高中数学补课老师-高中数学教学设计片段
张家口市第一中学
2015-2016
学年度高二年级文科班数学学案
选修 1-2
班级：
姓名：
学案一、第一章统计案例
1.1
回归分析的基本思想及其初步应用
线性回归方程
1．回归分析
(1) 函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定
性关系，
即自变量取值一定时， 因变量的取值带有一定的随
机性的两个变量之间的关系叫做相关关系．
(2)
回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析
的一种常用方法，
回归分析的基本步骤是画出两个变量的散点
图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报．
2．线性回归模型
(1) 线性回归模型
y
＝
bx
＋
a
＋
e
，其中
a
和
b
是模型的未
知参数，
e
称为随机误差．自变量
x
称为解释变量，因变量
y
称为预报变量．
^ ^
^
(2)
^
在回归方程
y
＝
bx
＋
a
中，
=__________________ ，
^
＝
－
^
.
b
a
y
b x
其中
x
＝
_____，
y
＝
___(
x
，
y
) 称为样本点的 __
^
线性回归方程中系数
b
的含义
(1)
b
^
是回归直线的斜率的估计值，
表示
x
每增加一个单位，
y
的平均增加单位数，而不是增加单位数．
^
^
(2) 当
b
＞ 0
时，变量
y
与
x
具有正的线性相关关系；
当
b
＜
0
时，变量
y
与
x
具有负的线性相关关系
.
线性回归分析
1．残差分析
(1)
残差：
样本点 (
x
n
，
n
y
)
的随机误差
e
i
＝
i
y
－
i
bx a
－
，其估计值为
^
i
＝
y
－
y
^
＝
y
－ bx
^
^
e
－ a， e
^
称为相应
于点 (
x
，
y
)
的残差
i
i
i
i
i
i
i
(residual)
． ( 以上
i
＝
1,2
，, ，
n
)
(2)
残差图：
作图时，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或
x
i
数据，或
y
i
数据，这样作出的图形称为残差图．
(3) 残差分析：
残差分析即通过残差发现原始数据中的可疑数据，
判断所
建立模型的拟合效果， 其步骤为：
计算残差——画残差图——
在残差图中分析残差特性．
残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，
说明选用的模型比较
合适，这样的带状区域的宽度越窄，
说明模型拟合精度越高，回
归方程的预报精度越高．
2．相关指数
我们可以用相关指数
2
R
来刻画回归的效果，其计算公式
是：
R
2
＝
__________________________.
R
2
越大，残差平方和
_________越小，即模型的拟合效果
越好；
R
2
越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差．在
线性回归模型中，
R
2
的取值范围为
[0,1]
，
R
2
表示解释变量对
于预报变量变化的贡献率，
1－
R
2
表示随机误差对于预报变量
2
变化的贡献率．
R
越接近于
1，表示回归的效果越好．
在残差图中，可疑数据的特征表现为：
(1) 个别样本点的残差过大，即大多数的
残差点比较均匀
地落在水平的带状区域中，而个别残差点偏离该区域过于明显，
需要确认在采集
这些样本点的过程中是否有人为的错误，
如果采集数据有错误， 那么需要纠正，
然后重新利用线性回归模
型拟合数据； 如果数据采集没有错误， 那么需要寻找其他原因．
(2)
残差图有异常，即残差呈现不随机的规律性，此时需
要考虑所采用的线性回归模型是否合适．
[ 例 1] 某种产品的广告费支出
x
(
单位：百万元
)
与销售
额
y
(
单位：百万元
)
之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
(1)
试根据数据预报广告费支出
1 000
万元的销售额；
(2)
若广告费支出
1 000
万元的实际销售额为
8 500 万元，求
误差．
第1页共1页
[例 2]
已知某种商品的价格
x
(
元
)
与需求量
y
(
件)
之间的关
系有如下一组数据：
x
14
16
18
20
22
y
12
10
7
5
3
求
y
关于
x
的回归直线方程， 并说明回归模型拟合效果的
好坏．
[ 例 3] 在一次抽样调查中测得样本的 5
个样本点，数值如下
表：
x
0.25
0.5
1
2
4
y
16
12
5
2
1
试建立
y
与
x
之间的回归方程．
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2015-2016
学年度高二年级文科班数学学案
选修 1-2
非线性回归分析的步骤
非线性回归问题有时并不给出经验公式．
这时我们可以画
出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数 (
幂函数、指数函数、
对数函数等 ) 图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，
然后采用适当的变量变换，
把问题化为线性回归分析问题，使之
得到解决．其一般步骤为：
[ 活学活用
]
某电容器充电后，电压达到
100 V
，然后开始放电，由经
验知道，此后电压
随时间
变化的规律用公式
＝ e
bt
(
＜
Ut
U A
b
0) 表示，现测得时间
t
(s)
时的电压
U
(V)
如下表：
t
s
012345
6
7
8
9
10
U
V
100 75 55 40 30 20
15
10
10
5
5
试求：电压
U
对时间
t
的回归方程．
( 提示：对公式两边取自
然对数，把问题转化为线性回归分析问题
)
班级：
姓名：
[
典例]1
下列现象的线性相关程度最高的是
(
)
A．某商店的职工人数与商品销售额之间的相关系数为
0.87
B．流通费用率与商业利润率之间的相关系数为－
0.94
C．商品销售额与商业利润率之间的相关系数为
0.51
D．商品销售额与流通费用率之间的相关系数为
0.81
2 变量
X
与
Y
相对应的一组数据为 (10,1)
，(11.3,2)
，
(11.8,3)
，(12.5,4)
，(13,5) ；变量
U
与
V
相对应的一组数据
为
(10,5)
，(11.3,4)
， (11.8,3)
，(12.5,2)
，(13,1)
．
r
1
表示
变量
Y
与
X
之间的线性相关系数，
r
2
表示变量
V
与
U
之间的线
性相关系数，则 (
)
A．
r
2
＜
r
1
＜ 0
B． 0＜
r
2
＜
r
1
C．
r
2
＜ 0＜
r
1
D．
r
2
＝
r
1
[ 随堂即时演练 ]
1． ( 湖北高考 )
四名同学根据各自的样本数据研究变量
x
，
y
之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个
结论：
x
^
①
y
与负相关且
y
＝
2.347
x
－
6.423
；
^
②
y
与
x
负相关且
y
＝－
3.476
x
＋
5.648
；
^
③
y
与
x
正相关且
y
＝
5.437
x
＋
8.493
；
y
与
x
正相关且
y
^
④＝－
4.326
x
－
4.578.
其中一定不正确的结论的序号是
(
)
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
2．关于回归分析，下列说法错误的是
(
)
A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那
么因变量不能由自变量唯一确定
B．线性相关系数可以是正的也可以是负的
2
r
C．在回归分析中，如果＝
1
或
r
＝±
1，说明
x
与
y
之
D．样本相关系数
r
∈
(
－
1,1)
3．在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得相关指
数
R
2
≈0.85
，则表明气温解释了
________的热茶销售杯数变化，
而随机误差贡献了剩余的
________，所以气温对热茶销售杯数的
效应比随机误差的效应大得多．
4．若施肥量
x
(kg) 与小麦产量
y
(kg)
之间的回归直线方程
第2页共2页
y
^
为＝250
＋
4
x
，当施肥量为
50 kg
时，预计小麦产量为
________．
5．某工厂为了对新研究的一种产品进行合理定价，将该
产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价
x
(
元
)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量
y
(
件
)
90
84
83
80
75
68
求回归直线方程
^
y
^
^
^
^
－
^－
(1)
＝
bx
＋
，其中
b
＝－
20，
＝
y
－
b x
；
a
a
(2)
预计在今后的销售中，
销量与单价仍然服从 (1)
中的关
系，且该产品的成本是
4
元
件，为使工厂获得最大利润，该
产品的单价应定为多少元？
( 利润＝销售收入－成本 )
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2015-2016 学年度高二年级文科班数学学案
选修 1-2
班级：
姓名：
学案二、 1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用
独立性检验的有关概念
(2) 利用公式
K
＝
2
1．分类变量
变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，
量称为分类变量．
像这样的变
a
b
c
da
cb
d
随机变量
K
2
的观测值
k
.
(3) 如果
k
≥
k
0
，就推断“
X
与
Y
有关系”，这种推断犯错
＋
n
ad
－
bc
＋
＋
2
＋
，计算
独立性检验的原理
误的概率不超过 α ；否则，就认为在犯错误的概率不超过
α
[ 例 2] 打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病
有关．下表是一次调查所得的数据：
患心脏病
未患心脏病
总计
2．232 列联表
假设有两个分类变量
X
和
Y
，它们的取值分别为
{
x
1
，
x
2
}
和{
y
1
，
y
2
} ，其样本频数列联表
( 也称 232 列联表 )
为：
y
1
y
2
总计
x
1
a
b
a
＋
b
x
2
c
d
c
＋
d
总计
a
＋
c
b
＋
d
a
＋
b
＋
c
＋
d
3．等高条形图
将列联表中的数据用高度相同的两个条形图表示出来，
其
中两列的数据分别对应不同的颜色，这就是等高条形图．
4．
K
2
统计量
为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，
一个随机变量
K
2
＝
－
2
我们构造
a
＋
b
c
＋
n ad
d
bc
＋
a c
b
＋
d
，其中
n
＝
a
＋
b
＋
c
＋
d
为样本容量．
5．独立性检验
利用随机变量
K
2
来确定是否能以给定把握认为“两个分
类变量有关系”的方法，称为两个分类变量独立性检验．
[ 化解疑难
]
反证法原理与独立性检验原理的比较
反证法原理——在假设
H
下，如果推出一个矛盾，
0
就证明
了
H
不成立．
0
独立性检验原理——在假设
0
0
相
0
H
下，如果出现一个与
H
矛盾的小概率事件，
就推断
H
不成立， 且该推断犯错误的概率
不超过小概率
.
独立性检验的步骤
独立性检验的具体做法
(1)
根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有
关系”犯错误概率的上界
α，然后查下表确定临界值
k
0
.
