高中数学教学发散思维研究论文-高中数学微积分在哪本书里
…
…
…
线
…
…
…
…
○…
…
…
…
…
…
…
线
……
…
…
○
…
…
…
…
高一数学必修二第二章经典练习题
第I卷(选择题)
请修改第I卷的文字说明
评卷人
A. 相交
B. 异面 C. 平行 D.异面或相交
6. 设四棱锥P
-ABCD的底面不是平行四边形,用平面α去截此四棱锥
(如图),使得截面四边形是平行四边形,则
这样的平面α( )
_
_
_
_
_
_
_
得分
一、单项选择
…
_
_
…
○_
_
…
:
○
…
号
…
…
考…
_
…
_
…
_
订
_
…
__
订
…
_
_
…
_
…
_
…_
…
:
…
…
级
…
○
班
…_
○
_
_
…
…
_
_
…
…_
_
_
…
…
_
_
…
装
_:
装
…
名
…
…
姓
…
…
__
…
…
_
_
…
○
_
_
_○
…
_
_
…
…
_
_
…
…:
校
…
…
学
…
外内
……
……
……
……
○○
……
……
……
……
1.
在空间,下列哪些命题是正确的( ).
①平行于同一条直线的两条直线互相平行
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行
A.不存在 B.只有1个
C.恰有4个 D.有无数
③平行于同一个平面的两条直线互相平行
多个
④垂直于不一个平面的两条直线互相平行
A.仅②不正确
B.仅①、④正确
7.
设P是△ABC所在平面外一点,P到△ABC各顶点的距离相等,而且P
C.仅①正确
D.四个命题都正确
到△ABC各边的距离也相等,那么△ABC( )
A 是非等腰的直角三角形 B 是等腰直角三角形
2. 如果直线
a是平面α的斜线,那么在平面α内( )
C 是等边三角形
D 不是A、B、C所述的三角形
A 不存在与a平行的直线 B
不存在与a垂直的直线
C 与a垂直的直线只有一条 D
与a平行的直线有无数条
8. 已知正四棱锥
S?ABCD
的侧棱长与底面边长都相
等,
E
是
SB
的中
点,则
AE,SD
所成的角的余弦值为( )
3.
平面α内有一四边形ABCD,P为α外一点,P点到四边形ABCD各边的
距离相等,则这个四边形
( )
A.
1
A 必有外接圆 B 必有内切圆
C 既有内切圆又有外接圆
3
B.
2
3
C.
3
2
3
D.
3
D
必是正方形
9. 正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中,E、F分别是AA
1
与CC
1的中点,则直线ED
4. 已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,P
A=2AB,
与D
1
F所成角的大小是 ( )
则下列结论正确的是( )
A.PB⊥AD
B.平面PAB⊥平面PBC
A.
1
5
B。
1
1
3
3
C。
2
D。
2
C.直线BC∥平面PAE D.直线PD与平面ABC所成的角为45°
5. 若
a
,
b
是异面直线,直线
c
∥
a
,则
c
与
b
的位置关系是( )
10. 已知空间两条不同的直线m,n和两个不同的平面
?
,
?
,
则下列命题中
第1页 共14页 ◎ 第2页 共14页
p>
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
正确的是( )
A.若
m
?
,n?
?
,则mn
B.若
?
?
?
?m,m?n,则n?
?
C.若
m
?
,n
?
,则mn
11. 在三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点
D
是
D.若
m
?
,m
?
?
,
??
?n,则mn
_
_
_
_
_
_
_
…
_
_
…
○
_
_
…
:
○
…
号
…
…
考
…
_
…
_
…
_
订
_
…
_
_
订
…
_
_
…
_
…
_
…
_
…
:
…
…
级
…
○
班
…
_
○
_
_
…
…
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
_
…
装
_
:
装
…
名
…
…
姓
…
…
_
_
…
…
_
_
…
○
_
_
_
○
…
_
_
…
…
_
_
…
…
:
校
…
…
学
…
外
内
……
……
……
……
○○
……
……
……<
br>……
15. 在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,
O
为正方形
ABCD
中心,则
A
1
O
与平
侧面
BB
1
C
1
C
的中心,则
AD
与平面
BB
1
C
1
C所成角的大小是 ( )
面ABCD所成角的正切值为( )
A.
