教高中数学竞赛教练-高中数学辅导文科
小古数学
一对一辅导教案
学生姓名
授课教师
教学课题
【数列与不等式:放缩法】
性别
年级 高三 学科 数学
2小时 上课时间 2020年 第( )次课
数列的综合问题
【数列变相同项】
求证:.
【裂项不等式-
乘法缩小】
求证:1+
111
??
?
?2
(n
?N
?
)
222
23n
证明:
?
?
1+
1111
???(n?2)
n
2
n(n?1)n?1n<
br>111111111
??
?
??1?1????
?
???2?
?2
223n?1nn
2
2
3
2
n
2<
br>【裂项不等式-移位套变】求证:
111
?
2
?
2
?
2
123
?
17
?
2
n4
证明:
1111
???
2
nn(n?1)n?1n
?
1
11
?
2
?
2
?
2
123
?
11
11
?1??(??
22
n223
?
115117
?)??
(?)?.
n?1n42n4
小古数学
【裂项不等式-平方差裂项】已知数列
?
a
n
?
中
a
n
?
放缩二:
1
111
,证明:
S???
n
n
2
1
2
2
2
3
2
?
15
?
n
2
3
111111
???(?),(n?2)
22
nn?1(n?1)(n?1)2n?1n?1
????(?)?(????222222
123n1222435
51111151115
??(???)?
?(?)?.
4223nn?142233
S
n
?
放缩三:
?
1111
???)
n?2nn?1n?1
1111111
???(?)?2(?),(n?1)
11
n
2
n
2
?
1
(n?
1)(n?
1
)
2n?12n?1
n?n?
42222
S
n
?
111
?
2
?
22123
?
11111
?1?2(????
2
n3557
?
11115
?)?1?2(?)?
2n?12n?132n?13
【裂项不等式-倍数变化缩小法】
求证:1+
2
2
2
?
3
3
2
?
?
?
n
n
2
?3
(n
?2,n?N)
证明:
?
n
n
2
2
?
1
n?n
?
2
nn?nn
?
?
2
(n?1)n?nn?1
?2(1
n?1
?
1
=
2(n?n?1)
n(n?1)n(n?1)(n?1?n)n
)
?
1+.
2
2
2
?
3
3
2
?
?
?
n
n
2
?1?2(1?1
2
?
1
2
?
1
3
?
??
1
n?1
?
1
n
)?3?
1
n?3
n(n?1)(n?1)
2
?1?2?2?3?
?
?n(n?1)?.
(n
?N
?
)
【根式不等式-加减变化】<
br>求证:
22
证明:
?n(n?1)?n
2
?n
?1?
2?2?3???n(n?1)
?1?2???n?
又
n(n?1)?
n?n
?12n?1
?
22
n(n?1)
,
2
n
2
?2n(n?1)
2
1
?,
?
得证。
?1?2?2?3???n(n?1)
?(3?5???2n?1
)
=
22
2
小古数学
1111
??
?
??3.
11?21?2?31?2
?3???n
111
证明:由
??
k?1
,
(
k<
br>是大于2的自然数)
1?2?3???k1?2?2???2
2
1111
得
1??
??
?
?
11?21?2?31?2?3??
?n
1
1?
n
1111
2
?3?
1
?3.
?1?1??
2
?
3
?
?
?
n?1
?1?
1
2
2222
n?
1
1?
2
【多数相乘变等比】求证:
1??
【变形套用1】
【证明】
【变形套用2】
小古数学
【变式1】已知正项数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
,且
a
n
?<
br>2
(1)求证:数列
S
n
是等差数列
1
?2S
n
,n?N
?
a
n
?
?
3
(2)记数列
b
n
?2S
n
,T
n<
br>?
11
??
b
1
b
2
?
1
131
?T
n
??
,证明:
1?
b
n<
br>2
n?1n
解:(1)
a
n
?
11
?2S<
br>n
?S
n
?S
n?1
??2S
n
?
n?2
?
a
n
S
n
?S
n?1
?
1
22
?S
n
?S
n
?S
n?1
?S
n?1
?1
S
n
?S
n?
1
2
?
?