(
2
≥
k
0
)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
P K
k
0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
P
(
K
2
≥
k
0
)
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
的前提下不能推断“
X
与
Y
有关系”，或者在样本数据中没有
发现足够证据支持结论“
X
与
Y
有关系”．
[ 化解疑难
]
详析独立性检验
(1) 通过列联表或观察等高条形图判断两个分类变量之间
有关系，
属于直观判断，
不足之处是不能给出推断“两个分类
变量有关系”犯错误的概率，而独立性检验可以弥补这个不
足．
(2)
列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表，具
有随机性，
因此，需要用独立性检验的方法确认所得结论在多
大程度上适用于总体．
列联表和等高条形图的应用
[ 例 1]
某学校对高三学生作了一项调查，发现：在平时的模
拟考试中，性格内向的学生
426 人中有 332 人在考前心情紧张，
性格外向的学生 594
人中有 213 人在考前心情紧张． 作出等高
条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系．
第3页共3页
每晚都打鼾
30
224
254
不打鼾
24
1 355
1 379
总计
54
1 579
1
633
根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过
0.001 的前提下认为每晚都打鼾与患心脏病有关系？
[ 活学活用 ]
某生产线上，质量监督员甲在生产现场时，
990 件产品中
有合格品
982 件，次品
8 件；不在生产现场时，
510 件产品中
有合格品
493 件，次品 17
件．能否在犯错误的概率不超过 0.001
的前提下认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏
有关系？
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学年度高二年级文科班数学学案
选修 1-2
[ 典例 ]
某工厂有工人
1 000 名，其中 250 名工人参加过短
期培训
( 称为 A 类工人 ) ，另外 750
名工人参加过长期培训 ( 称
为 B 类工人 ) ．现用分层抽样的方法
( 按 A类、B 类分两层 )
从该
工厂的工人中抽取
100 名工人，调查他们的生产能力
( 此处生
产能力指一天加工的零件数
)
，结果如下表．
表 1：A 类工人生产能力的频数分布表
生产能力
[110,120)
[120,130
[130,140
[140,150)
分组
)
)
人数
8
x
3
2
表 2： B
类工人生产能力的频数分布表
生产能力
[110,120)
[120,130
[130,140
[140,150)
分组
)
)
人数
6
y
27
18
(1) 确定
x
，
y
的值；
(2) 完成下面 232
列联表，并回答能否在犯错误的概率不超
过 0.001
的前提下认为工人的生产能力与工人的类别有关系？
生产能力分
组
[110,130)
[130,150)
总计
工人类别
A 类工人
B 类工人
总计
附：
K
2
＝
n
ad
－
bc
2
a
＋
b
2
＋
＋
＋
，
P
(
K
≥
k
d
a
c
b
d
0
)
c
0.050
0.010
0.001
k
0
3.841
6.635
10.828
班级：
姓名：
[
活学活用 ]
电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视
情况，随机抽取了 100
名观众进行调查， 其中女性有 55
名．下面
是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频
率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于
40
分钟的观众称为
“体育迷”，已知“体育迷”中有
10
名女性．
根据已知条件完成下面的 232
列联表，并据此资料你是否认
为“体育迷”与性别有关？
非体育迷
体育迷
总计
男
女
总计
附：
P
(
K
2
≥
k
0
)
0.05
0.01
k
0
3.841
6.635
第4页共4页
1．观察下列各图，其中两个分类变量
x
，
y
之间关系最强的是
2．下面是一个 232
列联表：
y
1
y
2
总计
x
1
a
21
73
x
2
2
25
27
总计
b
46
则表中
a
，
b
处的值分别为
(
)
A． 94,96 B． 52,50 C
． 52,54 D ． 54,52
3．独立性检验所采用的思路是：要研究
A
，
B
两类型变量
彼此相关，
首先假设这两类变量彼此
________．在此假设下构
造随机变量
K
2
，如果
K
2
的观测值较大，
那么在一定程度上说明
假设
________．
4．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：
①若
K
2
的观测值
k
>6.635
，则在犯错误的概率不超过
0.01
的
前提下，
认为吸烟与患肺病有关系， 那么在 100 个吸烟的人中必
有
99
人患有肺病；
②从独立性检验可知，在犯错误的概率不超过
0.01 的前
提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有
99%
的可能患有肺病；
③从独立性检验可知，在犯错误的概率不超过
0.05 的前
提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有
5%的可能性使得
推断错误．其中说法正确的是
________．
5．在一次天气恶劣的飞机航程中，调查了男女乘客在飞
机上晕机的情况：男乘客晕机的有
24 人，不晕机的有 31
人；
女乘客晕机的有 8 人，不晕机的有 26 人．能否在犯错误的概率不
超过
0.10 的前提下推断：在天气恶劣的飞机航程中，男乘客比女
乘客更容易晕机？
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学年度高二年级文科班数学学案
选修 1-2
班级：
姓名：
学案三、
第二章
推理与证明
2．
1.1
合情推理
归纳推理
如图 ( 甲 ) 是第七届国际数学教育大会 ( 简称
ICME
－ 7)
的会
徽图案， 会徽的主体图案是由如图 ( 乙 ) 的一连串直角三角形演
化而成的，其中
OA
1
＝
A
1
A
2
＝ A
2
A
3
＝, ＝
A
7
A
8
＝ 1，如果把图
( 乙 )
中的直角三角形依此规律继续作下去，记
OA
1
，
OA
2
，, ，
OA
n
的长度构成数列
{a
n
} ，
问题
1：试计算
a
1
， a
2
，a
3
，
a
4
的值．
问题 2：由问题 1 中的结果，你能猜想出数列 {a
n
} 的通项公式 a
n
吗？
问题
3：直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是
180°，你能猜想出什么结论？以上两个推理有什么共同特
点？
[ 导入新知 ]
1．归纳推理的定义
由某类事物的部分对象具有某些特征， 推出该类事物的全部
对象都具有这些特征的推理，
或者由个别事实概括出一般结论的
推理，称为归纳推理．
2．归纳推理的特征
归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
[ 化解疑难 ]
归纳推理的特点
(1) 由归纳推理得到的结
论具有猜测的性质，结论是否正
确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为
数
学证明的工具；
(2)
一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代表性，
那么推广的一般性结论也就越可靠 .
类比推理
问题 1：在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四
面
体中，各个面的面积之间有什么关系？
1
问题 2：三角形的面积等于底边与高乘积的
2
，那么在四
面体中，
如何表示四面体的体积？以上两个推理有什么共同
特点？
[ 导入新知 ]
1．类比推理的定义
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已
知特征，
推出另一类对象也具有这些特征的推理， 称为类比推理．
2．类比推理的特征
类比推理是由特殊到特殊的推理．
[ 化解疑难 ]
对类比推理的定义的理解
(1)
类比推理是两类对象特征之间的推理．
(2)
对象的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互联
系和相互制约的，
如果两个对象有些性质相似或相同， 那么它们
另一些性质也可能相似或相同．
(3) 在数学中，我们可以由已经解决的问题和已经获得的
知识出发，通过类比提出新问题和
获得新发现．
数、式中的归纳推理
2
[ 例 1]
已知数列 {
a
n
} 的前
n
项和为
S
n
，
a
1
＝－
3
，且
S
n
＋
1
＋
2＝
a
n
(
n
≥2) ，计算
S
1
，
S
2
，
S
3
，
S
4
，并猜想
S
n
的表达式．
S
n
[
活学活用 ] 将全体正整数排成一个三角形数阵：
2
1
3
4
5
6
7
8 9 10
,
按照以上排列的规律，求第
n
行(
n
≥3)
从左向右数第3 个数．
第5页共5页
图形中的归纳推理
[ 例 2] (1)
有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼
成若干个图案，
则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个
数是(
)
A．26 B．31 C ．32
D ．36
(2) 把 1,3,6,10,15,21 ，,
这些数叫做三角形数，这是因
为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形 ( 如图 )
，试求
第七个三角形数是 ________．
[
活学活用 ] 如图，第
n
个图形是由正
n
＋
2
边形“扩展”而来
(
n
＝ 1,2,3 ，,)
，则第
n
个图形中的顶点个数为
(
)
A．
(
n
＋
1)(
n
＋
2)
B． (
n
＋ 2)(
n
＋ 3) C ．
n
2
D．
N
类比推理
[ 例 3] 设等差数列 {
a
n
} 的前
n
项和为
S
n
，则
S
4
，
S
8
－
S
4
，
S
12
－
S
8
，
S
16
－
S
12
成等差数列， 类比以上结论有： 设等比数列
{
b
n
}
T
16
的前
n
项积为
T
n
，则
T
4
，________
，________，
T
12
成等比数列．
张家口市第一中学
2015-2016
学年度高二年级文科班数学学案
选修 1-2
班级：
姓名：
[
活学活用 ] 已知椭圆具有以下性质：已知
M
，
N
是椭圆
C
上关于
平
原点对称的两个点， 点
P
是椭圆上任意一点， 若直线
PM
，
PN
的斜
平面
行
率都存在， 并记为
k
PM
，
k
PN
，那么
k
PM
与
k
PN
之积是与点
P
点
线
边长
面
线线
三角
四
圆
x
2
y
2
图形
积
角
形
边
的位置无关的定值． 试对双曲线
a
2
－
b
2
＝
1(
a
＞
0，
b
＞
0)
写出类
形
似的性质，并加以证明．
空间
六
面积
四面
图形
线
面
体
二面
角
体
面
球
积
体
2．常见的从平面到空间的类比有以下几种情况，要注意掌握：
(1)
三角形类比到三棱锥：
例：在平面几何里，有勾股定理：“设△
的两边
AC
互相垂直，则
2
2
AB
2
ABC
，
AB
＋
AC
＝
BC
”，拓展到空间，类比平面几
何的勾股定理，
研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，
可以
A
-
BCD
的三个侧面
ABC
，
得出的正确结论是：“设三棱锥
ACD
，
ADB
两
两
相
互
垂
直
，
则
______
_______________________________________________
___________________”．
(2)
平行四边形类比到平行六面体：
例：平面几何中，有结论：“平行四边形两条对角线的平方和
等于四条边的平方和”．类比这一结论，将其拓展到空间，可
1. 从平面到空间的类比
得到结论：“
”．
[ 典例
]
三角形与四面体有下列相似性质：
(1)
三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；
(3) 圆类比到球：
四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．
例：半径为
r
的圆的面积
S
(
r
)
＝
π
r
2
，周长
C
(
r
)
＝
2π
r
，
(2)
三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条
若将
r
看作
(0
，＋∞
)
上的变量，则
(
π
r
2
)
′＝
2π
r
①，
线段的两个端点的连线所围成的图形；
四面体可以看作是由三角
①式可以用语言叙述为：
圆的面积函数的导数等于圆的周
形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的
长函数．对于半径为
R
的球，若将
R
看作
(0
，＋∞
)
