2018-2019学年度最新苏教版高中数学苏教版必修五学案：2.2.2 等差数列的通项公式

2.2.2 等差数列的通项公式
学习目标 1.掌握等差数列通项公式的推导及应用 .2.能根据等差数列的定义推出等差数列
的重要性质.3.能运用等差数列的性质解决有关问题．


知识点一 等差数列的通项公式
思考 等差数列{a
n
}中，首项为a
1
，公差为d，如何用a
1
，d表示a
n?







梳理 一般地，a
n
＝a
1
＋(n－1)d称为等差数列{a
n
}的通项公式．

知识点二 等差数列通项公式的几何意义
思考 已知等差数列{a
n}的首项a
1
和公差d能表示出通项公式a
n
＝a
1
＋ (n－1)d，如果已知第
m项a
m
和公差d，又如何表示通项公式a
n?< br>






梳理 等差数列通项 公式可变形为a
n
＝dn＋(a
1
－d)，其图象为一条直线上孤立的一系列 点，
(1，a
1
)，(m，a
m
)，(n，a
n
) 都是这条直线上的点．d为直线的斜率，故两点(1，a
1
)，(n，a
n
) 连
a
n
－a
1
a
n
－a
m
线的斜 率d＝.当两点为(n，a
n
)，(m，a
m
)时，有d＝.
n－1n－m
知识点三 等差数列的性质
思考 还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋?＋100的吗？

梳理 在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a
1
＋
a
n
＝a
2
＋a
n
－
1
＝a
3
＋a
n
－
2
＝?.
注意到上式中的序号1＋n＝2＋(n－1)＝?，
有：在等差数列{a
n
}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N
*
)，则a
m
＋a
n
＝________.特别地，
若m＋n＝2p，则a
n
＋a
m＝________.

类型一 求等差数列的通项公式
例1 甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：

时间t(s)
距离s(cm)

(1)你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？
(2)利用建立的模型计算，甲虫1 min能爬多远？它爬行49 cm需要多长时间？












反思与感悟 由于a
n
＝a
m
＋(n－m) d，要求通项公式，只需求出该数列的任意一项和公差．
跟踪训练1 已知等差数列{a
n
}：3,7,11,15，?.
(1)135,4m＋19(m ∈N
*
)是{a
n
}中的项吗？试说明理由；
(2)若a
p
，a
q
(p，q∈N
*
)是数列{a
n
}中的项 ，则2a
p
＋3a
q
是数列{a
n
}中的项吗？并说明你的 理由．





1
9.8
2
19.6
3
29.4
?
?
？
49
?
?
60
？

类型二 等差数列通项公式及推广形式的应用

命题角度1 列方程(组)求基本量
例2 在等差数列{a
n
}中，已知a
2
＝5，a
8
＝17，求数列的公差及通项公式．












反思与感悟 把已知条件转化 为关于a
1
，d的方程组求解，是一种常用思想，称为方程思想．灵
活利用等差数列的 性质，可以减少运算量．
跟踪训练2 等差数列{a
n
}为递减数列，且a
2
＋a
4
＝16，a
1
a
5
＝28，求数列{a< br>n
}的通项公式．









命题角度2 等差数列的通项公式与一次函数关系
例3 已知数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这 个数列一定是等差
数列吗？若是，首项和公差分别是多少？