人教版高中数学选修1-2复数2

选修1-2复数2
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共 12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
1．若x是纯虚数，y是实数，且2x－1＋i＝y－(3－y)i，则x＋y等于( )
A．1＋
5
2
i B．－1＋
5
2
i
C．1－
5
2
i D．－1－
5
2
i
2．(2012·课标全国文，2)复数z＝
－3＋i
2＋i
的共轭复数是( )
A．2＋i B．2－i
C．－1＋i D．－1－i
3．设复数z＝
2＋i
?1＋i?
2
，则复数z的虚部是( )
A．
1
2
B．－1
C．－i D．1
4．若z< br>1
＝(x－2)＋yi与z
2
＝3x＋i(x、y∈R)互为共轭复数，则z< br>1
对应的点在(
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．当z＝
1－i
2
时，z
100
＋z50
＋1的值等于( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
6．已知复数z满足
2－i
z
＝1＋2i，则z＝( )
A．4＋3i B．4－3i
C．－i D．i
7．复数z＝
m－2 i
1＋2i
(m∈R，i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限



)

8．(2014·长安一中、高新一中、交大附中 、师大附中、西安中学一模)已知复数z＝
i＋i
2
＋i
3
＋…＋i
2013
，则复数z在复平面内对应的点位于( )
1＋i
A．第一象限
C．第三象限
B．第二象限
D．第四象限
a＋3i
9．若复数z＝(a∈R)，且z是纯虚数，则|a＋2i|等于( )
1－2i
A．5
C．25
B．210
D．40
10．若z＝cosθ＋isinθ(i为虚数单位)，则使z
2
＝－1的θ值可能是( )
π
A．
6
π
C．
3
π
B．
4
π
D．
2
11．(2013·陕西理)设z
1
、z
2
是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若|z
1
－ z
2
|＝0，则z
1
＝z
2

B．若z
1
＝z
2
，则z
1
＝z
2

C．若|z1
|＝|z
2
|，则z
1
·z
1
＝z
2
·z
2

2
D．若|z
1
|＝|z
2< br>|，则z
2
1
＝z
2

－
12．(2014 ·广东文，10)对任意复数ω
1
、ω
2
，定义ω
1
]2
，其中ω
2
是ω
2
的共轭复数，对
任意复数z
1
、z
2
、z
3
，有如下四个命题：
①(z
1
＋z
2
)*z
3
＝(z
1
]( )
A．1
C．3
B．2
D．4
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．若复数z＝1－2i(i为虚数单位)，则z·z＋z＝________.
14．已知a、b∈R，且a－1＋2ai＝4＋bi，则b＝________.
z
1
15．若z
1
＝a＋2i，z
2
＝3－4i，且为纯虚数，则实 数a的值为________．
z
2
ab5
16．已知复数z＝a＋bi( a、b∈R)且＋＝，则复数z在复平面对应的点位于
1－i1－2i3＋i
第_______ _象限．

三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
1 7．(本题满分12分)m为何实数时，复数z＝(2＋i)m
2
－3(i＋1)m－2(1－ i)是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？










18．(本题满分12分)已知复数z满足zz－i(3z)＝1＋3i，求z.










19．(本题 满分12分)已知复数x
2
＋x－2＋(x
2
－3x＋2)i(x∈R)是复 数4－20i的共轭复数，
求实数x的值．

20．(本题满分1 2分)设a、b为共轭复数，且(a＋b)
2
－3abi＝4－6i，求a和b.








21．(本题满分12分)已知z＝1＋i，
(1)求w＝z
2
＋3z－4；
z
2
＋az＋b
(2)如果
2
＝1－i，求实数a、b的值．
z－z＋1







1
22．(本题满分14分)设z＝l og
2
(1＋m)＋ilog(3－m)(m∈R)．
2
(1)若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围；
(2)若z在复平面内对应的点在直线x－y－1＝0上，求m的值．

选修1-2复数2 答案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
1．
[答案] D
[解析] 设x＝it(t∈R且t≠0)，
于是2ti－1＋i＝y－(3－y)i，
∴－1＋(2t＋1)i＝y－(3－y)i，
?
?
?
t＝－2
?
y＝－1
∴
?
，∴
?
?
?
2t＋1＝－?3－y?
?