上的变量，
图形．
请你写出类似于①的式子②：
__________________________ ，
通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性
② 式
可
以 用 语
言 叙 述
为
：
质，并填写下表：
_______________________
__________________________.
三角形
四面体
(4) 平面解析几何类比到空间解析几何：
三角形的两边之和大于第三边
例：类比平面内一点(
0
，
＋ ＝0(
2
y
0
P x
到直线
Ax
＋
By C
A
＋
三角形的中位线的长等于第三边长的
B
2
≠0)
的距离公式，猜想空间中一点
P
(
x
0
，
y
0
，
z
0
)
到平面
Ax
一半，且平行于第三边
＋
By
＋
Cz
＋
D
＝
0(
A
2
＋
B
2
＋
C
2
≠0)
的 距 离 公 式 为
d
＝
三角形的三条内角平分线交于一点，
_____________________
________________________________
且这个点是三角形内切圆的圆心
___________________.
1．解决此类问
题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方
1
面入手，
将平面几何的相关结论类比到立体几何中， 相关类比点
．根据给出的等式猜测
123 45639＋ 7 等于 (
)
如下：
139＋ 2＝11
1239＋
3＝
111
第6页共6页
12339＋ 4＝ 1
111
1 23439 ＋
5＝ 11 111
12
34539＋
6＝ 111 111
A． 1 111 110
B． 1 111 111
C． 1 111 112
D．1111113
2．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们
可以得到 (
)
A．空间中平行于同一直线的两直线平行
B．空间中平行于同一平面的两直线平行
C．空间中平行于同一直线的两平面平行
D．空间中平行于同一平面的两平面平行
3．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们
的面积比为
1∶4.
类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长
比为 1∶
2，则它们的体积比为 ________．
4．观察下列等式：
1
3
＋ 2
3
＝ 3
2,
1
3
＋
2
3
＋ 3
3
＝ 6
2,
1
3
＋
2
3
＋3
3
＋
4
3
＝ 10
2
，, ，根据上述规律，第五个等式为________．
5.
如图，已知
O
是△
ABC
内任意一点，
连结
AO
，
BO
，
CO
并延长交对边于
A
′，
B
′，
OA
′
OB
′
OC
′
C
′，则
＋
′
AA
BB
′
＋
′
＝
1.
CC
这是平面几何中的一道题，其证明常采
用“面积法”：
OA
AA
′
OB
′
OC
′
S
△
OBC
S
△
OCA
S
△
OAB
＋
BB
＋
CC
＝
＋
S
△
ABC
′
SSSS
′
＋
＝
＝ 1.
′
△ ABC
△ABC
△ ABC
△ ABC
运用类比猜想，对于空间中的四面体
V
-
BCD
，存在什么类
似的结论？并用“体积法”证明．
张家口市第一中学
2015-2016 学年度高二年级文科班数学学案
选修 1-2
学案四、 2． 1.2
演绎推理
演绎推理
看下面两个问题：
(1) 一切奇数都不能被 2 整除， (2
2
012
＋1) 是奇数，所以 (2
2
012
＋ 1) 不能被
2 整除；
(2) 两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行
于另一个平面，
如果直线
a
是其中一个平面内的一条直线，
那
班级：
姓名：
[ 类题通法 ]
三段论在几何问题中的应用
(1)
三段论是最重要且最常用的推理表现形式，我们以前学
过的平面几何与立体几何的证明，
都不自觉地运用了这种推理，
只不过在利用该推理时，往往省略了大前提．
(2)
几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可
以分析出大前提和小前提，
将一般性原理应用于特殊情况， 就能得
出相应结论．
么
a
平行于另一个平面．
问题：这两个问题中的第一句都说的什么？第二句又说的
什么？第三句呢？
[ 导入新知 ]1 ．演绎推理的概念
从一般性的原理出发， 推出某个特殊情况下的结论的推理
称为演绎推理．
简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
2．三段论
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
(1) 大前提——已知的一般原理；
(2) 小前提——所研究的特殊情况；
(3)
结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
“三段论”可以表示为：
大前提：
M
是
P
.
小前提：
S
是
M
.
结论：
S
是
P
.
辨析演绎推理与合情推理
(1) 演绎推理是确定的、可靠的，而合情推理则带有一定
的风险性．严格的数学推理以演
绎推理为基础，而数学结论、
证明思路等的发现主要靠合情推理．
(2)
合情推理和演绎推理分别在获取经验和辨别真伪两个
环节中扮演重要角色．因此，我们不仅要学会证明，而且要学
会猜想．
把演绎推理写成三段论的形式
[ 例 1]
将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1) 一切奇数都不能被 2 整除， 75
不能被 2 整除， 所以 75 是
奇数．
(2) 三角形的内角和为
180°，Rt△
ABC
的内角和为 180°.
(3)
菱形对角线互相平分．
(4) 通项公式为
a
n
＝
3
n
＋
2(
n
≥2)
的数列
{
a
n
}
为等差数列．
三段论的推理形式
三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果
b
?
c
，
a
?
b
，则
a
?
c
.
”其中，
b
?
c
为大前提，提供了已知的一般
性原理；
a
?
b
为小前提，提供了一个特殊情况；
a
?
c
为大前提和
小前提联合产生的逻辑结果．
[
活学活用 ]
把下列推断写成三段论的形式：
(1)
y
＝
sin
x
(
x
∈R)
是周期函数．
(2)
若两个角是对顶角，则这两个角相等，所以若∠
1 和
∠ 2
是对顶角，则∠
1 和∠ 2 相等．
三段论在证明几何问题中的应用
[ 例 2] 已知
A
，
B
，
C
，
D
四点不共面，
M
，
N
分别是△
ABD
和
△
BCD
的重心，求证：
MN
∥平面
ACD
.
第7页共7页
[ 活学活用 ] 已知在梯形
ABCD
中，如图，
AB
＝
CD
＝
AD
，
AC
和
BD
是梯形的对角线，求证：
AC
平分∠
BCD
，
DB
平分∠
CBA
.
演绎推理在代数中的应用
x
x
－
2
[ 例 3] 已知函数
f
(
x
) ＝
a
＋
x
＋
1
(
a
＞
1) ，求证：函数
f
(
x
)
在 ( － 1，＋∞ )
上为增函数．
选修 1-2
班级：
姓名：
，用三段论形
[典例]
定义在实数集 R 上的函数
f
(
x
) ，对任意
x
，
y
∈R，
有
f
(
x
－
y
)
＋
f
(
x
＋
y
)
＝2
f
(
x
)
f
(
y
)
，且
f
(0)
≠0，求证：
f
(
x
)
是偶函数．
证明：令
x
＝
y
＝
0，
则有
f
(0)
＋
f
(0)
＝2
f
(0)3
f
(0)
，
因为
f
(0)
≠0，所以
f
(0)
＝1，
令
x
＝
0，
则有
f
(
－
y
)
＋
f
(
y
)
＝
2
f
(0)
f
(
y
)
＝
2
f
(
y
)
，
所以
f
(
－
y
)
＝
f
(
y
)
，
因此，
f
(
x
)
是偶函数．
以上证明结论“
f
(
x
)
是偶函数”运用了演绎推理的“三
段
论
”
，
其
中
大
前
提
是
：
____________________________________
_________________
___________________.
[ 成功破障 ]
所有眼睛近视的人都是聪明人，
我近视得很厉害，
所以我
是聪明人．下列各项中揭示了上述推理是明显错误的是
________．
①我是个笨人， 因为所有的聪明人都是近视眼，
而我的视
力那么好．
②所有的猪都有四条腿， 但这种动物有八条腿，
所以它不
是猪．
③小陈十分高兴，
所以小陈一定长得很胖，
因为高兴的人
都长得很胖．
④所有尖嘴的鸟都是鸡，这种总在树上待着的鸟是尖嘴
的，因此这种鸟是鸡．
[ 随堂即时演练
]
1．“四边形
ABCD
是矩形，所以四边形
ABCD
的对角线相
等”，补充该推理的大前提是
(
)
A．正方形的对角线相等
B．矩形的对角线相等
C．等腰梯形的对角线相等
D．矩形的对边平行且相等
2．“因为对数函数
y
＝
log
a
x
是增函数
(
大前提
)
，而
y
＝
1
1
log
3
x
是对数函数 ( 小前提 ) ，所以
y
＝
log
3
x
是增函数
(
结
论 ) ．”上面推理错误的原因是
(
)
A．大前提错导致结论错
第8页共8页
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错
3．求函数
y
＝
log
2
x
－2的定义域时，第一步推理中大前
提是
有意义， 即
a
≥0，小前提是
log
－ 2有意义， 结论是
2
________．
1
4．用三段论证明函数
f
(
x
)
＝
x
＋
在 (1 ，＋∞ )
上为增函
x
数的过程如下，试将证明过程补充完整：
①
________________________________ ,,,,,,
大
前提
②
________________________________ ,,,,,,
小
前提
③
________________________________
,,,,,,,,
结论
5．将下列推理写成“三段论”的形式．
(1)
向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和
方向；
(2) 矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对
角线相等；
2
(3)0.332
是有理数．
张家口市第一中学
2015-2016 学年度高二年级文科班数学学案
[ 活学活用 ] 已知
a
，
b
，
m
均为正实数，
b
＜
a
b
b
＋
m
式证明＜
.
a
a
＋
m
张家口市第一中学
2015-2016
学年度高二年级文科班数学学案
选修 1-2
班级：
姓名：
学案五、 2.2 直接证明与间接证明
2．
2.1
综合法和分析法
综合法
阅读下列证明过程，回答问题．
π
求证：
π
是函数
f
(
x
)
＝
sin
2
x
＋
的一个周期．
4
证 明 ： 因 为
f
(
x
＋
π
)
＝ sin
2
x
＋ π
π
＝
4
sin 2
x
＋ 2π ＋
π
＝
sin 2
x
＋
π
＝
f
(
x
)
，所以由周期函数的
4
4
π
定义可知，
π
是函数
f
(
x
)
＝sin
2
x
＋
的一个周期．
4
问题
1：本题的条件和结论各是什么？，本题的证明顺序
是什么？
1．综合法的定义
利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系
列的推理论证， 最后推导出所要证明的结论成立， 这种证明方法
叫做综合法．
2．综合法的框图表示
P
?
