(0,) D.(0,)
【分析】假设P在AD的速度为3,在CD的速度为1, 首先表示出总的时间,再
根据根的判别式求出t的取值范围,进而求出D的坐标.
【解答】解:假设P在AD的速度为3,在CD的速度为1,
设D坐标为(0,y),则AD=2
∴设t=+,
=,则t的最小值时考虑y的取值即可,

2
=y
2
+1,
t+1=0,
﹣y,CD==,
等式变形为:t+y﹣
∴t
2
+(y﹣
∴y
2
+(
)t+(y﹣
﹣t)y﹣t
2
+


△=(﹣t)
2
﹣4×(﹣t
2
+

t+1)≥0,
∴t的最小值为
∴y=,
∴点D的坐标为(0,
故选D.
),
解法二:假设P在AD的速度为3V,在CD的速度为1V,
总时间t=+=(+CD),要使t最小,就要+CD最小,
因为AB=AC=3,过点B作 BH⊥AC交AC于点H,交OA于D,易证△ADH∽△ACO,
所以==3,所以=DH,因为△A BC是等腰三角形,所以BD=CD,所以要
+CD最小,就是要DH+BD最小,就要B、D、H三点 共线就行了.因为△AOC
∽△BOD,所以=,即=
).
,所以OD=,
所以点D的坐标应为(0,
【点评】本题考查了勾股定理的运用、一元二次方程根的判别式(△=b< br>2
﹣4ac)
判断方程的根的情况以及坐标于图形的性质题目的综合性较强,难度较大.

二.填空题(共1小题)
3.如图,一条笔直的公路l穿过草原,公路边有一消 防站A,距离公路5
的地方有一居民点B,A、B的直线距离是10
千米
千米.一天, 居民点B着火,消
防员受命欲前往救火.若消防车在公路上的最快速度是80千米小时,而在草地
上的最快速度是40千米小时,则消防车在出发后最快经过 小时可到达居
民点B.(友情提醒:消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.)

【分析】要求所用行车时间最短,就要计算好行驶的路线,可以设在公路上行驶
x千米,根据题意,找出 可以运用勾股定理的直角三角形,运用勾股定理求解.


【解答】解:如图所示,公路上 行驶的路线是AD,草地上行驶的路线是DB,设
AD的路程为x千米,

由已知条件AB=10
AC=
千米,BC=5千米,BC⊥AC,知
=15千米.
则CD=AC﹣AD=(15﹣x)千米,
BD==km,
设走的行驶时间为y,则
y=+.
整理为关于x的一元二次方程得
3x
2
+(160y﹣120)x﹣6400y
2
+1200=0.
因为x必定存在,所以△≥0.即
(160y﹣120)
2
﹣4×3×(1 200﹣6400y
2
)≥0.
化简得102400y
2
﹣38400y≥0.
解得y≥,
即消防车在出发后最快经过小时可到达居民点B.
故答案为:.
【点评】本题考查 的是在直角三角形中勾股定理的运用,画出图形构建直角三角
形是关键,根据一元二次不等式的求解,可 以计算出解的最小值,以便求出最短
路程.

三.解答题(共5小题)
4.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax
2
+bx+c的图象经过点A(﹣1,0) ,
B(0,﹣),C(2,0),其对称轴与x轴交于点D


(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标;
(2)若P为y轴上的一个动点,连接PD,则PB+PD的最小值为
(3)M(x,t)为抛物线对称轴上一动点
①若平面内存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形,则这样的点
N共有 5 个;
②连接MA,MB,若∠AMB不小于60°,求t的取值范围.


【分析】(1)利用待定系数法转化为解方程组解决问题.
(2)如图1中,连接AB,作D H⊥AB于H,交OB于P,此时PB+PD最小.最
小值就是线段DH,求出DH即可.
(3)①先在对称轴上寻找满足△ABM是等腰三角形的点M,由此即可解决问题.
②作AB 的中垂线与y轴交于点E,连接EA,则∠AEB=120°,以E为圆心,EB为
半径作圆,与抛物线 对称轴交于点F、G.则∠AFB=∠AGB=60°,从而线段FG上
的点满足题意,求出F、G的坐 标即可解决问题.
【解答】解:(1)由题意解得,
∴抛物线解析式为y=
∵y= x
2
﹣x﹣=
x
2
﹣x﹣,
, (x﹣)
2

). ∴顶点坐标(,﹣
(2)如图1中,连接AB,作DH⊥AB于H,交OB于P,


此时PB+PD最小.
理由:∵OA=1,OB=
∴tan∠ABO=
∴∠ABO=30°,
∴PH=PB,
∴PB+PD=PH+PD=DH,
∴此时PB+PD最短(垂线段最短).
在Rt△ADH中,∵∠AHD=90°,AD=,∠HAD=60°,
∴sin60°=
∴DH=



