《高考数学总复习系列》高中数学必修二

7.4球面积、体积公式：S
球
?4
?
R,V
球
?
2
4
3
?
R
（其中R为球的半径）
3

（二）空间几何体的三视图与直观图
根据最近几年高考形式上看，三视图的考察已经淡化，所以同学只需了解即可
1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。
2.三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；
正视图——光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图；
侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；
正视图——光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图；
注：（1）俯视图画在正视图 的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右边，“高度”与正
视图相等，“宽度”与俯视图 。（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”.
（2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。
3.直观图：
3.1直 观图——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平行投影下画
出的空间 图形。
3.2斜二测法：
step1：在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，（即取
?xoy?90?
）；
(or135?)
，它们确定的平面表示水平step2：画直观图时，把它画成对应的 轴
o'x',o'y'
，取
?x'o'y'?45?
平面；
ste p3：在坐标系
x'o'y'
中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平 行于x轴（或
在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半。
结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的
2
倍.
4
解决两种常见的题型时应注意：
（1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”.
（2）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。

二 点、直线、平面之间的位置关系
（一） 平面的基本性质
1.平面——无限延展，无边界
1.1三个定理与三个推论
公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
用途：常用于证明直线在平面内.
图形语言： 符号语言：

公理2：不共线的三点确定一个平面. 图形语言：
．．．
推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 图形语言：
推论2：两条相交直线确定一个平面. 图形语言：
推论3：两条平行直线确定一个平面. 图形语言：
用途：用于确定平面。
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公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集 合是一条直线（两个平面的
交线）.
用途：常用于证明线在面内，证明点在线上.
图形语言： 符号语言：
形语言，文字语言，符号语言的转化：


（二）空间图形的位置关系
?
共面:ab=A,ab
1.空间直线的位置关系：
?

异 面:a与b异面
?
平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述：ab,bc?ac

等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
异面直线：（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；
（2）判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线是异面直线。
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P
a
图 形语言：
?
A
P?
?
?
A?
?
?
?
符号语言：
与a异面

?
?PA
a?
??
A?a
?
?
异面直线所成的角：（1）范围：
?
?< br>?
0?,90?
?
；（2）作异面直线所成的角：平移法.
如右图， 在空间任取一点O，过O作
a'a,b'b
，则
a',b'
所成的
a '
?
角为异面直线
a,b
所成的角。特别地，找异面直线所成的角时，经常< br>把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点（如线段中点，端点
等）上，形成异面直线所成的 角.
a
b
?
?
b'
O
?
l?
?
?
2.直线与平面的位置关系：
?
?
l
?
?A

l?
?
?
?
?
l
?
?
图形语言：

?
平行：
?

?
?
3.平面与平面的位置 关系：
?
?
斜交：
??
=a

?
相交?
垂直：
?
?
?
?
?
（三）平行关系（包括线 面平行，面面平行）
1.线面平行：
①定义：直线与平面无公共点.
ab
?
?
②判定定理：
a?
?
?
?a
?
（线 线平行
?
线面平行）【如图】
b?
?
?
?
??
③性质定理：
a?
?
?
?ab
（线面平行
?
线线平行）【如图】
??
?b
?
?
④判定或证明线面平行 的依据：（i）定义法（反证）：
l
a
?
?
???l
?（用于判断）；（ii）判定定理：
ab
?
?

?
??
a?
?
?
?a
?
“线线平行
?
面面 平行”（用于证明）；（iii）
?
?a
?
“面面平行
?
线 面
a?
?
?
b?
?
?
?
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b?a
?
?
平行”（用于 证明）；（4）
b?
?
?
?a
?
（用于判断）；
a?
?
?
?
2.线面斜交：
l
?
?A
< br>P
①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜
线与该斜线在 平面内射影的夹角。【如图】
PO?
?
于O，则AO是PA
在平面
?
内的射影， 则
?PAO
就是直线PA与平面
?
所成的角。
范围：
?< br>?
?
0?,90?
?
，注：若
l?
?
或l< br>?
，则直线
l
与平面
?
所成的
角为
0?；若
l?
?
，则直线
l
与平面
?
所成的角为< br>90?
。
3.面面平行：
①定义：
?
A
?
?
O
?
???
?

?
；
②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；
符号表述：
a,b?
?
,a
O
a
?
?
b? O,a
?
,b
?
?
?

