高二数学 家教备课

领程教育一对一个性化辅导教案
授课学科
授课教师
授课题目
数学
欧老师
授课年级
授课对象
高二

授课时间
课型

一对一辅导
高二数学《立体几何》

知识与技能与
难点
教学重点
1、几何知识点的熟悉与复习
2、几何简单立体的题目
3、总结归纳


立体几何的知识点的例题讲解

《高考深度复习》 参考资料
教学方法
由知识点到例题，举一反三，拓展思维方法，边讲边练
；

教研组长（签字） 校长（签字）
课后反思

本次课后作业

一、判定两线平行的方法
1、 平行于同一直线的两条直线互相平行
2、 垂直于同一平面的两条直线互相平行
3、 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直
线就和交线平行
4、 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
5、 在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明
二、 判定线面平行的方法
1、 据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点
2、 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个
平面平行
3、 两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面
4、 平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面
5、 平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面
三、判定面面平行的方法
1、定义：没有公共点
2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行
3 垂直于同一直线的两个平面平行
4、平行于同一平面的两个平面平行
四、面面平行的性质
1、两平行平面没有公共点
2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面
3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行
4、 垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面
五、判定线面垂直的方法
1、 定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直
2、 如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直
3、 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面
4、 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面
5、 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面
6、 如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面
六、判定两线垂直的方法
1、 定义：成
90?
角
2、 直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直
3、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜
线垂直
4、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射
影垂直
5、 一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直
七、判定面面垂直的方法
1、 定义：两面成直二面角,则两面垂直
2、 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面
八、面面垂直的性质

1、 二面角的平面角为
90?

2、 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面
3、 相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面
九、各种角的范围
1、异面直线所成的角的取值范围是：
0??
?
?90?

?
0?,90?
?

2、直线与平面所成的角的取值范围是：
0??
?
?90?

?
0?,90?
?

3、斜线与平面所成的角的取值范围是：
0??
?
?90?

?
0?,90?
?

4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范 围是：
0??
?
?180?

?
0?,180?
?

十、三角形的心
1、
2、
3、
4、
内心：内切圆的圆心，角平分线的交点
外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点
重心：中线的交点
垂心：高的交点
新课标立体几何常考证明题汇总
1、已知四边形
ABCD
是空间四边形，< br>E,F,G,H
分别是边
AB,BC,CD,DA
的中点
（1） 求证：EFGH是平行四边形
（2） 若BD=
23
，AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。
A


B



F
C
G
D
E
H

证明：在
?ABD
中 ，∵
E,H
分别是
AB,AD
的中点∴
EHBD,EH?
同 理，
FGBD,FG?
(2) 90° 30 °
考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角
1
BD

2
1
BD
∴
EHFG,EH?FG
∴四边形
EFGH
是平行四边形。
2
2、如图，已知空间四边形
ABCD
中，
BC ?AC,AD?BD
，
E
是
AB
的中点。
求证：（1）
AB?
平面CDE;

（2）平面
CDE?
平面
ABC
。
证明：（1）
A
E
BC?AC
?
?
?CE?AB

AE?BE
?
B
AD?BD
?
同理，
?
?DE?AB

AE?BE
?
又∵
CE?DE?E
∴
AB?
平面
CDE

（2）由（1）有
AB?
平面
CDE

C
D
又∵
AB?
平面
ABC
， ∴平面
CDE?
平面
ABC

考点：线面垂直，面面垂直的判定





3、如图，在正方体
ABCD?A1
B
1
C
1
D
1
中，
E
是< br>AA
1
的中点，
求证：
AC
1

平面
BDE
。
证明：连接
AC< br>交
BD
于
O
，连接
EO
，
∵
E< br>为
AA
1
的中点，
O
为
AC
的中点
∴
EO
为三角形
A
1
AC
的中位线 ∴
EOAC
1