=,

∴PB+PD的最小值为
故答案为.
(3)①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点,
以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点,
线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点,
所以满足条件的点M有5个,即满足条件的点N也有5个,
故答案为5.
②如图,Rt△AOB中,∵tan∠ABO=
∴∠ABO=30°,
作AB的中垂线与y轴交于点E,连接EA,则∠AEB=120°,
以E为圆心,EB为半径作圆,与抛物线对称轴交于点F、G.
则∠AFB=∠AGB=60°,从而线段FG上的点满足题意,
∵EB==,

=,
∴OE=OB﹣EB=


∵F(,t),EF
2
=EB
2

∴()
2
+(t+
解得t=
故F(,
∴t的取值范围

2
=(


2


),G(,
≤t≤
),


【点评】本题 考查二次函数综合题、锐角三角函数、最短问题、圆等知识,解题
的关键是掌握待定系数法确定函数解析 式,学会利用垂线段最短解决实际问题中
的最短问题,学会添加辅助线,构造圆解决角度问题,属于中考 压轴题.

5.如图,在△ACE中,CA=CE,∠CAE=30°,⊙O经过点C,且 圆的直径AB在线
段AE上.
(1)试说明CE是⊙O的切线;
(2)若△ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示⊙O的直径AB;
(3)设点 D是线段AC上任意一点(不含端点),连接OD,当CD+OD的最小


值为6时,求⊙ O的直径AB的长.

【分析】(1)连接OC,如图1,要证CE是⊙O的切线,只需证到∠OCE=90°即
可;
(2)过点C作CH⊥AB于H,连接OC,如图2,在Rt△OHC中运用三角函数即
可解决 问题;
(3)作OF平分∠AOC,交⊙O于F,连接AF、CF、DF,如图3,易证四边形AOC F
是菱形,根据对称性可得DF=DO.过点D作DH⊥OC于H,易得DH=DC,从而
有C D+OD=DH+FD.根据两点之间线段最短可得:当F、D、H三点共线时,DH+FD
(即CD+ OD)最小,然后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决问题.
【解答】解:(1)连接OC,如图1,

∵CA=CE,∠CAE=30°,
∴∠E=∠CAE=30°,∠COE=2∠A=60°,
∴∠OCE=90°,
∴CE是⊙O的切线;

(2)过点C作CH⊥AB于H,连接OC,如图2,



由题可得CH=h.
在Rt△OHC中,CH=OCsin∠COH,
∴h=OCsin60°=
∴OC==
OC,
h,
h; ∴AB=2OC=

(3)作OF平分∠AOC,交⊙O于F,连接AF、CF、DF,如图3,

则∠AOF=∠COF=∠AOC=(180°﹣60°)=60°.
∵OA=OF=OC,
∴△AOF、△COF是等边三角形,
∴AF=AO=OC=FC,
∴四边形AOCF是菱形,
∴根据对称性可得DF=DO.
过点D作DH⊥OC于H,
∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC=30°,
∴DH=DCsin∠DCH=DCsin30°=DC,
∴CD+OD=DH+FD.
根据两点之间线段最短可得:


当F、D、H三点共线时,DH+FD(即CD+OD)最小,
此时FH=OFsin∠FOH=
则OF=4,AB=2OF=8
OF=6,

. ∴当CD+OD的最小值为6时,⊙O的直径AB的长为8
【点评】本题主要 考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函
数的定义、特殊角的三角函数值、等边三角 形的判定与性质、菱形的判定与性质、
两点之间线段最短等知识,把CD+OD转化为DH+FD是解决 第(3)小题的关键.

6.如图,已知抛物线y=(x+2)(x﹣4)(k为常数,且 k>0)与x轴从左至右
依次交于A,B两点,与y轴交于点C,经过点B的直线y=﹣
另一交 点为D.
(1)若点D的横坐标为﹣5,求抛物线的函数表达式;
(2)若在第一象限内的 抛物线上有点P,使得以A,B,P为顶点的三角形与△
ABC相似,求k的值;
(3)在( 1)的条件下,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点
M从点A出发,沿线段AF以每 秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒
2个单位的速度运动到D后停止,当点F的坐标是多少 时,点M在整个运动过
程中用时最少
x+b与抛物线的

【分析】(1)首 先求出点A、B坐标,然后求出直线BD的解析式,求得点D坐
标,代入抛物线解析式,求得k的值;
(2)因为点P在第一象限内的抛物线上,所以∠ABP为钝角.因此若两个三角


形相似,只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB.如答图2,按照以上两种情
况进行分类 讨论,分别计算;
(3)由题意,动点M运动的路径为折线AF+DF,运动时间:t=AF+DF. 如答图
3,作辅助线,将AF+DF转化为AF+FG;再由垂线段最短,得到垂线段AH与直
线BD的交点,即为所求的F点.
【解答】解:(1)抛物线y=(x+2)(x﹣4),
令y=0,解得x=﹣2或x=4,
∴A(﹣2,0),B(4,0).
∵直线y=﹣
∴﹣
x+b经过点B(4,0),

x+. ×4+b=0,解得b=
∴直线BD解析式为:y=﹣
当x=﹣5时,y=3
∴D (﹣5,3
∵点D(﹣5,3
).