?
【如下图①】
O
a
?
O
a'
?
b
bb'

图① 图②
推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行
符号表述：
a,b?
?
,ab?O,a',b'?
?
,aa',b b'?
?

?
【如上图②】
判定2：垂直于同一条直线的两个平面 互相平行.符号表述：
a?
?
,a?
?
?
?

?
.【如右图】
③判定与证明面面平行的依据：（1）定义法；（2）判定定
用）（3）判定2
?< br>?
a
理及推论（常
?

?
?
④面面平行的性质 ：（1）
?
?a
?
（面面平行
?
线
a?
?
?
面平行）；（2）
?

?
?
?
??
?a
?
?ab
；（面面平行
?
线线平行）（3）夹在两个平行平面 间的平行线段相等。【如图】
??
?b
?
?

（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）
1.线面垂直
①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。
符号表述： 若任意
a?
?
,
都有
l?a
，且
l?
?< br>，则
l?
?
.
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a,b?
?
?
ab?O
?
??
②判定定理：
l?
?
?
?l?
?
（线线垂直
?
线面垂直）
?
l?a
?
l?b
?
?< br>③性质：（1）
l?
?
,a?
?
?l?a
（线面垂直
?
线线垂直）；（2）
a?
?
,b?
?
?ab；
④证明或判定线面垂直的依据：（1）定义（反证）；（2）判定定理（常用）；（3）
ab
?
?
?b?
?
（较
a?
?
?
?
?
?
?
?

?
?
a
?
?b
?
?
常用）；（4）
?
?a?
?
；（5）?
?a?
?
（面面垂直
?
线面垂直）常用；
a??
?
a?
?
?
a?b
?
?
⑤三垂线定 理及逆定理：
（I）斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段与斜线段中，
PO?< br>?
（1）斜线相等
?
射影相
等；（2）斜线越长
?
射 影越长；（3）垂线段最短。【如图】
P
PB?PC?OB?OC
；
PA?P B?OA?OB

（II）三垂线定理及逆定理：已知
PO?
?
，斜 线PA在平面
?
内的射影
为OA，
a?
?
，
①若
a?OA
，则
a?PA
——垂直射影
?
垂直斜线，此为 三垂线定
O
B
理；
?
A
C
②若
a? PA
，则
a?OA
——垂直斜线
?
垂直射影，此为三垂线定
P
理的逆定理；
三垂线定理及逆定理的主要应用：（1）证明异面直线垂直；（2）作、 证二面
角的平面角；（3）作点到线的垂线段；【如图】
a
A
O
3.2面面斜交
?
①二面角：（1）定义：【如图】
OB?l,OA?l??AOB是二面角
?
－l?
?
的平面角

范围：
?AOB?[0?,180?]

②作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线法（常用）；（3）
垂面法.
3.3面面垂直
（1）定义：若二面角
?
?l?
?
的平面 角为
90?
，则
?
?
?
；
（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平
面互相垂直. ?
a
B
a?
?
?
?
?
?
?< br>?
（线面垂直
?
面面垂直）
a?
?
?
（3 ）性质：①若
?
?
?
，二面角的一个平面角为
?MON
，则
?MON?90?
；
?
A
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?
?
?
?
a
?
?AB< br>?
?
②
?
?a?
?
（面面垂直
?
线 面垂直）；
a?
?
?
a?AB
?
?
?
?
A
a
?
a
B
A
③
?
?
?
?
A?
?
?
?
?
?a?
?
A?a
?
a?
?
?
?
.
?
?
?
?
?
?
?a?
?
或a
?
a?
?
?
④

二、基础题型（必懂）
1、概念辨析题：
（1）此题型一般出现在填空题，选择题中，解题方法可采用排除法，筛选法等。
（2）对于 判断线线关系，线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提
下，利用长 方体，正方体，实物等为模型来进行判断。你认为正确的命题需要证明它，你认为错误
的命题必须找出反 例。
（3）相关例题：课本和辅导书上出现很多这样的题型，举例说明如下：
例：（09年 北京卷）设m，n是两条不同的直线，
?
,
?
,
?
是三个不 同的平面，给出下列四个说法：①
m?
?
,n
?
?m?n
； ②
?

?
,
?

?
,m?
?
?m?
?
；③
m
?
,n
?
?mn

④
?
?
?
,
?
?
?
?
?