30
B.
45
C.
60
D.
90
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A.
2
B.
2
2
C.1 D.
3
3
12.
已知直线
l
、
m
,平面
?
、
?
,且l?
?
,
m?
?
,则
?
?
是
l?m
16. 在正方体
ABCD?A
1
B
1
C<
br>1
D
1
中,若
E
是
A
1
C
1
的中点,则直线
CE
垂
的 直于( )
A
.充要条件
B
.充分不必要条件
C
.必要不充分条件
D
.既不充分也不必要条件
A
AC
B
BD
C
A
1
D
D
A
1
D
1
13. 设
b,c
表示两条直线,
?
,
?
表示两个平面,下列命题中是真命题的是
1
7. 四条不共线的线段顺次首尾连接,可确定平面的个数是( )
A.1 B.3
C.4 D.1或4
( )
A.
b?
?
?
18. 设a,b为两条直线,α,β为两个平面,下列四个命
题中真命题是
c
?
?
?bc
B.
b?
?
?
bc
?
?
?c
?
?
( )
A.若a,b与α所成角相等,则a∥b
B.若a∥α,b∥β,α⊥β,则a⊥b
C.
c
?
?
c?
?
?
?
?
?
?
?
D.
c
?
?
?
?
?
?
?
?c?<
br>?
C.若a?α,b?β,a⊥b,则α⊥β
D.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b
14.
在下列四个正方体中,能得出
AB
⊥
CD
的是( )
第3页
共14页 ◎ 第4页 共14页
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
D
·
P
A
B
C
_
_
_
_
_
_
_
19.
如图正四面体D-ABC中, P∈面DBA, 则在平
小为( )
A.30°
B.45° C.60° D.90°
24.
直线a∥平面α,平面α内有n条直线交于一点,那么这n条直线
中与直线a平行的( )
A.至少有一条 B.至多有一条 C.有且只有一条 D.不可能有
25.
若平面外的一条直线上有两个点到一个平面的距离相等,则这条直
…
_
_
…<
br>○
_
_
…
:
○
…
号
…
…<
br>考
…
_
…
_
…
_
订
_
…<
br>_
_
订
…
_
_
…
_
…
_<
br>…
_
…
:
…
…
级
…
○
班<
br>…
_
○
_
_
…
…
_
_
…<
br>…
_
_
_
…
…
_
_
…
装<
br>_
:
装
…
名
…
…
姓
…
…<
br>_
_
…
…
_
_
…
○
_
_<
br>_
○
…
_
_
…
…
_
_
…<
br>…
:
校
…
…
学
…
外内
……
……
……
……
○○
……
……
……
……
面D
AB内过点P与直线BC成60°角的直线共有 ( ) 线和这个平面的位置关系是( )
A. 0条 B. 1条 C. 2条 D.
3条 A.平行 B.相交 C.垂直 D.平行或相交
20.
已知AA
是两条异面直线的公垂线段,E、F分别是异面直线上任意两26.
直线与平面平行的充要条件是( )
点,那么线段AA
与EF的长度关系是 ( )
A.直线与平面内的一条直线平行 B。直线与平面内的两条直线
A
EF
B EF≤AA
C
EF>AA
D EF≥ AA
不相交
C.直线与平面内的任一直线都不相交 D。直线与平行内的无数条直
21.
已知
?
、
?
是平面,
m
、
n
是直线,下列命题中不正确的是(
)
线平行
A.若
m
∥
n
,
m??
,则
n?
?
B.若
m?
?
,
m?
?
,
27. 下列四个结论:
⑴两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行。
则
?
?
?
⑵两条直线没有公共点,则这两条直线平行。
⑶两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行。
C.若
m?
?
,
m?
?
,则
?
∥
?
D.若
m
∥
?
,
?
?
?
