最新人教版高中数学选修1-2《回归分析》梳理探究

数学人教B选修1-2第一章1.2 回归分析


^^
1．掌握回归直线方程的形式，理解a，b及样本中心点的含义，并会求回归直线方程．
2．理解样本相关系数r的含义，掌握如何用样本相关系数r来衡量两个变量之间的线
性相关程 度．

1．回归直线方程
1
n
1
n
^^^^^ ^
回归直线方程y＝a＋bx，其中b＝________，a＝y－b x(x＝
?
x
i
，y＝
?
y
i
)．______
n
i
＝
1
n
i
＝
1
称为样本点的中心．
< br>^
(1)b＝
i
＝
1
?
x
i
yi
－nx y
^
，其统计学的意义是：x每增加(或减少)一个单位，y平均改变 b个
n
2
n
i
＝
1
?
x
i
2
－n x
^^
单位.a＝y－bx，它的意义是y不受x变化影响的部分． ^^
(2)回归直线方程的求法及步骤：借助计算器进行运算求出系数b与a，也可以用相应的计算机软件求出方程．具体计算步骤：①分别计算
?
x
i
，
?< br>y
i
，
?
x
i
2
，
?
y< br>i
2
，
?
x
i
y
i
；②计算xi
＝
1i
＝
1i
＝
1i
＝
1i
＝
1
nnnnn
1
n
1
n
^^^^^
＝
?
x
i
，y＝
?
y
i
；③根据公式求出b 和a；④写出回归直线方程y＝a＋bx，并利用回归直
n
i
＝
1
n
i
＝
1
线方程求相应变量的值．
【做一做1－1】两个相关变量满足如下数据关系：
x
y
^
A．y＝0.56x＋997.4
^
B．y＝0.63x－231.2
^
C．y＝50.2x＋501.4
10
1 003
15
1 005
20
1 010
25
1 011
30
1 014
则y对x的回归直线方程为( )

^
D．y＝60.4x＋400.7
^
【做一做1－2】设有一个回归直线方程为y＝3－5x，则当变量x增加1个单位时( )
A．y平均增加3个单位
B．y平均减少5个单位
C．y平均增加5个单位
D．y平均减少3个单位
2．样本相关系数
r＝
∑?x
i
－x?∑?y
i
－y?
22
∑?xi
－x??y
i
－y?
＝______________ .
r具有以下性质：|r|≤1，并且|r|越接近____，线性相关程度越强；|r|越接近____，线性< br>相关程度越弱．
检验的步骤如下：
(1)作统计假设：x与Y不具有线性相关关系．
(2)根据小概率0.05与n－2在附表中查出r的一个临界值______．
(3)根据样本相关系数计算公式算出r的值．
(4)作统计推断．如果|r|＞r
0.05
，表明有____的把握认为x与Y之间具有线性相关关系．
如果|r|≤r
0.05
，我们没有理由拒绝原来的假设．这时寻找回归直线方程是毫无意义的．

(1)当r＞0时，表示两个变量正相关；当r＜0时，表示两个变量负相关；(2)判断两个
变量间 是否有线性相关关系，应该先求样本相关系数r，再根据r的具体数值进行判断．
【做一做2－1】下列有关样本相关系数r的说法不正确的是( )
A．|r|≤1，且|r|越接近1，线性相关程度越强
B．|r|≤1，且|r|越接近0，线性相关程度越弱
C．|r|≥1，且|r|越接近1，线性相关程度越强
D．用样本相关系数r来衡量x与y之间的线性相关程度
^
【做一做2－2】若回归直线方程中的回归系数b＝0，则相关系数( )
A．r＝1 B．r＝－1
C．r＝0 D．无法确定

1．如何进行线性回归分析？
剖析：(1)从一组数据出发，求出两个变量的相关系数r，确 定二者之间是否具有线性相
关关系．
^^^^^
(2)如果具有线性相关关系，求出 线性回归方程y＝a＋bx，其中a是常数项，b是回归系
数．
(3)根据回归方程，由一个变量的值预测或控制另一个变量的值．
特别说明：①回归方程只 适用于所研究的样本总体．②所建立的回归方程一般都有时效
性，如不能用根据20世纪80年代中学生 的身高、体重数据所建立的回归方程来描述现在中