Q
1
―→
Q
1
?
Q
2
―→
Q
2
?
Q
3
―→,
―
→
Q
n
?
Q
(
P
表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，
Q
表示所要证明
的结论 )
综合法的特点
(1) 综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理
实际上是寻找已知条件的必要条件．
(2)
综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理和
运算法则，通过演绎推理，一步一步完成命题的证明
.
分析法
阅读下列证明过程，回答问题．
求证： 6＋ 7≥2 2＋ 5.
证明：要证原不等式成立，只需证
( 6＋ 7)
2
≥(2
2＋
5)
2
，即证
2
42≥2 40，该式显然成立， 因此原不等式成立．问
题
1：本题证明从哪里开始？，证明思路是什么？
[ 导入新知 ]
1．分析法的定义
从要证明的结论出发， 逐步寻求使它成立的充分条件，
直
至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 (
已知条件、
定理、定义、公理等 ) 为止，这种证明方法叫做分析
法．
2．分析法的框图表示
得到一个明显
Q
?
P
1
→
P
1
?
P
2
―→
P
2
?
P
3
―→,
― →
成立的条件
分析法的特点
(1) 分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已
知”，其逐步推理实际上是寻找
使结论成立的充分条件．
(2)
分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直
至归结为已知条件、定义、公理、定理等．
综合法的应用
[例 1]
已知
a
，
b
，
c
是不全相等的正数，求证：
a
(
b
2
＋
c
2
)
＋
b
(
c
2
＋
a
2
)
＋
c
(
a
2
＋
b
2
)
＞
6
abc
.
[ 类题通法 ] 综合法的证明步骤
(1)
分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合
理选择相关定义、定理等；
(2)
转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证
明过程． 特别地， 根据题目特点选取合适的证法可以简化解
题过程．
4 1
[ 活学活用 ] 已知
a
＞
0，
b
＞ 0，且
a
＋
b
＝ 1，求证：
a
＋
b
≥9.
第9页共9页
分析法的应用
[ 例 2]
设
a
＞
b
＞ 0，求证：
a
2
－
b
2
＋
ab
－
b
2
＞
a
(
a
－
b
)
．
在锐角△
ABC
中，求证：
tan
A
tan
B
＞
1.
综合法和分析法的综合应用
[ 例 3]
已知△
ABC
的三个内角
A
，
B
，
C
为等差数列，
且
a
，
b
，
c
分别为角
A
，
B
，
C
的对边，
求证： (
a
＋
b
)
－
1
＋ (
b
＋
c
)
－
1
＝ 3(
a
＋
b
＋
c
)
－
1
.
张家口市第一中学
2015-2016 学年度高二年级文科班数学学案
选修 1-2
班级：
姓名：
综合法与分析法的适用范围
(1)
综合法适用的范围：①定义明确的题型，如证明函数
的单调性、奇偶性，求证
无条件的等式或不等式问题等；
②已知条件明确，
且容易通过找已知条件的必要条件逼近
欲得结论的题型．
(2)
分析法适用的范围：
分析法的适用范围是已知条件不明确，
或已知条件简便而结
论式子较复杂的问题．
[ 活学活用 ]
设
a
，
b
∈
(0
，＋∞
)
，且
a
≠
b
，求证：
a
3
＋
b
3
＞
a
2
b
＋
ab
2
.
2. 综合法、分析法的综合应用
[
典例
] (12
分 ) 设
f
(
x
) ＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0) ，若函数
y
＝
f
(
x
＋
1)
的图像与
f
(
x
)
的图像关于
y
轴对称．
求证：
f
x
＋
1
为偶函数．
2
[ 活学活用 ]
1
1
已知
a
≥－
2
，
b
≥－
2
，
a
＋
b
＝1，求证：
2
a
＋ 1＋
2
b
＋ 1
≤2 2.
[ 随堂即时演练
]
1．下面叙述正确的是 (
)
A．综合法、分析法是直接证明的方法
B．综合法是直接证法，分析法是间接证法
C．综合法、分析法所用语气都是肯定的
D．综合法、分析法所用语气都是假定的
2．欲证不等式
3－
5＜
6－ 8成立，只需证 (
)
A．( 3－
5)
2
＜( 6－ 8)
2
B．( 3－ 6)
2
＜( 5－
8)
2
2
2
2
2
C．( 3＋ 8) ＜( 6＋
5) D．( 3－ 5－ 6) ＜( －
8)
第10页共10页
1
1
1
求证：
a
－
1
b
－
1
c
－
1
≥8.
这种证法是 ________(
填综合法、分析法
) ．
2
4．将下面用分析法证明
a
＋
b
2
2
≥
ab
的步骤补充完整：要
证
a
2
＋
b
2
≥
ab
，只需证
a
2
＋
b
2
≥2
ab
，也就是证
________，即证
2
________
，由于 ________显然成立，因此原不等式成立．
5．已知
a
＞0，
b
＞ 0，求证：
a
＋
b
≥
a
＋
b
.(
要求
b
a
用两种方法证明 )
张家口市第一中学
2015-2016
学年度高二年级文科班数学学案
选修 1-2
班级：
姓名：
学案六、 2． 2.2
反 证 法
反证法
著名的“道旁苦李”的故事： 王戎小时候爱和小朋友在路上玩
耍．
一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而
上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘
了李子一尝，原来
是苦的． 他们都问王戎： “你怎么知道李子是苦的呢？”王戎
说：“假如
李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满
了李子，所以李子一定是苦的．”
问题：王戎的论述运用了什么推理思想？反证法解题的实
质是什么？
1．反证法
假设原命题不成立 ( 即在原命题的条件下，结论不成立 )
，经过
正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证
明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．
2．反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，
这个矛盾可以是
与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、
事实矛盾等．
1．反证法实质，
用反证法证明命题“若
p
则
q
”的过程可以用
以下框图表示：
“
p
且綈
肯定条件
p
，
否定结论
―→
导致逻
q
”
q
辑矛盾
―→
为假
―→
“若
p
则
q
”为真
2．反证法与逆否命题证明的区别
反证法的理论依据是
p
与非
p
真假性相反，通过证明非
p
为假命题说明
p
为真命题， 证明过程中要出现矛盾；
逆否命题
证明的理论依据是“
p
?
q
”与“非
q
?
非
p
”是等价命题，通
过证明命题“非
? 非
”为真命题来说明命题“
q
p
?
”为真
p
q
命题，证明过程不出现矛盾．
用反证法证明否定性命题
[例 1]
设函数
f
(
x
)
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)
中，
a
，
b
，
c
均
为整数，且
f
(0)
，
f
(1)
均为奇数．求证：
f
(
x
)
＝
0
无整数根．
1．用反证法证明否定性命题的适用类型
用反证法证明唯一性命题的适用类型
一般地，当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否
(1)
当证明结论是“有且只有”“只有一个”“唯一”等
定性词语时，宜采用反证法证明．
形式的命题时，
由于反设结论易于导出矛盾，
所以用反证法证
2．反证法的一般步骤
明唯一性比较简单．
用反证法证明命题时， 要从否定结论开始， 经过正确的推
(2)
证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个方面，
理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定
( 即肯定原命题
)
的过
即存在性问题和唯一性问题两个方面．
程．这个过程包括下面三个步骤：
[ 活学活用 ]
(1) 反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为
用反证法证明： 过已知直线
a
外一点
A
有且只有一条直线
真；
b
与已知直线
a
平行．
(2)
归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，
得出矛盾；
(3) 存真——由矛盾结果断定反设错误，
从而肯定原结论成立．即
反证法的证明过程可以概括为：反设——归谬——存真．
[ 活学活用 ]
设
a
，
b
，
c
，
d
∈
R，且
ad
－
bc
＝
1，求证：
a
2
＋
b
2
＋
c
2
＋
d
2
＋
ab
＋
cd
≠1.
用反证法证明“至少”“至多”等存在性命题
[ 例
3]
已知
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
a
4
＞ 100，求证：
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4
中至少有一个数大于
25.
用反证法证明唯一性命题
[ 例 2]
已知：一点
A
和平面
α
.
求证：经过点
A
只能有
一条直线和平面 α 垂直．
第11页共11页
张家口市第一中学
2015-2016 学年度高二年级文科班数学学案
选修 1-2
常见“结论词”与“反设词”
原结论词
至少有一
至多有一
至少有
n
至多有
n
个
个
个
个
一个也没
有( 不存
至少有两
至多有 (
n
至少有 (
n
反设词
在 )
个
＋1)个
－1) 个
原结论
词
只有一个
对所有
x
成立
对任意
x
不成
立
反设词
没有或至少有
存在某个
x
不成
存在某个
x
成
两个
立
立
原结论词
都是
一定是
p
或
q
p
且
q
反设词
不都是
不一定是
p
且
q
p
或
q
[ 活学活用 ]
已知函数
y
＝
f
(
x
)
在区间
(
a
，
b
)
上是增函数．求证：函数
＝
(
)在区间 (
， ) 上至多有一个零点．
y
f
x
a
b
班级：
姓名：
3.