?
，说法正确的序号是：_________________
2、证明题。证明平行关系，垂直关系等方面的问题。
（1）基础知识网络：
平行与垂直关系可互相转化
平行关系
1.
a?
?
,b?
?
?ab

2.
a?
?
,ab?b?
?

3.
a?< br>?
,a?
?
?
?

?

4.
?

?
,a?
?
?a?
?
< br>5.
?

?
,
?
?
?
?
?< br>?
?


判定推论 判定
性质
垂直关系
平面几何知识 平面几何知识
线线平行
判定
线线垂直
性质
判定
性质 面面垂直定义
判定
面面垂直

线面平行
三、趋近高考（必懂）
面面平行 线面垂直
1.（2010全国卷2理）已知正四 棱锥
S?ABCD
中，
SA?23
，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为
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（A）1 （B）
3
（C）2 （D）3
【答案】C
【解析】设底面边长为a，则高所以体积，
设，则，当y取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，
此时，故选C.
[B] 2.（2010陕西文）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
（A）2
（C）




（B）1
（D）

2

3
1

3
1
2
?1?2?2
2
?1

2
1
【答案】 B
【解析】 如图，该立体图形为直三棱柱，所以其体积为

3.（2010辽宁文）已知
S,A, B,C
是球
O
表面上的点，
SA?平面ABC
，
AB?BC
，
SA?AB?1
，
BC?2
，则球
O
的表面积等于
（A）4
?
（B）3
?
（C）2
?
（D）
?

【答案】A
【解析 】选A.由已知，球
O
的直径为
2R?SC?2
，
?
表面积 为
4
?
R
2
?4
?
.

4.（2010安徽文）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是
（A）372 （B）360
（C）292 （D）280
【答案】B
【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的
全 面积加上面长方体的4个侧面积之和。
S?2(10?8?10?2?8?2)?2(6?8?8?2)?360
.
【方法 技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易
知道是两个长方体的组合体，画出直观 图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全
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面积加上面长方体的4个侧面积之和。
5.（2010重庆文）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点
（A）只有1个 （B）恰有3个
（C）恰有4个 （D）有无穷多个
【答案】 D
【解析】放在正方体中研究,显然，线段
OO
1
、EF、FG、GH、
HE的中点到两垂直异面直线AB、CD的距离都相等，
所以排除A、B、C，选D
亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB、CD的距离相等
6.（2010浙江文）若某几何体的三视图（单位：cm）
如图所示，则此几何体的体积是
352
3
cm
3
320
3
（B）cm
3
224
3
（C）cm
3
160
3
（D）cm
3
（A）
【答案】B < br>【解析】选B，本题主要考察了对三视图所表达示的
空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属 容易题
7.（2010福建文）若一个底面是正三角形的三棱柱的正
所示,则其侧面积等于 ( )
．．．
A．
3

C．
23

【答案】D
【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为




B．2
D．6

< br>视图如图
2?
3
?4?23
，侧面积为
3?2?1?6
，选D．
4
8.（2010全国卷1文）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点， 若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积
的最大值为
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(A)
234383
(B) (C)
23
(D)
333
【答案】B
【解析 】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为
h
,则有< br>112
43
V
四面体ABCD
??2??2?h?h
,当直径 通过AB与CD的中点时,
h
max
?22
2
?1
2
?23
,故
V
max
?