?n
,<
br>⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平
面平行。
则
m
∥
n
其中正确的个数为( )
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
22. 三个角是直角的四边形( )
A.一定是矩形
B.一定是空间四边形
28. 如图,正方体
AC
1
的棱长为1
,过点
A
作平面
A
1
BD
的垂线,垂足为
C.是四个角为直角的空间四边形 点
H
.则以下命题中错误
..
的是(
)
D.不能确定
23.
如图长方体中,AB=AD=2
3
,CC
1
=
2
,则二面角
C
1
—BD—C的大
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…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
_
_
_
_
_
_
_
(A)平行 (B)相交
(C)垂直
(D)互为异面直线
33. 已知a、b、c均是直线,则下列命题中,必成立的是 (
)
A. 若a⊥b,b⊥c,则a⊥c B.
若a与b相交,b与c相交,则a与
c也相交
C. 若ab,bc,则ac D. 若a
与b异面,b与c异面,则a与
…
_
_
…
○
_
_<
br>…
:
○
…
号
…
…
考
…
_<
br>…
_
…
_
订
_
…
_
_
订<
br>…
_
_
…
_
…
_
…
_
…<
br>:
…
…
级
…
○
班
…
_
○<
br>_
_
…
…
_
_
…
…
_
_<
br>_
…
…
_
_
…
装
_
:
装<
br>…
名
…
…
姓
…
…
_
_
…<
br>…
_
_
…
○
_
_
_
○
…<
br>_
_
…
…
_
_
…
…
:
校<
br>…
…
学
…
外内
……
……
……
……<
br>○○
……
……
……
……
c也是异面直线
A.点
H
是
?A
34. 在正四棱锥P-
ABCD中,点P在底面上的射影为O,E为PC的中点,
1
BD
的垂心
B.
AH
垂直平面
CB
1
D
1
则直线AP与OE的位置关系是( )
C.
AH
的延长线经过点
C
A.平行
B.相交 C.异面 D.都有可
1
D.直线
AH
和
BB
1
所成角为
45
能
29. 空间四边形ABCD中,AC⊥BD,且AC=BD,E,F,G,
H分别是AB,BC,
CD,DA的中点,则四边形EFGH是( )
35. 三
棱锥P-ABC的四个顶点都在体积为
500π
3
的球的表面上,△ABC所
A.菱形 B.矩形 C.梯形 D.正方形 在的小圆面积为16π,则该三棱锥的高的最大值为( )
A.7 B.7.5
30.
命题:(1)一个平面的两条斜线段中,较长的斜线段有较长的射影;C.8 D.9
(2)两条异面直线在同一平面内的射影是两条相交直线;(3)两条平行
直线在同一平面内的射影是两条平行直线;(4)一个锐角在一个平面内36. 已知三棱锥
S
?ABC
中,底面
ABC
为边长等于2的等边三角形,
SA
的射影一
定是锐角。以上命题正确的有 ( ) 垂直于底面
ABC
,
SA<
br>=3,那么直线
AB
与平面
SBC
所成角的正弦值为
A 0个 B 1个 C 2个 D3个 (
)
31. 正四棱锥
P?ABCD
的所有棱长相等,
E
为
PC
的中点,那么异面直
(A)
357
线
BE
与
PA
所成角的余弦值等于( )
4
(B)
4
(C)
(D)
3
4
4
A.
1
22
2
B.
2
C.
3
D.
3
3
37.
已知a,b是两条不重合的直线,
?
,
?
是两个不重合的平面,下列
命题中正确的是( )
32. 对于任意的直线
l
与平面
?
,在
平面
?
内必有直线
m
,使
m
与
l
A.
ab
,
b
?
,则
a
?
(
)
B. a,
b?
?
,
a
?
,
b<
br>?
,则
?
?
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…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
_
_
_
_
_
_
_
C.
a?
?
,
b
?
,则
a?b
D.
当
a?
?
,且
b?
?
时,若
b
∥
?
,则
a
∥
b
38.
