高中数学必修2 综合水平测试

|数学?必修2[S]
综合水平测试
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷( 非选择题)两部分．满分150分，考试时间
120分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共60分) < br>一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项 是符合题目要求的)
1．空间有四个点，如果其中任意三点都不在同一直线上，那么经过其中三个
点的平面( )
A．可能有3个，也可能有2个
B．可能有3个，也可能有1个
C．可能有4个，也可能有3个
D．可能有4个，也可能有1个
答案 D
解析 四点可能共面，四点中可能任意三点确定一平面，此时平面个数为四
个．
2．过原点且与圆(x－2)
2
＋y
2
＝3相切的直线方程是( )
A．y＝－2x或y＝2x
B．y＝－3x或y＝3x
C．y＝－2x＋2或y＝2x－2
D．y＝－3x＋2或y＝3x
答案 B
解析 设直线方程为y＝kx，则
|2k|
1＋k
2
＝3，解得k＝±3.
3．如图，点M，N分别是正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的棱BC，CC
1
的中点，
则异面直线AD和MN所成的角为 ( )

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A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 B
解析 由异面直线的定义可知AD与MN所成角即为∠NMC＝45°，故选B.
4．当a为任意实数时，直 线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆
心，5为半径的圆的方程为( )
A．(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝5
B．(x－1)
2
＋(y＋1)
2
＝5
C．(x＋1)
2
＋(y－2)
2
＝5
D．(x＋1)
2
＋(y＋2)
2
＝5
答案 C
解析 直线方程即为a(x＋1)－x－y＋1＝0，恒过直线x＋1＝0与直线－x－y
＋1 ＝0的交点，即C(－1,2)．故所求圆的方程为(x＋1)
2
＋(y－2)
2＝5，故选C.
5．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )
A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直
B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直
C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行
D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直
答案 B
解析 经过直线m有且只有一个平面与平面α垂直．
6．已知某个几何体 的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这
个几何体的体积是( )

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1248
A.
3
cm
3
B.
3
cm
3
C.
3
cm
3
D.
3
cm
3

答案 C
114
解析 由三视图可知，此几何体为三棱锥，三棱锥体积V＝
3
×
2
×2
3
＝
3
(cm
3
)．
7．直线 (a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a
的值为 ( )
3
A．－1 B．1 C．±1 D．－
2

答案 C
解析 本题考查两条直线垂直的条件．由题意可知(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a
＋3)＝0，解得a＝±1.
8．过直线y＝x上的一点P作圆(x－5)
2
＋( y－1)
2
＝2的两条切线l
1
，l
2
，A，B
为 切点，当直线l
1
，l
2
关于直线y＝x对称时，则∠APB＝( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 C
解析 圆(x －5)
2
＋(y－1)
2
＝2的圆心(5,1)，过(5,1)与y＝x垂直 的直线方程x
＋y－6＝0，它与y＝x的交点N(3,3)，N到(5,1)的距离是22，∴∠AP B＝60°.
9．侧棱长为a的正三棱锥P－ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在
一个球面上，则该球的表面积为( )
A.2πa
2
B．2πa
2
C.3πa
2
D．3πa
2

答案 D
3
解析 将三棱锥补形为一正方体，正方体的体对角线即为球的直径，即R＝
2

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a，故表面积为3πa
2
.
10．m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：
①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；
②若α⊥β，m∥α，则m⊥β；
③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；
④若m∥n，n?α，则m∥α.
其中真命题的序号是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
答案 A
解析 根据相关线面关系，可得①③.
11．若动点A(x
1< br>，y
1
)，B(x
2
，y
2
)分别在直线l
1
：x＋y－7＝0和l
2
：x＋y－5＝
0上移动，则AB中点到原点的距 离的最小值为( )
A．32 B．23 C．33 D．42
答案 A
解析 解法一：所求最小值即为与l
1
，l
2
平行且到l
1
，l
2
距离相等的直线x＋y
|－6|
－6＝0到原点的距离，即＝ 32.
2
解法二：所求最小值即为l
1
，l
2
到原点距离 的平均数．
12．直线y＝kx＋3与圆(x－2)
2
＋(y－3)
2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥23，
则k的取值范围为( )
?
33
?
A.
?
－，
?