323
3
第二章 平面解析几何初步
一、基础知识（理解去记）
1．解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线
与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条
曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。如x
2
+y
2
=1是以原点为圆心 的单位圆的方程。
2．求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的 点的集合；(3)用坐标表示条件，
列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适 合方程的解的对应点都在曲线上，且曲线
上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。
3 ．直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x轴正方向所成的小于180
0
的正角，叫做它的倾 斜角。规定
平行于x轴的直线的倾斜角为0
0
，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做 该直线的斜率。根据直线上一点
及斜率可求直线方程。
4．直线方程的几种形式：【必会】【必考】
（1）一般式：Ax+By+C=0；
（2）点斜式：y-y
0
=k(x-x
0
)；
（3）斜截式：y=kx+b；
（4）截距式：
xy
??1
；
ab
（5）两点式：
x?x
1
y?y
1
；
?
x
2
?x
1
y
2
?y
1
（6 ）法线式方程：xcosθ+ysinθ=p（其中θ为法线倾斜角，|p|为原点到直线的距离）；
?
?
x?x
0
?tcos
?
（7）参数式：
?（其中θ为该直线倾斜角），t的几何意义是定点P
0
（x
0
, y0
）到动点P
?
y?y?tsin
?
0
?
（x , y）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若P
0
P方向向上则取正，否则取负）。
5．到角与夹角：若直线l
1
, l
2
的斜率分别为k
1
, k
2
，将l
1
绕它们的交点逆时针旋转到与l
2
重合所转过的最小
正角叫l
1
到l
2
的角；l
1
与l
2
所成的角中不超过90
0的正角叫两者的夹角。若记到角为θ，夹角为α，则tan
θ=
k?k
1
k
2
?k
1
,tanα=
2
.
1?k
1
k
2
1?k
1
k
2
6．平行与垂直：若直线l1
与l
2
的斜率分别为k
1
, k
2
。且两者 不重合，则l
1
l
2
的充要条件是k
1
=k
2；l
1
?
l
2
的充要条件是k
1
k
2
=-1。
22
7．两点P
1
(x
1
, y
1
)与P
2
(x
2
, y
2
)间的距离 公式：|P
1
P
2
|=
(x
1
?x
2)?(y
1
?y
2
)
。
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8．点P(x
0
, y
0
)到直线l: Ax+By+C=0的距离公式：
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22
。
9．直线系的方程 ：若已知两直线的方程是l
1
：A
1
x+B
1
y+C
1
=0与l
2
：A
2
x+B
2
y+C
2
=0，则过l
1
, l
2
交点的直线
方程为A
1< br>x+B
1
y+C
1
+λ(A
2
x+B
2y+C
2
=0；由l
1
与l
2
组成的二次曲线方程为（ A
1
x+B
1
y+C
1
）（A
2
x+B< br>2
y+C
2
）
=0；与l
2
平行的直线方程为A1
x+B
1
y+C=0(
C?C
1
).
10．二元一次不等式表示的平面区域，若直线l方程为Ax+By+C=0. 若B>0，则Ax+B y+C>0表示的区域
为l上方的部分，Ax+By+C<0表示的区域为l下方的部分。
1 1．解决简单的线性规划问题的一般步骤：（1）确定各变量，并以x和y表示；（2）写出线性约束条件
和线性目标函数；（3）画出满足约束条件的可行域；（4）求出最优解。
12．圆的标准方程：圆心是点(a, b)，半径为r的圆的标准方程为(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
，其参数方程为
?
?
x? a?rcos
（θ为参数）。
?
?
y?b?rsin
?
1 3．圆的一般方程：x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0(D
2
+E
2
-4F>0)。其圆心为
?
?
若点P(x
0
, y
0
)为圆上一点，则过点P的切线方程为
1
?
DE
?
D
2
?E
2
?4F
。
,?
?
，半径为
2
?
22
?
?
x
0
?x
??
y
0
?y
?
??
x
0
x?y
0
y?D
?
?E
?
2
??
2
?
?
?F?0.
①
????
14．根轴：到两圆的切线长相等的点的轨迹 为一条直线（或它的一部分），这条直线叫两圆的根轴。给定
如下三个不同的圆：x
2
+y
2
+D
i
x+E
i
y+F
i
=0, i=1, 2, 3. 则它们两两的根轴方程分别为
(D
1
-D
2
)x+(E
1
-E
2
)y+(F
1
-F
2
)=0; (D
2
-D
3
)x+(E
2
-E
3)y+(F
2
-F
3
)=0; (D
3
-D
1
)x+(E
3
-E
1
)y+(F
3
-F
1
)=0。不难证明这三条直
线交于一点或者互相平行，这就是著名的蒙日定理。
二、基础例题（必会）
1．坐标系的选取：建立坐标系应讲究简单、对称，以便使方程容易化简。
例1 （经典例题） 在ΔABC中，AB=AC，∠A=90
0
，过A引中线BD的垂线与BC交于 点E，求证：∠
ADB=∠CDE。
[证明] 见图10-1，以A为原点，AC所在直线 为x轴，建立直角坐标系。设点B，C坐标分别为（0,2a）,(2a,0)，
xy
??1< br>， ①直线BC方程为x+y=2a， ②设直线BD和AE
a2a
11
的斜率分别为k
1
, k
2
，则k
1
=-2。因为BD
?
AE，所以k
1
k< br>2
=-1.所以
k
2
?
，所以直线AE方程为
y?x
，
22
则点D坐标为（a, 0）。直线BD方程为
1
?
?
y?x,
?
42
?
由
?
解得点E坐标为
?
a,a
?
。
2
?
33
?
?
x? y?2a
?
所以直线DE斜率为
k
3
?
0
2
a
3
4
a?a
3
?2.
因为k
1
+k< br>3
=0.
所以∠BDC+∠EDC=180，即∠BDA=∠EDC。
例2 （经典例题）半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。证明：三角形另两条边截
数学 必修2 第 13 页 共 20 页

