高中数学必修一必修二的知识总结

log
a
b?
1
,log
a
b?logb
c?log
c
d?log
a
d

log
b
a
4．对数函数及其性质：
（1）对数函数：
一般地，形如
y?log
a
x(a?0,a?1)
的函数，叫做对数函数；其 中
x
是自变量，函数的定
义域为
?
0,??
?
。（ 2）对数函数的图象与性质：
指数函数
y?log
a
x(a?0,a?1)
的图象与性质

图
象
定义域
值域
（1）过定点
（2）单调性
0?a?1


a?1


?
0,??
?

R

（1，0），即
x?1
时
y?0

在
?
0,??
?
上是减函数
在
(0,??)
上是增函数
性
质
0?x?1
时
y?0
；
（3）范围
0?x?1
时
y?0
；
x?1
时
y?0
；
x?1
时
y?0
；
5．幂函数：
（1）幂函数定义：
一般地，形如
y?x
的函数 ，叫做幂函数；其中
x
是自变量，
a
是常数。
（2）幂函数的图象与性质：

a
y?x

y?x
2


y?x
3


y?x


1
2
y?x
?1


图象

定义域
值域
奇偶性
对称性
R

R

奇函数
原点对称
R

R

R

奇函数
原点对称
?
0,??
?

?
0,??
?

无
?
xx?0
?

?
0,??
?

偶函数
?
yy?0
?

奇函数
原点对称
y
轴对称

?
??,0
?
上递减
单调性
在
R
上递增 在
R
上递增
?
0,??
?
上递增
公共点
6．函数图象变换
平移变换：左右平移与上下平移
?
0,??
?
上递增
?
??,0
?
及
?
0,??
?
上递减
?
1,1
?

翻折变换：如何由
y?f(x)
图象 得到
y?f(x),y?f(x)
图象
对称变换：如何由
y?f(x)图象得到
y?f(?x),y??f(x),y??f(?x)
图象

第三章 函数的应用
一、函数与方程
1．方程的根与函数的零点：
（ 1）函数的零点：对于函数
y?f(x)
，我们把使
f(x)?0
的实数x
叫做函数
y?f(x)
的零点。
（2）方程的根与函数的零点的关系：
方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点
?
函数< br>y?f(x)
有零点
（3）方程的根与函数的零点存在性定理：
一般地，我们有：
如果函数
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
f(a)?f(b)?0
，
那么， 函数
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
内有零点，即存在c?
?
a,b
?
，使得
f(c)?0
，这个
c
也就
是方程
f(x)?0
的根。
2．二分法：
（1）二分法定义：
对于区间
?
a,b
?
上连续不断且< br>f(a)?f(b)?0
的函数
y?f(x)
，通过不断地把函数
f( x)
的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法
（2）给定精度
?
，用二分法求函数
f(x)
零点近似 值得基本步骤：
1. 确定区间
?
a,b
?
，验证
f(a )?f(b)?0
，给定精度
?
；
2. 求区间
?
a,b)
?
的中点
c

3. 计算
f(c)

（1）若
f(c)?0
，则
c
就是函数的零点；
（2）若
f(a)?f(c)?0
，则令
b?c
（此时零点
x
0?(a,c)
）；
（3）若
f(c)?f(b)?0
，则令
a ?c
（此时零点
x
0
?(c,b)
）；
4. 判断是否达 到精度
?
：即若
a?b??
，则得到零点近似值
a
（或b
）；否则重复2~4。
二、函数模型及其应用：
1．几类不同增长的函数模型：
一次函数型（直线型）：均匀上升
指数型：爆炸式上升
对数型：缓慢式上升
幂函数型：爆炸或缓慢式上升
2．函数模型的应用：
必 修 二
第一章 空间几何体
1.空间几何体的结构

（1）柱、锥、台、球的结构特征：
棱柱：定义，基本元素（底面、侧面、侧棱、顶点），表示方法
棱锥：定义，基本元素（底面、侧面、侧棱、顶点），表示方法
棱台：定义，基本元素（底面（上、下）、侧面、侧棱、顶点），表示方法
圆柱：定义，基本元素（底面、侧面、轴、母线），表示方法
圆锥：定义，基本元素（底面、侧面、轴、母线），表示方法
圆台：定义，基本元素（底面、侧面、轴、母线），表示方法
球：定义，基本元素（球心、半径（直径）），表示方法
（2）简单组合体：一种是由简单几何体拼接，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而
成
2.空间几何体的三视图和直观图
（1）中心投影与平行投影：投影，投影线，投影面；中心投影，平行投影
（2）空间几何体的三视图
三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下
画三视图的原则：长对正（正视、俯视有长）、 高平齐（正视、侧视有高）、宽相等（侧
视、俯视有宽）
（3）直观图：斜二测画法

平面图形斜二测画法
① 确定坐标系：
x
?
o?
y
?
（
?x
?
o
?
y
?< br>?45
0
）
② 平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
③ 平行于
y
轴的线长度变半，平行于
x
，
z
轴的线长度不变；
几何体斜二测画法：
一画轴 二画底面 三画侧棱 四成图
3. 空间几何体的表面积与体积
（1）空间几何体的表面积
棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和
圆柱的表面积
S?2?rl?2?r

2
圆锥的表面积
S?
?
rl?
?
r
2
圆台的表面积
S??(R
2
?r
2
?Rl?rl)< br>
球的表面积
S?4
?
R

（2）空间几何体的体积
柱体的体积
V?S
底
?h

2
1
S
底
?h

3
1
台体的体积
V?（S
上
?S
上
S
下
?S
下
) ?h

3
4
3
球体的体积
V?
?
R

3
锥体的体积
V?