5
?
y＝－1

.
5
∴x＋y＝－1－i.
2
2．
[答案] D
[解析] 本题考查了复数的除法运算以及共轭复数的概念．
z＝
－3＋i?－3＋ i??2－i?－5＋5i
＝＝＝－1＋i，故z的共轭复数为－1－i.
5
2＋i?2＋i??2－i?
3．
[答案] B
2＋i－2i＋1
1
[解析] z＝＝＝－i，∴复数z的虚部是－1.
2i22
4．
[答案] C
?
x－2＝3x
?
x＝－1
??
[解析] 由已知得
?
，∴
?
.
??
y＝－1y＝－1
??

∴z
1
＝－3－i，故选C.
5．
[答案] D
1
[解析] z
2
＝(1－2i－1)＝－i，z
50
＝( －i)
25
＝－i，z
100
＝(－i)
2
＝－1，故原式 ＝－i.
2
6．
[答案] D
2－i2－i?2－i??1－2i?2－4i－i－2
[解析] 由＝1＋2i，得z＝＝＝＝－i，∴z＝i.
z55
1＋2i

7．
[答案] A
[解析] z＝
m－2i?m－2i??1－2i?
1
m－4
＝＝[(m－4)－2(m＋1)i]，其实部为，虚部为
5
1＋2i?1＋ 2i??1－2i?
5
?
?
m>4
?
m－4>0
?
－2?m＋1?
，由
?
，得
?
，此时无解．故复数在复平面 上对应的点不可能
5
?
m<－1
?
－2?m＋1?>0
?< br>?


位于第一象限．
8．
[答案] A
i n＝4k＋1，
?
?
－1 n＝4k＋2，
[解析] ∵i＝
?
－i n＝4k＋3，
?
?
1 n＝4k，
n

k∈Z，∴i＋i
2
＋i
3
＋…＋ i
2013
＝503×(i＋i
2
＋i
3
＋
i4
)＋i
2013
＝503×0＋i＝i，
i?1－i?1＋i
i11
∴z＝＝＝，在复平面内的对应点(，)在第一象限．
222
1＋i?1＋i??1－i?
9．
[答案] B
a＋3i?a＋3i??1＋2i?a＋2ai＋3i－6a－6＋?2a＋3?i
[解析] z＝＝＝＝，
555
1－2i
?
?
a－6＝0
当z为纯虚 数时，
?
，得a＝6，
?
2a＋3≠0
?

∴a＋2i＝6＋2i，
∴|a＋2i|＝210.
10．
[答案] D
?
cos2θ＝－1
?
[解析] ∵z
2
＝cos2θ＋isin2θ＝－1，∴
?
，
?
?
sin2θ＝0

∴2θ＝2kπ＋π (k∈Z)，
π
∴θ＝kπ＋.令k＝0知，D正确．
2
11．
[答案] D
[解析] 本题考查复数相等，共轭复数．
设z
1
＝a＋bi，z
2
＝c＋di，a、b、c、d∈R，若|z
1
－z
2
|＝0，则z
1
－z
2
＝0，∴a＝c，b＝d，

所以z
1
＝z
2
，故A项正确．若z
1
＝z
2
，则a＝c ，b＝－d，所以z
1
＝z
2
，故B项正确．若
2222
| z
1
|＝|z
2
|，则a
2
＋b
2
＝c< br>2
＋d
2
，所以z
1
z
1
＝z
2< br>·z
2
，故C项正确．z
2
1
＝a－b＋2abi，z
2
＝c－
d
2
＋2cdi，在a
2
＋b
2
＝c
2
＋d
2
的条件下，不能得出a
2
－b
2< br>＝c
2
－d
2,
2ab＝2cd，故D项错误．
12．
[答案] B
[解析] ∵w
1
]．
∴①左边＝(z
1
＋z
2
)z
3
，右边＝z
1
z
3
＋z
2
z
3
＝(z
1
＋z
2
)z
3
，左边＝右边，正确．
②左边＝z
1
(z
2
＋z
3
)＝z
1
(z
2
＋z
3
)，右边＝z
1
z
2
＋z
1
z
3
＝z
1
(z< br>2
＋z
3
)，左边＝右边，
正确．
③左边＝(z
1
z
2
)z
3
，右边＝z
1
(z
2
z
3
)＝z
1
(z
2
z
3
)，左边≠右边 ，不正确．
④左边＝z
1
z
2
，右边＝z
2
z< br>1
，左边≠右边，不正确，选B.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13． [答案] 6－2i
－
[解析] ∵z＝1－2i，∴z＝1＋2i，
－
∴z·z＋z＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2i
＝5＋1－2i＝6－2i.
14． [答案] 10
??
?
a－1＝4
?
a＝5
?
[解析] 由已知得，得
?
.
??
?
2a＝b
?
b＝10

