高中数学选修1-2导学案,教案

高中数学人教版选修1-2全套教案
第一章统计案例
1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一）
教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.
教学重 点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指
数和残差分析.
教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能 教出厉害的学生吗？
这两者之间是否有关？
2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相
关关系的两 个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据
?
作散点图
?
求回归 直
线方程
?
利用方程进行预报.
二、讲授新课：
1. 教学例题：
① 例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：
编 号
身高cm
1
165
2
165
57
3
157
50
4
170
54
5
175
64
6
165
61
7
155
43
8
170
59 体重kg 48
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报 一名身高为172cm的女大学生的
体重. （分析思路
?
教师演示
?
学生整理）

70
60
体
重

k
g

50
40
30
20
10
0
150 155 160 165
身高cm
170 175 180







1

第一步：作散点图 第二步：求回归方程 第三步：代值计算
② 提问：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？
不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右.
③ 解释线性回归模型与一次函数的不同
事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重
y
和身高
x
之间的关系并不能用一次
函数
y?bx?a
来严 格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体
重的关系）. 在数据表中身 高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和61kg，如
果能用一次函数来描述 体重与身高的关系，那么身高为165cm的3名女在学生的体重应相同. 这
就说明体重不仅受身高的 影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果
e
（即残差变量或随机
变量）引入到线性 函数模型中，得到线性回归模型
y?bx?a?e
，其中残差变量
e
中包含体 重
不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函
数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一
般形式.
2. 相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越
接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义.
3. 小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.





2

第二课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用（二）
教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.
教学重点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.
教学难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.
教学过程：
一、复习准备：
1．由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响.
2．为了刻 画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度上与
随机误差有关？我们 引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平
方和.
二、讲授新课：
1. 教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和：
（1）总偏 差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即
SST?
?
(y
i?y)
2
.
i?1
n
残差平方和：回归值与样本值差的平方和 ，即
SSE?
?
(y
i
?y
i
)
2
.
i?1
n
回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即
SSR?
?
(y
i
?y)
2
.
i?1
n
（2）学习要领：①注意
y
i
、
y
i
、
y
的区别；②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引
起的变化程度与残差变量的变化程度之和，即< br>?
(y
i
?y)?
?
(y
i
?y
i
)?
?
(y
i
?y)
2
；③当总
22i?1i?1i?1
nnn
偏差平方和相对固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大， 此时模型的拟合效果越好；④
对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数
R
2?1?
?
(y
i?1
n
i?1
n
i
? y
i
)
2
来刻画回归的效果，它表
?
(y
的效果越 好.
2. 教学例题：
例2 关于
x
与
Y
有如下数据：
3

i
?y)
2
示解释变量对预报变量变化的贡献率.
R
2
的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合

x


y

2
30
4
40
5
60
6
50
8
70
为了对
x
、现有以下两种线性模型：
y?6.5x?17 .5
，
y?7x?17
，
Y
两个变量进行统计分析，
试比较 哪一个模型拟合的效果更好.
分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方 和，也可分别求出两
种模型下的相关指数，然后再进行比较，从而得出结论.
（答案：
R
1
2
?1?
?
(y
i
?y
i
)
2
?
(y?y)
i
i?1
i?1
5
2< br>5
155
?1??0.845
，
R
2
2
?1 ?
1000
?
(y?y)
ii
5
2
?
(y ?y)
i
i?1
i?1
5
?1?
2
180
?0.82
，84.5%＞82%，所以甲选
1000
用的模型拟合效果较好.）
3. 小结：分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，初步了解如何评价两个不同模型拟合
效果的好坏.

















4

第三课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用（三）
教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.
教学重 点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解
决实际问题的过程 中寻找更好的模型的方法.
教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相 关指数对不同的模
型进行比较.
教学过程：
一、复习准备：
1. 给出 例3：一只红铃虫的产卵数
y
和温度
x
有关，现收集了7组观测数据列于下表 中，试建
立
y
与
x
之间的回归方程.
温度
xC

21 23
11
25
21
27
24
29
66
32
115
35
325
产卵数
y
个
7
（学生描述步骤，教师演示）
2. 讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某
个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接
用线性回归方程来建立两个变量之 间的关系.
二、讲授新课：
1. 探究非线性回归方程的确定：
产
卵
数

350
300
250
200
150
100
50
0
0 10 20
温度
30 40
① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回 归模型来建模；如果散点图中
的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模.
② 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线
y
=
C
1
e
C
2
x
的周围（其中
c
1
, c
2
是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量.
③ 在上式两边取对 数，得
lny?c
2
x?lnc
1
，再令
z?lny
，则
z?c
2
x?lnc
1
，而
z
与
x
间的关系
如下：
7




X

z

6
5
4
3
2
1
0
0 10 20
x
30 40
21 23 25 27 29 32
5
35

z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784
观察
z
与
x
的散点图，可以发现变换后样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方
程来拟合.
④ 利用计算器算得
a??3.843,b?0.272
，
z
与x
间的线性回归方程为
z?0.272x?3.843
，因此
红铃虫的产 卵数对温度的非线性回归方程为
y?e
0.272x?3.843
.
⑤ 利 用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图
?
建模
?
确定方程”这三个 步骤进行.
其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题.
2. 小结：用回归方程探究非线性回归问题的方法、步骤.
三、巩固练习：
为了研究某种细菌随时间
x
变化，繁殖的个数，收集数据如下：
天数
x
天 1 2
12
3
25
4
49
5
95
6
190 繁殖个数
y
个 6
（1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图；
?
=e
0.69x?1.112
.） （2）试求出预报变量对解释变量的回归方程.（答案：所求非线性回归方程为
y













6

第四课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用（四）
教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.
教学重 点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解
决实际问题的过程 中寻找更好的模型的方法，了解可用残差分析的方法，比较两种模型的拟合
效果.
教学难点： 了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模
型进行比较.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：在例3中，观察散点图，我们选择用指数 函数模型来拟合红铃虫的产卵数
y
和温度
x
间的关系，还可用其它函数模型来 拟合吗？
2. 讨论：能用二次函数模型
y?c
3
x
2
? c
4
t
441
350
300
250
y

200
150
100
50
0
0 200 400 600
t
800 1000 1200 1400
529 625
11 21
729 841 1024 1225
24 66 115 325
y

7
来拟合上述两个变量间的关系吗？（令t?x
2
，则
y?c
3
t?c
4
，此时
y
与
t
间的关系如下：
观察
y
与
t
的 散点图，可以发现样本点并不分布在一条
直线的周围，因此不宜用线性回归方程来拟合它，即不
宜用二次曲线
y?c
3
x
2
?c
4
来拟合
y
与
x
之间的关系. ）小结：也就是说，我们可以通过观察变
换后的散点图来判断能否用此种模型来拟合. 事实上，除了观察散点图以外，我们也可先求出
函数模型，然后利用残差分析的方法来比较模型的好坏.
二、讲授新课：
1. 教学残差分析：
① 残差：样本值与回归值的差叫残差，即
e
i
?y
i
?y
i
.
② 残差分析：通 过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的
分析工作称为残差分析.
③ 残差图：以残差为横坐标，以样本编号，或身高数据，或体重估计值等为横坐标，作出的图
形称为残差图. 观察残差图，如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型
比较合适 ，这样的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高.
7

2. 例3中的残差分析：
计算两种模型下的残差

一般 情况下，比较两个模型的残差比较困难（某些样本点上一个模型的残差的绝对值比另
一个模型的小，而另 一些样本点的情况则相反），故通过比较两个模型的残差的平方和的大小来
判断模型的拟合效果. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好.
由于两种模型下的残差平方和分别为1450.673 和15448.432，故选用指数函数模型的拟合
效果远远优于选用二次函数模型. （当然，还可用相关指数刻画回归效果）
3. 小结：残差分析的步骤、作用
三、巩固练习：练习：教材P13 第1题














8

1.2独立性检验的基本思想及其初步应用（一）
教学要求：通过 探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，并借助样本数据的
列联表、柱形图和条形图展 示在吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比例高，让学生
亲身体验独立性检验的实施步骤与必要 性.
教学重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤.
教学难点：了解独立性检验的基本思想、了解随机变量
K
2
的含义.
教学过程：
一、复习准备：
回归分析的方法、步骤，刻画模型拟合效果的方法（相关指数、残差分析）、步骤.
二、讲授新课：
1. 教学与列联表相关的概念：
① 分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量. 分类变量的取
值一定是离 散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别，如性别变量，只取男、女两个值，
商品的等级变量只取一 级、二级、三级，等等. 分类变量的取值有时可用数字来表示，但这时
的数字除了分类以外没有其他的含义. 如用“0”表示“男”，用“1”表示“女”.
② 列联表：分类变量的汇总统计表（频数表）. 一般
我们只研究每个分类变量只取两个值，这样的列联表
称为
2?2
. 如吸烟与患肺癌的列联表：
2. 教学三维柱形图和二维条形图的概念：
由列联表可以粗略 估计出吸烟者和不吸烟者患肺癌的
可能性存在差异.（教师在课堂上用EXCEL软件演示三维柱形图和 二维条形图，引导学生观察这
两类图形的特征，并分析由图形得出的结论）
3. 独立性检验的基本思想：
① 独立性检验的必要性（为什么中能只凭列联表的数据和图形下结论？）： 列联表中的数据是
样本数据，它只是总体的代表，具有随机性，故需要用列联表检验的方法确认所得结论 在多大
程度上适用于总体.
② 独立性检验的步骤（略）及原理（与反证法类似）：
反证法
要证明结论A
假设检验
备择假设H
1

9


不吸烟
吸 烟
总 计
不患肺癌 患肺癌 总计
7775
2099
9874
42
49
91
7817
2148
9965

在A不成立的前提下进行推理
在H
1
不成立的条件下，即H
0
成立的条件下进行推理
推出矛盾，意味着结论A成立
推出有利于H
1
成立的小概率事件（概率不超 过
?
的事件）发
生，意味着H
1
成立的可能性（可能性为（1－?
））很大
没有找到矛盾，不能对A下任
何结论，即反证法不成功
③ 上例的解决步骤
第一步：提出假设检验问题 H
0
：吸烟与患肺癌没有关系
?
H
1
：吸烟与患肺癌有关系
推出有利于H
1
成立的小概率事件不发生，接受原假设
n(ad?bc)
2
第二步：选择检验的指标
K?
（它越小，原 假设“H
0
：吸烟与
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
2
患肺癌没有关系”成立的可能性越大；它越大，备择假设“H
1
：吸烟与患肺癌有关系”成立的
可能性越大.
第三步：查表得出结论
P
(
k
2
>
k
) 0.50 0.40 0.25

k

0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
5.024 6.635 7.879 10.83 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84















10

第二课时 1.2独立性检验的基本思想及其初步应用（二）
教学要求：通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引 出独立性检验的问题，并借助样本数据的
列联表、柱形图和条形图展示在吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟 者中患肺癌的比例高，让学生
亲身体验独立性检验的实施步骤与必要性.
教学重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤.
教学难点：了解独立性检验的基本思想、了解随机变量
K
2
的含义.
教学过程：
一、复习准备：
独立性检验的基本步骤、思想
二、讲授新课：
1. 教学例1：
例1 在某医院，因为患心脏病而住院的665 名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是
因为患心脏病而住院的男性病人中有175名秃顶 . 分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与
患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？
① 第一步：教师引导学生作出列联表，并分析列联表，引导学生得出“秃顶与患心脏病有关”
的结论；
第二步：教师演示三维柱形图和二维条形图，进一步向学生解释所得到的统计结果；
第三步：由学生计算出
K
2
的值；
第四步：解释结果的含义.
② 通过第2个问题，向学生强调“样本只能代表相应总体”，这里的数据来自于医院的住院病
人，因此题目中的结论能够很好地适用于住院的病人群体，而把这个结论推广到其他群体则可
能会出现错 误，除非有其它的证据表明可以进行这种推广.
2. 教学例2：
例2 为考察高中生的性 别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取
300名学生，得到如下列联表：

