高中数学必修一典型试题-根号高中数学视频
概率与统计
【2019年高考考纲解读】
1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查.
2.二项式定
理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注．
3.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用.
4.将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力．
5.以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等.
6.在概率与统计的交汇处命题，以解答题中档难度出现．
【重点、考点剖析】
一、排列组合与计数原理的应用
1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理
如果每
种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才
能将规
定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．
2.
名称
相同点
排列
组合
都是从
n
个不同元
素中取
m
(
m
≤
n
)个元素，元素无重复
①排列与顺序有关； ①组合与顺序无关；
②两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素
完全相同
不同点
②两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素
及其排列顺序完全相同
二、二项式定理
1．通项与二项式系数
n
－
rr
Tr
＋1
＝C
r
b
，其中C
r
n
an
(
r
＝0,1,2，…，
n
)叫做二项式系数．
2．各二项式系数之和
(1)C
n
＋C
n
＋C
n
＋…＋C
n
＝2.
(2)C
n
＋C
n
＋
…＝C
n
＋C
n
＋…＝2
三、古典概型与几何概型
1．古典概型的概率公式
m事件A中所含的基本事件数
P(A)＝＝.
n试验的基本事件总数
2．几何概型的概率公式
1302
012
nn
n
－1
.
P(A)＝
构成事件A的区域长度面积或体积
.
试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
四、相互独立事件和独立重复试验
1．条件概率
在A发生的条件下B发生的概率：
P(B|A)＝.
2．相互独立事件同时发生的概率
P(AB)＝P(A)P(B)．
3．独立重复试验、二项分布
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为
P
n
(k)＝
C
n
p(1－p)
kkn－k
，k
＝0,1,2，…，n.
五、离散型随机变量的分布列、均值与方差
1．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；
(2)D(aX＋b)＝aD(X)(a，b为实数)．
2．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
【题型示例】
题型一 排列组合与计数原理
例1、(1)[2018·全国卷Ⅰ]从2位女生，4位男生中
选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不
同的选法共有________种．(用数字填写答
案)
2
(2)[2018·浙江卷]从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,
6中任取2个数字，一共可以组成________个
没有重复数字的四位数．(用数字作答)
【解析】不含有0的四位数有
含有0的四位数有
综上，四位数的个数为720
＋540＝1 260.
【答案】1 260
＝720(个)．
＝540(个)．
【方法技巧】解排列、组合的应用题，通常有以下途径：
(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．
(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．
(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数.
【变式
探究】(2017·全国Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则
不同的安排方式共有________种． 站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不
能最
先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为( )
A．24 B．18
C．16 D．10
解析：分两种情况，第一
种：最后体验甲景区，则有A
3
种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则
有C
2
·A
2
种可选的路线．所以小李可选的旅游路线数为A
3
＋C
2
·A
2
＝10.选D.