S
n
?
为等差数列
(2)思路
:先利用(1)可求出
S
n
的公式进而求出
b
n
?2nn<
br>,则
号的方向向裂项相消的形式进行放缩。
解:令
n?1
代入
a
n
?
11
?
,考虑进行放缩求和,结合不等
b
n
2nn
1
?2S
n
可得:
a
n
a1
?
1
?2a
1
?a
1
?1
即
S
1
?1
a
1
2
由
S
n为等差数列可得:
S
n
?S
1
?
?
n?1?
?n
22
??
小古数学
?S
n
?n
?b
n
?2nn
?
11
?
b
n
2nn
考虑先证
T
n
?
31
?
2
n
11
??
b
n
n?2n
n
?n?2
时
1
?
n?1?n
?
?
n?n?1n?n?111
???
?
n?
2
?
n
n?1n
n
?
n?1
?
T
n
?
1
?
1
?
?
11
?
?
?
1???
?
?
?
?
b
1
?
2
?
?
23
?
13
??1
22
1
?
1131
?
1
?
?<
br>???1???
?
22
n
?
nn
?
n?1<
br>n?1
时,
T
1
?
?T
n
?
31<
br>?
2
n
1
n?1
再证
T
n
?1?
11
??
b
n
n?2n
n
1<
br>?
n?1?n
?
?
n?1?nn?1?n11
??
?
n
nn?1
n
?
n?1
?
1
?
1
?
1
?
?
??1?
?
n?1
?
n?1
?
n
1
?
?
11
?
?<
br>?T
n
?
?
1???
?
?
?
?2
?
?
23
?
?
综上所述:
1?
131
?T
n
??
2
n?1n
1
【变式2】已知数列 {a
n
}为等差数列,
a
3
=3,a
1
+a
2
+…+a
6
=21
,数列{}的前n项和为S
n
,若对一切n∈N
*
,
a
n<
br>m
恒有S
2n
-S
n
>成立,则m能取到的最大正整数是__
______.
16
答案:7;
??
?
a
1
+
2d=3
?
a
1
=1
解析:设数列{a
n
}的首项
为a
1
,公差为d,由a
3
=3,a
1
+a
2+…+a
6
=21可得
?
,解得
?
,
?
6a
1
+15d=21
?
??
d=1
小古数学
11
∴a
n
=n,=.
a
n
n
1111
111111
∴S
n
=1++…+,∴令T
n
=S
2n-S
n
=++…+,则T
n
+
1
=++…+++,2n2n2n
2n+12n+2n+1n+2n+2n+3
T
n
+
1
-T
n
=
111111
+->+-=0,
2n+12
n+2n+12n+22n+2n+1
1mm1
∴T
n
+
1
>T
n
.∴T
n
的最小值是n=1处取得,又T
1
=S2
-S
1
=,∴要使S
2n
-S
n
>恒成立,
只需<S
2
-S
1
=即
216162
可,解得m<8,故填
7.
【变式3】已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
,若
4S
n
?
?
2n?1
?
a
n?1
?1
,且
a
1?1
(1)求证:数列
?
a
n
?
是等差数
列,并求出
?
a
n
?
的通项公式
(2)设
bn
?
1
a
n
S
n
,数列
?
b
n
?
的前
n
项和为
T
n
,求证:
T
n
?
3
2
解:(1)
4S
n
?
?
2n?1
?
a
n?1
?1
?4S
n?1
?
?
2n?3
?
a
n
?1
?
n?2
?
?4a
n
?
?
2n?1
?
a
n?1
?
?
2n?3
?
a
n
?
n?2
?
即
?<
br>2n?1
?
a
n
?
?
2n?1
?
a
n?1
?
a
n?1
2n?1
?
a
n
2n?1
,
a
3
5
?
<
br>a
2
3
5a2n?1
?
即
n
?
?<
br>n?2
?
3a
2
3
?
a
n2n?1a
n?1
2n?3
?,?,
a
n?1
2n?3
a
n?2
2n?5
a
n
a
n?1
??
a<
br>n?1
a
n?2
??
a
3
2n?12n?3
???
a
2
2n?32n?5
?a
n
?