男
女
总 计
喜欢数学课程
37
35
72
不喜欢数学课程
85
143
228
11

总 计
122
178
300

由表中数据计算得到
K
2
的观察值
k?4.513
. 在多大程度上可以认为高中生的性别与是否数学
课程之间有关系？为什么？
（学生自练，教师总结）
强调：①使得
P(K
2
?3.841)? 0.05
成立的前提是假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”.
如果这个前提不成立， 上面的概率估计式就不一定正确；
②结论有95%的把握认为“性别与喜欢数学课程之间有关系”的含义；
③在熟练掌握了两个 分类变量的独立性检验方法之后，可直接计算
K
2
的值解决实际问题，而没
有 必要画相应的图形，但是图形的直观性也不可忽视.
3. 小结：独立性检验的方法、原理、步骤
三、巩固练习：
某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健康有影响，随机进行调查并得到 如下的列联表：
请问有多大把握认为“高中生学习状况与生理健康有关”？






不优秀
优 秀
总 计
不健康
41
37
78
健 康
626
296
922
总计
667
333
1000









12

第二章 推理与证明

2.1.1 合情推理（一）
教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理 ，体会
并认识归纳推理在数学发现中的作用.
教学重点：能利用归纳进行简单的推理.
教学难点：用归纳进行推理，作出猜想.
教学过程：
一、新课引入：
1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7,
20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可
以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世
闻名的猜想. 1973年，我 国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个
素数乘积之和，数学上把它称为“1 +2”.
2. 费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对
F
0
?2
2
?1?3
，
0
F
1< br>?2
2
?1?5
，
F
2
?2
2
?1 ?17
，
F
3
?2
2
?1?257
，
F< br>4
?2
2
?1?65537
的观察，发现其结果
都是素数，于 是提出猜想：对所有的自然数
n
，任何形如
F
n
?2
2?1
的数都是素数. 后来瑞士
数学家欧拉，发现
F
5
?22
?1?4294967297?641?6700417
不是素数，推翻费马猜想.
3. 四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色< br>工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着
上 不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在
美国伊 利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证
明.
二、讲授新课：
1. 教学概念：
① 概念：由某类事物的部分对象具有某些特征 ，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推
理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推 理. 简言之，归纳推理是由部分到整
体、由个别到一般的推理.
② 归纳练习：(
i
)由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？
13

5
n
1234

(
ii
)由直角三 角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？
(
iii
)观察等式：能得出怎样的结论？
1?3?4?2
2,1?3?5?9?3
2
,1?3?5?7?9?16?4
2
，
③ 讨论：(
i
)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？
(
ii
)归纳推理有何作用？ （发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段）
(
iii
)归纳推理的结果是否正确？（不一定）
2. 教学例题：
① 出示例题：已知数列
?
a
n
?
的第1项
a1
?2
，且
a
n?1
?
a
n
(n?1 ,2,)
，试归纳出通项公式.
1?a
n
（分析思路：试值
n
=1，2，3，4 → 猜想
a
n
→如何证明：将递推公式变形，再构造新数列）
② 思考：证 得某命题在
n
＝
n
0
时成立；又假设在
n
＝
k
时命题成立，再证明
n
＝
k
＋1时命题也
成立. 由这两步，可以归纳出什么结论？ （目的：渗透数学归纳法原理，即基础、递推关系）
③ 练习：已知
f(1)?0,af(n)?bf(n?1)?1,

n?2,a?0,b?0
，推测
f(n)
的表达式.
3. 小结： ①归纳推理的药店：由部分到整体、由个别到一般；②典型例子：哥德巴赫猜想的提
出；数列通项公式的 归纳.
三、巩固练习：
1. 练习：教材P
38
1、2题. 2. 作业：教材P
44
习题
A
组 1、2、3题.













14

2.1.1 合情推理（二） 教学要求：结合已学过的数学实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推
理，体 会并认识合情推理在数学发现中的作用.
教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.
教学难点：用归纳和类比进行推理，作出猜想.
教学过程：
一、复习准备：
1. 练习：已知
a
i
?0(i?1,2,
(iii)(a
1
?a
2
?a
3
)(
,n)
，考察下列式子：< br>(i)a
1
?
111
?1
；
(ii)(a
1
?a
2
)(?)?4
；
a
1
a
1
a
2
111
??)?9
. 我们可以归纳出，对
a
1
,a
2
,
a
1
a
2
a
3
,a< br>n
也成立的类似不等式
为 .
2. 猜想数列
1111
,?,,?,
1?33?55?77?9
的通项公式是 .
3. 导入：鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理，发明潜水艇；地球上有生命，
火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、扰轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，
温 度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理.
二、讲授新课：
1. 教学概念：
① 概念：由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具
有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.
② 类比练习：
(
i
)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径. 由此结论如何类比到球体？
(
ii
)平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？
(
iii
)由圆的一些特征，类比得到球体的相应特征. （教材P81 探究 填表）
小结：平面→空间，圆→球，线→面.
③ 讨论：以平面向量为基础学习空间向量，试举例其中的一些类比思维.
2. 教学例题：

15

① 出示例1：类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. （得到如下表格）
类比角度
运算结果
运算律
实数的加法
若
a,b?R,
则
a?b?R

a?b?b?a
(a?b)?c?a?(b?c)
实数的乘法
若
a,b?R,
则
ab?R

ab?ba
(ab)c?a(bc)

逆运算
加法的逆运算是减 法，使得方
程
a?x?0
有唯一解
x??a

a?0?a

乘法的逆运算是除法，使得
方程
ax?1
有唯 一解
x?
a?1?1

1

a
单位元

② 出示例2：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.
思 维：直角三角形中，
?C?90
0
，3条边的长度
a,b,c
，2条 直角边
a,b
和1条斜边
c
；
→3个面两两垂直的四面体中，?PDF??PDE??EDF?90
0
，4个面的面积
S
1
, S
2
,S
3
和
S

3个“直角面”
S1
,S
2
,S
3
和1个“斜面”
S
. → 拓展：三角形到四面体的类比.
3. 小结：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分 析、比较、联想，再进行归
纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理.
三、巩固练习：1. 练习：教材P
38
3题.
2. 探究：教材P
35
例5
3.作业：P
44
5、6题.











16

2.1.2 演绎推理
教学要求：结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的
基 本方法，并能运用它们进行一些简单的推理。.
教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.
教学难点：分析证明过程中包含的“三段论”形式.
教学过程：
一、复习准备：
1. 练习： ① 对于任意正整数
n
，猜想（2
n
-1）与(n
+1)的大小关系？
②在平面内，若
a?c,b?c
，则
ab
. 类比到空间，你会得到什么结论 ？（结论：在空间中，
若
a?c,b?c
，则
ab
；或在空间中，若
?
?
?
,
?
?
?
,则
?

?
.
2. 讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？
合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明，有什么能使结论正确的推理形式呢？
3. 导入：① 所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ；
② 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此 ；
③ 奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以 .
（填空→讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗？→课题：演绎推理）
二、讲授新课：
1. 教学概念：
① 概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。
要点：由一般到特殊的推理。
② 讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？
?
归纳推理：由特殊到一般
合情推理
?
；演绎推理：由一般到特殊.
类比推理：由特殊到特殊
?
2
③ 提问：观察教材P
39
引例，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？
所有的金属都导电 铜是金属 铜能导电
已知的一般原理 特殊情况 根据原理，对特殊情况做出的判断
大前提 小前提 结论
“三段论”是演绎推理的一般模式：第一段：大前提——已知的一般原理；第二段：小前提—17

—所研究的特殊情况；第三段：结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.
④ 举例：举出一些用“三段论”推理的例子.
2. 教学例题：
① 出示例1： 证明函数
f(x)??x
2
?2x
在
?
??,?1
?
上是增函数.
板演：证明方法（定义法、导数法） → 指出：大前题、小前题、结论.
② 出示例2：在锐角三角形
ABC
中，
A D?BC,BE?AC
，
D
，
E
是垂足. 求证：
AB的中点
M
到
D
，
E
的距离相等.
分析：证明思路 →板演：证明过程 → 指出：大前题、小前题、结论.
1
③ 讨论： 因为指数函数
y?a
x
是增函数，
y?()
x
是指数函数， 则结论是什么？
2
（结论→指出：大前提、小前提 → 讨论：结论是否正确，为什么？）
④ 讨论：演绎推理怎样才结论正确？（只要前提和推理形式正确，结论必定正确）
3. 比 较：合情推理与演绎推理的区别与联系？（从推理形式、结论正确性等角度比较；演绎推
理可以验证合情 推理的结论，合情推理为演绎推理提供方向和思路.）
三、巩固练习：1. 练习：P
42
2、3题
2. 探究：P
42
阅读与思考
3.作业：P
44
6题，B组1题.













18

19

2.2.1 综合法和分析法（一）
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和 综合法；了解
分析法和综合法的思考过程、特点.
教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.
教学过程：
一、复习准备：
1. 已知 “若
a
1
,a
2
?R
?
，且
a
1
?a
2
?1< br>，则
11
??4
”，试请此结论推广猜想.
a
1
a
2
111
??....??

n
2
）
a
1
a
2
a
n
（答案：若
a
1
,a
2
.......a
n
?R< br>?
，且
a
1
?a
2
?....?a
n
?1
，则
2. 已知
a,b,c?R
?
，
a?b?c?1
，求证：
111
???9
.
abc
先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？
二、讲授新课：
1. 教学例题：
① 出示例1：已知
a
,
b
,
c
是不全相等的正数，求证：
a
(
b
+
c
) +
b
(
c
+
a
) +
c
(
a
+
b
) >
6
abc
.
分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理）
→ 讨论：证明形式的特点
② 提出综合法：利用 已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后
推导出所要证明的结论成立.
框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.
222222
③ 练习：已知
a
，
b
，
c
是全不相等的正实数，求证
b?c?a a?c?ba?b?c
???3
.
abc
④ 出示例2：在△
AB C
中，三个内角
A
、
B
、
C
的对边分别为
a
、
b
、
c
，且
A
、
B
、
C
成等差数列，
a
、
b
、
c
成等比数列. 求证：为△
ABC
等边三角形.
分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？
→ 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.
→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）
20

2. 练习：
A?B?60
. ②
A,B为锐角，且
tanA?tanB?3tanAtanB?3
，求证：（提示：算
t an(A?B)
）
② 已知
a?b?c,
求证：
114
??.

a?bb?ca?c
3. 小结：综合法是从 已知的
P
出发，得到一系列的结论
Q
1
,Q
2,
? ??
，直到最后的结论是
Q
. 运
用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.
三、巩固练习：
1. 求证：对于任意角θ，
cos
4
?
?sin
4
?
?cos2
?
. （教材P
52
练习 1题）
（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）
2.
?ABC
的三个内角
A,B,C
成等差数列，求证：
3. 作业：教材P
54

A
组 1题.

















2.2.1 综合法和分析法（二）
21

113
.
??
a?bb?ca?b?c

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解
分析法和综 合法的思考过程、特点.
教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：基本不等式的形式？
2. 讨论：如何证明基本不等式
a?b
?ab(a?0,b?0)
.
2
（讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）
二、讲授新课：
1. 教学例题：
① 出示例1：求证
3?5?2?6
.
讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？
→ 板演证明过程 （注意格式）
→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法
② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻 找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的
结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、 定义、公理等）为止.
框图表示：
2
要点：逆推证法；执果索因.
1
2
2
3
1
3
3
③ 练习：设
x
> 0，
y
> 0，证明不等式：
(x?y)?(x?y)
.
先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.
④ 出示例4：见教材P
48
. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）
⑤ 出示例5：见教材P
49
. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）
2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么
截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
提示：设截面周长为
l
，则 周长为
l
的圆的半径为
形边长为
ll
，截面积为
?
()
2
，周长为
l
的正方
2
?
2
?
l
lll
，截面积为
()
2
，问题只需证：
?
( )
2
>
()
2
.
4
42
?
4
22

3. 小结： 分析法由要证明的结论
Q
思考，一步步探求得到
Q
所需要的已知
P< br>1
,P
2,
???
，直到所有
的已知
P
都成 立；
比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分
析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，
两面夹 击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）
三、巩固练习：
1. 设
a
,
b
,
c是的△
ABC
三边，
S
是三角形的面积，求证：
c
2< br>?a
2
?b
2
?4ab?43S
.
略证：正弦、余弦定理代入得：
?2abcosC?4ab?23absinC
， < br>即证：
2?cosC?23sinC
，即：
3sinC?cosC?2
，即证：
sin(C?
2. 作业：教材P
52
练习 2、3题.

