3
??
3
C．[－3，3]
答案 A
解析 由题意 知圆的圆心为(2,3)，半径为r＝2，所以圆心到直线的距离d满
?
|2k－3＋3|?
3
23
?
2
?
|MN|
?
2
?
2
≤2
2
－
?
??
足，d＝r－
?< br>2
?
，又|MN|≥23，于是有
?
，解得－
?
3< br>??
?
2
?
k
2
＋1
?
??
22
?
3
?
B.
?
－
4
，0
?

??
?
2
?
D.
?
－
3
，0
?

??

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3
≤k≤
3
，选A.
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横
线上)
13．已知α，β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a，
a⊥α，a⊥β；②存在 一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a∥α，
b∥β，a∥β，b∥α；④存在 两条异面直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α.其中
可以推出α∥β的是________． (填序号)
答案 ①④
解析 本题考查线面基本关系的应用．对于②③，平面α与β还可以 相交，
不一定能推出α∥β，所以②③不可以推出α∥β；易知①④可推出α∥β.
14．从 点P(m,3)向圆(x＋2)
2
＋(y＋2)
2
＝1引切线，则切线长的最 小值为
________．
答案 26
解析 本题主要考查圆的切线长度的计算． 由题意得圆心坐标为(－2，－2)，
半径为1.设切线长为l，则l＝? m＋2?
2
＋?3＋2?
2
－1＝?m＋2?
2
＋24≥24＝
26，所以当 m＝－2时，切线长最小，最小值为26.
15．在空间直角坐标系中，已知M(2,0,0)，N( 0,2,10)，若在z轴上有一点D，
满足|MD|＝|ND|，则点D的坐标为________．
答案 (0,0,5)
解析 本题主要考查空间直角坐标系及空间中两点间的距离公式．由点D在
z轴上，可设D(0,0，t)，
再由空间两点间的距离公式得
|MD|＝
|ND|＝
?2－0?
2
＋?0－0?
2
＋?0－t?
2
，
?0－0?
2
＋?2－0?
2
＋?10－t?
2
，

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因为|MD|＝|ND|，所以t＝5，故D(0,0,5)．
16．过点M(1,2)的直 线l与圆C：(x－3)
2
＋(y－4)
2
＝25交于A，B两点，C
为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是________．
答案 x＋y－3＝0
解析 本题主要考查直线与圆的位置关系．点M在圆C内，当∠ACB最小时，
弦AB的长最小 ，所以AB⊥CM，k
CM
＝
程是y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明
过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知在△ABC中，A(3,2)，B(－1,5)，C点在直线3x－y＋3＝0上，若△ABC的面积为10，求点C的坐标．
解 |AB|＝?3＋1?
2
＋?2－5?
2
＝5.
4－2
3 －1
＝1，所以k
l
＝－1，从而直线l的方
∵S
△ABC
＝10，∴AB边上的高为4，即点C到直线AB的距离为4.
设C(a，b)．∵直线AB的方程为3x＋4y－17＝0，
3a－b＋3＝0，
?
?
∴
?
|3a＋4b－17|
＝4，
?
?
5

5
?
a＝－1，
?
a＝
?
3
，
解得
?
或
?
?
?
b＝0
?
b ＝8.



?
5
?
∴点C的坐标为(－1,0) 或
?
3
，8
?
.
??
18．(本小题满分12分 )已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．
(1)若点A(5,0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；
(2)求点A(5,0)到直线l的距离的最大值．
??
?
2x＋y－5＝0，
?
x＝2，
解 (1)由
?
得
?