第二章 点、直线、平面之间的位置关系
1.空间点、直线、平面之间的位置关系
（1）平面含义：平面是无限延展的
（2）平面的画法及表示
① 平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45，
且横边画成邻边的2倍长（如图）
② 平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平 面β等，也可以用表示平面的平
行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD等。
（3） 三个公理：
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
符号表示为：A∈L，B∈L， 且A∈α，B∈α
?l??

0
D
α
C
A B
A
α
·


L

公理1作用：判断直线是否在平面内
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据
2.空间中直线与直线之间的位置关系
（1）空间的两条直线有如下三种关系：

共面直线：相交直线（同一平面内，有且只有一个公共点）
平行直线（同一平面内，没有公共点）
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
（2）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b， c∥b
?
a∥c
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
（3）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
（4）异 面直线所成的角：已知异面直线
a,b
，经过空间任一点
O
作直线
a
?
a,b
?
b
，则
a
?
与
b?
所成的锐角（或直角）叫做异面直线
a
与
b
所成的角（或夹角 ）
①
a
?
与
b
?
所成的角的大小只由
a,b
的相互位置来确定，与
O
的选择无关，为简便，点
O
一般取在 两直线中的一条上或空间图形的特殊位置上；
α
β
·

L
P
α
·

C
·

·

A B
?
② 两条异面直线所成的角
??(0,
?
；
2
?
?
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
3.空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
平行问题：
（1）直线与平面有三种位置关系：
直线在平面内——有无数个公共点
直线与平面相交——有且只有一个公共点
直线在平面平行——没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用
a??
来表示

a??
a???Aa?

（2）直线与平面平行的判定
直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内
的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
a??,b??,且ab?a?

（3）平面与平面平行的判定
两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平
行。
简记为：线面平行，则面面平行
符号表示：
a??,b??,a?b?P,a?,b????

判断两平面平行的方法有三种：
①用定义；
②判定定理；
③垂直于同一条直线的两个平面平行。
（4）直线与平面、平面与平面平行的性质
定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行，则线线平行
符号表示：
a?,a??,????b?ab

作用：利用该定理可判断直线的平行问题。
结论：
a??,b??,a??b?

定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
简记为：面面平行，则线线平行。
符号表示：
??,a???a,????b?ab

作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
结论：夹在两平行平面间的平行线段相等。
垂直问题：
α
a

b

（5）直线与平面垂直
①定义：如果直线
l
与平面
?
内的任意一条直线都垂直，我们就说直线
l
与平面
?
互
相 垂直，记作
l
⊥
?
，直线
l
叫做平面
?
的 垂线，平面
?
叫做直线
l
的垂面。如图，直
线与平面垂直时,它们唯 一公共点
P
叫做垂足。
②判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂
直。
符号表示：
l?a,l?b,a??,b??,a?b?P?l??

a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
重要结论：
ab,a???b?a

③直线与平面所成的角：
如图 ：
PA
是平面
?
的一条斜线，
A
为斜足，
PO是平面
?
的一条垂线，
l

?

P

P

?

A

O

O
为 垂足；则直线
AO
为斜线
PA
在平面内
?
上的射影.
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角
(6)平面与平面垂直
①二面角（图形）
概念：从一直线出发的两个半平面所组成 的图形(如图)，这条直线叫
做二面角的棱（
AB
），两个半平面（
?,?< br>）叫做二面角的面
记法：二面角
P?AB?Q或P?l?Q或?-l??
等
二面角的平面角： 如图：在平面
?
和
?
内分别作垂直于棱
l
的射线
?

M

O

A

?P

l

N

B

?Q

OM,ON
,则射线
OM和ON
构成的
?MON
叫做二面角的平面角
二面角的平面角的做法：垂线法与垂面法
当二面角的平面角为直角时叫做直二面角。
②两个平面垂直：
?

定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
记作：
???
画法（略）
判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
图形（略） 符号：
a??,a??????

性质：
定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 符号：
a??,b???ab

定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号：
???,????l,a??,a?l?a??


