高中数学选修1-2第一章总结-精华学校高中数学苗金利必修四
高中数学必修二复习 基本概念 公理 1: 如果一条直线上的两点在一个平面内,
那么这条直线上的所有的
点都在这个平面内. 公理
2:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.
公理 3:
过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面. 推论 1:
经过一条直线和这条直线外一点,有
且只有一个平面. 推论
2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个
平面.
公理 4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理:
如果一个角的两边和另一个角的两边分
别平行并且方向相同, 那么这两个角相等.
空间两直线的位置关系: 空间两直线的位置关系:
空间两条直线只有三种位置关系:平行,相交,异面 1,按是
否共面可分为两类: (1)共面:
平行, 相交 (2)异面:
异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线或
既不平行也不相交. 异面直线判定定理:
用平面内一点与平面外一点的直线, 与平面内不经过该点的直线
是异面 直线.
两异面直线所成的角:范围为 ( 0°,90° ) esp. 空间向量法 两异面直线间距离:
公垂线段(有
且只有一条) esp.空间向量法 2,若从有无公共点的角度看可分为两类:
(1)有且仅有一个公共点——相交直
线;(2)没有公共点—— 平行或异面
直线和平面的位置关系: 直线和平面的位置关系:
直线和平面只有三种位置关系:在平面内,与平面相交,与
平面平行
①直线在平面内——有无数个公共点 ②直线和平面相交——有且只有一个公共点
直线与平面所
成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角.
esp.空间向量法(找平面的法向量)
规定:a,
直线与平面垂直时,所成的角为直角,b,直线与平面平行或在平面内,所成的 角为
0°角 由此得直线和平面
所成角的取值范围为 [0°,90° ] 最小角定理:
斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中
的最小角 三垂线定理及逆定理:
如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它 也与
这条斜线垂直
esp.直线和平面垂直 直线和平面垂直的定义:如果一条直线 a 和一个平面
内的任意一条
直线都垂直,我们就说 直线 a 和平面 互相垂直.直线 a 叫做平面
的垂线,平面 叫做直线 a 的垂面.
直线与平面垂直的判定定理:
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条 直线垂直于
这个平面.
直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.
③直线和
平面平行——没有公共点 直线和平面平行的定义: 如果一条直线和一个平面没有公共点,
那么我们就说这
条直线和这 个平面平行. 直线和平面平行的判定定理:
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平
行, 那么这条 直线和这个平面平行.
直线和平面平行的性质定理: 如果一条直线和一个平面平行, 经过这
条直线的平面和这个平
面相交,那么这条直线和交线平行.
两个平面的位置关系: 两个平面的位置关系:
(1)两个平面互相平行的定义:空间两平面没有公共点 (2)两个
平面的位置关系:
两个平面平行没有公共点; 两个平面相交有一条公共直线. a,平行 两个平面平行的判定
定理:
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面, 那么这两 个平面平行.
两个平面平行的性质
定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么交线平行. b,相交
二面角 (1) 半平面:平面内的一条
直线把这个平面分成两个部分,其中每一个部分叫做半平面.
(2) 二面角:从一条直线出发的两个半平面所组
成的图形叫做二面角.二面角的取值范 围为
[0°,180° ] (3) 二面角的棱:这一条直线叫做二面角的棱. (4)
二面角的面:这两个半平面叫做二面角的面. (5)
二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个
面内分别作垂直于棱的
两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. (6)
直二面角:平面角是直角
的二面角叫做直二面角. esp. 两平面垂直 两平面垂直的定义:两平面
一、直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角
叫直线的倾斜角。特别地，
当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线
，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜
率。直线的斜率常用k表示。即
。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当
时， 。当 时， ；当 时， 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：
注意下面四点：(1)当
时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜
角为90°；
(2)k与P1、P2的顺序无关；
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程
①点斜式： 直线斜率k，且过点
注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y
=y1。当直线的斜率
为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每
一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：
，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b
③两点式： （ ）直线两点 ，
④截矩式： 其中直线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 ,即 与
轴、
轴的截距分别为 。
⑤一般式： （A，B不全为0）
注意：○1各式的适用范围
○2特殊的方程如：平行于x轴的直线：
（b为常数）； 平行于y轴
的直线： （a为常数）；
（4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线
（一）平行直线系
平行于已知直线
（ 是不全为0的常数）的直线系： （C为常数）
（二）过定点的直线系
（ⅰ）斜率为k的直线系： ，直线过定点 ；
（ⅱ）过两条直线 ，
的交点的直线系方程为 （ 为参数），其中直线
不在直线系中。
（5）两直线平行与垂直
当 ， 时， ；
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（6）两条直线的交点
相交
交点坐标即方程组的一组解。方程组无解 ；
方程组有无数解
与 重合
（7）两点间距离公式：设
是平面直角坐标系中的两个点，则
（8）点到直线距离公式：一点 到直线 的距离
（
9）两平行直线距离公式：在任一直线上任取一点，再转化为点到直线
的距离进行求解。
2011-06-15 13:53
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2楼
二、圆的方程
1、圆的定义：平面内
到一定点的距离等于
定
长的点的**叫圆，定
点为圆心，定长为圆的
半径。
2、圆的方程
（1）标准方程 ，圆心
，半径为r；
（2）一般方程
当
时，方程表示圆，
此时圆心为，
半径为
当
时，表示一个点；
当 时，方程不表示任
何图形。
（3）求圆方程的方法：<
br>一般都采用待定系数
法：先设后求。确定一
个圆需要三个独立条
件，
若利用圆的标准方程，
需求出a，b，r；若利
用一般方程，需要求出
D，E，F；
另外要注意多利用圆
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的几何性质：如弦的中
垂线必经过原点，以此
来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关
系：
直线与圆的位置关系
有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列
两种方法判断：
（1）设直线 ，
圆
圆心 到l的距离
为 则有
（2）设直线 ，圆
，
先将方程联立消元，得
到一个一元二次方程
之后，令其中的判别式
为
，则有 ； ；
注：如圆心的位置在原
点，可使用公式
去解
直线与圆相切的问题，
其中
表示切点
坐标，r表示半径。
(3)过圆上一点的切线
方程：
①圆x2+y2=r2，圆上一
点为(x0，y0)，则过此
点的切线方程为
(课
本命题)．
②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，
圆上一点为(x0，y0
)，
则过此点的切线方程
为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-
b)=
r2 (课本命题的推
广)．
4、圆与圆的位置关系：
通过两圆半径的和
（差），与圆心距（d）
之间的大小比较来确
定。
设圆 ，
两圆的位置关系常通
过两圆半径的和（差），
与圆心距（d）之间的
大小比较来确定 。
当 时两圆外离，此时
有公切线四条；
当 时两圆外切，连心
线过切点，有外公切线
两条，内公切线一条；
当 时两圆相交，连心
线垂直平分公共弦，有
两条外公切线；
当 时，两圆内切，连
心线经过切点，只有一
条公切线；
当 时，两圆内含；
当 时，为同心圆。
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2011-06-15 13:53
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3楼
三、立体几何初步
1、柱、锥、台、球的结构特征
（1） 棱柱：
定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个
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四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、
五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱 或用对角线的端点字母，如五棱
柱
几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都
是平行四边形；侧棱平行且相等；平行
于底面的截面是与底面全
等的多边形。
（2）棱锥
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角
形，由这些面所围成的几何体