圆所得的弧所对的圆心角为60。
[证明] 以A为原点，平行于正三角形ABC的边BC的直线为x轴，建立直角坐标系见图10-2 ，设⊙D的
半径等于BC边上的高，并且在B能上能下滚动到某位置时与AB，AC的交点分别为E，F ，设半径为r，则
直线AB，AC的方程分别为
y?3x
,
y??3x
.设⊙D的方程为(x-m)+y=r.①设点E，F的坐标分别为
(x
1
,y1
),(x
2
,y
2
)，则
y
1
?3 x
1
,y
2
??3x
2
，分别代入①并消去y得
2
(x
1
?m)
2
?3x
1
2
?r
2
?0.(x
2
?m)
2
?3x
2
?r
2
?0.

222
0
所以x
1
, x
2< br>是方程4x
2
-2mx+m
2
-r
2
=0的两根。
m
?
x?x?,
12
?
2
?
由韦达定理< br>?
?
，所以
22
?
xx?
m?r
12?
4
?
|EF|
2
=(x
1
-x
2< br>)
2
+(y
1
-y
2
)
2
=(x< br>1
-x
2
)
2
+3(x
1
-x
2< br>)
2

=4(x
1
+x
2
)
2-4x
1
x
2
=m
2
-(m
2
-r< br>2
)=r
2
.
所以|EF|=r。所以∠EDF=60
0
。
2．到角公式的使用。
例3 设双曲线xy=1的两支为C
1
，C
2
，正ΔPQR三顶点 在此双曲线上，求证：P，Q，R不可能在双曲线
的同一支上。
[证明] 假设P，Q，R 在同一支上，不妨设在右侧一支C
1
上，并设P，Q，R三点的坐标分别为
?
1
?
x,
?
1
x
1
?
??
1??
,x,
??
2
x
2
??
?
?1
?
?
,x,
?
?
3
x
3
?
?
?
?
?
,
且01
2< br>3
. 记∠RQP=θ，它是直线QR到PQ的角，由假设知直线QR，PQ
?
11
11
?
?
xx
2
xx
2
1
1
的斜率分别为
k
1
?
3
，
k
2
?
1
??.

??
x
1
?x
2
x
1
x
2
x
3
?x
2
x
2
x
3
?
11
?
x
1
x
2
x
2
x
3
x(x
1
?x
3
)
?
2
2
?0.

1
x
1
x
2
x
3
?1
1?
2
x
1
x
2
x< br>3
由到角公式
tan
?
?
k
2
?k
1
?
1?k
1
k
2
所以θ为钝角，与ΔPQR为等边三角形 矛盾。所以命题成立。
3．代数形式的几何意义。
例4 求函数
f(x)?
[解] 因为
f(x)?
x
4
?3x< br>2
?6x?13?x
4
?x
2
?1
的最大值。 (x
2
?2)
2
?(x?3)
2
?(x
2?1)
2
?(x?0)
2
表示动点P(x, x
2
)到两定点A(3, 2), B(0, 1)
的距离之差，见图10-3，当A B延长线与抛物线y=x
2
的交点C与点P重合时，f(x)取最大值|AB|=
10 .

4．最值问题。
例5 已知三条直线l
1
: mx-y+m=0, l
2
: x+my-m(m+1)=0, l
3
: (m+1)x-y+m+1=0围成ΔABC，求m为何值时，
ΔABC的面积有最大值、最小值。
数学必修2 第 14 页 共 20 页