又
EO
在平面
BDE
内，
A
1
C
在平面
BDE
外
B
∴
AC
1

平面
BDE
。
考点：线面平行的判定
4、已知
?ABC
中
?ACB?90
,
SA?
面
ABC
,
AD?SC
,求证：
AD?
面
SBC
．
证明：
∵?ACB?90
°
?BC?AC

又
SA?
面
ABC

?SA?BC


?BC?
面
SAC


?BC?AD


?
A
D
1
B
1
E
C
A
D
C
S
D
A
C
B

又
SC?AD,SC?BC?C
?AD
?
面
SBC

考点：线面垂直的判定
5、已知正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
，
O
是底
ABCD
对 角线的交点.
D
1
A
1
D
O
AB
B1
C
1
?
面
AB
1
D
1
． 求证：(１) C
1
O∥面
AB
1
D
1
；(2)< br>AC
1
证明：（1）连结
A
1
C
1
，设AC
11
?B
1
D
1
?O
1
，连结< br>AO
1

∵
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
是正方体
?A
1
ACC
1
是平行四边形
∴A
1
C
1
∥AC且
AC
11
?AC

又
O
1
,O
分别是
AC
11
,AC
的中点，∴O
1
C
1
∥AO且
O
1
C
1
?AO

C
?AOC
1
O
1
是平行四边形
?C
1
O∥AO
1
,AO
1
?
面
AB
1
D
1
，
C
1
O?
面
AB< br>1
D
1
∴C
1
O∥面
AB
1
D
1


（2）
?CC
1?
面
A
1
B
1
C
1
D
1
?CC

!

1
?B
1
D
又
∵AC
11
?B
1
D
1
，
， 又

?B
1

?D面
1
A

C

C

即AC?B
1
D
1

1

同理可证
AC?AD
1 1
D
1
B
1
?AD
1
?D
1
?< br>面
AB
1
D
1

?
AC
1
考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定






BD'?平面ACB'
. 6、正方体
ABCD?A'B'C'D'
中，求证：（1）
AC?平面B'D'DB< br>；（2）








考点：线面垂直的判定
7、正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中．(1)求证：平面A
1
BD∥平面B
1
D
1
C；
(2)若E、F分别是AA
1
，CC
1
的中点，求证：平面EB
1
D
1
∥平面FBD．
A
1
E
D
A
D
1
B
1
F
G
B
C
C
1

证明：( 1)由B
1
B∥DD
1
，得四边形BB
1
D
1D是平行四边形，∴B
1
D
1
∥BD，




又BD ?平面B
1
D
1
C，B
1
D< br>1
?
平面B
1
D
1
C，
∴BD∥平面B
1
D
1
C．
同理A
1
D∥平面B
1
D
1
C．
而A< br>1
D∩BD＝D，∴平面A
1
BD∥平面B
1
CD．
(2)由BD∥B
1
D
1
，得BD∥平面EB
1
D
1
．取BB
1
中点G，∴AE∥B
1
G．
从 而得B
1
E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B
1
E∥DF．∴D F∥平面EB
1
D
1
．∴平
面EB
1
D
1
∥平面FBD．
考点：线面平行的判定（利用平行四边形）
8、四面体
A BCD
中，
AC?BD,E,F
分别为
AD,BC
的中点，且
EF?
2
AC
，
2
?BDC?90
?
，求证：
BD?
平面
ACD

证明：取
CD
的中点
G
，连结
EG,FG
，∵
E,F
分别为
AD,BC
的中点，∴
EG

1
AC

?
2
1
1
2222

1
BD
，又
A
∴在
?EFG
中，
EG?FG?AC?EF

FG
?
C?BD,
∴
FG?AC
，
22
2
?
∴
EG?FG
，∴
BD?AC
，又
?BDC?90
，即
BD?CD
，AC?CD?C

∴
BD?
平面
ACD

考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形
9、如图
P
是?ABC
所在平面外一点，
PA?PB,CB?
平面
PAB
，< br>M
是
PC
的中点，
N
是
AB
上的点，
AN?3NB