2.2.2 反证法
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法
2 3

?
6
)?1
（成立）.

的思考过程、特点.
教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.
教学过程：
一、复习准备：
1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）
2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点
A
、
B
、C不能作
圆”. 讨论如何证明这个命题？
3. 给出证法：先假设可以作一个⊙
O
过
A
、
B
、C三点，
则
O
在
AB
的中垂线
l
上，
O
又在
B
C的中垂线
m
上，
即
O
是
l
与
m
的交点。
P
A
O
D
但 ∵
A
、
B
、C共线，∴
l
∥
m
(矛盾)
∴ 过在同一直线上的三点
A
、
B
、C不能作圆.
二、讲授新课：
1. 教学反证法概念及步骤：
① 练习：仿照以上方法，证明：如果
a
>
b
>0，那么
a?b

C
B
② 提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾， 因此说明假设
错误，从而证明了原命题成立.
证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的
原因是假设不成立，从而原命题的结论成立
应 用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、
定理、事实矛盾 等）.
方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.
注：结合准备题分析以上知识.
2. 教学例题：
① 出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
分析：如何否定结论？ → 如何从假设出发进行推理？ → 得到怎样的矛盾？
与教材不同的证法：反设
AB
、 CD被
P
平分，∵
P
不是圆心，连结O
P
，
则由 垂径定理：O
P
?
AB
，O
P
?
CD
，则 过
P
有两条直线与
OP
垂直（矛盾），∴不被
P
平分.
24

② 出示例2：求证
3
是无理数. （ 同上分析 → 板演证明，提示：有理数可表示为
mn
）
证：假设
3
是有理数，则不妨设
3?mn
（
m
,
n
为互质正整数），
从而：
(mn)
2
?3
，
m
2
?3n2
，可见
m
是3的倍数.
设
m
=3
p
（
p
是正整数），则
3n
2
?m
2
?9p
2
，可见
n
也是3的倍数.
这样，
m
,
n
就不是互质的正整数（矛盾）. ∴
3?mn
不可能，∴
3
是无理数.
③ 练习：如果
a?1
为无理数，求证
a
是无理数.
提示：假设
a
为有理数，则
a
可表示为
pq
（
p,q
为整数 ），即
a?pq
.
由
a?1?(p?q)q
，则
a?1
也是有理数，这与已知矛盾. ∴
a
是无理数.
3. 小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确.
注意证明 步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）
三、巩固练习： 1. 练习：教材P
54
1、2题
2. 作业：教材P
54
A组3题.








25

第三章数系的扩充与复数的引入

3.1.1 数系的扩充与复数的概念

教学要求: 理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。
教学重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。
教学难点：复数及其相关概念的理解
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：N、Z、Q、R分别代表什么？它们的如何发展得来的？
（让学生感受数系的发展与生活是密切相关的）
2．判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与
?
的关系）：
（1）
x
2
?3x?4?0
（2）
x
2
?4x?5?0
（3）
x
2
?2x?1?0
（4）
x
2
?1?0

3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。
讨论：若给方程
x
2
?1?0
一个解
i
，则这个解
i
要满足什么条 件？
i
是否在实数集中？
实数
a
与
i
相乘、相加的结果应如何？
二、讲授新课：
1. 教学复数的概念：
①定义复数：形如
a?bi
的数叫做复数，通常 记为
z?a?bi
（复数的代数形式），其中
i
叫虚数
单位，
a
叫实部，
b
叫虚部，数集
C?
?
a?bi|a,b?R
?
叫做复数集。
出示例1：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。
2?3i,8?4i,8?3i,6,i,?2?9i,7i,0

规定：
a ?bi?c?di?a?c且b=d
，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。
②讨论： 复数的代数形式中规定
a,b?R
，
a,b
取何值时，它为实数？数集与实数 集有何关系？
③定义虚数：
a?bi,(b?0)
叫做虚数，
bi,(b? 0)
叫做纯虚数。
?
实数 (b=0)
?
④ 数集的关系：
复数Z
?
?
一般虚数(b?0,a?0)

虚数 (b?0)
?
?
?
纯虚数(b?0,a?0)
?上述例1中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？
26

2.出示例题2：
P
62

（引导学生根据实数、虚数、纯虚数的定义去分析讨论）
练习：已知复数
a?bi< br>与
3?(4?k)i
相等，且
a?bi
的实部、虚部分别是方程
x
2
?4x?3?0
的
两根，试求：
a,b,k
的值。（ 讨论
3?(4?k)i
中，k取何值时是实数？）
小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件。
三、巩固练习：
1．指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。

2?3i
,8?4i,8?0i,6,i,
?
?2?9i
?
?
3
?
2?1,7i,0

?
2．判断① 两复数，若虚部都是3，则实部大的那个复数较大。
② 复平面内，所有纯虚数都落在虚轴上，所有虚轴上的点都是纯虚数。
3若
(3x?2y)?( 5x?y)i?17?2i
，则
x,y
的值是？
4．．已知
i是虚数单位，复数
Z?m
2
(1?i)?m(2?3i)?4(2?i)
，当
m
取何实数时，
z
是：
（1）实数 （2） 虚数 （3）纯虚数 （4）零
作业：
P
62
2、3题。












27

3.1.2 复数的几何意义

教学要求：理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数 的代数形式描出其
对应的点及向量。
教学重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。
教学难点: 根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。
教学过程：
一、复习准备：
1. 说出下列复数的实部和虚部，哪些是实数，哪些是虚数。
1?4i,7?2i,8?3i,6,i,?2?0i,7i,0,0?3i,3

2 ．复数
z?(x?4)?(y?3)i
，当
x,y
取何值时为实数、虚数、纯 虚数？
3. 若
(x?4)?(y?3)i?2?i
，试求
x,y
的值，（
(x?4)?(y?3)i?2
呢？）
二、讲授新课：
1. 复数的几何意义：
① 讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？
（分析复数的代数形式，因为它是由实部
a
和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难 想到
有序实数对或点的坐标） 结论：复数与平面内的点或序实数一一对应。
②复平面：以
x
轴为实轴，
y
轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面。
复数与复平面内的点一一对应。
③例1：在复平面内描出复数
1?4i,7?2i,8?3i,6,i,?2?0i,7i,0 ,0?3i,3
分别对应的点。
（先建立直角坐标系，标注点时注意纵坐标是
b
而不是
bi
）
观察例1中我们所描出的点，从中我们可以得出什么结论？
④实数都落在实轴上，纯虚数落在虚轴上，除原点外，虚轴表示纯虚数。
思考：我们所学过的知识当中，与平面内的点一一对应的东西还有哪些？
一一对应
⑤
复数Z?a?bi
?
复平面内的点(a,b)
一一对应
一一对应，
复数Z?a?bi
?
平面向量OZ
，
复平面内的点(a,b)
?
平面向量OZ

注意：人们常将复数
z?a?bi
说成点
Z
或向量
OZ
，规定相等的向量表示同一复数。
28

2．应用
例2，在我们刚才例1中，分别画出各复数所对应的向量。
练习：在复平面内画出
2?3i,4?2i,?1?3i,4i,?3?0i
所对应的向量。
小结：复数与复平面内的点及平面向量一一对应，复数的几何意义。
三、巩固与提高：
1． 分别写出下列各复数所对应的点的坐标。
2．
2?3i
,8?4i ,8?0i,6,i,
?
?2?9i
?
?
3
?
2? 1,7i,0

?
3． 若复数
Z?(m
2
?3m?4)? (m
2
?5m?6)i
表示的点在虚轴上，求实数
a
的取值。 变式：若
z
表示的点在复平面的左（右）半平面，试求实数
a
的取值。
3、作业：课本64题2、3题.














3.2.1 复数的代数形式的加减运算
教学要求：掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义。
29

教学重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义
教学难点：加、减运算的几何意义
教学过程：
一、复习准备：
1. 与复数一一对应的有？
i,7i,0,0?3i
在复平面中落在哪象限？并画出其对应2. 试判断下列复数
1?4i,7?2i,6,i,?2?0
的向量。
3. 同时用坐标 和几何形式表示复数
z
1
?1?4i与Z
2
?7?2i
所对 应的向量，并计算
OZ
1
?OZ
2
。
向量的加减运算满足何 种法则？
4. 类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？

二、讲授新课：
1.复数的加法运算及几何意义
①.复数的加法法则：
z
1
?a?bi与Z
2
?c?di
，则
Z
1
?Z
2
?(a?c)?(b?d)i
。
例1．计算（1）
(1?4i)+(7?2i)
（2）
(7?2i)+(1?4i)
（3）
[(3?2i)+(?4?3i)]?(5?i)

（4）
(3?2i)+[(?4?3i)?(5?i)]

②．观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证。
例2．例1中的（ 1）、（3）两小题，分别标出
(1?4i),(7?2i)
，
(3?2i),(?4 ?3i),(5?i)
所对应的
向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现。
③ 复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法
则）
2．复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若
Z
1
?Z?Z
2
，则
Z叫做
Z
2
减去Z
1的差,记作Z?Z
2
?Z
1
。
④讨论：若
Z
1
?a?b,Z
2
?c?di
，试确定
Z?Z
1
? Z
2
是否是一个确定的值？
（引导学生用待定系数法，结合复数的加法运算进行推导，师生一起板演）
⑤复数的加法法则 及几何意义：
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
，复数的减法运算也可 以按
向量的减法来进行。
(1?4i)-(7?2i)

(5?2i)+(?1?4i)?(2?3i)

(3?2i)-[(?4?3i)?(5?i)]
例3．计算（1）（2）（3）
练 习：已知复数，试画出
Z?2i
，
Z?3
，
Z?(5?4i)?2i

30

2．小结：两复数相加减，结果是实部、虚部分别 相加减，复数的加减运算都可以按照向量的加
减法进行。
三、巩固练习：
1．计算
（1）
?
8?4i
?
?5
（2）
?
5?4 i
?
?3i
（3）
2?3i
?
?
?2?9i
?
?
3
?
2?i

?
2．若
(3?10 i)y?(2?i)x?1?9i
，求实数
x,y
的取值。
变式：若
(3?10i)y?(2?i)x
表示的点在复平面的左（右）半平面，试求实数
a
的取值。
3．三个复数
Z
1
,Z
2
,Z
3
，其中
Z
1
?3?i
，
Z
2
是纯虚数，若这三个 复数所对应的向量能构成等
边三角形，试确定
Z
2
,Z
3
的 值。
作业：课本71页1、2题。

















3.2.2 复数的代数形式的乘除运算

31

教学要求：掌握复数的代数形式的乘、除运算。
教学重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念
教学难点：乘除运算
教学过程：
一、复习准备：
1. 复数的加减法的几何意义是什么？
2. 计算（1）
(1?4i)+(7?2i)
（2）
(5?2i)+(?1?4i)?(2?3i)
（3）
(3?2i)-[(?4?3i)?(5?i)]

3. 计算：（1）
(1?3)?(2?3)
（2）
(a?b)?(c?d)
（类比多项式的乘法引入复数的乘法）

二、讲授新课：
1.复数代数形式的乘法运算
①.复数的乘法法则：
(a?bi)(c?di)?a c?bci?adi?bdi
2
?(ac?bd)?(ad?bc)i
。
例1．计算（1）
(1?4i)?(7?2i)
（2）
(7?2i)?(1?4i)
（3）
[(3?2i)?(?4?3i)]?(5?i)

（4）
(3?2i)?[(?4?3i)?(5?i)]

探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？
例2．1、计算（1）
(1?4i)?(1?4i)
（2）
(1?4i) ?(7?2i)?(1?4i)
（3）
(3?2i)
2

2、已知复数
Z
，若，试求
Z
的值。变：若
(2?3i)Z?8，试求
Z
的值。
②共轭复数：两复数
a?bi与a?bi
叫做 互为共轭复数，当
b?0
时，它们叫做共轭虚数。
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数
3 ?2i,?4?3i,5?i,?5?2i,7,2i
。
③类比
1?2
2? 3
?
(1?2)(2?3)
(2?3)(2?3)
，试写出复数的除法法则。
2．复数的除法法则：
(a?bi)?(c?di)?
其中
c?di
叫做实数化因子
a?bi(a?bi)(c?di)ac?bdbc?ad
???i

c?di(c?di)(c?di)c
2
?d
2
c
2
?d
2
例3．计算
(3?2i)?(2?3i)
，
(1?2i)? (?3?2i)
（师生共同板演一道，再学生练习）
练习：计算
3?2i3?i
，
(1?2i)
2
(1?i)
2
?1
32