与空间四点距离相等的平面共有( )
A.3个或7个 B.4个或10个
C.4个或无数个 D.7个或无数个
位置关系,构造出一个条件,使之能判断出
?
⊥
?
,这个条件可以
是 .
42. 已知三个平面α、β、γ,α
∥β∥γ,a,b是异面直线,a与α,
β,γ分别交于A、B、C三点,b与α、β、γ分别交于D、
E、F三点,
连结AF交平面β于G,连结CD交平面β于H,则四边形BGEH必为
…
_
_
…
○
_
_
…
:
○
…
号
…
…
考
…
_
…
_
…
_
订
_
…
_
_
订
…
_
_
…
_
…
_
…
_
…
:
…
…
级
…
○
班
…
_
○
_
_
…
…
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
_
…
装
_
:
装
…
名
…
…
姓
…
…
_
_
…
…
_
_
…
○
_
_
_
○
…
_
_
…
…
_
_
…
…
:
校
…
…
学
…
外内
……
……
……
……
○○
……
……
…
…
……
39. 已知直线
l
,
m
与平面
?
,
?
,
?
满足
??
?l,l
?
,m??
,
m?
?
,则
__________.
有( )
(A)
?
?
?
且
m
?
(B)
?
?
?
且
l?m
(C)
m
?
且
l?m
(D)
?
?
且
?
?
?
40.
在棱长为1的正方体ABCD-
A
1
B
1
C<
br>1
D
1
中,
A
1
C
与平面ABCD所成的角
11题图
为( )
?
A、
6
B、
arctan
3
?
3
C、
3
D、
43.
m
、
n
为直线,
?
、?
为平面,给出下列命题:
arctan
2
2
<
br>①若
m?
?
,
m?
?
,则
?
??
;
第II卷(非选择题)
请修改第II卷的文字说明
②若
m?
?
,
n?
?
,
m
、
n
是异
面直线,则
?
?
?
;
评卷人 得分
③若
m?<
br>?
,
n?
?
,
m
∥
?
,
n
∥
?
,则
?
∥
?
;
二、填空题
④若
?
?
?
?m
,
n
∥
m
,
n?
?
,
n?
?
,则
n
∥
?
且
n
∥
?
.
41. 已
知直线
a
和平面
?
,
?
,试利用上述三个元素并借助于它们
之间的
其中正确命题序号是 .
第9页 共14页
◎ 第10页 共14页
…
…
…
线…
…
…
…
○
…
…
…
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
……
…
…
44. 已知平面
?
,
?
,
?
,直线
l,m
满足:
?
?
?
,
?
那么
?
?m,
??
?l,l?m
,
(2)求三棱锥D-PAC的体积;
47.
如图,直角梯形
ABCD
中,
AB∥CD
,
AD?AB
,
CD?2AB?4
,
①
m?
?
;
②
l?
?
; ③
?
?
?
;
④
?
?
?
.
可由上述条件可推出的结论有
(请将你认为正确的结论的序号
都填上).
AD?2
,
E
为CD
的中点,将
?BCE
沿
BE
折起,使得
CO?DE
,其
中点
O
在线段
DE
内.
(1)求证:
CO?
平面
ABED
;
_
_
_
_
_
_
_
…
_
_
…
○
_
_
…
:
○
…
号
…
…
考
…
_
…
_
…
_
订
_
…
_
_
订
…
_
_
…
_
…
_
…
_
…
:
…
…
级
…
○
班
…
_
○
_
_
…
…
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
_
…
装
_
:
装
…
名
…
…
姓
…
…
_
_
…
…
_
_
…
○
_
_
_
○
…
_
_
…
…
_
_
…
…
:
校
…
…
学
…
外
内
……
……
……
……
○○
……
……
……<
br>……
(2)问
?CEO
(记为
?
)多大时,
三棱锥
C?AOE
的体积最大? 最大值
45.
已知平面
?
,
?
和直线,给出条件:
为多少?
①
m
?
;②
m?
?
;③
m?
?
;④
?
?
?
;⑤
?
?
.
(i)当满足条件 时,有
m
?
;(ii)当满足条件
时,有
m?