学生的身高和体重的关系．③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围．
2．怎样处理非线性回归问题？
剖析：两个变量不具有线性相关关系，不能直接利用线性回归 方程建立两个变量之间的
关系，可以通过变换的方法转化为线性回归模型．如y＝c
1
ec
2
x，我们可以通过对数变换把
指数关系变为线性关系．令z＝ln y，则变换后样本点应该分布在直线z＝a＋bx(a＝ln c
1
，b
＝c
2
)的附近．

题型一 求线性回归方程
【例题1】假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)，有如 下的统
计资料：
使用年限x
维修费用y万元
2
2.2
3
3.8
4
5.5
5
6.5
6
7.0
若由资料知y与x具有线性相关关系．试求：
^^^^^
(1)线性回归方程y＝bx＋a的回归系数a，b；
(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
分析：因为y与x具有线性相关关系，所以可以用求线性回归方程的方法解决问题．
^
(1)利用公式b＝
i
＝
1
?
x
i
y
i
－nx y
?
x
i
2
－nx
n
n
^^
，a＝y－b x来计算回归系数．
2
i
＝
1
(2)获得回归直线方程后，取x＝10代入，即得所求．
反思：知道y与x具有线性相关关系，就无须进行相关性检验，否则，应首先进行相关
性检验． 如果本身两个变量不具有相关关系，或者说，它们之间相关关系不显著，即使求出
回归方程也是毫无意义 的，而且用其进行的预测也是不可信的．
题型二 相关性检验与回归分析的综合运用
【例题 2】要分析学生高一入学时的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响，在高一
年级学生中随机抽取10 名学生，分析他们高一入学的数学成绩(x)和高一期末考试数学成绩
(y)(如下表)：
编号
x
y
1
63
65
2
67
78
3
45
52
4
88
82
5
81
92
6
71
89
7
52
73
8
99
98
9
58
56
10
76
75
(1)画出散点图；
(2)计算高一入学数学成绩(x)与高一期末考试数学成绩(y)的相关系数；
(3)对变 量x与y进行相关性检验，如果x与y之间具有线性相关关系，求出y对x的线
性回归方程；
(4)若某学生高一入学数学成绩为80分，试估计他高一期末考试数学成绩．
分析：(1) 借助于散点图可大致判定两变量间的相关性，用相关系数公式可准确判定两
变量间的相关程度．(2)先 作统计假设，由小概率0.05与n－2在附表中查得相关系数的临界
值r
0.05
， 若|r|＞r
0.05
，则两变量线性相关，否则两变量不具有线性相关性．
反思：求解两个变量的相关系数及它们的回归直线方程的计算量较大，需要细心、认真

地计算．另外，利用计算机中有关应用程序也可以对这些数据进行处理．
题型三 易错题型
易错点：求回归直线方程和进行回归分析的题目的计算量较大，公式较多， 所以在求解
时易出现公式错用、数据求错的现象．
【例题3】英语老师为了了解学生的词汇量 ，设计了一份包含100个单词的试卷，现抽
取15名学生进行测试，得到学生掌握试卷中单词个数x与 该学生实际掌握单词量y的对应
数据如下：
x
y
x
y
61
2 030
63
2 100
65
2 140
72
2 300
70
2 270
71
2 300
69
2 250
68
2 200
83
2 240
65
2 200
75
2 220
67
2 200
58
1 970
74
2 370
73
2 330


(1)对变量y与x进行相关性检验；
(2)如果y与x之间具有线性相关关系，则
①求y对x的回归直线方程；
②求x对y的回归直线方程．
错解：(1)由计算器求下列数据：
i
x
i

y
i

x
i
y
i

i
x
i

y
i

x
i
y
i

1
61
2 030
123 830
9
63
2 100
132 300
2
65
2 140
139 100
10
72
2 300
165 600
3
70
2 270
158 900
11
71
2 300
163 300
4
69
2 250
155 250
12
68
2 200
149 600
5
83
2 240
185 920
13
65
2 200
143 000
6
75
2 220
166 500
14
67
2 200
147 400
7
58
1 970
15
74
2 370
8
73
2 330



114 260 170 090
175 380
x＝68.93，y＝2 208，
1515
22
x
i
＝71 822，y
i
＝73 298 600，x
i
y
i
＝2 290 430
i
＝< br>1i
＝
1i
＝
1
?
15
??
于是< br>?
x
i
2
－15x＝71 822－15×68.93＝70 788.05，
i
＝
1
15
i
＝
1
?< br>y
i
2
－15y＝73 298 600－15×2 208＝73 265 480，
15
15
i
＝
1
?
x
i
y
i
－15xy＝2 290 430－15×68.93×2 208＝7 468.4，
15
i
＝
1
?
x
i
y
i
－15x y

x??
?
y
i
2
－15y?
i
＝
1
15
r＝
?x
i
2
－15
i
＝
1
?
15

＝
7 468.4
＝0.003 3.
70 788.05×73 265 480
查相关系数检验的临界值表，得r
0.05
(15－2)＝0.514.
由于|r|＜r
0.05
，故y与x无线性相关关系．
(2)由(1)得x与y的回归直线方程不存在．