[解]记l
1
, l
2
, l
3
的方程分别为①，②，③。在①，③中取x=-1, y=0，知等式成立，所以A(-1, 0)为l
1
与l
3
的
交点；在②，③中取x=0, y=m+1，等式也成立，所以B(0, m+1)为l
2
与l
3
的交点。设l
1
, l
2
斜率分别为k
1
, k
2
,
若m
?
0，则k
1
?k
2
=
m
?
?
?< br>1
?
?
??1
, S
m
??
，|BC|=< br>Δ
ABC
=
1
|AC|?|BC|
，由点到直线距离公式2
|AC|=
|?1?m
2
?m|
1?m
2
?
|m
2
?m?1|
m?1
2
|?m?1?m|
1? m
2
?
1
1?m
2
。
3
1m
2
?m?11
?
m
?
2
2
所以S
Δ
ABC
=
?
。因为2m≤m+1，所以S≤。又因为-m-1≤2m，所以
? 1?
ΔABC
??
22
4
22
?
m?1
?
m?1
1m1
?
2
，所以S
ΔABC
≥
.

2
m?1
4
31
当m=1时，（S
ΔABC）
max
=；当m=-1时，（S
ΔABC
）
min
= .
44
?
5．线性规划。
例6 设x, y满足不等式组
?
?
1?x?y?4,

y?2?|2x?3|.
?
（1）求点(x, y)所在的平面区域；
（2）设a>-1，在（1）区域里，求函数f(x,y)=y-ax的最大值、最小值。
?
1?x?y?4,
?
1?x?y?4,
??
[解] （1 ）由已知得
?
y?2?2x?3,
或
?
y?2?3?2x,

?
2x?3?0,
?
2x?3?0.
??
解得点(x, y )所在的平面区域如图10-4所示，其中各直线方程如图所示。AB：y=2x-5；CD：y=-2x+1； AD：
x+y=1；BC：x+y=4.
(2) f(x, y)是直线l: y-ax=k在y轴上的截距，直线l与阴影相交，因为a>-1，所以它过顶点C时，f(x, y)最
大，C点坐标为（-3，7），于是f(x, y)的最大值为3a+7. 如果-1最小，此时值为-2a-1；如果a>2，则l通过B（3，1）时，f(x, y)取最小值为-3a+1.
6．参数方程的应用。
例7 如图10-5所示，过原点引 直线交圆x
2
+(y-1)
2
=1于Q点，在该直线上取P点，使P到直线y =2的距
离等于|PQ|，求P点的轨迹方程。
[解] 设直线OP的参数方程为
?
?
x?tcos
?
（t参数）。
?
y?tsin
?
代入已知圆的方程得t
2
-t?2sinα=0 .
所以t=0或t=2sinα。所以|OQ|=2|sinα|，而|OP|=t.
所以|PQ|=|t-2sinα|，而|PM|=|2-tsinα|.
所以|t-2sinα|=|2-tsinα|. 化简得t=2或t=-2或sinα=-1.
22
当t=±2时，轨迹方程为x+y=4；当sinα=1时，轨迹方程为x=0.
7．与圆有关的问题。
例8 点A，B，C依次在直线l上，且AB=ABC，过C作l的 垂线，M是这条垂线上的动点，以A为圆心，
AB为半径作圆，MT
1
与MT
2
是这个圆的切线，确定ΔAT
1
T
2
垂心 的轨迹。
[解] 见图10-6，以A为原点，直线AB为x轴建立坐标系，H为OM与圆的交点，N为T1
T
2
与OM的交点，
数学必修2 第 15 页 共 20 页

记BC=1。
22
以A为圆心的圆方程为x+y=16， 连结OT
1
，OT
2
。因为OT
2
?
MT
2
，T
1
H
?
MT
2
，所以OT
2
HT
1
，同理OT
1
HT
2
，
又OT
1
=OT
2
，所以OT
1
HT
2
是菱形。所以2ON =OH。
又因为OM
?
T
1
T
2
，OT
1
?
MT
1
，所以
OT
1
2
?
O N?OM。设点H坐标为（x,y）。
点M坐标为(5, b)，则点N坐标为
?
,
22
by
?
xy
?
2
?
，将坐标代入OT
1
=ON?OM，再由
?
得
5x
?
22
?
16
???
16
?
2
?
x?
?
?y?
??
.

5
???
5
?
在 AB上取点K，使AK=
4
AB，所求轨迹是以K为圆心，AK为半径的圆。
5
例9 已知圆x
2
+y
2
=1和直线y=2x+m相交 于A，B，且OA，OB与x轴正方向所成的角是α和β，见图
10-7，求证：sin(α+β)是定 值。
[证明] 过D作OD
?
AB于D。则直线OD的倾斜角为
?
?
?
2
，因为OD
?
AB，所以2?
tan
?< br>?
?
2
??1
,
所以
tan
?
?
?
2
1
??
。所以
sin(
?
?
?
)?
2
4
2
??.