2n?1<
br>a
2
,由
4S
n
?
?
2n?1
?<
br>a
n?1
?1
令
n?1
可得:
3
4S
1
?a
2
?1?a
2
?3
?a
n
?2n?1
?
n?2
?
,验证
a
1
?1
符合上式
?a
n
?2n?1
S
n
?n
2
小古数学
(2) 由(1)得:
b
n
?
1
?
2n
?1
?
n
2
?
1
b
1
?1
n
?
2n?1
?
可
知当
n?2
时,
b
n
?
1111
?
11<
br>?
???
?
?
?
n
?
2n?1<
br>?
n
?
2n?2
?
2n
?
n?1
?
2
?
n?1n
?
1
?
?
?
1?
?
?
?
?
?
n?1n
?
?
?T
n
?b
1
?b
2
?
1
?
?
1
??
11
?
?b
n
?b
1<
br>?
?
?
1?
?
?
?
?
?
?
2
?
?
2
??
23
?
1
?
1
?
3
1?
??
?
2
?
n
?
2
?1?
?
【变式4】设数列
?
a
n
?<
br>满足:
a
1
?1,a
n?1
?3a
n
,n?
N
,设
S
n
为数列
?
b
n
?
的前
n
项和,已知
b
1
?0
,
2b
n
?b
1
?S
1
?S
n
,n?N
?
(1)求数列
?
a
n
?
,
?
b
n?
的通项公式
(2)求证:对任意的
n?N
且
n?2
,有
?
11
??
a
2
?b
2
a
3
?b
3
?
13
?
a
n
?b<
br>n
2
解:(1)
a
n?1
?3a
n
?
?
a
n
?
为公比是
3
的等比数列 ?a
n
?a
1
?3
n?1
?3
n?1
在
?
b
n
?
中,令
n?1
,
2b
1
?b
1
?S
1
?S
1
?b
1<
br>?1
?2b
n
?1?S
n
2b
n?1
?1?S
n?1
?2b
n
?2b
n?1
?b
n
?
n?2
?
?bn
?2b
n?1
?
?
b
n
?
是公比为
2
的等比数列 ?b
n
?b
1
?2
n?1
?2
n?1
(2)证明:
111
?
n?1
?
a
n
?b
n
3?2
n?1
3
n?2
?
1
a
n
?b
n
11
??
a
2
?
b
2
a
3
?b
3
小古数学
1
?
3
?
?
1
?
n?1
?
1?
?
1?
??
?
n?1
1
?
?
3
?
?
?
3
?
?
1
?
?
3
?
?
n?2
??
?
1?
??
?
?
1
32
?
?
?
3
??
?
2
1?
3
?1?
?
1
?
【变式5】已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?2,a
n?1
?2
?
1?
?
a
n
,n?N
?
?
n
?
(1)求证:
数列
?
2
?
a
n
?
是等比数列,并求出数列
?
a
n
?
的通项公式
2
?
n
??(2)设
c
n
?
n
,求证:
c
1
?c
2
?
a
n
2
?c
n
?
2
17
24
n?1
??
?
1
?
解:(1)
a
n?1
?2
?
1?
?
a
n
?2
?a
n
2
nn
??
?
a
n?1
?
n?1
?
2
?2?
a
n
?
a
n
?
?
?
2
?
是公比为
2
的等比数列
n
2?
n
?
?
a
n
?
a
1
?n?1
?
?
2
?
?2?2
n
2n
?
1
?
?a
n
?n
2
?2
n
(2)思路:
c
n
?
n1
?
,无法直
接求和,所以考虑放缩成为可求和的通项公式(不等号:
?
),若要放缩
a
n
n?2
n
为裂项相消的形式,那么需要构造出“顺序同构”的特点。观察分母中有n
,故分子分母通乘以
?
n?1
?
,再进
行放缩调整为
裂项相消形式。
解:
c
n
?
n1n?1
??
<
br>a
n
n?2
n
n
?
n?1
?
2n
2n?
?
n?1
?
11n?1
而
???<
br>?
n?1
?
2
n?1
n?2
n
n
?
n?1
?