2．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。
三、巩固练习：
1．计算（1）
?
?1?i
??
2?i
?
i
3< br> （2）
i?i?i?i?i
（3）
2345
2?i
3
1?2i

2．若
z1
?a?2i,z
2
?3?4i
，且
z
1
z< br>为纯虚数，求实数
a
的取值。变：
1
在复平面的下方，求
a< br>。
z
2
z
2





















第四章框图
4.1 流程图
33

教学目的：
1.能绘制简单实际问题的流程图,体会流程图在解决实际问题中的作用,并能通过框图理解
某件事情的 处理过程.
2.在使用流程图过程中,发展学生条理性思考与表达能力和逻辑思维能力.
教学重点: 识流程图.
教学难点: 数学建模.
教学过程:
例1 按照下面的流程图操作,将得到怎样的数集?
开始
写下1
加3写下结果
对这个刚写下的数加
上一个比前面加过的
那个数大2的数
N你已写下10
个数了吗？
Y
结束
解：按照上述流程图操作，可以得到下面 的10个数：
1，
1+3=4，
4+（3+2）=4+5=9，

9+(5+2)=9+7=16,
16+7+2)=16+9=25,
25+(9+2)=25+11=36 ,
36+(11+2)=36+13=49,
49+(13+2)=49+15=64,
34

64+(15+2)=64+17=81,
81+(17+2)=81+19=100.
这样,可以得到数集{1,4,9,16,25,36,49,64,81,100}.
我们知道用数 学知识和方法解决实际问题的过程就是数学建模的过程,数学建模的过程可以用
下图所示的流程图来表示 :
实际情景
提出问题
修改
数学建模
数学结果
不合乎实际< br>检验
合乎实际
可用结果

以”哥尼斯堡七桥问题”为例来体会数学建模的过程.
(1)实际情景:
在18世 纪的东普鲁士,有一个叫哥尼斯堡的城市.城中有一条河,河中有两个小岛,河上架
有七座桥,把小岛和 两岸都连结起来.
(2) 提出问题:
人们常常从桥上走过,于是产生了一个有趣的想法: 能不能一次走遍七座桥,而在每座桥上
只经过一次呢?
尽管人人绞尽脑汁,谁也找不出一条这样的路线来.
(3) 建立数学模型:
35

1736年,这事传到了瑞士大数学家欧拉的耳里,他立刻对这个问题产生了 兴趣,动手研究起
来.作为一个数学家,他的研究方法和一般人不同,他没有到桥上去走走,而是将具体 问题转化为
一个数学模型.
欧拉用点代表两岸和小岛,用线代表桥,于是上面的问题就转 化为能否一笔画出图中的
网络图形,即”一笔画”问题,所谓” 一笔画”,通俗的说,就是笔不离开纸面,能不重复的画出
网络图形中的每一条线.
(4)得到数学结果:
在”一笔画”问题中,如果一个点不是起点和终点,那么有一条走向它 的线,就必须有另一
条离开它的线.就是说,连结着点的线条数目是偶数,这种点成为偶点.如果连结一 个点的数目是
奇数,那么这种点成为奇点,显然奇点只能作为起点或终点.
因此,能够一 笔画出一个网络图形的条件,就是它要么没有奇点,要么最多只有两个奇
点,(分别作为起点和终点). 而图中所有的点均为奇点,且共有4个奇点,所有这些图形不能” 一
笔画”.
(5) 回到实际问题:
欧拉最后得出结论:找不出一条路线能不重复地走遍七座桥.
练习:书82页练习.
小结:







4.2结构图

36

教学目的:
1.通过实例,了解结构图;运用结构图梳理已学过的知识,整理收集到的资料信息.
2.能根据所给的结构图,用语言描述框图所包含的内容.
3.结合给出的结构图,与他人进行交流,体会结构图在揭示事物联系中的作用.
教学重点、难点：
运用结构图梳理已学过的知识,整理收集到的资料信息，根据所给的结构图,用语言描述框图
所 包含的内容.
教学过程：
问题情境：
我们知道,四种命题以及他们之间的关系可 以用下面的框图来表示.
互否
原命题
等价互
互
逆
否
为为
逆逆
否
互
等价
互
逆
否命题
逆命题互否
逆否命题
上面的框图与流程图有什么不同？
建构数学：

例如，《数学4（必修）》第3章三角恒等变换，可以用下面的结构图来表示：（见下页图（1））
数学应用：
例1 某公司的组织结构是：总经理之下设执行经理、人事经理和财务经理。执行 经理领导生
产经理、工程经理、品质管理经理和物料经理。生产经理领导线长，工程经理领导工程师，工
程师管理技术员，物料经理领导计划员和仓库管理员。
37

分析：必须理清层次，要分清几部分是并列关系还是上下层关系。
解：根据上述的描述，可以用如图（2）所示的框图表示这家公司的组织结构：
C
?
?
?
S
?
?
?
S
?
?
?
S
2
?
图（1）
T
?
?
?
T
?< br>?
?
C
?
?
?
C
2
?
T< br>2
?


总经理
执行经理
人事经理财务经理
生产经理工程经理品管经理
物料经理
线长工程师
计划员仓库管理员
技术员图（2）


例2 写出《数学3（必修）》第二章统计的知识结构图。
38

分析：《数学3（必修）》第二章统计的主要内容是通过对样 本的分析对总体作出估计，具体内
容又分三部分：
“抽样”-------简单随机抽样、系统抽样和分层抽样；
“分析”-------可以从样本分布、样本特征数和相关关系这三个角度来分析；
“估计”-------根据对样本的分析，推测或预估总体的特征。
解：《数学3（必修）》第二章统计的知识结构图可以用下面图来表示：

总体抽样
分析估计
简
单
随
机
抽
样
系
统
抽
样
分
层
抽
样
抽
样
分
布
样
本
特
征
数
相
关
系
数
总
体
分
布
总
体
特
征
数
相
关
系
数
例3 小流域综合治理可以有三个措施：工程措施、生物措施、和
农 业技术措施。其中，工程措施包括打坝建库、平整土地、修基
本农田和引水灌溉，其功能是贮水拦沙、改 善生产条件和合理利
用水土；生物措施包括栽种乔木、灌木和草木，其功能是蓄水保
土和发展多 种经营；农业技术措施包括深耕改土、科学施肥、选
育良种、地膜覆盖和轮作套种，其功能是蓄水保土、 提高肥力和
充分利用光和热。

试画出小流域综合治理开发模式的结构图。
解：根据题意，三类措施为结构图的第一层，每类措施中具体的实现方式为结构为第二层，每
类措施实施 所要达到的治理功能为结构图的第四层。小流域综合治理开发模式的结构如下图所
示：
39

小流域综合治理
工程设施生物措施
农业技术措施
大
坝
建
库
平
整
土
地
修
基
本
农
田
引
水
灌
溉
栽
种
禾
木
栽
种
灌
木
栽
种
草
木
深
耕
改
土
科
学
施
肥
选
育
良
种
地
膜
覆
盖
轮
作
套
种
功能
贮
水
拦
坝
改
善
生
产
条
件
合
理
利
用
水
土
功能
蓄
水
保
土
发
展
多
种
经
营
功能
充
分利
用
光
热
蓄
水
保
土
提
高肥
效


练习：画出某学科某章的知识结构图，并在小组内汇报交流。


统计案例
1.1 回归分析的基本思想及初步应用
1.1.1线性回归的思想方法及应用
课前预习学案

一、课前预习
预习目标：回顾回归直线的求法，并利用回归直线进行总体估计。
二、预习内容
１ ．回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量
之间具有线性 相关关系，这条直线叫作回归直线。
求回归直线方程的一般步骤：① ；② ；③
40

2．典型例题：
研究某灌溉渠道水的流速 与水深 之间的关系，测得一组数据如下：
水深
流速
（1）求


1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10
1.70 1.79 1.88 1.95 2.03 2.10 2.16 2.21
对 的回归直线方程；
时水的流速是多少？ （2）预测水深为1.95
课内探究学案
一、学习目标：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.
学 习重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相
关指数和残差分析 .
学习难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想.
二、学习过程
1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？
这两者之间是否有关？
2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有
相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据
?作散点图
?
求回归
直线方程
?
利用方程进行预报.
3. 典型例题：
例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：
编 号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高165 165 157 170 175 165 155 170
cm
体重 48 57 50 54 64 61 43 59
kg
求根据一名女大学生的身 高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的
体重. （分析思路
?
教师演示
?
学生整理）
评注：事实上，观察上述散点 图，我们可以发现女大学生的体重
y
和身高
x
之间的关系并不能
用一 次函数
y?bx?a
来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和< br>61kg，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果
e
（即 残差
变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型
y?bx?a?e
， 其中残差变量
e
中
包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变
成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数
模型的一般形式.

41

4．相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两 个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越
接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好， 此时建立的线性回归模型是有意义.
5. 小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.
课后练习与提高
1.对具有相关关系的两个变量统计分析的一种常用的方法是（ ）
A．回归分析 B.相关系数分析 C.残差分析 D.相关指数分析
2.在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是（ ）
A．预报变量在 轴上，解释变量在 轴上
B.解释变量在 轴上，预报变量在 轴上
C.可以选择两个变量中任意一个变量在 轴上
D.可以选择两个变量中任意一个变量在 轴上
3.两个变量相关性越强，相关系数 （ ）
A．越接近于0 B.越接近于1 C.越接近于－1 D.绝对值越接近1
4.若散点图中所有样本点都在一条直线上，解释变量与预报变量的相关系数为（ ）
A．0 B.1 C.－1 D.－1或1
5.一位母亲记录了她儿子3到9岁的身高，数据如下表：
年龄（岁）
身高（
3
94.8
4
104.2
5
108.7

6
117.8
7
124.3
8
130.8
9
139.0
由此她建立了身高与年龄的回归模型
高，则下面的叙述正确的是（ ）
A.她儿 子10岁时的身高一定是145.83
B.她儿子10岁时的身高在145.83

，她用这个模型预测儿子10岁时的身

以上
42

C.她儿子10岁时的身高在145.83
D.她儿子10岁时的身高在145.83
左右
以下
统计案例

1. 1.2 回归分析的基本思想及其初步应用
课前预习学案
一、预习目标：回归分析的基本思想、方法及初步应用.
二、预习内容：
1.两个变量有线性相关关系且正相关，则回归直线方程中，
B. C. D.
的系数 （ ） A.
2.两个变量有线性相关关系且残差的平方和等于0，则（ ）
A.样本点都在回归直线上 B.样本点都集中在回归直线附近
C.样本点比较分散 D.不存在规律
课内探究学案
一、学习要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.
学习重点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.
学习难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.
二、学习过程
1．由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响.
2．为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度
上与 随机误差有关？我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回
归平方和.
3．教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和：
2
（1）总偏差平方和：所有单 个样本值与样本均值差的平方和，即
SST?
?
(y
i
?y)
.
i?1
2
残差平方和：回归值与样本值差的平方和，即
SSE?
?
(y
i
?y
i
)
.
i?1
2
回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即
SSR?
?
(y
i?y)
.
i?1
n
n
n
（2）学习要领：①注意y
i
、
y
i
、
y
的区别；②预报变量的变化程 度可以分解为由解释变量引
43