答案：D
【变式探究】某
校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在
前三位，且节目
丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )
A．120种
B．156种
C．188种 D．240种
解析：解法一 记演出顺序为1～6号，对丙
、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4
号，4和5号，5和6号，其排法种数分别
为A
2
A
3
，A
2
A
3
，C
2<
br>A
2
A
3
，C
3
A
2
A
3
，C
3
A
2
A
3
，故总编排方案有A
2<
br>A
3
＋A
2
A
3
＋
C
2
A
2
A
3
＋C
3
A
2
A
3
＋C
3
A
2
A
3
＝120(种)．
解法二 记演
出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，
则有C4
A
2
A
3
＝48(种)；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的
情况有3种，共有C
3
A
2
A
3
＝36(种)；③当甲在3
号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C
3
A
2
A
3<
br>＝36(种)．所以编排方案共有48＋36＋36＝120(种)．
答案：A
【变
式探究】中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；“乐”，
主要
指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国
12
3
123123
123123123
232323
12312
3
学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求
：“数”必
须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共
有( )
A．120种 B．156种
C．188种 D．240种
(
2)若自然数
n
使得作竖式加法
n
＋(
n
＋1)＋(
n
＋2)均不产生进位现象，则称
n
为“开心数”．例如：32是
“开心数
”．因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“开心数”，因为23＋24＋25产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为( )
A．9 B．10 C．11 D．12
答案 D
解析 根据题意个位数需要满足要求：
n
＋(
n
＋1)＋(
n
＋2)<10，即
n
<2.3，
∴个位数可取0,1,2三个数，
∵十位数需要满足：3
n
<10，∴
n
<3.3，
∴十位可以取0,1,2,3四个数，故小于100的“开心数”共有3×4＝12(个)．
【感悟提升】(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．
(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．
【变式探究】 (1)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多
抢一
个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同
红包)，则
甲、乙都抢到红包的情况有( )
A．18种 B．24种
C．36种 D．48种
答案 C
解析 若甲、乙抢的是一个6元和一个8元
的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有A
2
A
3
＝12(种)<
br>22
抢法；
若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的，剩下2个红包被
剩下的3人中的2个人抢走，有A
2
A
3
＝12(种)抢
法； 若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有A
2C
3
＝6(种)抢法；
若甲、乙抢的是两个6元的，剩下2个红包被剩下的3
人中的2个人抢走，有A
3
＝6(种)抢法．
根据分类加法计数原理可得甲、乙都抢到红包的情况共有36种．
(2)(2018·百校联
盟联考)某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜
地，分别种植西
红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬
菜，且相邻的两
块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有( )
1
A.9种
B．18种
C．12种 D．36种
答案 B
解析 若种植2块西红柿
，则他们在13,14或24位置上种植，剩下两个位置种植黄瓜和茄子，所以共有3×2
＝6(种)种
植方式；
若种植2块黄瓜或2块茄子也是3种种植方式，所以一共有6×3＝18(种)种植方式．
题型二 二项式定理
2 3 4
2
22
22
?
2
2
?
54
例2、(1)[2018·全国卷Ⅲ]
?
x<
br>＋
?
的展开式中
x
的系数为( )
?
x
?
A．10 B．20
C．40 D．80
?
2
2
?
5
?
2
?
rrr
25－
rr
10－3
r
【解析】
?
x
＋
?
的展开式的通项公式为
Tr
＋1＝C5·(
x
)·
??
＝C5·2·
x
，令10－3
r
＝4，得
r
xx<
br>??
4
??
＝2.故展开式中
x
的系数为C5·2＝40.
故选C.
【答案】C
【变式探究】(2017·浙江)已知多项式(
x<
br>＋1)(
x
＋2)＝
x
＋
a
1
x
＋
a
2
x
＋
a
3
x
＋
a
4
x
＋
a
5
，则
a
4
＝________，
a
5
＝________.
答案 16 4
解析
a
4
是
x
项的系数，由二项式的展开式得
325432<
br>22
1222
a
4
＝C
3
3
·C
2
·2＋C
3
·C
2
·2＝16.
22a
5
是常数项，由二项式的展开式得
a
5
＝C
3
3
·C
2
·2＝4.
【变式探究】(2017·浙江)从6男2女共8名
学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人
服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有
________种不同的选法．(用数字作答)
答案 660
【变式探究】若(1－3
x
)
A．2
C．2
2
018
2 018
＝
a
0
＋
a
1
x
＋…＋
a
2 018
x
2 018
，
x
∈R，则
a
1
·3＋
a
2
·3＋…＋
a
2
018
·3
22 018
的值为( )
－1 B．8
D．8
2 018
－1
22 018
2 0182 018【解析】由已知，令
x
＝0，得
a
0
＝1，令
x
＝3，得
a
0
＋
a
1
·3＋
a
2
·3＋…＋
a
2 018
·3
所以
a
1
·3＋<
br>a
2
·3＋…＋
a
2 018
·3
【答案】B
【方法技巧】
(1)利用二项式定理求解的两种常用思路
22
018
＝(1－9)
2 018
＝8
2
018
，
＝8
2 018
－
a
0
＝8
2
018
－1，故选B.