2
n
n
?
n?1
?
2<
br>n
所以
c
n
?
n?1n?111
???
?<
br>n?2
?
n
?
n?1
?
2
nn
?
n?1
?
2
n
?
n?1
?
2
n?1
n?2
n
小古数学
c
1
?c
2
?
?
1111
?c
n
?c
1
?c
2
?c
3
?
?
???
?
3?2
3
4?2
4
4?2
4
5?2
5<
br>?
?
11
?
??
?
?
n?1?
2
n?1
n?2
n
?
?
?
1111117117
?
n?3
?
???????
nn
282424n?224n?224
1617
cn
?0
?c
1
?c
1
?c
2?c
1
?c
2
?c
3
??
2424
【数列与不等关系-作差法】
*
例2.设数列
?
a
n
?
的前n项和为
S
n
,已知
a
1
?a
,
a
n?1
?S
n
?3
n
,
n?N
(1)设
b
n
?S
n<
br>?3
n
,求
?
b
n
?
的通
项公式;
(2)若
a
n?1
?a
n
,
(n?N)
,求
a
的取值范围。
答案:
a??2
【变式
1】已知等差数列
?
a
n
?
的公差大于0,且
a
3
,a
5
是方程
x?14x?45?0
的两根,数列
?
b
n
?
的前n项的和为
2
*
1
S
n,且
S
n
?1?b
n
(
n?N
*
)
.(1)求数列
?
a
n
?
,
?
b
n
?
的通项公式;
2
(2) 记
c
n
?a
n<
br>?b
n
,求证:
c
n?1
?c
n
.
【解析】
试题分析:解:(Ⅰ)∵
a
3
,a
5
是
方程
x?14x?45?0
的两根,且数列
{a
n
}
的公差
d?0
,
∴
a
3
?5,a
5
?9
,公差
d?
2
a
5
?a
3
?2.
5?3
*
∴
a
n
?a
5
?(n?5)d?2n
?1.
(
n?N
)
又当n=1时,有b
1
=S
1
=1-
4分
12
b
1
,?b
1
?.
23
b
11
(b
n?1
?b
n
),?
n
?(n?
2).
2b
n?1
3
当
n?2时,有b
n
?S
n
?S
n?1
?
∴数列{b
n
}是等比数列
,
b
1
?
∴
b
n
?b
1
q
n?1
21
,q?.
33
2
*
n?N
.
( ) 8分
n
3
2(2n?1)2(2n?1)
,c?,
10分 (Ⅱ)
由(Ⅰ)知
c
n
?a
n
b
n
?
n?13
n
3
n?1
?
小古数学
∴
c
n?1
?c
n
?
2(2n?1)2(2n?1
)8(1?n)
???0.
3
n?1
3
n
3
n?1
12分
∴
c
n?1
?c
n
.
【变式2】已知各项均为正数的数列
?
a
n
?
满足:
3a<
br>n
?2s
n
?1,
其中
s
n
为数列
?
a
n
?
的前 n 项和。等差数列
?
b
n
?
满
足:
b
4
?5,b
8
?17.
<
br>(1)求数列
?
a
n
?
和
?
b
n<
br>?
的通项公式;
?
(2)对于任意的
n?N
,
?<
br>s
n
?
?
?
1
?
?
?k?b
n
?1
恒成立,试求实数k的取值范围。
2
?
:由题可得,a
1
?1,当n?2时,3a
n
?2s
n
?1,3a
n?1
?2s
n?1
?1,
?3a
n
?3a
n?1
?2
?
s
n
?s
n?1
?
?2a
n
,?a
n
?3a
n?1
?a
n
?3
n?
1
......3分
又b
4
?5,b
8
?17,?b
8
?b
4
?4d?17?5?12,?d?3.?b
n
?b
4
?(n?4)d?3n?7.
?a
n
?3
n?1
,b<
br>n
?3n?7....................6分。
3
n
?12(3n?6)
(2)s
n
?,原不等式整理得k?对n?N成立。
23
n
2(3n?6)?12n?42
令c
n
?,则c?c?(n?2)
,当n?3时,c
n
?c
n?1
,当n?4时,c
n
?c<
br>n?1,nn?1
nn
33
242
c
3
?,c
4
?,?k?