??
?
x－2y＝0，
?
y＝1.
所以交点坐标为(2,1)．

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当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，
则点A到直线l的距离
|5k＋1－2k|
k
2
＋1
4
＝3 ，解得k＝
3
，
所以l的方程为4x－3y－5＝0；
当l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2 ，符合题意．
故直线l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2.
(2)设直线2x＋y－5＝0与x－2y ＝0的交点为P，由(1)可知P(2,1)，过点P任
意作直线l(如图所示)，设d为点A到直线l 的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时，等
号成立)，

由两点间的距离公式可知|PA|＝10.
即所求的距离的最大值为10.
19． (本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，
PA⊥平面ABCD，A P＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．

(1)求证：EF∥平面PAD；
(2)求三棱锥E－ABC的体积V.
解 (1)证明：在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.
又BC∥AD，∴EF∥AD.
又AD平面PAD，EF
?
平面PAD，

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∴EF∥平面PAD.
(2)过点E作EG∥PA，交AB于点G，如图所示，

1
则EG⊥平面ABCD，且EG＝
2
PA.
在△PAB中，AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2，
2
∴AP＝AB＝2，∴EG＝
2
.
11
又S
△ ABC
＝
2
AB·BC＝
2
×2×2＝2，
∴三棱锥E－ABC的体积
1121
V＝
3
S
△ABC< br>·EG＝
3
×2×
2
＝
3
.
20．(本小 题满分12分)已知圆C：(x－1)
2
＋(y－2)
2
＝25，直线l：( 2m＋1)x
＋(m＋1)y－7m－4＝0.
(1)求证：不论m取何值，直线l与圆C恒交于两点；
(2)求直线l被圆C截得的弦长最小时直线l的方程．
解 (1)证明：直线l的方程可化为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0.
??
?
2x＋y－7＝0，
?
x＝3，
由
?
得
?
??
?
x＋y－4＝0，
?
y＝1，
即l恒过定点A(3,1) ．
∵圆心C(1,2)，∴|AC|＝5<5，
∴点A在圆C内，∴直线l与圆C恒交于两点．
(2)当直线l被圆C截得的弦长最小时，l⊥AC，
1
∵k
AC
＝－
2
，∴k
l
＝2，

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∴所求的直线l的方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0.
21．(本小题满分 12分)如图，多面体EF－ABCD中，已知ABCD是边长为4
的正方形，EF＝2，EF∥AB， 平面FBC⊥平面ABCD.

(1)若M，N分别是AB，CD的中点，求证：平面MNE∥平面BCF；
(2)若在△BCF中，BC边上的高FH＝3，求多面体EF－ABCD的体积V.
解 (1)证明：∵M，N分别是AB，CD的中点，
∴MN∥BC，∴MN∥平面BCF.
1
又EF∥AB，EF＝2＝
2
AB，∴EF綊MB，
∴四边形BMEF是平行四边形，∴ME∥BF，
∴ME∥平面BCF.
又∵MN
?
平面BCF，ME
?
平面BCF，
且MN∩ME＝E，∴平面MNE∥平面BCF.
(2)∵平面FBC⊥平面ABCD，FH⊥BC，AB⊥BC，
∴FH⊥平面ABCD，AB⊥平面BCF，
∴FH是四棱锥E－AMND的高，MB是三棱柱BCF－MNE的高．
∴多面体EF－ABCD的体积
V＝V
E－AMND
＋V
BCF－MNE

1
＝< br>3
S
AMND
·FH＋S
△BCF
·MB
11
＝
3
×4×2×3＋
2
×4×3×2＝20.
22．(本小题满分12分)设圆C：x
2
＋y
2
－4x＝0，点M(1, 0)．

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(1)求圆C关于点M对称的圆E的方程；
(2)若直线l过点N(2,4)且与圆E相切，求l的方程．
解 (1)由题知，圆C的圆心为C(2,0)，
半径为r＝2，
易知点C(2,0)关于点M(1,0)的对称点为O(0,0)，
∴圆E的方程为x
2
＋y
2
＝4.
(2)设直线l的方程为m(y－4)＝x－2，
即x－my＋4m－2＝0，
∵直线l与圆E相切，
∴点O到直线l的距离等于圆的半径，
即
|4m－ 2|
m
2
＋1
4
＝2，解得m＝0或m＝
3
，
∴所求l的方程为x＝2或3x－4y＋10＝0.