①二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项
的系数均是利用通项公式和方程思
想解决的．
②二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及
其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给
变量赋值．
(2)【特别提醒】在应用通项公式时，要注意以下几点：
①它表示二项展开式的任意项，只要
n
与
r
确定，该项就随之确定；
②
T
r
＋1
是展开式中的第
r
＋1项，而不是第<
br>r
项；
(2)已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1
万元的工资．每台机器不出现故
障或出现故障能及时维修，就能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生
利润．若该厂现有2名工人，求
该厂每月获利的均值．
【解析】 (1)1台
机器是否出现故障可看作1次试验，在1次试验中，机器出现故障设为事件A，则事件A
1
?<
br>1
?
的概率为.该厂有4台机器，就相当于4次独立重复试验，可设出现故障的机器台
数为X，则X～B
?
4，
?
，
3
?
3
?<
br>1
?
2
?
4
16
01
∴P(X＝0)＝C
4
·
??
＝，P(X＝1)＝
C
4
·· <
br>3
?
3
?
81
?
2
?
3
＝
32
，P(X＝2)＝
C
2
·
?
1
?2
·
?
2
?
2
＝
24
，P(X＝3)
＝
C
3
·
?
1
?
3
·
2
＝
8
，P(X＝4)＝
C
4
·
?
1
?4
＝
1
.
?
3
?
81
4
?
3
??
3
?
81
4
?
3
?
381
4
?
3
?
81
??????????
∴X
的分布列为
X
P
设该厂有n名工人，则“每台机器在任何时刻同时出
现故障时能及时进行维修”为X≤n，即X＝0，X＝1，
X＝2，…，X＝n，这n＋1个互斥事件的
和事件，则
n
P(X≤n)
∵
0
16
81
1
48
81
2
72
81
3
80
81
4
1
0
16
81
1
32
81
2
24
81
3
8
81
4
1
81
7280
＜90%≤，∴该厂至少需要3名工人，才能保证
每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修
8181
的概率不少于90%.
(2)设该厂每月可获利Y万元，则Y的所有可能取值为18,13,8，P(Y＝18)＝P(X＝0)＋P(
X＝1)＋P(X＝2)
＝
7281
，P(Y＝13)＝P(X＝3)＝，P(Y＝8
)＝P(X＝4)＝，
818181
∴Y的分布列为
Y
P
18
72
81
13
8
81
8
1
81
72811
408
则E(Y)＝18×＋13×＋8×＝(万元)．
81818181
1
408
故该厂每月获利的均值为万元．
81
【方法技巧】
(1)求复杂事件概率的两种方法
①直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几
个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事
件同时发生的积事件或一独立重复试验问题，然后用相应概
率公式求解．
②间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立
事件进行求解．对于“至少”“至
多”等问题往往也用这种方法求解．
(2)注意辨别独立重
复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次
试验中，事件发生
的概率相同．
【变式探究】某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛，
本次选拔赛只有
2
出线和未出线两种情况．规定一名运动员出线记1分，未出线记0分．假设甲
、乙、丙出线的概率分别为，
3
33
，，他们出线与未出线是相互独立的．
45
(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；
(2)记在这
次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学
期望Eξ.
解析：(1)记“甲出线”为事件A，“乙出线”为事件B，“丙出线”为事件C，“甲、乙、丙至少有
一名出
线”为事件D，
－－－
11229
则P(D)＝1－P(ABC)＝1－××＝.