9279
【数列与不等关系-
参数求值】
例3.已知数列
?
a
n
?
,a1
?1
,前
n
项和
S
n
满足
nSn?1
?
?
n?3
?
S
n
?0
(1)求
?
a
n
?
的通项公式
(2)设
c
n
?2
?
n
?
n
?
?
?
?
,若数列
?
c
n
?
是单调递减数列,求实数<
br>?
的取值范围
?
a
n
?
S
n?1
n?3
?
<
br>S
n
n
解:(1)
nS
n?1
?
?
n?3
?
S
n
?0?
小古数学
?
S
n
S
n?1
S
n
???
S<
br>n?1
S
n?2
S
n?1
?
S
2
n
?2n?1
???
S
1
n?1n
?
4
1
?
S
n
?
n?2
??
n?1
?
n
?
n?2
??
n?1
?
n
??S
1
3?26
S
1
?a
1
?1
?S
n
?
?
n?2
??
n?1
?
n
6
?n?2
时,
a
n
?S
n
?S
n?1
?
当
n?1
时,
a
1
?1<
br>符合上式
n
?
n?1
??
n?2
?
6?
?
n?1
?
n
?
n?1
?
6
?
n
?
n?1
?
2
?a
n
?
n
?
n?1
?
2
<
br>(2)思路:由(1)可得:
c
n
?2
?
n
?
2
?
?
?
?
,由已知
?
c
n
?
为单调递减数列可得
c
n?1
?c
n
对
?n?N<
br>?
均成立,
?
n?1
?
所以代入
?
c
n
?
通项公式得到关于
n,
?
的不等式
?
?2
?
42
?
4
?
,即只需
?
?
?
?
?
,构造函数或
n?2n?1
?
n?2n?1
?
max
者数列求出
?
2
??
4
?
?<
br>的最大值即可
?
n?2n?1
?
??
??
?
n
?
2
?
n
?
n
n
?
?
?
?2
?
?
?
?
?2
n
?
?<
br>?
?
解:
c
n
?2
?
?
n?1<
br>?
?
n
?
n?1
?
?
?
a
n
?
??
2
??
?
c
n
?
是递减
数列
??n?N
?
,
c
n?1
?c
n
即
2
n+1
2
?
2
??
n
??
?
?2?
?
????
n?2n?1
???
?
?
4242
?2
?
??
?
?
?
??
n?2n?1n?2n?1
2
??
4
?
?
只需
?
?
??
n?2n?1
??
max
① 构造函数:设
f
?
x
?
?
42
?
?
x?1
?
x?2x?1
小古数学
则
f
'
?
x
?
??
4
?
x?2
?
2?
2
?
x?1
?
2
?
2
?
x
?2
?
?4
?
x?1
?
22
?
x?2??
x?1
?
22
?
4?2x
2
?
x
?2
??
x?1
?
22
??<
br>2x?2x?2
???
?
x?2
??
x?1
?
22
?
?
2,+?
单调递减 所以
f
?x
?
在
1,2
单调递增,在
???
111
f<
br>?
1
?
?,f
?
2
?
?
?n?N
?
时,
f
?
n
?
max
?f<
br>?
1
?
?f
?
2
?
?
333
即
?
2
?
1
1
?
4
??<
br>
?
?
?
?
n?2n?13
3
??
max
② 构造数列:设数列
?
t
n
?
的通项公式
t
n
?
42
?
n?2n?1
?t
n
?t
n?1
?
422
?
462
?
4<
br>??
?
?
?
???
?
n?2
?
n?2n?1
?
n?1n
?
n?2n?1n
?
4n
?
n?1
?
?6n
?
n?2
?
?2
?
n?1
??
n?2
?
n
?n?1
??
n?2
?
?
4?2n
n
?
n?1
??
n?2
?
?n?2
时,
t
n
?t
n?1
?0
,即
t
n
?t
n?1<
br>
当
n?2
时,
t
2
?t
1
<
br>所以
?
t
n
?
的最大项为
t
2
?t
1
?