2
起的变化程度与残差变 量的变化程度之和，即
?
(y
i
?y)?
?
(y
i
?y
i
)?
?
(y
i
?y)
；③当总22
i?1i?1i?1
nnn
偏差平方和相对固定时，残差平方和越小，则回归 平方和越大，此时模型的拟合效果越好；④
2
对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数< br>R?1?
?
(y
i?1
n
i?1
n
i
?y
i
)
2
来刻画回归的效果，它表
?
(y
2< br>i
?y)
2
示解释变量对预报变量变化的贡献率.
R
的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合
的效果越好.
4. 典型例题
例2 关于
x
与
Y
有如下数据：

x
2 4

y

30 40
5
60
6
50
8
70
为了对
x
、现有以下两种线性模型：
y?6.5x?17.5
，y?7x?17
，
Y
两个变量进行统计分析，
试比较哪一个模型拟合的效 果更好.
分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，也可分别求出两
种模型下的相关指数，然后再进行比较，从而得出结论.
5.小结：分清总偏差平方和、残差 平方和、回归平方和，初步了解如何评价两个不同模型
拟合效果的好坏.
课后练习与提高
假设美国10家最大的工业公司提供了以下数据：
公司
通用汽车
福特
埃克森
IBM
通用电气
美孚
菲利普·莫利斯
克莱斯勒
杜邦
德士古
销售总额经x
1
百万美元
126974
利润x
2
百万美元
4224
3835
3510
3758
3939
1809
2946
359
2480
2413
96933
86656
63438
55264
50976
39069
36156
35209
32416
（1）作销售总额和利润的散点图，根据该图猜想它们之间的关系应是什么形式；
（2） 建立销售总额为解释变量，利润为预报变量的回归模型，并计算残差；
（3） 你认为这个模型能较好地刻画销售总额和利润之间的关系吗？请说明理由。
44

1.1.2 回归分析的基本思想及其初步应用
教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.
教学重点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.
教学难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.
教学过程：
一、复习准备：
1．由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响.
2．为了刻 画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度上
与随机误差有关？我们 引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归
平方和.
二、讲授新课：
1. 教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和：
2
（1）总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即
SST?
?
(yi
?y)
.
i?1
2
残差平方和：回归值与样本值差的平方和 ，即
SSE?
?
(y
i
?y
i
)
. i?1
2
回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即
SSR?
?
(y
i
?y)
.
i?1
n
n
n
（2）学习要领：①注意
y
i
、
y
i
、
y
的区别；②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引
2
起的变化程度与残差变量的变化程度 之和，即
?
(y
i
?y)?
?
(y
i
?y
i
)?
?
(y
i
?y)
；③当总
22i?1i?1i?1
nnn
偏差平方和相对固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大， 此时模型的拟合效果越好；④
2
对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数
R?1 ?
?
(y
i?1
n
i?1
n
i
?y
i
)
2
来刻画回归的效果，它表
?
(y
2
i?y)
2
示解释变量对预报变量变化的贡献率.
R
的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合
的效果越好.
2. 教学例题：
例2 关于
x
与
Y
有如下数据：

x
2 4 5 6 8

y

30 40 60 50 70

y?6.5x?17.5
，y?7x?17
，为了对
x
、现有以下两种线性模型：
Y
两个变 量进行统计分析，
试比较哪一个模型拟合的效果更好.
分析：既可分别求出两种模型下的总偏 差平方和、残差平方和、回归平方和，也可分别求出两
种模型下的相关指数，然后再进行比较，从而得出 结论.
45

1. 2 独立性检验的基本思想及其初步应用
课前预习学案
2 预习目标：能用所学的知识对实际问 题进行回归分析，体会回归分析的实际价值与基本思
想；了解判断刻画回归模型拟合好坏的方法――相关 指数和残差分析。
二、预习内容
1. 给出例3：一只红铃虫的产卵数
y
和温度
x
有关，现收集了7组观测数据列于下表中，
试建立
y
与x
之间的回归方程.
21
温度
xC

产卵数
y
个
7
23
11

25
21
27
24
29
66
350
300
250
200
150
100
50
0
0
32
115

35
325
（学生描述步骤，教师演示）
2. 讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不
能直接用线性回归方程来建立两个变量之 间的关系.
课内探究学案
一、学习要求：
产
卵
数

10 20
温度
30 40
通过对典型案例的探究，了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用
学习重点：
对独立性检验的基本思想的理解.
学习难点：
独立性检验的基本思想的应用.

3 学习过程：
知识点详解
知识点一：分类变量
对于性别变 量，其取值为男和女两种.这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像
这样的变量称为分类变量 .
知识点二：列联表
为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机调查了9965人 ，得到如下结果（单位：
人）：
46

吸烟与患肺癌列联表

不吸烟
吸烟
总计
不患肺癌
7775
2099
9874
患肺癌
42
49
91
总计
7817
2148
9965
像上表这样列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.
知识点三：独立性检验
2
这种利用随机变量
K
来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为 两
个分类变量的独立性检验.
知识点四：判断结论成立的可能性的步骤
一般地，假 设有两个分类变量
X
和
Y
，它们的值域分别为｛
x
1
，
x
2
｝和｛
y
1
，
y
2
｝， 其样本频
数列联表（称为2×2列联表）为：
2×2列联表

x
1

x
2

总计
y
1

x

c

x
＋
c

y
2

b

d

b
＋
d

总计
x
＋
b

c
＋
d

x
＋
b
＋
c
＋
d

若要推断的论述为
H
1
：“
X
与
Y
有关系”，
可以按如下步骤判断结论
H
1
成立的可能性：
（1）通过三维柱形 图和二维条形图，可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，但是这种
判断无法精确地给出所得结论的可 靠程度.
①在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积
xd
与副对角线上的两 个柱形高度的乘
积
bc
相差越大，
H
1
成立的可能性就越大 .
②在二维条形图中，可以估计满足条件
X
＝
x
1
的个体 中具有
Y
＝
y
1
的个体所占的比例
也可以估计满足条件X
＝
x
2
的个体中具有
Y
＝
y
1的个体所占的比例
a
a
＋
b
，
c
c
＋
d
.两个比例的值相差越大，
H
1
成立的可能性就越大.
（2）可以利用独立 性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断
n
（
ad
－
bc
）
2
的可靠程度.具体做法是：根据观测数据计算由
K＝ 给出
（
a
＋
b
）（
c
＋
d
）（
a
＋
c
）（
b
＋
d
）
2< br>的检验随机变量
K
的值
k
，其值越大，说明“
X
与< br>Y
有关系”成立的可能性越大.当得到的观测
数据
x
，
b，
c
，
d
都不小于5时，可以通过查阅下表来确定断言“
X与
Y
有关系”的可信程度.
2
P
（
K
2
≥
k
） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
说明：当观测数据
x
，
b
，
c
，
d
中有小于5时，需采用很复杂的精确的检验方法.
五、几个典型例题：
47

例1 三维柱形图中柱的高度表示的是 （
A
）
A
．各分类变量的频数
B
．分类变量的百分比
C
．分类变量的样本数
D
．分类变量的具体值
例2 分类变量
X
和
Y
的列联表如下
y
2

x
1

b

x
2

d

总计
b
＋
d

则下列说法正确的是 （
C
）
X
．
xd
－
bc
越小，说明X
和
Y
关系越弱
B
．
xd
－
bc
越大，说明
X
和
Y
关系越强
2
C
．（
xd
－
bc
）越大 ，说明
X
和
Y
关系越强
2
D
．（
xd
－
bc
）越接近于0 ，说明
X
和
Y
关系越强

y
1

x

c

x
＋
c

总计
x
＋
b

c
＋
d

x
＋
b
＋
c
＋
d

例3 研究人 员选取170名青年男女大学生的样本，对他们进行一种心理测验，发现有60
名女生对该心理测验中的 最后一个题目的反应是：作肯定的18名，不定的42名；男生110名
在相同的项目上作肯定的有22 名，否定的有88名.问：性别与态度之间是否存在某种关系？分
别用图形和独立性检验的方法判断.
解：根据题目所给数据建立如下列联表
性别
男生
女生
总计
2
肯定
22
18
40
否定
88
42
130
2
总计
110
60
170
170×（22×42－18×88）
根据列联表中的数据得到
K
＝ ≈2.158＜2.706
110×60×40×130
因此没有充分的证据显示“性别与态度有关”.
例4 打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种病症有关.下表是一次调查所得的数据，
试问：每一晚都打鼾 与患心脏病有关吗？

每一晚都打鼾
不打鼾
总计
解：根据列联表中数据，得到，
1633×（30×1355－224×24）
K
＝ ＝68.033.
1379×254×54×1579
2
2
患心脏病
30
24
54
未患心脏病
224
1355
1579
总计
254
1379
1633
因为68.033＞6.635，所以有99%的把握说，每一晚都打鼾与患心脏病有关
课后练习与提高
为了研究某种细菌随时间
x
变化，繁殖的个数，收集数据如下：
天数
x
天 1 2 3 4 5 6
48

繁殖个数
y
个 6 12 25 49 95 190 < br>0.69x?1.112
（1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图 ；
?
=e
（2）试求出预报变量对解释变量的回归方程.（答案：所求非线性回归方 程为
y

.）
第二章第1节 合情推理与演绎推理
一、 合情推理

课前预习学案
一，预习目标：
了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等方法进行简单的推理。
二，预习内容：
（1） 从______________推出___________的结论，这样的推理通常称为归纳推理. 归纳
推理的思维过程大致是
试验、观察 —— 概括、推广 —— 猜测一般结论
（2） 已知数列
?
a
?
的每一项均为正数，
a
= 1，
a
n1
n
2
?
a
n
?1
< br>n?1
2
（n=1，2，……），试归纳数列
?
a
?
的一个通项公式。
（3） 根据两个对象之间在某些方面的____________,推演出它们在其他
方面也______________,这样的推理通常称为类比推理.类比推理的思维过程大致为
观察、比较 —— 联想、类推 —— 猜测新的结论
（4） 类比实数的加法和乘法，并列出它们类似的性质。
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点









课内探究学案
一、学习目标
结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类 比进行简
单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。
二、学习过程：
疑惑内容
例1、在同一个平面内，两条直线相交，有1个焦点；3条直线相交，最多有3个
交点；… …；从中归纳一般结论，n条直线相交，最多有几个交点？
49

例2、有菱形纹和无菱形纹的正六边形地板砖，按图所示的规律拼成若 干个图案，
则第n个图案中的正六边形地板砖有多少块？






小结归纳推理的特点：




例3、试将平面上的圆与空间的球进行类比。








练习：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间四面体性质的猜想。







小结类比推理的特点：
50

当堂检测：
1、已知 数对如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3）（2，2），（3，1），（1，4），（2，3 ），（3，
2），（4，1）（1，5），（2，4），… …，则第60个数对是_______

2、在等差数列
?
a
?
中，
c
n
n
?
aa
?
12
?????
a
n
n 也成等差数列，在等比数列
?
b
?
中，
d
nn
=____________________ 也成等比数列

课后练习与提高

1 右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，
称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，
a
所表示的数是
(A)2 (B) 4 (C) 6 (D) 8


2 下列推理正确的是
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 a 4 1
1 5 10 10 5 1
(A) 把
a(b?c)
与
log
a
(x?y)
类比，则有：
log
a
(x?y)?log
a
x?log
a
y< br> ．
(B) 把
a(b?c)
与
sin(x?y)
类比，则有：
sin(x?y)?sinx?siny
．
(C) 把
(ab)
与
(a?b)
类比，则有：
(x?y)?x?y
．
(D) 把
(a?b)?c
与
(xy)z
类比，则有：
(xy)z?x(yz)
．
3、四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔 、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如图），第一次前
后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位 ，…，这样交替进行下去，那么第2005次互
换座位后，小兔的座位对应的是

2
1
鼠
1
兔
猫
2
1
猴
鼠
2
1
猫兔
2
猴


兔
猫
猫
兔
猴
鼠猴
鼠
4
34
3
4
4
33


开始
第三次
第一次第二次

51

nnnnn

(A)编号1 (B) 编号2 (C) 编号3 (D) 编号4

4、下列各列数都是依照一定的规律排列，在括号里填上适当的数
（1）1，5，9，13，17，（ ）；

（2）
2?
2345
，
3?
，
4?
，
5?
，（ ）．
38
1524
5、从
1?1
2
,2?3?4?32
,3?4?5?6?7?5
2
中，得出的一般性结论

是 ．







52

2.1
合情推理
一、教材分析
数学归纳法是人教A版普通高中课程标准实验教科书 选修2-2第2章第三小节的内容，
此前学生刚学习了合情推理，合情推理用的是不完全归纳法，结论的 正确性有待证明。通过本
节课的学习，对培养学生的抽象思维能力和创新能力，深化不等式、数列等知识 ，提高学生的
数学素养，有重要作用。根据课程标准，本节分为两课时，此为第一课时。
二、教学目标
1，知识目标：
理解合情推理的原理和实质，并能初步运用。
2，能力目标：
学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，提高创新能力。
3，情感、态度与价值观目标：
在愉悦的学习氛围中，通过理解数学归纳法的原理和本质，感受数学内在美，激发学习热情。
三、教学重点难点
教学重点：能利用归纳进行简单的推理.
教学难点：用归纳进行推理，作出猜想.
四、教学方法
探究法
五、课时安排：1课时
六、教学过程
例1、在同一个平面内，两条直线相交，有1个焦点；3条直线相交，最多有3个
交点；… …；从中归纳一般结论，n条直线相交，最多有几个交点？