34530
所以ξ的分布列为
ξ 0
P
1
30
1
13
60
2
9
20
3
3
10
11393121
Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
3060201060
题型五 离散型随机变量的分布列、均值与方差
例5、[2018·北京卷]电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
电影部数
第一类
140
第二类
50
第三类
300
第四类
200
第五类
800
第六类
510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25
0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率．
(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率．
(3)
假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ξk＝1”表示第k类电影得到
人们喜欢，“ξk＝0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k＝1,2,3,4,5,6)．写出方差Dξ1，
Dξ2，Dξ3，
Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．
【解析】(1)解：由题意知，样本
中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50，
50
故所求概率为＝0.025.
2 000
(2)解：设事件A为“从第
四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件B为“从第五类电影中随机选出的
电影获得好评”． <
br>故所求概率为P(AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)(1－P(B))＋(1－P(A)
)P(B)．
由题意知P(A)估计为0.25，P(B)估计为0.2.
故所求概率估计为0.25×0.8＋0.75×0.2＝0.35.
(3)解：Dξ
1
>Dξ
4
>Dξ
2
＝Dξ
5
>Dξ
3
>Dξ
6
.
【方法技巧】解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路：
(1)明确随机变量可能取哪些值．
(2)结合事件特点选取恰当的计算方法，并计算这些可能取值的概率值．
(3)根据分布列和期望、方差公式求解.
【变式探究】
(2017·全国Ⅲ)某
超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未
售出的酸奶降价处
理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气
温(单位：℃)有
关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为
3
00瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
[10,15
最高气温
)
[15,20)
)
)
)
[20,25[25,30[30,35
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量
X
(单位：瓶)的分布列；
(2)设
六月份一天销售这种酸奶的利润为
Y
(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量
n
(单位：瓶)为多
少时，
Y
的期望达到最大值？
解
(1)由题意知，
X
所有的可能取值为200,300,500，
由表格数据知，
P
(
X
＝200)＝
P
(
X
＝300)＝
P
(
X
＝500)＝
2＋16
＝0.2，
30×3
36
＝0.4，
30×3
25＋7＋4
＝0.4.
30×3
则
X
的分布列为
X
P
200
0.2
300
0.4
500
0.4
(2)由题
意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤
n
≤500
.
当300≤
n
≤500时，
若最高气温不低于25，则
Y<
br>＝6
n
－4
n
＝2
n
；
若最高气温位于区
间[20,25)，则
Y
＝6×300＋2(
n
－300)－4
n<
br>＝1 200－2
n
；
若最高气温低于20，则
Y
＝6×2
00＋2(
n
－200)－4
n
＝800－2
n
，
因此
E
(
Y
)＝2
n
×0.4＋(1 200－2
n
)×0.4＋(800－2
n
)×0.2＝640－0.4
n.
当200≤
n
<300时，
若最高气温不低于20，则
Y
＝6
n
－4
n
＝2
n
；
若最高气温低于
20，则
Y
＝6×200＋2(
n
－200)－4
n
＝80
0－2
n
，
因此
E
(
Y
)＝2
n
×(0.4＋0.4)＋(800－2
n
)×0.2＝160＋1.2
n
.
所以当
n
＝300时，
Y
的期望达到最大值，最大值为520元．
【变式探究】某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，…，8，其中X≥5为标
准A，
X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元件；乙厂执行标准B生产
该产品，
产品的零售价为4元件．假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．
(1)已知甲厂产品的等级系数X
1
的概率分布列如下表所示：
X
1
P
5
0.4
6
a
7
b
8
0.1
且X
1
的数学期望EX
1
＝6，求a，b的值；
(2)为
分析乙厂产品的等级系数X
2
，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个
样本，
数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7
5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X
2
的数学期望；
(3)在(1)，(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明
理由．
注：①产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望产品的零售价；
②“性价比”大的产品更具可购买性．
(3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：
∵甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元件，
6
∴其性价比为＝1，
6
∵乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元件，
4.8
∴其性价比为＝1.2，
4
又1.2＞1，∴乙厂的产品更具可购买性．