5
?
?< br>?
?
?
1?tan
2
??
?
2
?< br>2tan
?
?
?
例10 已知⊙O是单位圆，正方形ABCD的一边AB是⊙O的弦，试确定|OD|的最大值、最小值。
[解] 以单位圆的圆心为原点，AB的中垂线为x轴建立直角坐标系，设点A，B的坐标分别为A(c osα,sin
α),B(cosα,-sinα)，由题设|AD|=|AB|=2sinα，这里不 妨设A在x轴上方，则α∈(0,π).由对称性可
设点D在点A的右侧（否则将整个图形关于y轴作对 称即可），从而点D坐标为(cosα+2sinα,sinα)，
22
所以|OD|=(cos
?
?2sin
?
)?sin
?
?4sin2
?
?4sin
?
cos
?
?1

=
2(sin2
?
?cos2
?
)?3?
?
??3?22sin
?
2
?
?
?
.

4< br>??
因为
?22?22sin
?
2
?
?
当< br>?
?
?
?
?
?
?
?22
，所以2?1?|OD|?2?1.

4
?
37
?
时，|OD |
max
=
2
+1；当
?
?
?
时，|OD |
min
=
2?1.

88
例11 当m变化且m≠0时 ，求证：圆(x-2m-1)
2
+(y-m-1)
2
=4m
2
的圆心在一条定直线上，并求这一系列圆
的公切线的方程。
?
a?2m?1,
[证明] 由
?
消去m得a-2b+1=0.故 这些圆的圆心在直线x-2y+1=0上。设公切线方程为y=kx+b，
b?m?1
?
则由相切有2|m|=
|k(2m?1)?(m?1)?b|
1?k
2
，对 一切m≠0成立。即(-4k-3)m
2
+2(2k-1)(k+b-1)m+(k+b-1)
2
=0
对一切m≠0成立
数学必修2 第 16 页 共 20 页

3
?
k??,
?
?4k?3?0,
?
37
?
4
所以
?
即
?
当k不存在时直 线为x=1。所以公切线方程y=
?x?
和x=1.
44
?
k?b ?1?0,
?
b?
7
.
?
4
?
三、趋近高 考【必懂】
1.（2010江西理）8.直线
y?kx?3
与圆
?
x?3
?
?
?
y?2
?
?4
相交于M,N两点，若
MN?23
，
则k的取值范围是
22
3
??
?< br>3
?
?，0??，?
?
??
4
?
?
A.
?
4
?
B.
?
【答案】A < br>?
33
?
?
2
?
?，
??
0，?? ?，0
?
??
?
33
?
D.
?
3
?
C.
?
【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考察
结合的运用. < br>解法1：圆心的坐标为（3.，2），且圆与y轴相切.当
|MN|?23时
，
到直线距离公式，解得
[?,0]
；
数形
由点
3
4
解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可， 不取
??
，排除B，考虑区间不对称，排除
C，利用斜率估值，选A
2.（2010安徽文）（4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是
（A）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D）x+2y-1=0
【答案】A
【解析】设 直线方程为
x?2y?c?0
，又经过
(1,0)
，故
c??1，所求方程为
x?2y?1?0
.
【方法技巧】因为所求直线与与直线x-2y -2=0平行，所以设平行直线系方程为
x?2y?c?0
，代入此直
线所过的点的坐 标，得参数值，进而得直线方程.也可以用验证法，判断四个选项中方程哪一个过点（1，
0）且与直线 x-2y-2=0平行.
?
x?2?cos
?
,
3.（2010重 庆文）（8）若直线
y?x?b
与曲线
?
（
?
?[0,2< br>?
)
）有两个不同的公共点，则
y?sin
?
?
实数
b
的取值范围为
（A）
(2?2,1)
（B）
[2?2,2?2]

（C）
(??,2?2)
【答案】D
数学必修2 第 17 页 共 20 页
(2?2,??)
（D）
(2?2,2?2)

解析：
?
?
x?2?cos
?
,
化为普通方程
(x?2)
2
? y
2
?1
，表示圆，
?
y?sin
?
2?b2
?1,
解得
2?2?b?2?2
因为直线与圆有两个不同的交点，所 以
法2：利用数形结合进行分析得
AC?2?b?
同理分析，可知
2?2?b ?2?2

2,?b?2?2

?
3
?
x?3?3 cos
?
,
4.（2010重庆理）(8) 直线y=
x?2
与圆心 为D的圆
?
?
?
?
?
?
0,2
?
?
?
交与A、B
3
?
?
y?1?3sin
?
两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为
A.
7545
?
B.
?
C.
?
D.
?

