高中数学正态分布的均值计算-高中数学竞赛 数列专题
高二文科
选修1-1、1-2数学知识点
一.常用逻辑用语:
1.命题:可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真
命题;判断为假的语句叫做假命题.
2.四种命题:
结论:互为逆否的两个命题是等价的。因此,在判断四种命题的真假时,只需判断两种命题的
真假。因为原命题与逆否命题真假等价,逆命题与否命题真假等价。
2.充分条件与必要条件:
①若
p?q
,但
q
?
p
,则
p
是
q
的充分不必要条件(也可以说
q
的充
分条件不必要条件是
p
);
从集合的角度来看,若
p
q
,则
p
是
q
的充分条件不必要条件。
②若
p?q
,但
q
?
p
,则
p
是q
的必要不充分条件(也可以说
q
的必要不充分条件条是
p
);
从集合的角度来看,若
q
p
,则
p
是
q
的必要不充分条件。
③若
p?q
,且
q
?
p
,则
p
是
q
的
充要条件(也可以说
q
是
p
的充要条件),记作
p?q
;
从集合的角度来看,若
p?q
,则
p
是
q
的充分要
条件。
④若
p?q
,且
q
?
p
,则<
br>p
是
q
的既不充分也不必要条件;
从集合的角度来看,若
p
?q
,且
q?p
,则
p
是
q
的既不充分也不必要条
件。
注意:证明
p
是
q
的充要条件需分证明充分性(
p?
q
)和必要性(
q?p
)两步。
3. 简单逻辑联结词
逻辑联结词:且、或、非;
复合命题三种形式:
p
且
q
(p?q)
,
p
或
q
(p?q)
,非
p
(
p)
?
?
真假判断:
p、q
同
真,
p?q
真,其余均为假;
p、q
同假,
p?q
假,其余
均为真;
p
与
p
的真假相反
4.全称量词与存在量词:
?
?
全称命题
p
:
?x?M,p(x)
,
它的否定
p
:
?x
0
?M,p(x
0
)
?
?
特称命题
p
:
?x
0
?M,p(x<
br>0
)
,
它的否定
p
:
?x?M,p(x)
全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题。
(二)圆锥曲线与方程:
1.椭圆:平面内与两个定点
F
1
,F
2
的距离之和等于常数(大于
F
)的点的轨迹
1
F
2
称为椭圆.即:
|MF
1
|?|MF
2
|?2a
,(2a?|F
1
F
2
|)
.
这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距.
2. 椭圆的几何性质:
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形
标准方程
范围
x
2
y
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
2
ab
y
2
x
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
2
ab
?a?x?a
且
?b?y?b
?b?x?b
且
?a?y?a
?
1
?
?
a,0
?
、
?
2
?
a,0
?
顶点
?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?
?
1
?
?b,0
?
、
?
2
?
b,0
?
?
1
?
0,?b
?
、
?
2
?
0,b
?
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
3. 焦半径:
短轴的长
?2b
长轴的长
?2a
F
1<
br>?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?<
br>
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?
F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b
2
?
关于
x
轴、
y
轴、原点对称
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?
aa
x
2
y
2
i. 设
P(x
0
,y
0
)
为椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上的一点,
F
1
,F
2
为左、右焦点,
ab
则由椭圆方程的第二定义可以推出:
PF
1
?a?ex
0
,
PF
2
?a?ex
0
;
x
2y
2
ii.设
P(x
0
,y
0
)
为椭
圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上的一点,
F
1,F
2
为上、下焦点,
ba
则由椭圆方程的第二定义可以推出:
PF
1
?a?ey
0
,
PF
2
?a?ey
0
.
归结起来为“左加右减”、“下加上减”.
2b
2
b
2
b
2
4.
通径:垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经,
d?
.
坐标:
(?c,)
和
(c,)
a
a
a
共离心率的椭圆系的方程:
x
2
y
2
c
方程
2
?
2
?t
(t?0,a?b?0)<
br>的离心率也是
e?
,我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.
a
ab
x
2
y
2
?
2
5. 若<
br>P
是椭圆:
2
?
2
?1
上的点.
F
1
,F
2
为焦点,若
?F
1
PF
2
??