P
?
（1）求证：
MN?AB
；（2）当
?APB?90
，
AB?2BC?4
时，求
MN
的长。 < br>证明：（1）取
PA
的中点
Q
，连结
MQ,NQ
，∵
M
是
PB
的中点，
M
∴
MQBC
，∵
CB?
平面
PAB
，∴
MQ?
平面
PAB


C
∴
QN
是
MN
在平面
PAB
内的射影 ，取
AB
的中点
D
，连结
PD
，∵
PA?PB ,
∴
PD?AB
，又
AN?3NB
，∴
BN?ND

∴
QNPD
，∴
QN?AB
，由三垂线定理得
MN?AB

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A
N
B
（2）∵
?APB?90，
PA?PB,
∴
PD?
∴
MQ?NQ
，且
M Q?
考点：三垂线定理
?
1
AB?2
，∴
QN?1
，∵
MQ?
平面
PAB
.
2
1
BC?1
，∴
MN?2

2
10、如图，在正方体
ABCD?A
1< br>B
1
C
1
D
1
中，
E
、
F
、
G
分别是
AB
、
AD
、
C
1< br>D
1
的中点.
求证：平面
D
1
EF
∥平面< br>BDG
.
证明：∵
E
、
F
分别是
AB、
AD
的中点，
?
EF
∥
BD

又< br>EF?
平面
BDG
，
BD?
平面
BDG
?< br>EF
∥平面
BDG

∵
D
1
G
EB
?
四边形
D
1
GBE
为平行四边形，
D
1
E
∥
GB

又
D
1
E?< br>平面
BDG
，
GB?
平面
BDG
?
D
1
E
∥平面
BDG

EF?D
1
E?E
，
?
平面
D
1
EF
∥平面
BDG

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）
11、如图，在正方体
ABCD?A< br>1
B
1
C
1
D
1
中，
E
是
AA
1
的中点.
（1）求证：
AC
1

平面
BDE
；
（2）求证：平面
A
1
AC?
平面
BDE
.
证明：（1）设
AC?BD?O
，
∵
E
、
O分别是
AA
1
、
AC
的中点，
?
A
1
C
∥
EO

?
平面
BDE
，
EO ?
平面
BDE
，
?
A
1
C
∥平面
BDE
又
AC
1
（2）∵
AA
1
?
平面
ABCD
，
BD?
平面
ABCD
，
AA
1
?BD

又
BD?AC
，
平面
A
1
AC

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定
12、已知
ABCD
是矩形，
PA?
平面
ABCD
，
AB?2
，
PA?AD?4
，
E
为
BC
的中点．
（1）求证：DE?
平面
PAE
；（2）求直线
DP
与平面
PAE< br>所成的角．
证明：在
?ADE
中，
AD?AE?DE
，?
AE?DE

∵
PA?
平面
ABCD
，DE?
平面
ABCD
，
?
PA?DE

又
PA?AE?A
，
?
DE?
平面
PAE

（2）
?DPE
为
DP
与平面
PAE
所成的角 < br>在
Rt?PAD
，
PD?42
，在
Rt?DCE
中，
DE?22

在
Rt?DEP
中，
PD?2DE
，
?
?DPE?30

考点：线面垂直的判定,构造直角三角形
13 、如图，在四棱锥
P?ABCD
中，底面
ABCD
是
?DAB?60
且边长为
a
的菱形，侧
面
PAD
是等边三角形，且平面PAD
垂直于底面
ABCD
．
（1）若
G
为
AD
的中点，求证：
BG?
平面
PAD
；
（2）求证：
AD?PB
；
（3）求二面角
A?BC?P
的大小．
0
0
AC?AA< br>1
?A
，
?
BD?
平面
A
1
AC< br>，
BD?
平面
BDE
，
?
平面
BDE?222