例2、有菱形纹和无菱形纹的正六边形地板砖，按图所示的规律拼成若干个图案，
则第n个图案中的正 六边形地板砖有多少块？






53

小结归纳推理的特点：




例3、试将平面上的圆与空间的球进行类比。








练习：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间四面体性质的猜想。







小结类比推理的特点：




当堂检测：
1、已知数对如下：（1，1），（1，2），（2，1） ，（1，3）（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，
2），（4，1）（1，5） ，（2，4），… …，则第60个数对是_______

2、在等差数列
?a
?
中，
c
?
a
?
a
12
? ????
a
n
n
n
n
也成等差数列，在等比数列
?
b
?
中，
d
nn
=_________________ ___ 也成等比数列

课后练习与提高

54

1、 右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，
称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，
a
所表示的数是
(A)2 (B) 4 (C) 6 (D) 8


2、 下列推理正确的是
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 a 4 1
1 5 10 10 5 1
(A) 把
a(b?c)
与
log
a
(x?y)
类比，则有：
log
a
(x?y)?log
a
x?log
a
y< br> ．
(B) 把
a(b?c)
与
sin(x?y)
类比，则有：
sin(x?y)?sinx?siny
．
(C) 把
(ab)
n
与
(a?b)
n
类比，则有：
(x?y)
n
?x
n
?y
n
．
(D) 把
(a?b)?c
与
(xy)z
类比，则有：
(xy)z?x(yz)
．
3、四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔 、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如图），第一次
前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位 ，…，这样交替进行下去，那么第2005次
互换座位后，小兔的座位对应的是

2
1
鼠
1
兔
猫
2
1
猴
鼠
2
1
猫兔
2
猴


兔
猫
猫
兔
猴
鼠猴
鼠
4
34
3
4
4
33


开始
第三次
第一次第二次

(A)编号1 (B) 编号2 (C) 编号3 (D) 编号4

4、下列各列数都是依照一定的规律排列，在括号里填上适当的数
（1）1，5，9，13，17，（ ）；
（2）
2?
2
2345
，
3?
，
4?
，
5?
，（ ）．
38
1524
22
5、从
1?1,2?3?4?3,3?4? 5?6?7?5
中，得出的一般性结论

是 ．
七、板书设计
八、教学反思



55

第二章第2节 直接证明与间接证明
一、综合法与分析法
课前预习学案
一、预习目标：
了解综合法与分析法的概念，并能简单应用。
二、预习内容：
证明方法可以分为直接证明和间接证明
1．直接证明分为 和
2．直接证明是从命题的 或 出发，根据以知的定义，
公里，定理， 推证结论的真实性。
3．综合法是从 推导到 的方法。而分析法是一种从
追溯到 的思维方法，具体的说，综合法是从已知的 条件出发，经过
逐步的推理，最后达到待证结论，分析法则是从待证的结论出发，一步一步寻求结论成立 的
条件，最后达到题设的以知条件或以被证明的事实。综合法是由 导 ，分析法是执
索 。
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点








疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
让学生理解分析法与综合法的概念并能够应用
二、学习过程：

例1． 已知a,b∈R
+
，求证：
例2．已知a,b∈R
+
，求证：
56

例3.已知a,b,c∈R，求证（I）

2. 2.2反证法
课前预习学案
一、预习目标：
使学生了解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；学会用反证法证明一些典
型问题.
二、预习内容：
提出问题：
问题1：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同 时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻
转，都不能使硬币全部反面朝上。你能解释这种现象吗？
学生尝试用直接证明的方法解释。
采用反证法证明：假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面 向上，由于每枚硬币从正面朝
上变为反面朝上都需要翻转奇数次，所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和
次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是
2 的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚
硬币全部反面朝上．
问题2：A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都 撒谎。则C必定是
在撒谎，为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真.那么A假且B假;由A假, 知B真. 这与B假矛盾.那么假设
C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎.
推进新课
在解决某些数学问题时，我们会不自觉地使用反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题 的结论相反的假设，然后，从这个假设出
发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯 定原命题正确的一种方法。
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点








57

疑惑内容

课内探究学案
3 学习目标
（1）使学生了解反证法的基本原理；
（2）掌握运用反证法的一般步骤；
（3）学会用反证法证明一些典型问题.
二、学习过程：
例1、已知直线
a,b
和平面
?
，如果< br>a?
?
,b?
?
，且
a||b
，求证
a||
?
。
解析：让学生理解反证法的严密性和合理性；
证明：因为
a||b
,
所以经过直线a , b 确定一个平面
?
。
因为
a?
?
，而
a?
?
，
所以
?
与
?
是两个不同的平面．
因为
b?
?
，且
b?
?
，
所以
?

?
?b
.
?
?b
，即点
P
是直线 a 与b的公共点，这与
a||b
矛盾．所以
a||
?
.
下面用反证法证明直线a与平面
?
没有公共点．假设直线a 与平面
?
有公共点
P
，则
P?
?
点评：用反证法的基本步骤：
第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；
第二步 作出与所证不等式相反的假定；
第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；
第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等利
变式训练1.求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.



例2、求证：
2
不是有理数
58

2
例3、设二次函数
f(x)?x?px?q
， 求证：
f(1),f(2),f(3)
中至少有一个不小于
1
.
2
解析：直接证明
f(1),f(2),f(3)
中至少有一个不小于
1
.比较困难，我们应采用反证法
2
证明：假设
f(1),f(2),f(3)
都小于
1
，则
2

f(1)?2f(2)?f(3)?2.
（1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有

f( 1)?2f(2)?f(3)?f(1)?2f(2)?f(3)
?(1?p?q)?2(4?2p?q )?(9?3p?q)?2
59
（2）
（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。

点评：结论为“至少”、“至多”等时，我们应考虑用反证法解决。
变式训练3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于









反思总结：
1.反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
2.归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
3.应用反证法的情形：
(1)直接证明困难;
(2)需分成很多类进行讨论；
（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 类命题；
（4结论为 “唯一”类命题；
当堂检测：
1

4
，7
不可能成等差数列． 1. 证明
3，5


33
2．设
a?b?2
，求证
a?b?2.

证明：假设
a?b?2
，则有
a?2?b
，从而

a
3
?8?12b?6b
2
?b
3
,
a? b?6b?12b?8?6(b?1)?2.
3322

3333
2
因为
6(b?1)?2?2
，所以
a?b?2
，这与题设条件
a?b ?2
矛盾，所以，
60

原不等式
a?b?2
成立。
课后练习与提高
一、选择题
2
1．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程
ax?bx? c?0(a?0)
有有理根，那么
a，b，c
中至少有一个是偶数时，下列假设中正确 的是（ ）
Ａ．假设
a，b，c
都是偶数
Ｂ．假设
a，b，c
都不是偶数
Ｃ．假设
a，b，c
至多有一个是偶数
Ｄ．假设
a，b，c
至多有两个是偶数
33
2．（1）已知
p?q?2
，求证
p?q
≤
2
，用反证法证明时，可假设
p?q
≥
2
，（2）已知
a，b?R
，
a?b?1
，求证方程
x
2
?ax?b?0
的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可 假
设方程有一根
x
1
的绝对值大于或等于1，即假设
x
1< br>≥
1
，以下结论正确的是（ ）
Ａ．
(1)
与
(2)
的假设都错误
Ｂ．
(1)
与
(2)
的假设都正确
Ｃ．
(1)
的假设正确；
(2)
的假设错误
Ｄ．
(1)
的假设错误；
(2)
的假设正确
3．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（ ）
Ａ．有两个内角是钝角 Ｂ．有三个内角是钝角
Ｃ．至少有两个内角是钝角 Ｄ．没有一个内角是钝角
二、填空题
4．.三角形ABC中，∠A，∠B，∠C至少有1个大于或等于60的反面为_______．
5. 已知A为平面BCD外的一点，则AB、CD是异面直线的反面为_______．

三、解答题
6．已知实数
a，b，c，d
满足
a?b?c?d?1
，
ac?bd?1
，求证
a，b，c，d
中至少有一
个是负 数．


?
61

2. 3数学归纳法
课前预习学案
一、预习目标：
理解数学归纳法原理及其本质，掌握它的基本步骤与方法． 能较好地理解“归纳奠基”
和“归纳递推”两者缺一不可。
二、预习内容：
提出问题：
问题1：前面学习归纳推理时，我们有一个问题没有彻底解决．即对于数列，已知
，(
n
=1,2,3…)，通过对
n
=1,2,3,4前4项的归 纳，猜想出其通项公式，
但却没有进一步的检验和证明．
问题2：大家玩过多米诺骨牌游戏吗？这个游戏有怎样的规划？(多媒体演示多米诺骨牌游
戏)
62

这是一个码放骨牌游戏，码放时保证任意两相邻的两块骨牌， 若前一块骨牌倒下，则一定导致
后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而 第二块骨牌倒下，就
必然导致第三块骨牌倒下…最后，不论有多少块骨牌都能全部倒下．
讨论问题：
问题1、问题2有什么共同的特征？其结论成立的条件的共同特征是什么
结论成立的条件：结论对第一个值成立；结论对前一个值成立，则对紧接着的下一个值也成立．
上面两个条件分别起怎样的作用？它们之间有怎样的关系？我们能否去掉其中的一个？
你能举反例说明 吗？
在上述两个条件中，第一个条件是归纳递推的前提和基础，没有它，后面的递推将无从谈
起；第二个步骤是核心和关键，是实现无限问题向有限问题转化的桥梁与纽带．
如在前面的问题1中， 如果不是1，而是2，那么就不可能得出，因此第一步
看似简单，但却是不可缺少的．而第二步显然更加 不可缺少．这一点在多米诺骨牌游戏中也可
清楚地看出．
解决问题：
由上，证明一个与自然数
n
有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)证明当
n
取第一个值
(2)假设n=k(k≥,
()时命题成立；
)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
对从开始的所有正整数
n
都成立． 由以上两个步骤，可以断定命题
这种证明 方法叫做数学归纳法，它是证明与正整数n(n取无限多个值)有关、具有内在递推关
系的数学命题的重 要工具．
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点




疑惑内容





课内探究学案
一、 学习目标
（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。
（2）初步理解数学归纳法原理。
（3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。
63

（4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。
二、学习过程：
例1、证明等差数列通项公式
a
n
?a
1
?(n?1)d
：
解析：（1）让学生理解数学归纳法的严密性和合理性；（2）掌握从
等式左边的变化情况。
证明：(1) 当
n
＝1时等式成立；
(2) 假设当
n
＝
k
时等式成立, 即
a
k
?a
1
?(k?1)d
, 则
a
k ?1
?a
k
?d
=
a
1
?[(k?1)?1]d< br>,
即
n
＝
k
＋1时等式也成立
由 （1）、（2）可知， 等差数列的通项公式
a
n
?a
1
?(n? 1)d
对任何
n
∈
N
都成立．
点评：利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时，要注意以下三句话：
递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。
变式训练1 .在数列{
a
n
}中,
a
1
＝1,
a
n?1
?
再推测通项
a
n
的公式, 最后证明你的结论．





例2、 用数学归纳法证明
*
到时
a
n
*
(
n
∈
N
), 先计算
a
2
，
a
3
，
a
4
的值，
1?a
n
()．

解析：（1）进一步让学生理解数学归纳法的严密性和合理性，从而从感性认识
上升为理性认识；
（2）掌握从
合并项等。
到时等式左边的变化情况，合理的进行添项、拆项
证明：（1）时：左边，右边
64
，左边=右边，等式成立。

?
(k?1)[(k?1)? 1][2(k?1)?1]
?右边

6
时等式也成立。
，原等式均成立
∴当
由 （1）、（2）可知，对一切
点评：利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时，要注意以下三句话：
递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。
变式训练2：用数学归纳法证明：1＋ 3＋5＋…＋（2
n
－1）＝
n
．