)在抛物线y=(x+2)(x﹣4)上,
, ∴(﹣5+2)(﹣5﹣4)=3
∴k=.
∴抛物线的函数表达式为:y=
即y=

x
2
﹣x﹣.
(x+2)(x﹣4).
(2)由抛物线解析式,令x=0,得y=﹣k,
∴C(0,﹣k),OC=k.
因为点P在第一象限内的抛物线上,所以∠ABP为钝角.
因此若两个三角形相似,只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB.

①若△ABC∽△APB,则有∠BAC=∠PAB,如答图2﹣1所示.
设P(x,y),过点P作PN⊥x轴于点N,则ON=x,PN=y.


tan∠BAC=tan∠PAB,即:,
∴y=x+k.
∴P(x,x+k),代入抛物线解析式y=(x+2)(x﹣4),
得(x+2)(x﹣4)=x+k,整理得:x
2
﹣6x﹣16=0,
解得:x=8或x=﹣2(与点A重合,舍去),
∴P(8,5k).
∵△ABC∽△APB,
∴,即,
解得:k=.
②若△ABC∽△PAB,则有∠ABC=∠PAB,如答图2﹣2所示.
设P(x,y),过点P作PN⊥x轴于点N,则ON=x,PN=y.
tan∠ABC=tan∠PAB,即:=

∴y=x+.
∴P(x,x+),代入抛物线解析式y=(x+2)(x﹣4),
得(x+2)(x﹣4)=x+,整理得:x
2
﹣4x﹣12=0,
解得:x=6或x=﹣2(与点A重合,舍去),
∴P(6,2k).
∵△ABC∽△PAB,


=


=


解得k=±
∵k>0,
∴k=,
综上所述,k=

(3)方法一:
或k=.
如答图3,由(1)知:D(﹣5,3),

如答图2﹣2,过点D作DN⊥x轴于 点N,则DN=3
∴tan∠DBA=
∴∠DBA=30°.
过点D作DK∥x轴,则∠KDF=∠DBA=30°.
过点F作FG⊥DK于点G,则FG=DF.
==,
,ON=5,BN=4+5=9,
由题意,动点M运动的路径为折线AF+DF,运动时间:t=AF+DF,
∴t=AF+FG,即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值.
由垂线段最短可知,折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段.
过点A作A H⊥DK于点H,则t
最小
=AH,AH与直线BD的交点,即为所求之F点.
∵A点横坐标为﹣2,直线BD解析式为:y=﹣x+,


∴y=﹣×(﹣2)+
).
=2,
∴F(﹣2,2
综上所述,当点F坐标为(﹣2,2

方法二:
)时,点M在整个运动过程中用时最少.
作DK∥AB,AH⊥DK,AH交直线BD于点F,
∵∠DBA=30°,
∴∠BDH=30°,
∴FH=DF×sin30°=,
∴当且仅当AH⊥DK时,AF+FH最小,
点M在整个运动中用时为:t=
∵l
BD
:y=﹣x+,

∴F
X
=A
X
=﹣2,
∴F(﹣2,).
【点 评】本题是二次函数压轴题,难度很大.第(2)问中需要分类讨论,避免
漏解;在计算过程中,解析式 中含有未知数k,增加了计算的难度,注意解题过
程中的技巧;第(3)问中,运用了转化思想使得试题 难度大大降低,需要认真
体会.

7.(1)如图1,已知正方形ABCD的边长 为4,圆B的半径为2,点P是圆B上
的一个动点,求PD+的最小值和PD﹣的最大值;
( 2)如图2,已知正方形ABCD的边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的
一个动点,那么PD+ 的最小值为 ,PD﹣的最大值为 .
(3)如图3,已知菱形ABCD的边长为4,∠B=60 °,圆B的半径为2,点P是圆
B上的一个动点,那么PD+

的最小值为 ,PD﹣的最大值为



【分析】(1)如图1中,在BC上取一点G,使得B G=1.由△PBG∽△CBP,推
出==,推出PG=PC,推出PD+PC=DP+PG,由DP+ PG≥DG,当D、G、
=5.由PD﹣PC=PD﹣PGP共线时,PD+PC的值最小,最小值为D G=
≤DG,当点P在DG的延长线上时,PD﹣PC的值最大(如图2中),最大值为
DG= 5;
(2)如图3中,在BC上取一点G,使得BG=4.解法类似(1);
(3)如图4中,在BC上取一点G,使得BG=4,作DF⊥BC于F.解法类似(1);
【解答】解:(1)如图1中,在BC上取一点G,使得BG=1.