,则
?PF
1
F
2
的面积为
btan
2
ab
(用余弦定理与
PF
1
?PF
2
?2a
可得). 若是双曲线,则面积为
b?cot
双曲线:
1.
双曲线定义:
平面内与两个定点
F
1
,
F
2
的距
离之差的绝对值等于常数(小于
F
1
F
2
)的点的轨迹称为双曲线.
即:
||MF
1
|?|MF
2
||?2a,(2a?|F<
br>1
F
2
|)
。
这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距.
2. 双曲线的几何性质:
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
2
?
2
.
图形
标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
x
2
y
2??1
?
a?0,b?0
?
a
2
b
2
y
2
x
2
??1
?
a?0,b?0
?<
br>
a
2
b
2
x??a
或
x?a
,<
br>y?R
y??a
或
y?a
,
x?R
?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?
?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?
虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a
F
1
?
?c,0
?
、<
br>F
2
?
c,0
?
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?
焦距
对称性
离心率
F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b
2
?<
br>
关于
x
轴、
y
轴对称,关于原点中心对称
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?
aa
y??
b
x
a
y??
a
x
b
渐近线方程
准线
a
2
x??
c
2b
2
a
x
2
a
2
a
2
y??
c
通径
y
2
b
2
3.
焦半径公式:对于双曲线方程
??1
(
F
1
,F
2
分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)“长加短减”原则:
▲
y
▲
M'
M
y
F
1
M
F
1
F
2
x
x
F
2
M'
MF
1
?ex
0
?a
MF
2
?ex
0
?a
构成满足
MF
1
?MF
2
?2a
M<
br>?
F
1
??ex
0
?a
M
?
F2
??ex
0
?a
(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号)
MF
1
?ey
0
?a
MF
2
?ey
0
?a
?
M
?
F
1
??ey
0
?a
M<
br>?
F
2
??ey
0
?a
?
4.
等轴双曲线:双曲线
x
2
?y
2
??a
2
称为等轴
双曲线,其渐近线方程为
y??x
,离心率
e?2
.
5.
共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,
叫做已知双曲线的共轭双曲线. <
br>x
2
y
2
x
2
y
2
x
2<
br>y
2
??
?
与
2
?
2
??
?
互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:
2
?
2
?0
.
abab
a
2
b
2
6. 共渐近线的双曲线系方程:
x
2
a
2
?
y
2
b
2
?
?
(
?
?0)
的渐近线方程为
x
2
a
2
?
y
2
b
2
?0
,因此,如果双曲线的渐近线x
2
y
2
x
y
为
??0
时,它的双曲
线方程可设为
2
?
2
?
?
(
?
?0).
ab
ab
例:若双曲线一条渐近线为
y?
11
x<
br>且过
p(3,?)
,求双曲线的方程?
2
2
x
2
x
2
y
2
1
2
解:令双曲
线的方程为:
??1
.
?y?
?
(
?
?0),代入
(3,?)
得
82
4
2
抛物线: <
br>1.平面内与一个定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹称为抛
物线.
定点
F
称为抛物线的焦点,定直线
l
称为抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程、类型及其几何性质(
p?0
):
图形
y
2
?2px
▲
y
2
??2px
▲
x
2
?2py
▲
x
2
??2py
▲
y
y
y<
br>y
x
O
x
O
x
O
x
O
焦点
准线
范围
对称轴
顶点
离心率
焦半径
2
F(?
p
,0)
2
p
x?
2
F(0,
p
)
2
p
y??
2
p
F(0,?)
2
p
y?
2
x?R,y?0
p
F(,0)
2
p
x??
2
x?0,y?R
x?0,y?R
x?R,y?0
x
轴
(0,0)
e?1
y
轴
PF?
p
?x
1
2
PF?
p
?x
1
2
PF?
p
?y
1
2
PF?
p
?y
1
2
注:①
y
?2px(p?0)
则焦点半径
PF?x?
pp
2
;
x?2
py(p?0)
则焦点半径为
PF?y?
.
22
②通径为2
p
,这是过焦点的所有弦中最短的.