第三章 直线与方程
1.直线的倾斜角和斜率
①直线的倾斜角的概念：
当直线
l
与
x
轴相交时, 取
x
轴作为基准, < br>x
轴正向与直线
l
向上方向之间所成的角α
叫做直线
l
的倾斜角.
特别地,当直线
l
与
x
轴平行或重合时, 规定α= 0°.
倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°. 当直线
l
与
x
轴垂直时, α= 90°.
②直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表
示,也就 是 k = tanα
当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线
l
的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
③直线的斜率公式:
给定两点
P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
),且x
1
?x
2；则直线
PP
12
的斜率为
k?
2.两条直线的平行与垂直 < br>①两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的
斜率相 等，那么它们平行，即
注意前提条件，若情况特殊则特殊判断
②两条直线都有斜率，如果它们 互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的
斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1

注意前提条件，若情况特殊则特殊判断
3. 直线的方程
直线的点斜式方程：直线

y
2
?y
1

x
2
?x
1
l
经过点
P
0
(x
0
,y
0
)
，且斜率为
k
的直线方程：
y?y
0?k(x?x
0
)

直线的斜截式方程：已知直线
l
的 斜率为
k
，且与
y
轴的交点为
(0,b)
（
b< br>为直线
l
在
y
轴上的截距），
y?kx?b

直线的两点式方程：已知两点
P
其中
(x
11
(x
1
,x
2
),P
2
(x
2
,y
2
)
线方程为：
?x
2
,y
1
?y
2
)
，则直
y?y
1
x?x
1

?
y
2
?y
1
x
2
?x
1
直线的截距式方程：已知直线
l
与
x
轴的交点为A
(a,0)
，与
y
轴的交点为 B
(0,b)
，其
中
a?0,b?0
，则直线方程为
xy< br>??1

ab
直线的一般式方程：关于
x,y
的二元一次方程
Ax
注意：理解各种直线方程得推导过程
会对特殊情况进行分类讨论
各种直线方程之间的互化
4.直线的交点坐标与距离公式
两直线的交点坐标：联立方程组求解即可
?By?C?0
（A，B不同时为0） < br>两点间的距离公式：若
P
，则
PP
12
?
1
(x
1
,x
2
),P
2
(x
2
,y
2
)
(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2

点到直线距离公式：点
P(x0
,y
0
)
到直线
l:Ax?By?C?0
的距离为：
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
两平行线间的距离公式：
已知两条平行线直线
l
1
和
l
2
的一般式方程为
l
1
：
Ax?By?C
1< br>?0
，
l
2
：
Ax?By?C
2
?0
，则
l
1
与
l
2
的距离为
d?
C
1
?C
2
A?B
22


第四章 圆与方程
1. 圆的标准方程
（1）圆的标准方程：
(x?a)?(y?b)?r
圆 心为
A(a,b)
,半径为
r
；特别：
x?y?1
（单位圆）
（2）点
M(x
0
,y
0
)
与圆(x?a)?(y?b)?r
的关系的判断方法：
222
22222
( x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
>
r
2
，点在圆外
(x
0
?a)
2
?(y< br>0
?b)
2
=
r
2
，点在圆上

(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
<
r
2
，点在圆内
2.圆的一般方程
（1）圆的一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

（2）圆的一般方程 的特点：
x
和
y
2
的系数相同，且不等于0，没有xy这样的二次< br>项，
D
2
?E
2
?4F?0

(3) 圆的 一般方程与标准方程相比，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的
标准方程则指出了圆心坐 标与半径大小，几何特征较明显。
3.直线与圆的位置关系
（1）
d,r
法：
当
d?r
时，直线
l
与圆
C
相离；当
d?r
时，直线
l
与圆
C
相切；当
d?r
时，直线
l
与圆
C
相交。
（2）
?
法：
当
??0
时，直线
l
与圆
C
相交；当
??0
时，直线
l
与圆
C
相切 ；当
??0
时，直线
l
与
圆
C
相离。
4. 圆与圆的位置关系
设两圆的连心线长为
l
，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1 ）当
l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆C
2
相离；
（2）当
l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆
C
2
外切；
（3）当
|r
1
?r
2
|?l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆
C
2
相交；
（4）当
l?|r
1
?r
2
|
时，圆
C
1
与圆
C< br>2
内切；
（5）当
l?|r
1
?r
2
|< br>时，圆
C
1
与圆
C
2
内含。

5.直线与圆的方程的应用

（1）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；

（2）过程与方法

用坐标法解决几何问题的步骤：
2

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几
何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
6.空间直角坐标系
（1）空间直角坐标系：坐标原点，坐标轴，坐标平面；右手直角坐标系
（2）在空间直角坐 标系中，任一点M对应着唯一确定的有序实数组
(x,y,z)
，
x
P
O
R
M
Q
M'
y
x
、
y、
z
分别是P、Q、R在
x
、
y
、
z
轴上的坐标；反之有序实数组
(x,y,z)
，对应着
空间直角坐标系中的一点。 < br>（3）空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组
(x,y,z)
来表示，该数组
叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M
(x,y,z)
，
x
叫做点M
的横坐标，
y
叫做点M的纵坐标，
z
叫做点M的竖坐标。
会建空间直角坐标系，会确定点的坐标
7.空间两点间的距离公式
空间中任意一点
P
1
(x
1
,y
1
,z
1
)到点
P
2
(x
2
,y
2
,z
2
)
之间的距离公式
x
N
1
O
M
1
M< br>M
2
H
N
2
y
N
P
1
z< br>P
2
P
1
P
2
?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
? (z
1
?z
2
)
2