1设两个变量x和y之间具有线 性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线
^^
的斜率是b，纵截距是a，那么必 有( )
^^
A．b与r的符号相同 B．a与r的符号相同
^^
C．b与r的符号相反 D．a与r的符号相反
^
2工人月 工资y(元)依劳动生产率x(千元)变化的回归直线方程为y＝50＋80x，则下列判
断正确的是( )
①劳动生产率为1 000元时，工资为130元；
②劳动生产率提高1 000元时，工资平均提高80元；
③劳动生产率提高1 000元时，工资平均提高130元；
④当月工资为210元时，劳动生产率为2 000元．
A．① B．② C．③ D．④
3已知y与x之间的一组数据如下：
x
y
0
1
1
3
2
5
3
5
4
6
则拟合这5对数据的回归直线一定经过点__________．
4许多因素都会影响贫穷，教育就是其中之一．在研究贫穷和教育的关系时收集了美国
50个州的成年人 受过9年或更少时间教育的人数占本州人数的百分比(x)和收入低于官方规
^
定的贫困线的人 数占本州人数的百分比(y)的数据，建立回归直线方程为y＝0.8x＋4.6，斜率
的估计值等于0 .8说明____________________，成年人受过9年或更少时间教育的人数占本
州人 数的百分比(x)和收入低于官方的贫困线的人数占本州人数的百分比(y)之间的相关系数
_____ _____(填“大于0”或“小于0”)．
答案：
基础知识·梳理
i
＝
1
?
x
i
y
i
－nx y
(x，y)
i
＝
1
n
1．
?
xi
2
－n x
n
2

^
【做一做1－1】A b＝
i
＝
1
?
x
i
y
i
－5x y
＝0.56，
i
＝
1
5
?
x
i
2
－5x
5
2
^^
a＝y－b x＝997.4.
^
∴y对x的回归直线方程为y＝0.56x＋997.4.
【做一做1－2】B 因为－5是斜率的估计值，说明x每增加1个单位时，y平均减少
5个单位．
2．
∑x
i
y
i
－nx y
?∑x
2i
－nx
2
??∑y
i
2
－n
1 0 (2)r
0.05

y?
2
(4)95%
【做一做2－1】C 根据样本相关系数的性质可知选项A，B，D均正确．
^
【做一做2－2】C 当b＝
i
＝
1
?
?x
i
－x??y
i
－y?
＝0时，
i
＝
1
n
?
?x
i
－x?
2
n
有
?
(x
i
－x)(y
i
－y)＝0，
i
＝
1
n
i
＝
1
?
?x
i
－x??y
i
－y?
＝0.
n
故相关系数 r＝
n
2
n
i
＝
1i
＝
1
? ?x
i
－x?
?
?y
i
－y?
2
典型例题·领悟
【例题1】解：(1)制表：
i
x
i

y
i

x
i
y
i

x
i
2

1
2
2.2
4.4
4
2
3
3.8
11.4
9
3
4
5.5
22.0
16
4
5
6.5
32.5
25
5
6
7.0
42.0
36
合计
20
25
112.3
90
x＝4；y＝5；
i
＝
1
?
x
i
2
＝90；
?
x
i
y
i＝112.3.
i
＝
1
55

^112.3－5×4×5
12.3
于是有b＝＝＝1.23；
10
90 －5×4
2
^^
a＝y－bx＝5－1.23×4＝0.08.
^
(2)回归直线方程是：y＝1.23x＋0.08，当x＝10时，y＝1.23×10＋0.08＝12.3 ＋0.08＝
12.38(万元)，即估计使用10年时维修费用是12.38万元．
【例题 2】解：(1)高一入学数学成绩(x)与高一期末考试数学成绩(y)两组变量的散点图
如图，从散点 图看，这两个变量间具有线性相关关系．