3.圆锥曲线
的统一定义:平面内到一个定点
F
的距离和它到一条定直线
l
的距离之比是一
个常数
e
的点的
轨迹是圆锥曲线,并且
当
0?e?1
时,轨迹为椭圆;
当
e?1
时,轨迹为双曲线;
当
e?1
时,轨迹为抛物线.
其中,点
F
是它的焦点,直
线
l
是它的准线,比值
e
是它的离心率。
(三)导数及其应用:
1、函数
f
?
x
?
从
x
1
到
x
2
的平均变化率:
f
?
x
2
?
?f
?
x
1
?
x
2
?x
1
x?x
0
2、导数定义:
f
?
x
?
在点
x
0
处的导数记作
y?
?f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x<
br>0
??x)?f(x
0
)
;.
?x
3、函数
y?f
?
x
?
在点
x
0
处的导数的几何意义是曲
线
y?f
?
x
?
在点
4、常见函数的导数公式:
'
①
C
?0
; ②
(x)?nx
n'
n?1
?
?
x
0
,f
?
x
0
?<
br>?
处的切线的斜率.
; ③
(sinx)?cosx
;
④
(cosx)??sinx
;
''
'
⑤
(a)?alna
;⑥
(e)?e
;
⑦
(log
a
x)?
x'xx'x
11
'
;
⑧
(lnx)?
xlnax
5、导数运算法则:
?
?
1
?
?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
?f
?
?
x
?
?g
?
?
x
?
;
?
?
2
?
?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
?f
?
?
x
?
g
?
x
?
?f
?
x?
g
?
?
x
?
;
?
f
?<
br>x
?
?
?
f
?
?
x
?
g<
br>?
x
?
?f
?
x
?
g
?
?
x
?
?
g
?
x
?
?0
?
??
?
2
gx
?
?
3
?
?
??<
br>?
?
g
?
x
?
?
?
.
6.在某个区间
?
a,b
?
内,
若
f
?
?
x
?
?0
,则函数
y?f
?
x?
在这个区间内单调递增;
若
f
?
?
x
?
?0
,则函数
y?f
?
x
?
在这个区间内单调递
减.
7、求函数
y?f
?
x
?
的极值的方法是:解方程<
br>f
?
?
x
?
?0
.当
f
?
?
x
0
?
?0
时:
?
1
?
如果
在
x
0
附近的左侧
f
?
?
x
?
?
0
,右侧
f
?
?
x
?
?0
,那么
f
?
x
0
?
是极大值;
?
2
?
如果在
x
0
附近的左侧
f
?
?
x
?
?0
,右侧
f
?
?
x
?
?0
,那么f
?
x
0
?
是极小值.
8、求函数
y?f<
br>?
x
?
在
?
a,b
?
上的最大值与最小值的
步骤是:
?
1
?
求函数
y?f
?
x
?<
br>在
?
a,b
?
内的极值;
?
2
?
将函数
y?f
?
x
?
的各极值与端点处的函数值
f
?
a
?
,
f
?
b
?
比较,其中最大的一个
是最大值,最小的
一个是最小值.
数学选修1-2复习知识提纲
统计案例
1.线性回归方程
①变量之间的两类关系:函数关系与相关关系;
②制作散点图,判断线性相关关系
③线性回归方程:
y?bx?a
(最小二乘法)
n
?
x<
br>i
y
i
?nxy
?
?
i?1
?
?<
br>b?
n
2
注意:线性回归直线经过定点
(x,y)
。
2
?
x?nx
?
i
?
i?1
?
?
?
a?y?bx
?2.相关系数(判定两个变量线性相关性):
r?
?
(x
i?1
n
i
?x)(y
i
?y)
n
?
(x
i?1
n
i
?x)
2
?
(y
i
?y)
2
i?1
注:⑴
r
>0时,变量
x,y
正相关;<
br>r
<0时,变量
x,y
负相关;
⑵①
|r|
越接近于1,两个变量的线性相关性越强;②
|r|
接近于0时,两个变量之间几乎不存在线
性相关关系。
3.回归分析中回归效果的判定: <
br>⑴总偏差平方和:
?
(y
i?1
n
n
i
?y
)
⑵残差:
e
i
?y
i
?y
i
;⑶残差平
方和:
?
