高中数学选修1-2《2.2.1 演绎推理》练习

2．1.2 演绎推理练习

双基达标 ?限时20分钟?

1．下面几种推理过程是演绎推理的是
( )．
A．两条直线平行，同旁内角互 补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内
角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班
人数超过50人
C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
1
?
1
?
a＋
D．在数列{a
n
}中，a
1
＝1，a
n
＝
2
?
n
－
1
a
?
(n≥2)，由此归纳出 {a
n
}的通项
n
－
1
??
公式
解析 C是类比推理，B与D均为归纳推理．
答案 A
2．三段论：“①只有船准时起航，才能准 时到达目的港，②这艘船是准时到达
目的港的，③这艘船是准时起航的”中的“小前提”是
( )．
A．① B．② C．①② D．③
解析 大前提为①，小前提为③，结论为②.
答案 D
1
3．“因对数函数y＝log< br>a
x是增函数(大前提)，而y＝log
3
x是对数函数(小前提)，
1
所以y＝log
3
x是增函数(结论)．”上面推理错误的是
( )．
A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错

解析 y＝log
a
x，当a>1时，函数是增函数；当0答案 A
4．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c
应满足的条件是a
2
________b
2
＋c
2
(填“>”“<”或“＝”)．
b
2
＋c
2
－a
2
222
解析 由cos A＝<0知b＋c－a<0，
2bc
故a
2
>b
2
＋c
2
.
答案 >
π
?
3
2π
?
5．在推理“因为y＝sin x是
?
0，
2
?
上的增函数，所以sin
7
π>sin
5
”中，大前提
??
为____________________________ _________________________；
小前提为_______________ __________________________________；
结论为_______ _________________________________________________．
π
??
答案 y＝sin x是
?
0，
2
?
上的增函数
??
π
?< br>3π2π
3
2π
?
3π2π
?
0，
2
?
且> sin>sin
π、
∈
75
?
75
?
75
6．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.
证明 因为任意三角形内 角之和为180°(大前提)，而直角三角形是三角形(小
前提)，所以直角三角形内角之和为180° (结论)．
设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B，则有∠A＋∠B＋90°＝180°，因为等量减等量差相等(大前提)，(∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90°(小前提)，所
以∠A＋∠B＝90°(结论)．
综合提高 ?限时25分钟?

7．“所有9的 倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故某奇数(S)
是3的倍数(P)． ”上述推理是
( )．
A．小前提错
C．正确的


B．结论错
D．大前提错
解析 由三段论推理概念知推理正确．
答案 C

8．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，有下列命题：
①若m∥n，n?α，则m∥α；
②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；
③若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β＝m，n?β，n⊥m，则n⊥α.
其中正确的命题个数是
( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 ①中，m还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m与n相交时
才成立，③错误；④正确．故选B.
答案 B
9．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：
大前提 _ _________________________________________________；
小前提 __________________________________________ _____________；
结论 ____________________________ ___________________________.
答案 一次函数的图象是一条直线 函数y＝2x＋5是一次函数 函数y＝2x
＋5的图象是一条直线
10．“如图，在△ABC中，AC >BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>BCD”．
证明：在△ABC中 ，

因为CD⊥AB，AC>BC，①
所以AD>BD，②
于是∠ACD>∠BCD.③
则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号)
解析 由AD>BD，得到 ∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形
中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”， 而AD与BD不在同一三角形中，
故③错误．

答案 ③
11．已知 函数f(x)，对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x>0时，f(x)<0，
f(1)＝－2.
(1)求证：f(x)为奇函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
(1)证明 ∵x，y∈R时，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
∴令x＝y＝0得，f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.
令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(2)解 设x
1
，x
2
∈R且x
1
2
， f(x
2
)－f(x
1
)＝f(x
2
)＋f(－x1
)＝f(x
2
－x
1
)，
∵x>0时，f(x)<0，∴f(x
2
－x
1
)<0，
即f(x
2
)－f(x
1
)<0，∴f(x)为减函数．
∴f(x)在[－3,3]上的最大值为f(－3)，最小值为f(3)．
∵f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，
f(－3)＝－f(3)＝6，
∴函数f(x)在[－3,3]上的最大值为6，最小值为－6.
x
2
y< br>2
12．(创新拓展)设F
1
、F
2
分别为椭圆C：
a
2
＋
b
2
＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，
已知椭 圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭
圆上任意一点，当直线PM，PN的 斜率都存在，并记为k
PM
，k
PN
时，那么k
PM
x2
y
2
与k
PN
之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线a
2
－
b
2
＝1写出具有类似特
征的性质，并加以证明 ．
x
2
y
2
解 类似的性质为：若M、N是双曲线
a2
－
b
2
＝1(a＞0，b＞0)关于原点对称
的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记
为k
PM
，k
P N
时，那么k
PM
与k
PN
之积是与点P位置无关的定值．证明如下 ：
可设点M(m，n)，则点N的坐标为(－m，－n)，
m
2
n
2
有
a
2
－
b
2
＝1.

y－ny＋n
又设点P(x，y)，则由k
PM
＝，k
PN
＝，
x－mx＋m
y－ny＋ny
2
－n
2
得k
PM< br>·k
PN
＝·＝.
x－mx＋mx
2
－m
2
b
2
x
2
22
b
2
m
2
2把y＝
a
2
－b，n＝
a
2
－b代入上式，
2
b
2
得k
PM
·k
PN
＝
a
2
.