1
(2)因为x＝(63＋67＋?＋76)＝70，
10
y＝
10
1
(65＋78＋?＋75)＝76，
10
10
i
＝
1
?
(x
i
－x)(y
i
－y)＝1 894，
?
(x
i
－x)
2
＝2 474，
i
＝
1
10
i
＝
1
?
(y
i
－y)
2
＝2 056，
因此求得相关系数为：
i
＝
1
?
?x
i
－x??y
i
－y?
＝0.839 786.
10
r＝
i
＝
1
?
?x
i
－x?
2
10
i
＝
1
?
?y
i
－y?
2
10
结果说明这两组数据的相关程度是比较高的．
(3)查表求得显著性水平0.05和自由度10－2＝8的相关系数临界值r
0.05
＝0.632，因|r|
＞r
0.05
，这说明高一入学数学成绩与高一期末考试数 学成绩之间存在线性相关关系．
^^^^
设线性回归方程为y＝a＋bx，在两组变量具有显 著的线性相关关系的情况下，求得b＝
^^
0.765 56，a＝y－bx＝22.410 8.
^
因此所求的线性回归方程是y＝22.410 8＋0.765 56x.

^
(4)若某学生高一入学数学成绩为80分，代入上式可求得，y＝84分， 即这个学生高一
期末考试数学成绩的预测值为84分．
【例题3】错因分析：本题由于对公式
i
＝
1
?
x
i
y
i
－nx y
的错误记忆而导致错误．
n
n
r＝
n
i
＝1i
＝
1
?
?
x
i
2
－nx
2
??
?
yi
2
－ny
2
?
正解：(1) 列表并用计算器进行计算：
i
x
i

y
i

x
i
y
i

i
x
i

y
i

x
i
y
i

1
61
2 030
123 830
9
63
2 100
132 300
2
65
2 140
139 100
10
72
2 300
165 600
3
70
2 270
158 900
11
71
2 300
163 300
4
69
2 250
155 250
12
68
2 200
149 600
5
83
2 240
185 920
13
65
2 200
143 000
6
75
2 220
166 500
14
67
2 200
147 400
7
58
1 970
114 260
15
74
2 370
175 380
8
73
2 330
170 090




x＝68.93，y＝2 208，
i
＝
1
?
x
i
2
＝71 822，
?
y
i
2
＝73 298 600，
?
x
i
y
i
＝2 290 430
i< br>＝
1i
＝
1
151515
于是
?
x
i
2
－15x
2
＝71 822－15×68.93
2
＝551.83，
i
＝
1
1 5
i
＝
1
?
y
i
2
－15y
2< br>＝73 298 600－15×2 208
2
＝169 640，
1515
i
＝
1
?
x
i
y
i
－1 5x y＝2 290 430－15×68.93×2 208＝7 468.4，
15
i
＝
1
?
x
i
y
i
－15x y

15
r＝
15
i
＝
1i
＝
1
?< br>?
x
i
2
－15x
2
??
?
yi
2
－15y
2
?
7 468.4
＝0.772.
551.83×169 640
＝
查相关系数检验的临界值表，得r
0.05
(15－2)＝0.514.
由于|r|＞r
0.05
，故y与x有线性相关关系．

^^^
(2)①设y对x的回归直线方程为y＝bx＋a，
15^
则b＝
i
＝
1
?
x
i
y
i
－15x y
＝
i
＝
1
?
x
i
2
－15x
15
2
7 468.4
＝13.5，
551.83
^^
a＝y－b x＝2 208－13.5×68.93＝1 277.445，
即所求的y对x的回归直线方程为
^
y＝13.5x＋1 277.445.
^^^
②设x对y的回归直线方程为x＝dy＋c，则
15^
d＝
i
＝
1
?
x
i
y
i< br>－15x y
＝
i
＝
1
?
y
i
2< br>－15y
15
2
7 468.4
＝0.044，
169 640
^^
c＝x－d y＝68.93－0.044×2 208＝－28.222，
^
即所求的x对y的回归直线方程为x＝0.044y－28.222.
随堂练习·巩固
^
1．A 由回归直线方程的斜率b与相关系数r的计算公式可以得出结论．
^
2．B 回归直线方程本 身就不够精确，y
i
与数据y
i
很可能不相等，所以①④不正确．由
^^
回归系数b的意义，知b是一个估计值．
^^^
3．(2,4) 回归直线y＝bx＋a一定过样本点的中心(x，y)．
4．一个地区受过9年或更少时间教育的人数 占本州人数百分比每增加1%，收入低于
官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比将增加0.8%左 右 大于0