65

2

反思总结：
1．归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归 纳法和不完全归纳法两种，而不完
全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明；
2．数学归纳法作为一种证明方法，用于证明一些与正整数有关数学命题，它的基本
思想是递推思想，它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；
3．递推归纳时从< br>等式时第一步中
到，必须用到归纳假设，并进行适当的恒等变换。注意明
时应增加的式子 ；第二步中证明
时的形式（这样才
时左右两边的形式，第二步中
命题成立是全局的主体 ，主要注意两个“凑”：一是“凑”
好利用归纳假设），二是“凑”目标式。
当堂检测：
1．观察式子：
1?
（ ）
11
Ａ．
1?
2< br>?
2
?
23
Ｂ．
1?
Ｃ．
1?
Ｄ．
1?
11
??
2
2
3
2
11
??
2
2
3
2
11
??
2
2
3
2
131151117
?1???1????
，，，
2
2
22
2
3
2
32
2
3
2
4
24
，则可归纳出式子为
?
?
?
?
11
?(n< br>≥
2)

n
2
2n?1
11
?(n
≥
2)

n
2
2n?1
12n?1
?(n
≥
2)

n
2
n
12n
?(n
≥
2)

n
2
2n?1
答案：Ｃ
2．用数学归纳法证明：首项是
a
1
，公比是
q
的等比数列的通项公式是
a
n
?a
1
q
n?1
a
1
(1?q
n
)
( q?1).
，前n项和公式是
s
n
?
1?q
课后练习与提高


一、选择题

2222
1．用数学归纳法证明
1?3?5 ???(2n?1)?
1
n(4n
2
?1)
过程中，由
n= k
递推到
3
66

n=k+1
时，不等式左边增加的项为 （ ）
A.
(2k)
2
B.
(2k?3)
2
C.
(2k?1)
2
D.
(2k?2)
2

2．凸n边形有f(n)条对角线，凸n+1边形对角线 的条数f(n+1)为 （ ）
A. f(n)+n+1 B. f(n)+n

C.

f(n)+n-1 D. f(n)+n-2
3．用数学归纳法证明不等式
111113
???
?
?(n?2)
的过程中，由
n?1n?2n ?32n24
n=k
递推到
n=k+1
时，不等式左边 （ ）
A.增加了一项
1

2(k?1)
11

?
2k?12(k?1)
B.增加了一 项
C.增加了“
1
11
”，又减少了“”
?
k?1
2k?12(k?1)
1
1
”，又减少了“”
k?1
2(k?1)
D.增加了“
二、填空题
4．已知数列
123
1111
,,
?
，计算得
s
1
?,s2
?,s
3
?
,?
，由此可
234
1?22? 33?4,n(n?1)
猜测
s
n
?
_______．
5 ．若f(k)=
1?
11111
??????,
则
f(k?1)=
f(k)
+ _______．
2342k?12k
1
1 111
1???1
，
1???
，
2323
2
131 1
?
，
1???
7223
1
?2
，，
15
三、解答题
1?
6．由下列不等式：
??
你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．





67

参考答案：1. C 2. C 3. C 4.
n11
?
5.
n?12k?12k?2
6．解：根据给出的几个不等式可以猜想第
n
个不等式，即一般不等式为：
111n
1????
n
?(n?N
?
)
．
232?12
用数学归纳法证明如下：
1
（1）当
n?1
时，
1?
，猜想成立；
2（2）假设当
n?k
时，猜想成立，即
1?
则当
n?k?1时，
11
??
23
?
1k
?
，
2
k
?12
111111k111k2
k
k?1
1????< br>k
?
k
?
k
??
k?1
??
k?
k
??
k?1
??
k?1
?
，
23 2?122?12?1222?12?1222
即当
n?k?1
时，猜想也正确，所以 对任意的
n?N
?
，不等式成立．






3.1.1数系的扩充与复数的概念


课前预习学案
课前预习：（1）预习目标：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求 在数
系扩充过程中的作用
（2）1) 结合实例了解数系的扩充过程
2）引进虚数单位i的必要性及对i的规定
3)对复数的初步认识及复数概念的理解
（3） 提出疑惑：
通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点






疑惑内容

68

课内探究学案
学习目标：
（1）在问题情境中了解数 系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用
理解复数的基本概念
（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件
（3）了解复数的代数表示方法
学习过程
一
、自主学习
问题1：我们知道，对于实系数一元二次方程 ，没有实数根．我们能否将实数集进
行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？
问题2：类比引进 ，就可以解决方程 在有理数集中无解的问题，怎么解决 在实数
集中无解的问题呢
问题3：把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律
仍成立，你得到什么样的数？
二、探究以下问题
1、如何解决-1的开平方问题，即一个什么数它的平方等于-1
2、虚数单位i有怎样的性质
3、复数的代数形式
4、复数集C和实数集R之间有什么关系?
5、如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?

三、精讲点拨、有效训练
见教案
反思总结
一、 你对复数的概念有了比较清醒的认识了吗？
二、 对复数a+bi(a,b∈R)的正确分类
三、 复数相等的概念的理解及应用
当堂检测
1. m∈R，复数z=（m-2）(m+5)+(m-2)（m-5）i，则z为纯虚数的充要条件是m的值为 ( )
A.2或5 B.5 C.2或-5 D.-5
2
、设
a
∈
R.
复数
a
2
-a-6+( a
2
-3a-10)i
是纯虚数
,
则
a
的取值为< br> ( )
(A)5
或
-2 (B)3
或
-2 (C)-2 (D)3
3、如果（2 x-

y)+(x+3)i=0(x，y∈R)则x+y的值是（ ）
69

A．18　　　B．
1
　　　C．3　　D．?9
2

4、
x?y
的值是　　　　　　　[ ]
x?y
11
A．?5　　　　B．5　　　C．?　　　D．
55

x，y?R，且(3x+2y)+(x?y)i=i，则

3.1.1数系的扩充与复数的概念
【教学目标】
（1）在问题情境中了解数系的 扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用理解复数的
基本概念
（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件
（3）了解复数的代数表示方法
【教学重难点】
重点：引进虚数单位i的必要性、对i的规定、复数的有关概念
难点：实数系扩充到复数系的过程的理解，复数概念的理解
【教学过程】
一、创设情景、提出问题
问题1：我们知道，对于实系数一元二次方程 ，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使
得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？


问题2：类比引进 ，就可以解决方程 在有理数集中无解的问题，怎么解决 在实数集中无解的
问题呢？



问题3：把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你
得到什么样的数？
二、学生活动
1.复数的概念：
⑴虚数单位：数＿＿叫做虚数单位，具有下面的性质：
①＿＿＿＿＿＿＿＿＿
②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＿＿＿＿＿＿

70

⑵ 复数：形如＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做复数，常用字母＿＿＿表示，全体复数构成的集合叫
做＿＿＿＿＿ ＿，常用字母＿＿＿表示．
⑶复数的代数形式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其中＿＿＿＿叫做复数的实部， ＿＿＿叫做复数的
虚部，复数的实部和虚部都是＿＿＿数．
(4)对于复数a+bi(a,b∈R),
当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数;
当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数0;
当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做虚数;
当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做纯虚数;
2.学生分组讨论
⑴复数集C和实数集R之间有什么关系?

⑵如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?

⑶复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可以用韦恩图表示出来吗？
3.练
习：

(1).下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数 ？并分别指出这些复数的实部与虚部
各是什么？
2+ 2i , 0.618, 2i7 , 0,
5 i +8, 3-9 i
(2)、判断下列命题是否正确：
（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数
（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数
（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数
三、归纳总结、提升拓展
例1 实数m分别取什么值时，复数
z＝m+1＋(m-1)i
是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
解：






归纳总结：
确定复数z＝a＋bi是实数、虚数、纯虚数的条件是：
71

练习：实数m分别取什么值时，复数
22
z＝m+m-2＋(m-1)i
是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
两个复数相等，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等．也就是
a+bi=c+di _______________________（a、b、c、d为实数）
由此容易出：a+bi=0 _______________________
例2已知x +2y +(2x+6)i=3x-2 ,其中，x,y为实数，求x与y．












四、反馈训练、巩固落实
1、若x,y为实数，且 2x -2y+(x+ y)i=x-2 i
求x与y.









22
2、若x为实数，且(2x-3x-2)+(x-5x+6)i=0，求x的值.



3. 1.2复数的几何意义
72

课前预习学案
课前预习：
1、复数与复平面的点之间的对应关系
二、 复数模的计算
三、 共轭复数的概念及性质
4、 提出疑惑：
通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点







疑惑内容
课内探究学案
学习目标：
1. 理解复数与复平面的点之间的一一对应关系
2.理解复数的几何意义 并掌握复数模的计算方法
3、理解共轭复数的概念，了解共轭复数的简单性质
学习过程
一
、自主学习
阅读 课本相关内容，并完成下面题目
1、复数
z
=
a
+
bi
(
a
、
b
∈R)与有 序实数对(
a
，
b
)是 的
2、 叫做复平面，
x
轴叫做 ，
y
轴叫
做
实轴上的点都表示 虚轴上的点除原点外，虚轴上的点都表示

3、复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
?
复平面内的点
?????
平面向量 复数
????
4、共轭复数
5、复数
z
=
a
+
bi
(
a
、< br>b
∈R)的模
二、探究以下问题
一一对应一一对应
1、实数与数轴上点有什么关系？类比实数，复 数是否也可以用点来表示
吗？
2、复数与从原点出发的向量的是如何对应的？
3、复数的几何意义你是怎样理解的？
73

4、复数的模与向量的模有什么联系？
5、你能从几何的角度得出共轭复数的性质吗？
三、精讲点拨、有效训练
见教案
反思总结
1、你对复数的几何意义的理解
2、复数的模的运算及含义
3共轭复数及其性质
当堂检测
1、判断正误
二， 实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数
（2） 若|z
1
|=|z
2
|，则z
1
=z
2

（3） 若|z
1
|= z
1
，则z
1
>0
1z?2＋
?
m-1
?
i在复平面上对应的点位于
（ ） 2、
当m＜时，复数
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 3、已知a，判断z=
(a
2
?2a?4)?(a
2
?2a?2 )i
所对应的点在第几象限
4、设Z为纯虚数，且|z+2|=|4-3
i
|，求复数
Z













3.1.2复数的几何意义
【教学目标】
1. 理解复数与复平面的点之间的一一对应关系
2.理解复数的几何意义 并掌握复数模的计算方法
3、理解共轭复数的概念，了解共轭复数的简单性质
【教学重难点】
74

复数与从原点出发的向量的对应关系
【教学过程】
一、复习回顾
（1）复数集是实数集与虚数集的
（2）实数集与纯虚数集的交集是
（3）纯虚数集是虚数集的
（4）设复数集C为全集，那么实数集的补集是
（5）a，b．c．d∈R，
a+bi=c+di
?


（6）a=0是z=a+bi(a，b∈R)为纯虚数的 条件
二、
学生活动
1、阅读 课本相关内容，并完成下面题目
（1）、复数< br>z
=
a
+
bi
(
a
、
b
∈ R)与有序实数对(
a
，
b
)是 的
（2）、 叫做复平面，
x
轴叫做 ，
y
轴叫做
实轴上的点都表示 虚轴上的点除原点外，虚轴上的点都表示

（3）、复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

?
复平面内的点
?????
平面向量 复数
????
（4）、共轭复数
（5）、复数
z
=
a
+
bi
(
a
、
b
∈R)的模
2、
学生分组讨论

一一对应一一对应
（1）
复数与从原点出发的向量的是如何对应的？
（2）复数的几何意义你是怎样理解的？
（3）复数的模与向量的模有什么联系？
（4）你能从几何的角度得出共轭复数的性质吗？
3、练习
（1）、在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：
4，3+i，-1+4i，-3-2i，-i




75

（2）、已知复数
Z
1
=3-4i ，
Z
2
=
13
?i
，试比较它们模的大小。
22


（3）、若复数Z=4a+3ai(a<0)，则其模长为

（4）满足|z|=1(z∈R)的z值有几个？满足|z|=1(z∈C)的z值有几个？ 这些复
数对应的点在复平面内构成怎样的图形？其轨迹方程是什么？
三、归纳总结、提升拓展

?
35
?
例1．（2016年辽 宁卷）若
?
?
?
π
，
π
?
，则复数
(cos
?
?sin
?
)?(sin
?
?cos
?
)i
?
44
?
在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限






C．第三象限 D．第四象
限

四、 复数
z
1=1+2
i
，
z
2
=－2+
i
，
z< br>3
=－1－2
i
，它们在复平面上的对应点是一个平
行四边形的三个顶 点，求这个平行四边形的第四个顶点对应的复数.









