高中数学选修1-2《推理与证明》

第二章 推理与证明
一、合情推理
1、归纳推理：个别?一般
?< br>（结论不一定正确）
?
2、类比推理：特殊?特殊
?

例1、推导等差数列通项公式。
解：
a
2
?a
3
?d




?
?
a
3
?a
2
?2d
个别
?
?
a
4
?a
3
?3d
?
?
?
一般
?
a
n
?a
1
?(n?1)d
?
?
例2、求1
3
?2
3
?3
3
?
解：
1
3
?1?1
2




?n
3
?________.

?
?
?
?
特殊
?
?
?
?
一般
?
1
?
?n)
2
?n
2
(1?n)
2
?
4?
1
3
?2
3
?9?3
2
2
1
3
?2
3
?3
3
=36=（1+2+3）
1
3
+2
3
+3
3
++n
3
?(1?2?3?




二、演绎推理
?
?
1
?
大前提：M 是P
?
三段论
?
?
2
?
小前提：S是M
?
?
?
3
?
结论：S是P
一般?特殊
?
结论 正确
?

例：“自然数是整数，4是自然数，所以4是整数”。

三、直接证明
1、综合法：条件?结论
2、分析法：结论?条件

例：设a,b,c,d? 0,且a+b=c+d,证明：
?
1
?
若ab?cd，则a?
?2
?
若a?b?c?d,则
b?c?d.
a?b?c?d.
< br>?
?
22
?
只要证(a?b)?(c?d)，
?
?< br>即a?2ab?b?c?2cd?d，
?
分析法
因为a?b?c?d,所以只要 证ab?cd，
?
?
只要证ab?cd,
?
?
因为ab?c d成立,所以a?b?c?d成立.
?

?
?
2
?
若a?b?c?d,(a?b)
2
?(c?d)
2
，
即(a?b)? 4ab?(c?d)?4cd，
因为a?b?c?d,所以ab?cd，
由（1）可知a?b? c?d.

22
证明：
?
1
?
要证a?b?c?d ，
?
?
?
综合法
?
?
?

四、间接证明
反证法：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的 推理，最后得出矛盾，因此说明假
设错误，从而证明了原命题成立。


例、若1x
2
-(m?n)x?mn?0，则x?m且x?n.

证 ：假设x?m且x?n不成立，
则x=m且x=n，
所以(x?m)(x?n)=0与x
2
-(m?n)x?mn?0矛盾,
故假设不成立，
?x?m且x?n成立.

例2、证明2是无理数.

q
证明：假设2是有理数，则2= （p、q互质的整数）,
p
?2p
2
?q
2
,
?q
2
是偶数，
?q是偶数，
可设q=2（kk为整数）,
?2p
2
?4k
2
,
?p
2
?2k
2
,
?p
2
是偶数，
?p也是偶数，
与p、q互质矛盾，则假设不成立，
?2是无理数.

五、数学归纳法
步骤：①：（归纳奠基）证明当n取第一个值a n
0
(n
0
?N
*
)时命题成立.
②：（归纳递推 ）假设n=k时(k?n
0
,k?N
*
)命题成立,证明当n?k?1时命题 成立.


例1、

例2、