(yi?yi)
2
;⑷回归平方
2
i?1
??
n
?
和:
?
(y
i?1
n
i
?y)
-
?
(yi?yi)
2
;⑸相关指数
R
2
?1?
2
i?1
?
?
(y
?
(y
i?1
i?1
n
n
i
?y
i
)
2
。
?
i
?y
i
)
2
注:①
R
得
知越大,说明残差平方和越小,则模型拟合效果越好;
②
R
越接近于1,,则回归效果越好。
4.独立性检验(分类变量关系):
随机变量
K
越大,说明两个分类变量,关系越强,反之,越弱。
2
2
2
推理与证明
一.推理:
⑴合情推理:归纳推理
和类比推理都是根据已有事实,经过观察、分析、比较、联想,在进行归纳、类比,
然后提出猜想的推理
,我们把它们称为合情推理。
①归纳推理:由某类食物的部分对象具有某些
特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或
者有个别事实概括出一般结论的推理,称为归
纳推理,简称归纳。
注:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。
②类比推理:由
两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推
理,称为类比推
理,简称类比。
注:类比推理是特殊到特殊的推理。
⑵演绎推理:从一般的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理叫演绎推理。
注:演绎推理是由一般到特殊的推理。
“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:⑴大前提
---------已知的一般结论;⑵小前提---------所研
究的特殊情况;⑶结 论
---------根据一般原理,对特殊情况得出的判断。
二.证明
⒈直接证明
⑴综合法
一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最
后推导出所要证明的
结论成立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。
⑵分析法
一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明
的结论归结为判定一
个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等),这种证明的方法叫分析法。
分析法又叫逆推证法
或执果索因法。
2.间接证明------反证法
一般地,假
设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立,
这种证明
方法叫反证法。
复数
1.概念:
(1)
z
=
a
+
bi∈R
?
b
=0
(
a,b∈R
)
?
z=
z
?
z
2
≥0;
(2)
z
=
a
+
bi
是虚数
?
b
≠0(
a
,
b∈R
);
(3)
z
=
a+b
i是纯虚数
?
a
=0
且
b
≠0(
a,b∈R
)
?
z
+
z
=0(z≠0)
?
z
2
<0;
(4)
a
+<
br>b
i=
c
+
di
?
a
=
c
且
c
=
d
(
a,b,c,d∈R
);
2.复数的代数形式及其运算:
设
z
1
=
a
+
bi
, z
2
=
c
+
di
(
a,b,c,d∈R
),则:
(1)
z
1
±
z
2
= (
a
+
b
)± (
c
+
d
)i;
(2)
z
1
.
z
2
= (
a
+
bi<
br>)·(
c
+
di
)=(
ac
-
bd
)+ (
ad
+
bc
)
i
;
(3)
z
1
÷
z
2
=
(a?bi)(c?di)
?bdbc?ad
(
z
≠0)
?
ac
2
?i
(c?
di)(c?di)
c
2
?d
2
c
2
?d
2
3.几个重要的结论:
(1)
(1
?
i)
2
??
2i
;⑷
1?i
?i;
1?i
??i;
1?i1?i
(2)
i
性质:T=4;
i
4n
?
1,
i
4n?1
?
i
,
i
4n?2
??1
,
i
4n?3
??
i
;
i
4n
?i
4n?1
?i
4?2
?i
4n?3
?0;
(3)
z?1?zz?1?z?
1
。
z
mm
m
nm?nmnmnm
4.运算律:(1)
z?z?z;(2)(z)?z;(3)(z
1
?z
2
)?z
1
z
2
(m,n?N);
5.共轭的性质:⑴
(z
1
?z
2
)?z
1
?z
2
;⑵
z
1
z
2
?z
1
?z
2
;⑶
(
z
1
z
)?
1
;⑷
z?z
。
z
2
z
2
z
1
|z|
|?
1
;⑷
z
2
|z
2
|
6.模
的性质:⑴
||z
1
|?|z
2
||?|z
1
?z
2
|?|z
1
|?|z
2
|
;⑵
|z1
z
2
|?|z
1
||z
2
|
;⑶<
br>|
|z
n
|?|z|
n
.