反证法的应用
[ 典例 ] (12 分 ) 如图，已知两个正方形
ABCD
和
DCEF
不在同一平面内，
M
，
N
分别为
AB
，
DF
的中
点．用反证法证明：直线
ME
与
BN
是两条异面直线．
[
活学活用 ] 设直线
l
1
：
y
＝
k
1
x
＋ 1，
l
2
：
y
＝
k
2
x
－
1，其中实数
k
1
，
k
2
满足
k
1
k
2
＋
2＝
0，证明
l
1
与
l
2
相交．
第12页共12页
[
随堂即时演练
]
1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些
作为条件使用
(
)
①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④
原结论．
A．①②B．②③ C ．①②③ D ．①②④
2．用反证法证明命题“
，
b
∈N，如果
ab
可被 5 整除，
a
那么
a
，
b
至少有
1
个能被
5 整除”，则假设的内容是 ()
A．
，
b
都能被 5整除 B．
，
都不能被 5 整除
a
a
b
C．
a
不能被 5 整除 D ．
a
，
b
有 1 个不能被
5 整除
3
．下列命题适合用反证法证明的是
________．
x
x
－2
①已知函数
f
(
x
)
＝
a
＋
x
＋
1
(
a
＞
1)
，证明：方程
f
(
x
)
＝
0
没
有负实数根；
1＋
x
1＋
y
②若
x
，
y
∈
R，
x
＞
0，
y
＞0，且
x
＋
y
＞
2，求证：
y
和
x
中
至少有一个小于
2；
③关于
x
的方程
ax
＝
b
(
a
≠0)
的解是唯一的；④同一平面内，
分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交．
4．已知平面
α∩平面 β ＝直线
a
，直线
b
?
α
，直线
c
?
β
，
b
∩
a
＝
A
，
c
∥
a
，求证：
b
与
c
是异面直线，若利用反
证法证明，则应假设
________．
5．若下列三个方程：
x
2
＋
4
ax
－
4
a
＋
3
＝
0，
x
2
＋
(
a
－
1)
x
＋
a
2
＝
0，
x
2
＋
2
ax
－2
a
＝
0
中至少有一个方程有实根，试求
实数
a
的取值范围．
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2015-2016
学年度高二年级文科班数学学案
选修 1-2
班级：
姓名：
学案七、
第三章
系数的扩充与复数的引入
_3.1 数系的扩充和复数的概念
3．1.1 数系的扩充和复数的概
念
复数的概念及代数表示
问题 1：方程
x
2
＋1＝ 0
在实数范围内有解吗？若有一个新
数 i 满足 i
2
＝－ 1，试想方程
x
2
＋1＝ 0 有解吗．
1．复数的定义
形如
a
＋
b
i(
a
，
b
∈
R)的数叫做复数， 其中
i
叫做虚数单位，
满足 i
2
＝－ 1.
全体复数所成的集合 C 叫做复数集．
2．复数的表示
复数通常用字母
z
表示，即
z
＝
a
＋
b
i(
a
，
b
∈R)，这一表
示形式叫做复数的代数形式，
a
与
b
分别叫做复数
z
的实部与
虚部．
3．复数相等的充要条件
在复数集 C＝ {
＋ i|
，
∈ R}中任取两个复数
＋
i ，
a b a
b
a
b
c
＋
d
i(
a
，
b
，
c
，
d
∈
R)，规定
a
＋
b
i
与
c
＋
d
i
相等的充要条件
是
a
＝
c
且
b
＝
d
.
对复数概念的理解
(1) 对复数
z
＝
a
＋
b
i
只有在
a
，
b
∈
R时，
a
和
b
才分别是
复数的实部和虚部，并注意：虚部是实数
b
而非
b
i.
(2)
当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定
相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．
(3)
利用复数相等，可以把复数问题转化成实数问题进行
解决， 并且一个复数等式可得到两个实数等式，
为应用方程思想
提供了条件 .
复数的分类
问题 1：复数
z
＝
a
＋
b
i
在什么情况下表示实数？如何用集合关
系表示实数集 R 和复数集 C?
复数的分类
(1) 复数
a
＋
b
i(
a
，
b
∈
R)
b
＝
0
b
≠0当
a
＝
0
(2) 集合表示：
1． 0 的特殊性
0
是实数，因此也是复数，写成
a
＋
b
i(
a
，
b
∈R)的形式为
0
＋ 0i
，即其实部和虚部都是
0.
2．
a
＝ 0
是复数
z
＝
a
＋
b
i
为纯虚数的充分条件吗
因为当
a
＝0
且
b
≠0
时，
z
＝
a
＋
b
i
才是纯虚数，所以
a
＝
0 是复数
z
＝
a
＋
b
i
为纯虚数的必要不充分条件．
复数相等的充要条件
[ 例
1]
(1) 若 5－12i ＝
x
i ＋
y
(
x
，
y
∈R)，则
x
＝________，
y
＝
________.
(2) 已知
(2
x
－ 1) ＋i ＝
y
－ (3 －
y
)i
，其中
x
，
y
∈ R，i 为虚
数单位．求实数
x
，
y
的值．
解决复数相等问题的步骤
(1)
等号两侧都写成复数的代数形式；
(2)
根据两个复数相等的充要条件列出方程
( 组 ) ；
(3) 解方程
(组)．
[ 活学活用 ]
已知
x
2
＋
y
2
－6＋
(
x
－
y
－
2)i
＝
0
求实数
x
，
y
的值．
第13页共13页
复数的分类
m m
＋2
2
[ 例 2] 已知
m
∈ R，复数
z
＝
－ 1
＋
(
m
＋ 2
m
－ 3)i
，
m
当
m
为何值时，
(1)
z
为实数？
(2)
z
为虚数？
(3)
z
为纯虚数？
利用复数的分类求参数时，
要先确定构成实部、
虚部的式
子有意义的条件， 再结合实部与虚部的取值求解．
要特别注意
复数
＝ ＋
i(
， ∈ R)为纯虚数的充要条件是
＝0 且
≠0.
z a b
a
b
a
b
[ 活学活用
]
2
，当
m
为何值
设复数
z
＝
lg(
m
－
2
2
m
－
2)
＋ (
m
＋ 3
m
＋ 2)i
时，
(1)
z
是实数？
(2)
z
是纯虚数？
2
[ 典例 ] 设
m
∈R，
m
＋
2
m
－
2
数单位，则
＋ (
m
－1)i
是纯虚数， 其中 i 是虚
＝________.
m
张家口市第一中学
2015-2016
学年度高二年级文科班数学学案
选修
1-2
班级：
姓名：
[ 成功破障 ]
a
2
－
7
a
＋
6
x
的值为
2
若
z
＝
(
x
2
－
1)
2
＋
(
x
－
1)i
为纯虚数，则实数
()A．－
1
B． 0
C
．1 D．－1或 1
5．已知复数
z
＝
a
2
－
1
＋
(
a
－ 5
a
－ 6)i(
a
∈
R)
，试求实数
a
分别取什么值时，
z
分别为：
(1) 实数； (2)
虚数； (3)
纯虚数．
[ 随堂即时演练
]
2
1．在 2＋
7，
i,0,8
＋ 5i ，(1 － 3)i,0.618
这几个数中，
7
纯虚数的个数为 (
)
A．0 B．1 C ．2 D ．3
2．以－
5＋ 2i 的虚部为实部， 以 5i
＋ 2i
2
的实部为虚部
的复数是 (
)
A． 2－2i B ． 2＋ 2i C ．－ 5＋ 5i
D.
5＋ 5i
3．下列命题：
①若
a
∈
R，则
(
a
＋
1)i
是纯虚数；
②若
(
x
2
－1) ＋ (
x
2
＋3
x
＋
2)i(
x
∈
R)是纯虚数，则
x
＝±
1；
③两个虚数不能比较大小．
其中正确命题的序号是
________．
4．已知 (3
x
＋
y
) ＋ (2
x
－
y
)i ＝ (7
x
－ 5
y
) ＋ 3i
，则实数
x
＝
________，
y
＝ ________.
第14页共14页
张家口市第一中学
2015-2016
学年度高二年级文科班数学学案
选修 1-2
班级：
姓名：
学案八、 3． 1.2
复数的几何意义
复数的几何意义
平面直角坐标系内的点与有序实数对之间的关系是一一
对应的，即平面直角坐标系内的任一点对应着一对有序实数；
任一对有序实数，在平面直角坐标系内都有唯一的点与它对
应．
问题 1：复数
z
＝
a
＋
b
i(
a
，
b
∈
R)
与有序实数对
(
a
，
b
)
有
怎样的对应关系？
问题
2：有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应
关系？
问题
3：复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对
应吗？
．
1．复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．
x
轴叫做实轴，
y
轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；
除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2．复数的几何意义
(1)
复数
z
＝
a
＋
b
i(
a
，
b
∈
R)一一对应复平面内的点
Z
(
a
，
b
)
；
(2)
复数
z
＝
a
＋
b
i(
a
，
b
∈
R)一一对应平面向量
OZ
＝
(
a
，
b
) ．
3．复数的模
复数
z
＝
a
＋
b
i(
a
，
b
∈
R)对应的向量为
OZ
，则
OZ
的模
叫做复数
z
的模，记作
|
z
|
或|
a
＋
b
i|
，且
|
z
|
＝
a
2
＋
b
2
.