3
643
【答案】C
解析：数形结合
?1?
?
?30
?

?2?30
?
?
?
?
?

由圆的性质可知
?1??2

?
?
?30
?
?30
?
?
?
?
?

故
?
?
?
?
4
?

3
5.（2010广东文）

6.（2010全国卷1理）（11）已知圆
O
的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么
PA?PB的最小值为
数学必修2 第 18 页 共 20 页

(A)
?4?2
(B)
?3?2
(C)
?4?22
(D)
?3?22


7.（2010安徽 理）9、动点
A
?
x,y
?
在圆
x
2
?y
2
?1
上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。
已知时间t?0
时，点
A
的坐标是
(,
函数的单调递增区间是
A、
?
0,1
?

【答案】 D
B、
?
1,7
?

13
)
，则当
0?t?12
时，动点
A
的纵坐标
y
关于
t
（单位 ：秒）的
22
C、
?
7,12
?
D、
?
0,1
?
和
?
7,12
?

【解析】画出图形，设动点A与
x
轴正方向夹角为
?
，则
t?0< br>时
?
?
?
3
，每秒钟旋转
?
，在
t ?
?
0,1
?
上
6
??
3
?
7< br>?
?
?[,]
，在
?
7,12
?
上
?
?[,]
，动点
A
的纵坐标
y
关于
t
都 是单调递增的。
3223
【方法技巧】由动点
A
?
x,y
?
在圆
x
2
?y
2
?1
上绕坐标原点沿逆时针方向 匀速旋转，可知与三角函数的定
义类似，由12秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度，画出单位圆，很容易 看出，当t在
[0,12]
变化时，点
A
的纵坐标
y
关于< br>t
（单位：秒）的函数的单调性的变化，从而得单调递增区间.
8.（2009江苏卷18）（本小题满分16分）
在平面直角坐标系
xoy中，已知圆
C
1
:(x?3)
2
?(y?1)
2
?4
和圆
C
2
:(x?4)
2
?(y?5)
2< br>?4
.
（1）若直线
l
过点
A(4,0)
，且被圆
C
1
截得的弦长为
23
，求直
线
l
的方程 ；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂
直的直线
l
1
和
l
2
，它们分别与圆
C
1
和圆
C< br>2
相交，且直线
l
1
被圆
C
1
截得的弦长与 直线
l
2
被圆
C
2
截得的弦长相等，试求所有满足
条件的点P的坐标。
【解析】 (1)设直线
l
的方程为：
y?k(x? 4)
，即
kx?y?4k?0

由垂径定理，得：圆心
C
1
到直线
l
的距离
d?4
2
?(
23
2)?1
，
2
数学必修2 第 19 页 共 20 页

结合点到直线距离公式，得：
|?3k?1?4k|
k?1
2
?1,

化简得：
24k?7k?0,k?0,or,k??求直线
l
的方程为：
y?0
或
y??
2
7
24
7
(x?4)
，即
y?0
或
7x?24 y?28?0

24
(2) 设点P坐标为
(m,n)
，直线
l
1
、
l
2
的方程分别为：
111
y?n?k (x?m),y?n??(x?m)
，即：
kx?y?n?km?0,?x?y?n?m?0< br>
kkk
因为直线
l
1
被圆
C
1
截 得的弦长与直线
l
2
被圆
C
2
截得的弦长相等，两圆半径相 等。
由垂径定理，得：：圆心
C
1
到直线
l
1
与
C
2
直线
l
2
的距离相等。
41
|?? 5?n?m|
k
故有：
|?3k?1?n?km|
?
k
，
2
1
k?1
?1
k
2
化简得：
(2?m? n)k?m?n?3,或(m?n?8)k?m?n?5

?
2?m?n?0
?
m-n+8=0
关于
k
的方程有无穷多解，有：
?
,或
?
m?n?3?0m+n-5=0
??
解之得：点P坐标为
(?
3
,
13
)
或
(
5
,?
1< br>)
。
22
22



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