8
15． [答案]
3
[解析]
＝
z
1
a＋2i?a＋2i??3＋4i?
＝＝
z
2
3－4i?3－4i??3＋4i?
3a＋4ai＋6i－83a－84a＋6
＝ ＋i，
252525
3a－8
＝0
?
25
z
∵为 纯虚数，∴
?
z
4a＋6
?
25
≠0
1
2

8
，∴a＝.
3
16． [答案] 四
ab5
[解析] ∵a、b∈R且＋＝，
1－i1－2i3＋i
即
a?1＋i?b?1＋2i?3－i
＋＝，
252

∴5a＋5ai＋2b＋4bi＝15－5i，
?
5 a＋2b＝15
?
a＝7
??
∴
?
，解得
?
.
??
5a＋4b＝－5b＝－10
??

∴复数z＝a＋bi＝7－10i在复平面内对应的点位于第四象限．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
[解析] z＝(2＋i)m
2
－3(i＋1)m－2(1－i)
＝2m
2
＋m
2
i－3mi－3m－2＋2i
＝(2m
2
－3m－2)＋(m
2
－3m＋2)i.
(1)由m
2
－3m＋2＝0得m＝1或m＝2，
即m＝1或2时，z为实数．
(2)由m
2
－3m＋2≠0得m≠1且m≠2，
即m≠1且m≠2时，z为虚数．
?
2m
2
－3m－2＝0
?
1
(3)由
?
2
，得m＝－，
2
?
?
m－3m＋2≠0

1
即m＝－时，z为纯虚数．
2
18． [解析] 将方程两边化成a＋bi的形式，根据复数相等的充要条件来解．
－
设z＝x＋yi(x、y ∈R)，则z·z＝x
2
＋y
2
，
3z＝3x＋3yi
3z＝3x－3yi
∴x
2
＋y
2
－3y－3xi＝1＋3i，
22
?
?
x＋y－3y＝1
由复数相等得
?
，
?
－3x＝3
?

??
?
x＝－1
?x＝－1
解得
?
，或
?
.
??
y＝0y＝3
??

∴z＝－1或z＝－1＋3i.
19． [解析] 因为复数4－20i的共轭复数为4＋20i，由题意得x
2
＋x －2＋(x
2
－3x＋2)i
＝4＋20i，
根据复数相等的充要条件，得
2
?
?
x＋x－2＝4， ①
?

2
?
x－3x＋2＝20. ②
?

方程①的解为x＝－3或x＝2.
方程②的解为x＝－3或x＝6.

所以实数x的值为－3.
20． [解析] ∵a、b为共轭复数，∴设a＝x＋yi(x、y∈R)
则b＝x－yi，
由(a＋b)
2
－3abi＝4－6i，得
(2x)
2
－3(x
2
＋y
2
)i＝4－6i，
2
?
?
4x＝4
即
?
，
?
－3?x
2
＋y
2
?＝－6
?

?
x
2
＝1
?
x＝±1
??
∴
?
2
， ∴
?
.
??
y＝1y＝±1
??

∴a＝1＋i，b＝1－i；a＝－1＋i，b＝－1－i；
a＝1－i，b＝1＋i；a＝－1－i，b＝－1＋i.
21．
[解析] (1)w＝(1＋i)
2
＋3(1－i)－4
＝2i＋3－3i－4＝－1－i.
z
2
＋az＋b?1＋i?
2
＋a＋ai＋b
(2)
2
＝
z－z＋1?1＋i?
2
－1－i＋1
＝
?a＋b ?＋?a＋2?i
＝(a＋2)－(a＋b)i，
i
∴(a＋2)－(a＋b)i＝1－i，
∴a＝－1，b＝2.
22．
[解析] (1)由已知，得
log?1＋m?<0， ①
?
?
2
?
1

log?3－m?<0， ②
?
?
2
解①得－1故不等式组的解集为{x|－1因此m的取值范围是{x|－11
(2)由已知得，点(log
2
(1＋m)，log(3－m))在直线x －y－1＝0上，
2
1
即log
2
(1＋m)－log(3－m)－1＝0，
2
整理得log
2
(1＋m)(3－m)＝1.
从而(1＋m)(3－m)＝2，即m
2
－2m－1＝0，
解得m＝1±2，且当m＝1±2时都能使1＋m>0，且3－m>0.
故m＝1±2.