1
3
1
?
?
?
3
【变式1】已知等差数列
?
a
n
?
中
,
a
3
?9,a
5
?17
,记数列
?
对任
意的
n?N
恒成立,则整数
m
的最小值是( )
A.
5
B.
4
C.
3
D.
2
思路:若<
br>S
2n?1
?S
n
?
?
?
1
?m
n
S
的前项和为,若
S?S?
?
m?Z
?<
br>,
?
n
2n?1n
10
?
a
n
?<
br>1
mm
恒成立,
?
S
2n?1
?S
n
?
max
?
,要找
S
n
,则需先确定
a
n
的通项公式得到:
a
n
1010
d?
11
a5
?a
3
?4
,所以
a
n
?a
3?
?
n?4
?
d?4n?3
,发现
?
无法直接
求和,
S
2n?1
?S
n
很难变为简
a
n
4n?3
5?3
单的表达式,所以考虑将
?
S
2n?1
?S
n
?
视为一个数列,通过相邻项比较寻找其单调性:
小古数学
?
S
2n?3
?S
n?
1
?
?
?
S
2n?1
?S
n
?
?
?
S
2n?3
?S
2n?1
?
?
?
S
n?1
?S
n
?
?
1
a
2
n?3
?
1
a
2n?2
?
1111?104n?87
?????0
,进而
?
S
2n?1
?S
n
?单调递减,
a
n
8n?98n?54n?3
?
8n?9
??
8n?5
??
4n?3
?
?
S
2n?1
?S
n
?
max
?S
3
?S
1
?a3
?a
2
?
答案:B
14m1428
,所以,从而
m?4
??m?
4510
459
【变式2】已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
,a
1
?1
且
2nS
n?1
?2
?
n?1
?
S
n
?n
?
n?
1
?
,数列
?
b
n
?
满足:
b
n
?2
?2b
n?1
?b
n
?0
,
b
3?5
,其前
9
项和为
63
(1)求
a
n
,b
n
(2)令
c
n
?
b
n
a
n
?
,记
?
cn
?
的前
n
项和为
T
n
,对
?n?N
?
,均有
T
n
?2n?
?
a,b
?
,求
b?a
的最小值
a
n
b
n
解:(1)2nS
n?1
?2
?
n?1
?
S
n
?
n
?
n?1
?
?
S
n?1
S
n
1
??
n?1n2
1
?
S
?
?
?
n
?
为公差是的等差数列
2
?
n
?
?<
br>S
n
S
1
1n?1
??
?
n?1
?
?
n122
n
?
n?1
?
n
?
n?1
??
n?1
?
n
??n
?n
?2
时,
a
n
?S
n
?S
n?1
?
222
?S
n
?
a
1
?1
符合上式
?a
n
?n
b
n?2
?2b
n?1?b
n
?0?b
n?2
?b
n
?2b
n?1<
br>
?
?
b
n
?
为等差数列
设
?
b
n
?
前
n
项和为
P
n
?P
9
?9b
5
?63
?b
5
?7
b
3
?5
?d?
b
5
?b
3
?1
5?3
?b
n
?n?2
(2)思路:依题意可得:
c
n
?
b
n
a
n
n?2n1
??
1
????2?2
?
?
?
,可求出
a
n
b
n
nn?2
?
nn?2
?
小古数学
1
?
1
??
1
?
1
T
n
?2n?3?2
?
?T?2n?3?2?
,从而
n
???
,若
b?a
最小,则
a,b
应最接近
T
n
?2n
的
n?1n?2n?1n?2
????
最大最小值(或是临界值),所
以问题转化成为求
3?2
?
1
??
1
?
?
的范围,可分析其单调性。
?
n?1n?2
?
1
?
4
?
1
f
?
n
?
?3?2
?
?
单
调递增。所以最小值为,而当
n???
时,
f
?
n
?
?3
,所以
f
?
n
?
无
f1?
???
n?1n?2
3
??
限接近
3
,故
T
n
?2n
的取值范围为
?
,3
?
中的离散点,从而求出<
br>b?a
的最小值
?
4
?
3
?
?