探究复数的几何意义
根据复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对
应，可知复数
z
＝
a
＋
b
i
、复平面内的点
Z
(
a
，
b
)
和平面向量
OZ
之间的关系可用下图表示：
复数与复平面内点的一一对应
[ 例 1]
实数
x
取什么值时，复平面内表示复数
z
＝
x
2
＋
x
－ 6＋(
x
2
－
2
x
－15)i
的点
Z
(1)
位于第三象限； (2) 位于第四象限； (3) 位于直线
x
－
y
－ 3＝0 上．
探究复数
z
对应复平面内的点的位置
如果
Z
是复平面内表示复数
z
＝
a
＋
b
i(
a
，
b
∈
R)的点，则
(1)
当
a
＞
0，
b
＞ 0 时，点
Z
位于第一象限；当
a
＜
0，
b
＞
0
时，
点
Z
位于第二象限；当
a
＜
0，
b
＜0
时，点
Z
位于第三象限；当
a
＞0，
b
＜
0
时，点
Z
位于第四象限．
(2)
当
a
＝
0
时，点
Z
在虚轴上；当
b
＝
0
时，点
Z
在实轴上．
(3) 当
＞ 0
时，点
Z
位于实轴上面的半平面内；当
＜0 时，
b
b
点
Z
位于实轴下面的半平面内．
[ 活学活用 ] 实数
m
取什么值时， 复平面内表示复数
＋ 6) ＋ (
m
－
2
z
＝
(
m
＋
2
5
m
2
m
－ 15)i
的点
(1)
位于
x
轴上方；
(2)
位于直线
y
＝
x
上．
第15页共15页
复数与平面向量的一一对应
[
例 2] (1) 已知平面直角坐标系中
O
是原点，
向量
OA
，
OB
对应的复数分别为
2－ 3i ，－3＋ 2i ，那么向量
BA
对应的复数
是
(
)
A．－ 5＋ 5i
B． 5－ 5i C ．
5＋ 5i
D．－ 5－ 5i
(2) 在复平面内，
A
，
B
，
C
三点对应的复数分别为 1,2 ＋ i
，－ 1
＋
2i.
①求向量
AB
，
AC
，
BC
对应的复数；
②判定△
ABC
的形状．
(1) 根据
复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的
起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复
数．反之复数对应的点确定后，
从原点引出的指向该点的有向线
段，即为复数对应的向量．
(2) 解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数
与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、
向量之间的转化．
[
活学活用 ]( 湖北高考 )i
为虚数单位，设复数
z
1
，
z
2
在复平面
内对应的点关于原点对称，若
z
1
＝
2－
3i
，则
z
2
＝
________.
张家口市第一中学
2015-2016
学年度高二年级文科班数学学案
选修 1-2
班级：
姓名：
[例 3]
求复数
z
1
复数模的计算
1
＝
6＋8i
及
z
2
＝－
－
2i 的模，并比较它们
2
的模的大小．
计算复数的模时， 应先找出复数的实部和虚部，
然后再利用
模的公式进行计算， 两个虚数不能比较大小，
但它们的模可以比
较大小．
[ 活学活用 ] 已知复数
z
＝
3＋
a
i ，且 |
z
| ＜ 4，求实数
a
的取值范
围．
[ 典例 ]
设
z
∈
C，满足下列条件的点
Z
的集合是什么图
形？
(1)|
z
|
＝
2；
(2)2 ＜ |
z
| ＜ 3.
解决复数模的几何意义问题，
需把握两个关键点： 一是 |
z
|
表示点
Z
到原点的距离，可依据
|
z
| 满足的条件判断点
Z
的集
合表示的图形；
二是利用复数模的定义，
把模的问题转化为几
何问题来解决．
要注意掌握复数模的几何意义常与轨迹、 最值等
问题相结合命题．
1．满足条件 |
z
－ i| ＝ |3 ＋4i| 的复数
z
在复平面上对应点的
轨迹是 ________．
2．已知
z
1
＝
2(1
－
i)
，且
|
z
|
＝
1，则
|
z
－
z
1
|
的最大值为
________．
[ 随堂即时演练 ]
1．在复平面内，复数
z
＝(
a
2
－
2
a
)
＋(
a
2
－
a
－
2)i
对应的
点在虚轴上，则
a
的值为
(
)
A．
a
＝ 0 或
a
＝ 2
B．
a
＝ 0
C．
a
≠1且
a
≠2
D．
a
≠1或
a
≠2
2．在复平面内，复数
z
＝
sin 2
＋ icos 2
对应的点位于
()
A．第一象限
B
．第二象限
C
3．若复数
．第三象限
z
＝ 3－ 5i ，
z
＝1
－ i ，
z
D ．第四象限
＝－ 2＋
a
i 在复平面
1
2
3
内所对应的点在同一条直线上，则实数
a
＝
________.
4．已知 3－ 4i ＝
x
＋
y
i(
x
，
y
∈ R)，则 |1 － 5i| ，|
x
－
y
i|
，
|
y
＋2i| 的大小关系为 ________．
第16页共16页
1
3
1
3
5．在复平面内画出复数
z
1
＝
2
＝－
1，
z
3
＝
2
＋
2
i
，
z
2
－
2
i 对应的向量
OZ
1
，
OZ
2
，
OZ
3
，并求出各复数的模，同时
判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．
张家口市第一中学
2015-2016
学年度高二年级文科班数学学案
选修 1-2
班级：
姓名：
学案九、 _3.2 复数代数形式的四则运算
复数代数形式的加、减运算及其几何意义
复数加、减法的几何意义
3.2.1
如图：设在复平面内复数
z
1
，
z
2
对应的向量分别为
OZ
1
，
复数的加减运算，只需把“ i
”看作一个字母，完全可以按照
合并同类项的方法进行．
复数的加减法
已知复数
z
1
＝
a
＋
b
i
，
z
2
＝
c
＋
d
i(
a
，
b
，
c
，
d
∈
R)．问题
1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一
想复
数如何加减？
问题 2：复数的加法满足交换律和结合律吗？
问题
3：以交换律说明之．
[ 导入新知 ]
1．复数的加、减法法则
设
z
1
＝
a
＋
b
i
，
z
2
＝
c
＋
d
i(
a
，
b
，
c
，
d
∈R)
，
则
z
1
＋
z
2
＝(
a
＋
c
)
＋(
b
＋
d
)i
，
z
1
－
z
2
＝
(
a
－
c
)
＋
(
b
－
d
)i.
2．复数加法的运算律
(1)
交换律：
z
1
＋
z
2
＝
z
2
＋
z
1
；
(2)
结合律： (
z
1
＋
z
2
) ＋
z
3
＝
z
1
＋ (
z
2
＋
z
3
) ．对复数加减法的理
解
1．把复数的代数形式看成关于“
i ”的多项式， 则复数的加
法、减法运算， 类似于多项式的加法、 减法运算，
只需要“合并
同类项”就可以了．
2．复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部
相加减，
虚部与虚部相加减，
复数的加减法可推广到多个复数
相加减的情形．
3．两个复数的和 ( 差 ) 是复数，但两个虚数的和 ( 差
) 不一定
是虚数．例如， (3 － 2i) ＋2i ＝ 3.
复数加、减法的几何意义
如图
OZ
1
，
OZ
2
分别与复数
a
＋
b
i
，
c
＋
d
i
对应．
问题
1
：试写出
OZ
、及＋，－
1
OZ
2
OZ
1
OZ
2
OZ
1
OZ
2
的坐标．
问题 2：向量
OZ
1
＋
OZ
2
，
OZ
1
－
OZ
2
对应的复数分别
是什么？
OZ
2
，以
OZ
1
，
OZ
2
为邻边作平行四边形，
则与
z
1
＋
z
2
对应的
向
量是
OZ
，与
z
1
－
z
2
对应的向量是
Z
2
Z
1
.
对复数加减运算几何意义的认识
复数加减运算的几何意义就是向量加减运算的平行四
边
形法则或三角形法则，由复数加减法的几何意义可得如下结
论
： ||
z
1
| － |
z
2
||
≤|
z
1
±
z
2
|
≤|
z
1
| ＋
|
z
2
|.
复数的加、减运算
[ 例
1]
计算： (1)( － 2＋3i) ＋ (5 － i) ；
(2)( － 1＋ 2i) ＋ (1 ＋ 2i) ；
(3)(
a
＋
b
i) － (2
a
－3
b
i)
－3i(
a
，
b
∈R)．
第17页共17页
计算下列各题．
(1)(3
－
2i)
－ (10 － 5i)
＋(2 ＋ 17i) ；
(2)(1
－ 2i)
－ (2 －
3i)
＋ (3 － 4i) － (4 － 5i) ＋, ＋ (2 011
－
2 012i)
．
复数加、减运算的几何意义
[ 例 2]
已知四边形
ABCD
是复平面上的平行四边形，顶
点
A
，
B
，
C
分别对应于复数－
5－
2i
，－
4＋5i,2
，求点
D
对应
的复数及对角线
AC
、
BD
的长．
运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题
向量加法、
减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复
数加法、 减法几何意义的依据．
利用加法“首尾相接”和减法
“指向被减数”的特点， 在三角形内可求得第三个向量及其对
应的复数．注意向量
AB
对应的复数是
z
B
－
z
A
(
终点对应的复数减
去起点对应的复数 ) ．
张家口市第一中学
2015-2016
学年度高二年级文科班数学学案
选修 1-2
班级：
姓名：
[ 活学活用 ]
1
复数
z
＝
1＋2i
，
z
＝－
2＋
i
，
z
＝－
1－
2i
，它们在复平
2
3
与复数模有关的几个常见结论
在复平面内，
z
，
z
1
2
对应的点为
A
，
B
，
Z
＋
Z
对应的点为
1．本题若混淆复数运算与代数运算的不同，则会错误的将集
合
M
和
N
化简为
M
＝
{
z
|
z
＋
1＝±
1}
，
N
＝
{
z
|
z
＋
i
＝±(
z
－
i)}
从而造成解题错误．
2．在复数运算中， 若
z
＝
a
＋
b
i ，则|
z
| ＝
a
2
＋
b
2
.
要注意与
实数运算中的绝对值运算的区别．
1
2
面内的对应点是一个正方形的三个顶点，
方形的第四个顶点对应的复数．
如图所示，
求这个正
C
，
O
为坐标原点，则四边形
若
|
OACB
：
(1)
为平行四边形；
1
－
2
|
，则四边形
(2)
(3)
若 |
z
| ＝ |
z
|
，则四边形
OACB
为菱形；
(4)
若 |
1
|
＝|
2
|
且|
1
＋
2
|
＝|
1
－
2
|
，则四边形
12
z
1
＋
z
2
|
＝|
为矩形；
z
z
OACB
为
综合应用
[例 3]
1
2
12
设
z
，
z
∈
C，已知
|
z
|
＝|
z
| ＝ 1
1
求|
z
1
－
z
2
|.