?
.
(填所选条件的序号)
48. 如图,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO
?
面ABCD,E是PC的中点.
评卷人 得分
求证:(1)PA∥平面BDE
三、解答题
(2)平面PAC
?
平面BDE
P
46.
如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形,且PA=AD=1,AB=2,
E
?PAB?120
,
?PBC?90
.
D
C
O
AB
49.
如图,已知四棱台ABCD –A
1
B
1
C
1
D
1
的侧棱AA
1
垂直于底面ABCD,底面
ABCD是边长为2的正
方形,四边形A
1
B
1
C
1
D
1
是边长为
1的正方形,DD
1
=2.
(1)求证:平面
PAD?
平面
PAB
;
( I)求证:
平面A
1
ACC
1
⊥平面B
1
BDD
1
;
第11页 共14页 ◎ 第12页 共14页
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
(Ⅱ)求四棱台ABCD -
A
1
B
1
C
1
D
1
的体积;
(Ⅲ)求二面角B—C
1
C—D的余弦值.
A
?
C
?
H
?
O
1
?
D
?
O
2
?
E
?
_
_
_
_
_
_
_
B
?
G
…
_
_
…
○
_
_
…
:
○
…
号
…
…
考
…
_
…
_
…
_
订
_
…
_
_
订
…
_
_
…
_
…
_
…
_
…
:
…
…
级
…
○
班
…
_
○
_
_
…
…
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
_
…
装
_
:
装
…
名
…
…
姓
…
…
_
_
…
…
_
_
…
○
_
_
_
○
…
_
_
…
…
_
_
…
…
:
校
…
…
学
…
外内
……
……
……<
br>……
○○
……
……
……
……
50. 如图所示的几何体是将高为2,底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面
切开后,将其中一
半沿切面向右水平平移后得到的.
A,A
?
,B,B
?
分别为
CD
,
C
?
D
?
,
DE
,
D<
br>?
E
?
的中点,
O
1
,O
1
?,O
2
,O
2
?
分别为
CD
,
C?
D
?
,
DE
,
D
?
E
?
的中点.
(1)证明:
O
1
?
,A
?
,O
2
,B
四点共
面;
(2)设
G
为
AA
?
中点,延长
A
?
O
1
?
到
H
?
,使得
O
1?
H
?
?A
?
O
1
?
.证明:
BO
2
?
?
平面
H
?
B
?
G<
br>.
第13页 共14页 ◎
A
C
D
O
2
E
B
第14页 共14页
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参考答案
一、单项选择
1.【答案】B
【解析】①该命题就是平行公理
,即课本中的公理4,因此该命题是正确的;②如图,
直线
a
?
平面
?
,
b?
?
,
c?
?
,且
b?c?A,则
a?b
,
a?c
,即平面
?
内两条
直交直
线
b
,
c
都垂直于同一条直线
a
,但
b
,
c
的位置关系并不是平行.另外,
b
,
c
的位置关系也可以
是异面,如果把直线
b
平移到平面
?
外,此时与
a
的位置关
系仍是垂
直,但此时,
b
,
c
的位置关系是异面.
③如图,在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,易知
A
1
B
1
平面ABCD
,A
1
D
1
平面ABCD
,
但
A
1B
1
?A
1
D
1
?A
1
,因此该命题
是错误的.
④该命题是线面垂直的性质定理,因此是正确的.综上可知①、④正确.
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】D
【解析】∵
AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直,∴A不成立;又平面PAB⊥平面
PAE,∴平面PAB
⊥平面PBC也不成立;∵BC∥AD,∴BC∥平面PAD,∴直线BC∥平面
PAE也不成立.在R
t△PAD中,PA=AD=2AB,∴∠PDA=45°,∴D正确.
5.【答案】D
6.【答案】D
【解析】设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m、n,直线m、n确定了一
个平面β.
作与β平行的平面α,与四棱锥的各个侧面相截,则截得的四边形必为平行四边形.而
这样的平面α有无数多个.