==2,
=
==2,
,∵∠PBG=∠PBC,
∴△PBG∽△CBP,
∴==,
∴PG=PC,
∴PD+PC=DP+PG,
∵DP+PG≥DG,
∴当D、G、P共线时,PD+PC的值最小,最小值为DG==5.


∵PD﹣PC=PD﹣PG≤DG,
当点P在DG的延长线上时,PD﹣PC的值最大(如图2中),最大值为DG=5.


(2)如图3中,在BC上取一点G,使得BG=4.



==,
=
==,
,∵∠PBG=∠PBC,
∴△PBG∽△CBP,
∴==,
∴PG=PC,
∴PD+PC=DP+PG,
∵DP+PG≥DG,
∴当D、G、P共线时,PD +PC的值最小,最小值为DG=
∵PD﹣PC=PD﹣PG≤DG,
当点P在DG的延长线上时,PD﹣PC的值最大,最大值为DG=.
=.


故答案为


(3)如图4中,在BC上取一点G,使得BG=4,作DF⊥BC于F.



==2,
=
==2,
,∵∠PBG=∠PBC,
∴△PBG∽△CBP,
∴==,
∴PG=PC,
∴PD+PC=DP+PG,
∵DP+PG≥DG,
∴当D、G、P共线时,PD+PC的值最小,最小值为DG,
在Rt△CDF中,∠DCF=60°,CD=4,
∴DF=CDsin60°=2,CF=2,
= 在Rt△GDF中,DG=
∵PD﹣PC=PD﹣PG≤DG,
当点P在DG的延长线上时,PD﹣PC的值最大(如图2中),最大值为DG=
故答案为,.

【点评】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和
性 质、两点之间线段最短等知识,解题的关键是学会构建相似三角形解决问题,
学会用转化的思想思考问题 ,把问题转化为两点之间线段最短解决,题目比较难,
属于中考压轴题.



8.如图1,抛物线y=ax
2
+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4, 0),与y轴
交于点B,在x轴上有一动点E(m,0)(0<m<4),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM⊥AB于点M.
(1)求a的值和直线AB的函数表达式;
(2)设△PMN的周长为C
1
,△AEN的周长为C
2
,若=,求m的值;
(3)如图2,在(2)条件下,将线 段OE绕点O逆时针旋转得到OE′,旋转角
为α(0°<α<90°),连接E′A、E′B,求E′ A+E′B的最小值.

【分析】(1)令y=0,求出抛物线与x轴交点,列出方程即可求 出a,根据待定
系数法可以确定直线AB解析式.
(2)由△PNM∽△ANE,推出=,列出方程即可解决问题.
(3)在y轴上 取一点M使得OM′=,构造相似三角形,可以证明AM′就是
E′A+E′B的最小值.
【解答】解:(1)令y=0,则ax
2
+(a+3)x+3=0,
∴(x+1)(ax+3)=0,
∴x=﹣1或﹣,
∵抛物线y=ax
2
+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4,0),
∴﹣=4,
∴a=﹣.
∵A(4,0),B(0,3),


设直线AB解析式为y=kx+b,则
解得,

∴直线AB解析式为y=﹣x+3.

(2)如图1中,

∵PM⊥AB,PE⊥OA,
∴∠PMN=∠AEN,∵∠PNM=∠ANE,
∴△PNM∽△ANE,
∴=,
∵NE∥OB,
∴=,
∴AN=(4﹣m),
∵抛物线解析式为y=﹣x
2
+x+3,
∴PN=﹣m
2
+m+3﹣(﹣m+3)=﹣m
2
+3m,
∴=,
解得m=2.

(3)如图2中,在y轴上 取一点M′使得OM′=,连接AM′,在AM′上取一点


E′使得OE′=OE.

∵OE′=2,OM′OB=×3=4,
∴OE′
2
=OM′OB,
∴=,∵∠BOE′=∠M′OE′,
∴△M′OE′∽△E′OB,
∴==,
∴M′E′=BE′,
∴AE ′+BE′=AE′+E′M′=AM′,此时AE′+BE′最小(两点间线段最短,A、M′、E′共
线时),
最小值=AM′==.
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、待定系数法 、最小值问题等知识,
解题的关键是构造相似三角形,找到线段AM′就是E′A+E′B的最小值,属 于中
考压轴题.

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本文更新与2020-10-06 13:09,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/410989.html

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