2
，|
z
＋
z
| ＝
2，
z
z
z
z
z
z
正方形．
[
已知
活学活用
|
z
| ＝|
]
z
z
| ＝ |
－
z
|
＝
1，求
|
z
＋
z
|.
1
2
1
2
1
2
[典例]
M
＝ {
z
||
z
＋ 1|
＝1} ， ＝
N
{
z
||
z
＋ i|
则
M
∩
N
＝
________.
第18页共18页
OACB
|
z
－ i|} ，
已知复数
z
满足
z
＋|
z
|
＝
2＋
8i
，则复数
z
＝
________.
[ 随堂即时演练 ]
1．复数 (1 － i) － (2 ＋ i) ＋ 3i
等于 (
)
A．－ 1＋ i B． 1－ i C ． i D ．－ i
2．在复平面内，
AB
，
AC
对应的复数分别为－ 1＋2i ，
－ 2－ 3i ，则
BC
对应的复数为 (
)
A．－ 1－ 5i B ．－
1＋ 5i C ． 3－ 4i D ． 3＋ 4i
3．实数
x
，
y
满足 (1 ＋ i)
x
＋ (1 － i)
y
＝ 2，则
xy
的值是
________．
4．已知
z
是复数， |
z
| ＝3
且
z
＋
3i
是纯虚数，则
z
＝
________.
5．已知
z
1
＝
(3
x
＋
y
)
＋
(
y
－
4
x
)i
，
z
2
＝
(4
y
－
2
x
)
－
(5
x
＋
3
y
)i(
x
，
y
∈
R)，设
z
＝
z
1
－
z
2
＝
13－
2i
，求
z
1
，
z
2
.
＝
张家口市第一中学
2015-2016
学年度高二年级文科班数学学案
选修 1-2
班级：
姓名：
学案十、 3． 2.2
复数代数形式的乘除运算
复数的乘法
1．复数的乘法
设
z
1
＝
a
＋
b
i
，
z
2
＝
c
＋
d
i
是任意两个复数， 那么它们的积
2
复数的除法和实数的除法有所不同， 实数的除法可以直接约
分、 化简得出结果；
而复数的除法是先将两复数的商写成分式，
然后分母实数化 ( 分子、分母同乘分母的共轭复数 )
．
(1) 已知复数
z
1
＝4＋
8i
，
z
2
＝
6＋
9i
，求复数
(
z
1
－
z
2
)i
的实
部与虚部；
z
－
2
复数的乘除运算
[例 1]
计算：
(1)(1 ＋ i)(1
－ i) ＋( －
1＋i) ；
(2) 已知
z
是纯虚数，
1
＋
i
是实数，求
z
.
(
a
＋
b
i)(
c
＋
d
i) ＝
ac
＋
bc
i ＋
ad
i ＋
bd
i
＝ (
ac
－
bd
) ＋ (
ad
＋
)i(
a
， ，
，
∈ R)．
bc
b c
d
2．复数乘法的运算律
对于任意
z
1
，
z
2
，
z
3
∈
C，有
交换律
z
1
2
z
2
＝
z
2
2
z
1
(
z
1
2
z
2
)2
z
3
＝
结合律
z
1
2(
z
2
2
z
3
)
乘法对加法的分配律
z
1
(
z
2
＋
z
3
)
＝
z
1
z
2
＋
z
1
z
3
对复数乘法的理解
(1)
复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必
须在所得结果中把 i
2
换成－ 1，再把实部、虚部分别合并．
(2) 两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复
数，任意多个复数的积仍然是一个复数
.
复数的除法
问题 1：复数
z
1
＝
a
＋
b
i
与
z
2
＝
a
－
b
i(
a
，
b
∈R)有什么关
系？
问题 2：试求
z
1
＝
a
＋
b
i
，
z
2
＝
a
－
b
i(
a
，
b
∈ R)的积．
问题 3：如何规定两复数
z
1
＝
a
＋
b
i
，
z
2
＝
c
＋
d
i(
a
，
b
，
c
，
d
∈
R，
c
＋
d
i
≠0)
相除？
[ 导入新知 ]1 ．共轭复数的概念
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这
两个复数叫做互为共轭复数．通常记复数
z
的共轭复数为
z
，
虚部不等于
的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
0
2
设
．复数的除法法则
z
b
＝
a
＋i
，
z
＝
c
＋
d
i(
c
＋
d
i
≠0)
，
1
2
a
＋
b
i
则
z
1
z
＝
＝
ac
＋
＋
bd
bc
－
ad
2
c
＋
d
i
c
2
＋
d
2
c
2
＋
d
2
i(
c
＋
d
i
≠0)
．
辨析复数除法与实数除法的关系
(2) －＋
1
3
1
i
3
＋
i
(1 ＋ i)
；
2
2
2
2
(3)( － 2＋3i) ÷(1 ＋ 2i) ；
(4)
3＋
2i
－
3－ 2i
2－ 3i 2＋ 3i
.
复数乘除运算的常用技巧
(1)
按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可
按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，
混合运算和实数的
运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公
式计算．
(2) 根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的
共轭复数， 使“分母实数化”， 这个过程与“分母有理化”类
似．
[ 活学活用 ]
第19页共19页
共轭复数
[例 2]
1＋
2i
(1) 若
z
＝
，则复数
z
＝
(
)
i
A．－ 2－ i
B．－ 2＋ iC ．2－ i
D． 2＋ i
(2)( 四川高考 ) 如图，在复平
面内， 点
A
表示复数
z
，则图中表
示
z
的共轭复数的点是
(
)
A．
A
B．
B
C．
C
D．
D
－
(3) 复数
z
＝
－
1＋ i ，
z
为
z
的
共轭复数，则
z z
－
z
－
1＝(
)
A．－ 2i B
．－ i C ．
i D ．2i
[ 活学活用
]
张家口市第一中学
2015-2016
学年度高二年级文科班数学学案
选修 1-2
班级：
姓名：
－
已知复数
z
＝
1＋
i
，复数
z
的共轭复数
z
＝
1
－i ，求实数
－
2
a
、
b
使
az
＋
2
b
z
＝ (
a
＋ 2
z
) .
复数运算的综合应用
1
[ 例 3]
已知
z
1
是虚数，
z
2
＝
z
1
＋
z
1
是实数，且－ 1≤
z
2
≤1.
(1) 求
|
z
1
| 的值以及
z
1
的实部的取值范围；
1－
z
1
(2) 若 ω ＝
1
＋
z
1
，求证： ω 为纯虚数．
解决双复数问题的方法
解决此类双复数问题的关键是设出已知条件较多的一个
复数
z
＝
a
＋
b
i(
a
，
b
∈
R)，注意题目对
a
，
b
取值的限制，然
后用
a
，
b
表示出另外的复数，进而转化求解．此类题目难度
较大， 除需正确进行复数的四则运算外，
还需掌握复数的基本
概念及复数模的定义．
[ 活学活用 ]
z
已知
z
，ω 为复数，
(1
＋
3i)
z
为实数，
ω
＝
2
＋
i
，且 | ω |
＝ 5 2，求 ω.
[ 典例 ] 已知关于
x
的方程
x
2
＋
(
k
＋ 2i)
x
＋ 2＋
k
i
＝0 有实
数根，则实数
k
的值为
________．
1．求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根，所以
＝
(
k
＋ 2i)
2
－4(2 ＋
k
i) ≥0，解得
k
≥2 3 或
k
≤－ 2 3.
需注意由
于虚数单位的特殊性，
不能用判别式判断复系数一元二次
方程有无实数根．
2．复数范围内解方程的一般思路是：依据题意设出方程
的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解．对于一元二
次方程，
也可以利用求根公式求解，
要注意在复数范围内负数
是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的．注意求方程
中参数的取值时，不能利用判别式求解．
[ 成功破障 ]
复数范围内方程
x
2
－
5|
x
|
＋
6
＝
0
的解的个数为
第20页共20页
(
)
A． 2
B
． 4
C ． 6
D．8
[
随堂即时演练 ]
1． ( 浙江高考 )
已知 i
是虚数单位，则 ( － 1＋i)(2
－ i)
＝
(
)
A．－
3＋ i
B．－ 1＋ 3i C ．－ 3＋ 3i D ．－ 1＋i
2i
2．(
湖北高考 ) 在复平面内， 复数
z
＝
1
＋
i
(i
为虚数单位 )
的共轭复数对应的点位于 (
)
A．第一象限
B ．第二象限
C．第三象限
D ．第四象限
3．若
2
＝
为虚数单位，
，
∈ R)，则
a
＋
i(i
b
1－ i
a
b
a
＋ ＝
b
________.
z
1
4．设
z
1
＝
a
＋ 2i
，
z
2
＝
3－
4i
，且
z
2
为纯虚数，则实数
a
的
值为 ________．
5．计算：
1
3
(1)(1
－ i)
－
2
＋
2
i
(1 ＋ i)
(2)
＋ 3i
；
2
；
3－ 2i
(3)(2
－ i)
2
.
张家口市第一中学
2015-2016
学年度高二年级文科班数学学案
选修 1-2
班级：
姓名：
学案 11、第四章
框图学案
_4.1 流程图
流程图
1．流程图的概念
由一些图形符号和文字说明构成的图示称为流程图． 流程图常
常用来表示一些动态过程，
通常会有一个“起点”， 一个或多个
“终点”．
2．工序流程图
用于描述工业生产的流程图通常称为工序流程图．
流程图的特点
(1) 流程图通常用来描述一个过程性的活动．活动的每一
个明确的步骤构成流程图的一个基本单元， 基本单元之间通过流程
线产生联系．
基本单元中的内容要根据需要确定， 可在基本单元
中具体说明，也可为基本单元设置若干子单元．
即流程图由基本单元和流程线构成．
(2) 通常，人们习惯按照从左到右、从上到下的顺序
阅读
图示．所示流程图一般按照从左到右、从上到下的顺序来画．
(3)
流程图可以比较直观地表达数学计算或证明过程中的
主要思路．
画算法的程序框图
[ 例 1] 在国内寄平信， 每封信的质量 x( 克
) 不超过 60( 克 )
80，x∈0，
20] ，
时的邮费 y( 分 ) 的标准为 y＝ 160
，x∈20，
40] ，
240
，
x∈40，
60].