7.【答案】C
8.【答案】连接AC、BD交于
O,连接OE,因OE∥SD.所以∠AEO为所求.设侧棱长与底面
边长都等于2,则在⊿AEO中,
OE=1,AO=
2
,AE=
2
2
?1?3
,
于
是
cos?AEO?
(3)
2
?1
2
?(2)
2<
br>2?3?1
?
1
3
?
3
【答案】C
3
答案第1页,总9页
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9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】C
【解析
】取BC的中点E,则
AE?
面
BB
1
C
1
C,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
B?a
,则
AE?
?AE?DE
,因此
AD
与平面
BB
1
C
1C
所成角即为
?ADE
,设
A
DE?
a
,即有
tan?ADE?3,??ADE?60
0
.
2
3
a
,
2
12.【答案】B
13.【答案】C
14.【答案】A
【解析】∵
CD
在平面
BCD
内,
AB
是平面
BCD
的斜线,由三垂线定理
可得A.
15.【答案】A
16.【答案】B
17.【答案】D
【解析】可以是平面四边形,也可以是空间四边形,所以正确选项为D.
18.【答案】 D
【解析】正四棱锥P-ABCD中,PA、PC与底面ABC
D所成角相等,但PA与PC相交,∴A
错;如图(1)正方体中,a∥b∥c,满足a∥α,b∥β,
α⊥β,故B错;图(2)正方体
中,上、下底面为β、α,a、b为棱,满足a?α,b?β,a⊥b
,但α∥β,故C错;
19.【答案】C
【解析】在平面DAB内过点B与直线BC成60°角的直线共有2条,
答案第2页,总9页
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故在平面DAB内过点P与直线BC成60°角的直线共有2条。
20.【答案】D
21.【答案】D
依次画出各选项的示意图:
【解析】依次画出各选项的示意图:
显然D不正确,选D
22.【答案】D
【解析】
若此四边形是平面图形,则一定是矩形.若为空间图形,则为有三个角为直角
的空间四边形.
23.【答案】A
24.【答案】B
【解析】过
a
与
该点作一平面与平面
?
相交,则交线与
a
平行,那么在平面
?
内过该点
的直线中,除这一条直线外,其余的与
a
都不平行,所以正确选项为B.
25.【答案】D
【解析】考虑平面外的直线与平面有两种位置关系可得正确选项为D.
答案第3页,总9页
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26.【答案】C
27.【答案】A
【解析】⑴两条直线都和同一个平面平行,这两条直线三种位置关系都有可能
⑵两条直线没有公共点,则这两条直线平行或异面
⑶两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线三种位置关系都有可能
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线也可在这个平面内
28.【答案】D
29.【答案】D
【解析】由中位线定理
得四边形是平行四边形,再由已知可得相邻两边垂直且相等,所
以正确选项为D,即有
又EF∥AC
?
1
?
EFAC
?
EH∥BD
?<
br>?
?
2
?
?EFGH
,
?
?EF?GH,E
F?EH
,
1
AC?BD
?
GHAC
?
?
2
?
AC?BD
?
?
∴ 四边形EFGH是正方形.
30.【答案】A
31.【答案】D
32.【答案】C
33.【答案】C
34.【答案】A
35.【答案】C
【解析】∵△ABC所在小圆面积为16π,
∴小圆半径r=O′A=4,
500π4πR3500π
又球体积为,∴=,
333
∴球半径R=5,∴OO′=3,
故三棱锥的高为PO′=R±OO′=8或2,故选C.
答案第4页,总9页
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36.【答案】D
【解析】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。
过A作AE垂
直于BC交BC于E,连结SE,过A作AF垂直于SE交SE于F,连BF,∵正
三角形ABC,∴
E为BC中点,∵ BC⊥AE,SA⊥BC,∴ BC⊥面SAE,∴ BC⊥AF,AF⊥
SE,∴
AF⊥面SBC,∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角,由正三角形边长3,∴
AE?3,AS?3
∴
SE?23
,
AF?
33
,∴
sin?ABF?