解
:
c
n
?
n?2n2n?2?21
??
1
??1?
??2?2
?
?
?
nn?2nn?2nn?2
??
?
11
?
?
?
nn?2
?
?
111
?T
n
?2n?2
?
1????
?
324<
br>11
?
1
??
1
?
1
?2n?2
?
1????2n?3?2?
???
2n?1n?2n?1n?2
?
???
1
??
1
T
n
?2n?3?2
?
?
?
?
n?1n?2
?
设
f
?
n
?
?3?2
?
1
??
1
?
?
,可
知
f
?
n
?
递增
n?1n?2
??
?f
?
n
?
?f
?
1
?
?
4
,当
n??
时,
f
?
n
?
?3
3
?
4
??
4
?
?f
?
n
??
?
,3
?
?
?
,3
?
?
?
a,b
?
?
3
?
?
3
?
若
b?a
最小,则a?
45
,b?3
?
?
b?a
?
min
?
33
小古数学
【变式3】已知数列
?
a<
br>n
?
的前
n
项和为
S
n
,
a
1
?1
,且
na
n?1
?2S
n
n?N
?
,数列
?
b
n
?
满足
b
1
?<
br>2
?
对任意
n?N
,都有
b
n?1
?bn
b
n?2
??
11
,b
2
?,
24
(1)求数列
?
a
n
?
,
?<
br>b
n
?
的通项公式
(2)令
T
n
?a1
b
1
?a
2
b
2
?
数
?<
br>的取值范围
解析:(1)
na
n?1
?2S
n
n?
N
?
?
?
n?1
?
a
n
?2S
n?1
?
n?2
?
?an
b
n
,若对任意的
n?N
?
,不等式
?nT
n
?2b
n
S
n
?2
?
?
n?3b
n
?
恒成立,试求实
??
?na
n?1
?
?
n?1
?
a
n
?2a
n
?na
n?1
?
?
n?1
?
a
n
?
a
n?1
n?1
?
?
n?2
?
a
n
n
a
n
a
n?1
??
an?1
a
n?2
?
a
3
n
??
a2
n?1
3an
?
可得:
n
?
2a
2
2
?
a
2
?2S
1
?2a
1<
br>?2
?a
n
?
n
a
2
?n
,验证
n?1
时,
a
1
?1
符合上式
2
?a
n
?n
2
由
b
n?1<
br>?b
n
b
n?2
可知
?
b
n
?为等比数列
b1
?
1
?
?q?
2
?
?b
n
?b
1
??
b
1
2
?2
?
n?1
?
1
?
?
??
?
2
?
n
n
1
?
1
?
(2)T
n
?1??2?
??
?
2
?
2
?<
br>1
?
1
?
T
n
?1?
??
?
2
?
2
?
2
2
?
1
?
?n?<
br>??
?
2
?
nn?1
?
1
??<
br>1
?
?
?
n?1
?
?
??
?n?<
br>??
?
2
??
2
?
n
11
?
1
??
1
?
?T
n
??
??
?
??
?
22
?
2
??
2
?
23
1
?
?
1
?
?
1?
??
nn?1
2
?
?
2
?
?
1
??
1
?
?
?
??
?n?
??
?
1
?
2
??
2
?
1?
2
?
?
n?1
1<
br>?
??
?
?n?
??
?
2
?
小古数学
?T
n
?2?
n?2
2
n
故恒成立不等
式为:
?
nT
n
?2b
n
S
n
?2
?
?
n?3b
n
?
nn
?
n?2???
1
?
n
?
n?1
?
?
1
?
?
?
n?
?
2?
n
?
?2?
??
??2
?
?
n?3
??
?
222<
br>?????
2
?
??
??
?
n
2
?
n?6
?
n
2
?n?6
化简可得:
?
?
2
。所以只需
?
?
?
2
?
n?2n
n?2n
??
min
n
2
?n?611
?1?
2
?1?
设
f
?
n
?
?
2
24
n?2n
n?2n
n?6??10
n?6
n?6
4<
br>?f
?
n
?
min
?f
?
1
???
3
4
??
?
?
?
?
?
?,?
?
3
??
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