试画出计算邮费的程序框图．
画算法的程序框图，
一般需要将自然语言描述的算法的每
一个步骤分解为若干输入、输出、条件结构、循环结构等基本
算法单元，
然后根据各单元的逻辑关系，
用流程线将这些基本
单元连接起来．
即基本单元是构成程序框图的基本要素，
基本
要素之间的关系由流程线建立．
[ 活学活用 ]
求两底面半径分别为
1 和 4，高为 4
的圆台的表面积及体
积，写出解决该问题的一个算法，并画出程序框图．
画工序流程图
[ 例 2]
阅读下列乌龙茶的制作工序步骤，并绘制其工序
流程图：
首先，通过萎调散发部分水分，提高叶片韧性，便于后续
工序进行．
做青是乌龙茶制作的重要工序．
经过做青， 叶片边缘细胞
受到破坏，发生轻度氧化，呈现红色．叶片中央部分，叶色由
暗绿转变为黄绿，即所谓的“绿叶红镶边”．
炒青是承上启下的转折工序， 主要是抑制鲜叶中的酶的活
性，控制氧化进程，
防止叶子继续变红，
固定做青形成的品质．
第21页共21页
揉捻是塑造外形的一道工序．
通过外力作用使叶片揉破变
轻，卷转成条，体积缩小，且便于冲泡．
干燥可抑制酶性氧化， 蒸发水分和软化叶片，
并起热化作
用，消除苦涩味，使滋味醇厚．
工序流程图的画法
(1)
从需要管理的任务的总进度着眼，进行合理工作或工
序的划分．
(2)
明确各工作或工序之间的关系．
(3)
根据各工作或各工序所需要的工时进行统筹安排．
(4)
开始时流程图可以画得粗疏，然后进行逐步细化．
[ 活学活用 ]
某省公安消防局对消防产品的监督程序步骤为：
首先受理
产品请求，如果是由公安部发证的产品，则审核考察，领导复
核，不同意，则由窗口将信息反馈出去，同意，则报
公安部审批，
再经本省公安消防局把反馈信息由窗口反馈
出去； 如果不是由公安部发证的产品，
则由窗口将信息反馈出
去．试画出此监督程序的流程图．
张家口市第一中学
2015-2016 学年度高二年级文科班数学学案
选修 1-2
班级：
姓名：
流程图的读图问题
[ 例
3]
某地联通公司推出
10011 电话服务，其中话费查
询业务流程如图所示：
如果某人用手机查询该手机卡上的余额，请画出操作的流程
图．
[
活学活用 ] 下图是 2012
年山东各类成人高考学校招生网上报
名流程图．试叙述一名考生报名时所要做的工作．
[
典例 ]
某工程的工序流程图如图，则该工程的总工时为
(
)
A．9 天
B．8 天 C．7 天
D．6 天
1．若对“工程的总工时”理解有误，则会错误的认为用
时为①→③→④→⑤→⑦，即
6 天，从而误选 D.
2．根据各工序之间的关系，
有时可将一些工序同时进行，
以节省时间．完成一件事，巧妙运用统筹图，适当安排，能够
在尽可能节省人力、 物力和时间的前提下， 努力争取获得在允许
范围内的最佳效
益，实现优化．但是，解决此类问题的前提条件是
工序完整．
[ 成功破障 ]
在华罗庚先生的《统筹方法平话》文中，有一个“喝茶问
题”：假设洗水壶需要
2 min ，烧开水需要 15 min
，洗茶壶、
杯需要
3 min ，取、放茶叶需要 2 min
，沏茶需要 1 min. 则最
快能喝到茶所需要的时间为
________ min.
[
随堂即时演练 ]
1．在如图所示的工序流程图中，设备采购的下一道工序
是 (
)
A．设备安装 B．土建设计
1
C
，
．厂房土建
2．下面是求过两点
1
(
1
)，
2
(
．工程设计
2
，
2
)
的直线的斜率的流
D
P
x
y
P
x
y
第22页共22页
程图，则空白处应填
(
)
A．
x
＝
x
？ B．
x
≠
x
C．
y
＝
y
D
．
y
≠
y
1
2
1
2?
1
2?
1
2?
3．阅读如图所示的程序框图．若输入
的
n
＝ 5，则输出
k
值为 ________．
4．某工程的工序流程图如图所示，其中流程线上字母表
示工序，数字表示工序所需工时
( 单位：天 ) ，现已知工程总工
时为 10 天，则工序
c
所需工时为
________天．
5．某高校大一新生入学注册，分为以下几步：
①交录取通知
书；②交费；③班级注册；④领书及宿舍钥
匙；⑤办理伙食卡；⑥参加年级迎新大会．请用流程图表示新
生入学注册的步骤．
张家口市第一中学
2015-2016
学年度高二年级文科班数学学案
选修 1-2
班级：
姓名：
学案 12、 4.2 结构图
结构图
1．结构图的概念
结构图是一种描述系统结构的图示，
通常用来描述一个系
统各部分和各环节之间的关系．
结构图一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关
系的连线 ( 或方向箭头
) 构成． 连线通常按照从上到下、 从左到
右的方向 (
方向箭头按照箭头所指的方向
) 表示要素的从属关
系或逻辑的先后关系．
2．结构图的分类
(1) “树”形结构图：
表达要素之间的从属关系的结构图呈“树”形结构，
即构
成系统的要素一般至少有一个“上位”或“下位”要素．
一般
情况下， “下位”要素比“上位”要素更为具体，
“上位”要
素比“下位”要素更为抽象．
“下位”要素越多，
结构图越复
杂．
树形结构图经常用来表示一个组织的构成，
即组织结构图
一般都呈“树”形结构，这种图比较直观，容易理解，应用广
泛．
(2) “环”形结构图：
表达逻辑先后关系时通常使用“环”形结构图．在绘制
“环”形结构图时，
可以先根据逻辑先后关系按照从左到右或
从上到下的顺序画出各要素的图框，
再用连线或方向箭头适当
连接．
“环”形结构图经常用来表示知识的网络关系，
即复杂的
知识结构图一般都呈“环”形结构，
这种图能从多种不同联系
的角度来理解各版块知识之间的关系．
结构图与流程图的比较
(1)
相同点：①它们都是框图．框图是表示一个系统各部
分和各环节之间关系的图示，
它能够清晰地表达比较复杂的系
统各部分之间的关系，是表达和交流思想的有力工具．
②画结构图与画流程图一样，
首先要确定组成结构图的基
本要素，然后通过连线来表明各要素之间的关系．
(2) 不同点：流程图描述动态
过程，结构图刻画系统结
构．流程图通常会有一个“起点”，一个或多个“终点”，其基
本单元
之间由流程线连接； 结构图则更多地表现为“树”形结
构，其基本要素之间一般为概念上的从属关系或
逻辑上的先后关
系．
树形结构图的画法
[ 例
1] 北京期货商会组织结构设置如下：
(1)
会员代表大会下设监事会、会长办公会，而会员代表
大会与会长办公会共同管辖理事会；
(2)
会长办公会下设会长，会长管理秘书长；
(3)
秘书长分管秘书处、规范自律委员会、服务推广委员
会、发展创新委员会．
据上绘制其组织结构图．
“树”形结构图多用来表示结构设置的层次、显示事物的
分类等．
画“树”形结构图时， 必须理清一个系统中各部分的
层次，首先要确定最高层次的基本单元，可称为“最上位要
素”，然后要注意分清它的各下位要素之间是并列关系还是继
续分上位、下位要素．
[ 活学活用 ]
某中学行政机构关系如下： 校长下设两名副校长和校长办
公室，两名副校长又各自管理教务处、教科室和保卫科、政教
处、总务处，各科室共同管理和服务各班级．试画出该校的行
政组织结构图．
第23页共23页
环形结构图的画法
[例 2]
试画出《数学
3》“算法初步”一章的知识结构
图．
画“环”形结构图时， 必须从整体上理清层次， 并抓住系
统的主要要素进行分解至基本单元，
通过把握各要素之间的相
互关系， 确定各基本单元之间的逻辑先后顺序，
然后按照一定
的顺序连接基本单元．
[ 活学活用
]
数列是一种特殊的函数，你能画出这一章的知识结构图
吗？并指出“等差数列”与“等比数列”的下位要素是什
么？
张家口市第一中学
2015-2016
学年度高二年级文科班数学学案
选修 1-2
班级：
姓名：
[ 例 3]
如图是某生态农场物质循环利用的结构图，请用
语言描述此框图所包含的内容．
[ 活学活用 ]
下图为某集团组织结构图， 请据图分析财务部、
人力资源
部的隶属关系．
[ 典例 ]
下列关于结构图的说法正确的是
(
)
A．结构图只能从左向右分解
B．结构图只能从上向下分解
C．结构图只能从下向上分解
D．以上都不对
下列框图中不是结构图的是
(
)
A.
整数指数幂
―→ 有理数指数幂
―→ 无理数指数幂
B. 随机事件
―→ 频率 ―→ 概率
C. 买票 ―→
候车 ―→ 检票 ―→ 上车
D.
[ 随堂即时演练
]
1．下列关于函数、函数的定义域、函数的值域、函数的
对应法则的结构图正确的是
(
)
A.
B.
C.
D.
第24页共24页
2．下列结构图中，各要素之间表示从属关系的是
(
)
A. 频率 → 概率 → 应用 B.
平面向量 → 空间向量
C.
D.
3．在如图所示的知识结构图中，“求简单函数的导数”
的“上位”要素有
________个．
4．如图所示为《数学
5》第三章“不等式”的知识结构
图
，
填
空
：
①
___________________
；
②______________
5．我们学过圆的有关知识及应用，试画出有关圆的知识
结构图．