24
37.【答案】B
38.【答案】D
【解析】若A、B、
C、D四点不在一个平面内,如果一边3个,另一边1个,适合题意
的平面有4个;如果每边2个,适合
题意的平面有3个,共7个.若A、B、C、D四点
在一个平面内,则距离相等的平面有无数个.
39.【答案】B
m?
?
,m?
?
?
?
?
?
,又
l?
?
?m?l
.
40.【答案】D
二、填空题
41.【答案】
?
?<
br>a?
?
?
a
?
或
?
?
a?
?
?
a?
?
42.【答案】平行四边形
【解析】由α∥β∥γ,a与AF相交于A有:BG
?
面ACF,
∴
BG∥CF,同理有:HE∥CF,∴BG∥HE.同理BH∥GE,∴
四边形BGEH为平行四边
形.
43.【答案】①②
44.【答案】②④
45.【答案】③⑤ ②⑤
【解析
】若
m?
?
,
?
?
,则
m
?;
若
m?
?
,
?
?
,则
m?
?
。
三、解答题
答案第5页,总9页
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46.【答案】(1)证明:∵ABCD为矩形
∴
AD?AB
且
ADBC
∵
BC?PB
∴
DA?PB
且
ABPB?B
∴
DA?
平面
PAB
,又∵
DA?
平面PAD
∴平面
PAD?
平面
PAB
(2) ∵
V
D?PAC
?V
P?DAC
?V
P?ABC
?V
C?PA
B
由(1)知
DA?
平面
PAB
,且
ADBC
∴
BC?
平面
PAB
分
∴
V
C?PAB
?
1
S
?PAB
?BC?
1
?
1
PA?A
B?sin?PAB?BC
?
1
?1?2?
3
?1?
3
332
626
47.【答案】(1)在直角梯形
ABCD<
br>中,
CD?2AB
,
E
为
CD
的中点,则
A
B?DE
,
又
AB∥DE
,
,
O
,
BE
?DE
,BE?CE
AD?AB
,知
BE?CD
.在四棱锥
C?ABE
中
CEDE?E
,
CE,DE?
平面
CDE,则
BE?
平面
CDE
.因为
CO?
平面
CD
E
,所以
BE?CO.
又
CO?DE
,
且
BE,DE
是平面
ABED
内两条相交直线,
故
CO?
平面
ABED
.
(2)由(1)知
CO?
平面
ABED
,
知三棱锥
C?AOE
的体积
V?
111
S
?AOE
?OC???O
E?AD?OC
332
由直角梯形
ABCD
中,
CD?2
AB?4
,
AD?2
,
CE?2
,得三棱锥
C?AOE中,
OE?CEcos
?
?2cos
?
,OC?CEsin?
?2sin
?
,
V?
?
?
π
?2
?
22
sin2
?
?
,
33
当且
仅当
sin2
?
?1,
?
?
?
0,
?,即
?
?
π
时取等号,(此时
OE?2?DE
,
O
落在线
4
段
DE
内).故当
?
?
2<
br>π
时, 三棱锥
C?AOE
的体积最大,最大值为.
3
4
48.【答案】(1)∵O是AC的中点,E是PC的中点,∴OE∥
AP,又∵OE
?
平面BDE,PA
?
平
面BDE,∴PA∥平面B
DE
(2)∵PO
?
底面ABCD,∴PO
?
BD,又∵AC?
BD,且AC
?
PO=O∴BD
?
平面PAC,而BD
?
平面
BDE,∴平面PAC
?
平面BDE.
49.【答案】(Ⅰ)∵
AA
1
⊥平面
ABCD,∴
AA
1
?BD
.
?
底面
ABCD
是正方形,
?AC?BD
.
?<
br>AA
1
与
AC
是平面
A
1
ACC
1
内的两条相交直线,∴
BD
⊥平面
A
1
ACC
1<
br>.
答案第6页,总9页
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?B
D?
平面
B
1
BDD
1
,∴平面
A
1ACC
1
?
平面
B
1
BDD
1
. <
br>(Ⅱ)过
D
1
作
D
1
H?AD
于
H
,则
D
1
HA
1
A
.