例2图




76

例3.设Z为纯虚数，且
z?1??1?i
，求复数
Z













四、反馈训练、巩固落实

（5） 判断正误
三， 实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数
（2） 若|z
1
|=|z
2
|，则z
1
=z
2

（3） 若|z
1
|= z
1
，则z
1
>0
1z?2＋
?
m-1
?
i在复平面上对应的点位于
（ ） 2、
当m＜时，复数
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 3、已知a，判断z=
(a
2
?2a?4)?(a
2
?2a?2 )i
所对应的点在第几象限
4、设Z为纯虚数，且|z+2|=|4-3
i
|，求复数
Z











77

§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义(导学案)
预习目标：
1、 掌握复数代数式的加减运算法则，并能熟练地进行复数代数式形式的加减运算；
2、 理解并掌握复数加法、减法的几何意义及其应用。
预习内容：设
z
1
?a? bi,z
2
?c?di(a,b,c,d?R)

(加法运算法则)
（1）
z
1
?z
2
?__________
Z
1< br>,Z
2
,O为坐标原点，则
（2）
若复数z
1
,z
2
对应的点分别为

OZ
1
?_______,OZ
2
?_______,OZ
1?OZ
2
?_________
若OZ?OZ
1
?OZ
2
,则OZ对应的复数为________

________________________
(3)
z
1
?z
2
的几何意义是__________
____________(复数减法运算 法则)
(4)
z
1
?z
2
?__________

（5 ）同（2），
OZ
1
?OZ
2
?______;Z
1
Z
2
对应的复数为________

|Z
1
Z
2
|?_____,|z
1
?z
2
|的几何意义是____ ___________________
z
1
?z
2
的几何意义是 _________________________________

提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点



学习目标：
78

疑惑内容



课内探究学案

1：掌握复数的加法运算及意义
2：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义
学习重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．
学习难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。
学习过程:
例1．计算（1）
(1?4i)+(7?2i)


（2）
(7?2i)+(1?4i)


（3）
[(3?2i)+(?4?3i)]?(5?i)


（4）
(3?2i)+[(?4?3i)?(5?i)]

探究:1.观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证?
2.例1中 的（1）、（3）两小题，分别标出
(1?4i),(7?2i)
，
(3?2i),( ?4?3i),(5?i)
所对应的向
量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现？

例3．计算（1）
(1?4i)-(7?2i)


（2）
(5?2i)+(?1?4i)?(2?3i)


（3）
(3?2i)-[(?4?3i)?(5?i)]


当堂检测：
1、
z
1
?3?4i,z
2
??2? i,则z
1
?z
2
,z
1
?z
2
的值为多 少？






2、计算
（1）
(2?4i)?(3?4i)
（2）
5?(3?2i)

（3）
(?3?4i)?(2?i)?(1?5i)
（4）
(2?i)?(2?3i)?4i

3、ABCD是复平面内的平行四边行，A,B,C三点对应的复数分别是

1?3i,?i,2?i,求点D对应的复数

课后练习与提高：

79

1．计算

（1）
?
8 ?4i
?
?5
（2）
?
5?4i
?
?3i
（3）
2?3i
?
?
?2?9i
?
?
3
?
2?i

?
2．若
(3?10i)y?(2?i)x?1?9i，求实数
x,y
的取值。
变式：若
(3?10i)y?(2?i)x< br>表示的点在复平面的左（右）半平面，试求实数
a
的取值。
3．三个复数Z
1
,Z
2
,Z
3
，其中
Z
1
?3?i
，
Z
2
是纯虚数，若这三个复数所对应的向量能构成等
边 三角形，试确定
Z
2
,Z
3
的值。










80

§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义）（教案）
教学目标：
知识与技能：掌握复数的加法运算及意义
过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义
情感、态 度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、
实部、虚部) 理解并掌 握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对
图形的观察，往往能起到启迪解题 思路的作用
教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．
教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。
教学过程：
一．学生探究过程：
1. 与复数一一对应的有？
2. 试判断下列复数
1?4i,7?2i,6,i,?2?0i,7i,0,0?3i
在复平面中落在哪象限？并画出其对应
的向量。
3. 同时用坐标和几何形式表示复数
z
1
?1?4i与 Z
2
?7?2i
所对应的向量，并计算
OZ
1
?OZ
2
。
向量的加减运算满足何种法则？
4. 类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？

二、讲授新课：
1.复数的加法运算及几何意义
①.复数的加法法则：
z
1
?a? bi与Z
2
?c?di
，则
Z
1
?Z
2
? (a?c)?(b?d)i
。
例1．计算（1）
(1?4i)+(7?2i)
（2）
(7?2i)+(1?4i)
（3）
[(3?2i)+(?4?3i)]?(5?i)

（4）
(3?2i)+[(?4?3i)?(5?i)]

②．观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证。
例2．例1中的（ 1）、（3）两小题，分别标出
(1?4i),(7?2i)
，
(3?2i),(?4 ?3i),(5?i)
所对应的
向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现。
③ 复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法
则）
2．复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若
Z
1
?Z?Z
2
，则
Z叫做
Z
2
减去Z
1的差,记作Z?Z
2
?Z
1
。
④讨论：若
Z
1
?a?b,Z
2
?c?di
，试确定
Z?Z
1
? Z
2
是否是一个确定的值？
（引导学生用待定系数法，结合复数的加法运算进行推导，师生一起板演）
⑤复数的加法法则 及几何意义：
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
，复数的减法运算也可 以按
向量的减法来进行。
(3?2i)-[(?4?3i)?(5?i)]

(1?4i)-(7?2i)

(5?2i)+(?1?4i)?(2?3i)
例3．计算（1）（2）（3）
练习 ：已知复数，试画出
Z?2i
，
Z?3
，
Z?(5?4i)?2i< br>

（三）小结：两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减，复数的加减运算都可以 按照向量
的加减法进行。

81

（四）巩固练习：
1．计算
（1）
?
8? 4i
?
?5
（2）
?
5?4i
?
?3i
（ 3）




2?3i
?
?
?2?9i< br>?
?
3
?
2?i

?


2．若
(3?10i)y?(2?i)x?1?9i
，求实数
x,y
的取值。
变式：若
(3?10i)y?(2?i)x
表示的点在复平面的左（右）半平面，试求 实数
a
的取值。








3．三个复数
Z
1
,Z
2
,Z
3
，其中
Z
1
?3?i
，
Z
2
是纯虚数，若这三个 复数所对应的向量能构成等


边三角形，试确定
Z
2
,Z
3
的值。








4.1 流程图

课前预习学案

（6） 课前预习
四， 预习目标：通过模仿、操作、探索，掌握流程图的用法。体会流程图在表示数学
82

问题解决过程以及事物发生发展过程中的优越性。
五， 预习内容：1、“算法初步”一章中程序框图的常用图形符号及功能；
2、想一想去医院就诊的过程，写出程序框图；
3、阅读课本76-82页并思考对应的思考题；

③ 提出疑惑：
通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点







疑惑内容
课内探究学案
学习目标：
1、通过具体实例,进一步认识程序框图。
2、 通过具体实例,了解工序流程图。
3、能绘制简单实际问题的流程图,体会流程图在解决实际问题中的作用。
学习重难点：能绘制简单实际问题的流程图。
学习过程
一、自主学习
1、士兵过河问题：
一队士兵来到一条有鳄鱼的深河的右岸, 只有一条小船
可供使用,这条小船一次只能承载两个儿童或一个士兵.
这队士兵怎样渡到右岸呢?
你能用语言表述解决这个问题的过程吗？

2、图中所示的是一个算法的流程图，已 知
a
1
?3
，输出的结果为
7
，则
a
2< br>的值是
A．9 B．10 C．11 D．12

开始

二、探究以下问题
输入
a
1
,a
2

流程图有哪些特征？
流程图的作用是什么？与程序框图有什么关系？
使用流程图有哪些优越性？
将
a
1
与
a
2
的和记作
b

某“儿童之家”开展亲子活动，计划活动按以下步骤进行：
首先，儿童与家长按事先约定的时间来到“儿童之家”。
b
然后，一部分工作人员接待儿童，做活动前的准备；同时，
将记作
b

2
另一部分工作人员接待家长，交流儿童本周的表现。第三步，
83

4
5
6
7
输出
b

结束

按照亲子活动方案进行活动。第四部，启导员填写服务跟踪表。
你能为“儿童之家”的这项活动设计一个活动流程图吗？
三、精讲点拨、有效训练
见教案
反思总结
二、 这一节介绍了流程图在哪些发面的的应用？
三、 你会用流程图解决学习和生活中的问题了吗
当堂检测
1 ．下列说法正确的是( )
A .流程图只有1 个起点和1 个终点
B .程序框图只有1 个起点和1 个终点
C .工序图只有1 个起点和1 个终点
D .以上都不对
2.下列关于逻辑结构与流程图的说法正确的是
A .一个流程图一定会有顺序结构
B .一个流程图一定含有条件结构
C .一个流程图一定含有循环结构
D.以上说法都不对

3.给出以下一个算法的程序框图,该程序框图的功能是( )












A .求出a 、b 、c三数中的最大数
B .求出a、b 、c三数中的最小数
C .将a 、b 、c 按从小到大排列
D .将a 、b 、c按从大到小排列

4. 某同学一天上午的活动经历有：上课、早锻炼、用早餐、起床、洗漱、午餐、上学．用流程
84

图表示他这天上午活动的经历的过程．

1.B 2.C 3. B

4.



课后练习与提高
1．流程图的基本单元之间由（ ）连接．
Ａ．流向线 Ｂ．虚线 Ｃ．流程线 Ｄ．波浪线

2．下面是去图书馆借阅图书的流程图，表示正确的是（ ）
Ａ． 入库
?
阅览
?
找书
?
还书
?
出库
?
借书
Ｂ．入库
?
找书
?
阅览
?
还书< br>?
出库
?
借书
Ｃ．入库
?
找书
?
阅览
?
借书
?
出库
?
还书
Ｄ．入库
?< br>找书
?
阅览
?
借书
?
还书
?
出库

3．两个形状一样的杯子
A
和
B
中分别装有红葡萄酒和白 葡萄酒．现在利用空杯子
C
将
A
和
B
两个杯子里所装的酒对 调，下面画出的流程图正确的是（ ）

4．若某项活动包含同时进行的两个步骤，在画流程图时，需要从同一个基本单元出发，引出
条流程线．

，2，3，，9，10
，求
x
2
的算法的程序框图为 ． 5．画出对
x?1





85

6．已知数学
?
a
n
?
的递推公 式
a
n
?
1
?a
n?1
，且
a
1
?1
，请画出求其前5项的流程图．
a
n?1
解：


答案：1.C 2.C 3.A 4.两



5.











6.



86

4.1流程图
【教学目标】
1、通过具体实例,进一步认识程序框图。
2、 通过具体实例,了解工序流程图。
3、能绘制简单实际问题的流程图,体会流程图在解决实际问题中的作用。
4、在使用流程图过程中,发展学生条理性思考与表达能力和逻辑思维。
【教学重难点】
重点：学会绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用。
难点：绘制简单实际问题的流程图。
【教学过程】
一、问题情境
士兵过河问题：
一队士兵来到一条有鳄鱼的深河的右岸,只有一条小船可供使用,这条小船一 次只能承载两
个儿童或一个士兵.
这队士兵怎样渡到右岸呢?
你能用语言表述解决这个问题的过程吗？
二、学生活动
组织学生分小组讨论，要求每个小组给出一个方案并说明理由。
这个问题可以按下面的饿步骤来解决.
第一步: 两个儿童把船划到右岸.
第二步: 他们之中一个上岸,另一个划回来.
第三步: 儿童上岸,一个士兵下船划过去.
第四步: 士兵上岸,让儿童划回来.
第五步: 如果左岸还有士兵,那么转第一步,否则结束.
三、建构数学
上述问题的解题过程可以用下面的流程图来描述。


87