证明：（1）
?ABD
为等边三角形且
G
为
AD
的中点，
?
BG?AD

又平面
PAD?
平面
ABCD
，
?
BG?
平面
PAD

（2）
PAD
是等边三角形且
G
为
AD
的中点 ，
?
AD?PG

且
AD?BG
，
PG?BG?G
，
?
AD?
平面
PBG
，
PB?
平面
PBG
，
?
AD?PB

（3 ）由
AD?PB
，
AD
∥
BC
，
?
BC? PB

又
BG?AD
，
AD
∥
BC
，?
BG?BC

?
?PBG
为二面角
A?BC?P
的平面角
在
R t?PBG
中，
PG?BG
，
?
?PBG?45

考点：线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）
1 4、如图1,在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
M
为
CC
1
的中点，AC交BD于点O，求证：
0
AO?
平面MBD．
1
证明 ：连结MO，
A
1
M
，∵DB⊥
A
1
A
， DB⊥AC，
A
1
A?AC?A
，
?
平面
A
1
ACC
1
∴DB⊥
A
1
O
． ∴DB⊥平面
A
1
ACC< br>1
，而
AO
1
2
设正方体棱长为
a
，则AO?
1
3
2
3
a
，
MO
2
?a
2
．
24
． 在Rt△
A
1
C
1
M
中，
A
1
M
2
?
9
2
222
OO?M
?MO?A
1
M
∵
AO
，∴
A
a
．
1
1
4
∵OM∩DB=O，∴
A
1
O
⊥平面MBD．
考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直

15、如图２，在三棱锥
Ａ
－
BCD
中，
BC
＝
AC
，
AD＝
BD
，
作
BE
⊥
CD
，
Ｅ
为垂足，作
AH
⊥
BE
于
Ｈ
．求证：
AH
⊥平面
BCD
．
证明：取
AB
的中点
Ｆ< br>，连结
CF
，
DF
．
∵
AC?BC
，∴
CF?AB
．
∵
AD?BD
，∴
DF?AB
．
又
CF?DF?F
，∴
AB?
平面
CDF
．
∵
CD?
平面
CDF
，∴
CD?AB
．
又
CD?BE
，
BE?AB?B
，
∴
CD?
平面
ABE
，
CD?AH
．
∵
AH?CD
，
AH?BE
，
CD?BE?E
，


∴
AH?
平面
BCD
．
考点：线面垂直的判定

16、证明：在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，A
1
C⊥平面BC
1
D

D
1
C
1


A
1
B
1



D C

A B


证明：连结AC
⊥AC

∵BD
∴ AC为A
1
C在平面AC上的射影
?BD?A
1
C
?
?
?A
1
C?平面BC
1
D
同理可证A
1
C?BC
1
?

考点：线面垂直的判定，三垂线定理
17、如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、 SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠
BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．
证明∵SB=SA=SC，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中点O，连AO、 SO，
则AO⊥BC，SO⊥BC，
2
∴∠AOS为二面角的平面角，设SA=SB =SC=a，又∠BSC=90°，∴BC=
2
a，SO=
2
a，
11
AO
2
=AC
2
－OC
2
=a
2－
2
a
2
=
2
a
2
，∴SA
2
=AO
2
+OS
2
，∴∠AOS=90°，从而平面ABC⊥平面BSC．
考点：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）

学生对本次课评价：
A+
（105）
:老师备课特别充分，讲课特别生动，上课特别有效。
A
（99）
：老师备课很充分，讲课很生动，上课很有效。
B
（80）
：老师备课比较充分，讲课比较生动，上课比较有效。
C
（50）
：老师备课一般，讲课一般，上课一般。
D
（0）
：老师备课混乱，讲课水平低，上课没有效。
学生签字：

教师评定：

1. 学生上次作业评价：

2. 学生本次上课情况评价：

教师签字：