∵
AA
1
⊥平面
ABCD,
?D
1
H?
平面
ABCD
.
在
Rt?D
1
DH
中,求得
D
1
H?3
.而
A
1
A?D
1
H
,
所以四棱台的体积
V?
1173
S
?
?S
?
S?S
h??
?
1?2?4
?
?3?
.
333
??(Ⅲ)设
AC
与
BD
交于点O,连接
OC
1
.
过点B在平面
B
1
BCC
1
内作
BM?C
1
C
于M,连接
MD
.
由(Ⅰ)知
BD
⊥平面<
br>A
1
ACC
1
,
?BD?C
1
C
.
所以
C
1
C?
平面
BMD
,
?C
1
C?MD
.
所以,
?BMD
是二面角B?C
1
C?D
的平面角.
在
Rt?C
1
O
C
中,求得
C
1
C?5
,从而求得
OM?
OC?O
C
1
30
.
?
C
1
C5
在
Rt
?BMO
中,求得
BM?
4545
,同理可求得
DM?
.
5
5
BM
2
?DM
2
?BD
2
1
??
.
在
?BMD
中,由余弦定理,求得
cos?BMD?
2BM?DM4
答案第7页,总9页
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A
?
C
?
H
?
O
1
?
D
?
B
?
O
2
?
E
?
G
A
C
H
50.【答案】
(1)连接
BO
2
,
O
2
O
2
?
,
O
1
D
B
O
1
O
2
E
依题意得
O
1
,O<
br>1
?
,O
2
,O
2
?
是圆柱底面圆的圆心
∴
CD,C
?
D
?
,DE,D
?
E
?
是圆柱底面圆的直径
∵
A
?
,B,B
?
分别
为
C
?
D
?
,
DE
,
D
?
E
?
的中点
∴
?A
?
O
1
?
D
?
??B
?
O
2
?
D
?
?90
∴
A
?
O
1
?
∥
BO
2
?
∵
BB
?
O
2
O
2
?
,四边形
O
2
O
2
?
B
?<
br>B
是平行四边形
∴
BO
2
∥
BO
2
?
∴
A
?
O
1
?
∥
BO
2
∴
O
1
?
,A
?
,O
2
,B四点共面
(2)延长
A
?
O
1
到
H
,使得
O
1
?
H?AO
1
?
,连接
HH<
br>?
,HO
1
?
,HB
∵
O
1?
H
?
?A
?
O
1
?
∴<
br>O
1
?
H
?
O
2
?
B?
,四边形
O
1
?
O
2
?
B
?
H
?
是平行四边形
∴
O
1
?
O
2
?
∥
H
?
B
?
∵
O
1
?
O
2
?
?O
2
O
2
?,
O
1
?
O
2
?
?B
?
O<
br>2
?
,
O
2
O
2
?
B
?<
br>O
2
?
?O
2
?
答案第8页,总9页
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∴<
br>O
1
?
O
2
?
?
面
O
2<
br>O
2
?
B
?
B
∴
H
?<
br>B
?
?
面
O
2
O
2
?
B<
br>?
B
,
BO
2
?
?
面
O
2
O
2
?
B
?
B
∴
BO
2
?
?H
?
B
?
易知四边形
AA
?
H
?
H
是正方形,且边长
AA
?
?2
∵
tan?HO
1
?
H
?
?
HH
?
A
?
G1
?2
,
ta
n?A
?
H
?
G??
O
1
?
H
?
A
?
H
?
2
∴
tan?HO
1
?
H
?
?tan?A
?
H
?
G?1
∴
?HO
1
?
H
?
??A
?
H
?
G?90
∴
HO
1
?
?H
?
G
易知O
1
?
O
2
?
HB
,四边形
O
1
?
O
2
?
BH
是平行四边形
∴
BO
2
?
∥
HO
1
?
∴
BO
2
?
?H
?
G
,
H
?<
br>GH
?
B
?
?H
?
∴
BO
2
?
?
平面
H
?
B
?
G
.
答案第9页,总9页
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