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、
五棱锥等
表示：用各顶点字母，如五棱锥
几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与
底面
相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间
的部分
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、
五棱台等
表示：用各顶点字母，如五棱台
几何特征：①上下底面是相似的平行多边形
②侧面是梯形 ③
侧棱交于原棱锥的顶点
（4）圆柱：
定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲
面所围成的几何体
几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆
的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：
定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面
所围成的几何体
几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展
开图是一个扇形。
（6）圆台：
定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间
的部分
几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；
③侧面展开图是一个弓形。
（7）球体：
定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的
2011-06-15 13:54
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几何体
几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等
于半径。
2、空间几何体的三视图
定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）
注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的
高度和长度；
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体
的长度和宽度；
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度
和宽度。
3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度
不变；
②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积
（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高， 为斜高，
l为母线）
（3）柱体、锥体、台体的体积公
式
（4）球体的表面积和体积公式：V = ； S =
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4楼
5、空间点、直线、平面的位置关系
（1）平面
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① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；
② 平面的表示：
通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常
写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表
示，如平
面BC。
③ 点与平面的关系：点A在平面 内，记作 ；点 不在平面
内，
记作
点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l；
点A在直线
l外，记作A l；
直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作l
α；直线l不在
平面α内，记作l α。
（2）公理1：如果一条直线的两点在一个
平面内，那么这条直线
是所有的点都在这个平面内。（即直线在平面内，或者平面经过
直线）
应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内 。 用符号语
言表示公理1：
（3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定
一平面；两平行直线确定一平面。
公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证
明平面重合的依据
（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且
只有一条过该点的公共直线
符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。 符号语言：
公理3的作用：①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必
过公共点。
③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。
（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行
（6）空间直线与直线之间的位置关系
① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线
②
异面直线性质：既不平行，又不相交。
③
异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不
过该店的直线是异面直线
④
异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，
分别引直线
a’‖a，b’‖b，则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）
叫做异面直线a和b所成的角。两条异
面直线所成角的范围是（0°，
90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线<
br>互相垂直。
说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定
义；②异面直线的判定定理
（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O
的位置无关。
（3）求异面直线所成角步骤：
A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时
平移
到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。
B、证明作出的角即为所求角
C、利用三角形来求角
（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，
那么这两角相等或互补。
（8）空间直线与平面之间的位置关系
直线在平面内——有无数个公共点．
三种位置关系的符号表示：a α a∩α＝A a‖α
（9）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点；α‖β
相交——有一条公共直线。α∩β＝b
6、空间中的平行问题
（1）直线与平面平行的判定及其性质
线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,
则该直线与此平面平行。
线线平行 线面平行
线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条
直线的平
面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
线面平行 线线平行
（2）平面与平面平行的判定及其性质
两个平面平行的判定定理（1）如果一个平面内的两条
相交直线都
平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行→面面平行），
（2）如果在
两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两
个平面平行。（线线平行→面面平行），
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，
两个平面平行的性质定理（1）如果两个平面平行
，那么某一个平
面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行）
（2）如果两个平行
平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平
行。（面面平行→线线平行）
7、空间中的垂直问题
（1）线线、面面、线面垂直的定义
①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就
说这两条异面直线互相垂直。
②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，
就说这条直线和这个平面垂直。
③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条
直线出发的两个半平面所组成的
图形）是直二面角（平面角是直
角），就说这两个平面垂直。
（2）垂直关系的判定和性质定理
①线面垂直判定定理和性质定理
判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，
那么这条直线垂直这个平面。
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平
行。
②面面垂直的判定定理和性质定理
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两
个平面互相垂直。
性
质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他
们的交线的直线垂直于另一个平面。
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2011-06-15 13:55
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5楼
8、空间角问题
（1）直线与直线所成的角
①两平行直线所成的角：规定为 。
②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，
叫这两条直线所成的角。
③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异
面直线a，b平行的直线
，形成两条相交直线，这两条相交直线
所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。
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（2）直线和平面所成的角
①平面的平行线与平面所成的角：规定为 。
②平面的垂线与平面所成的角：规定为 。
③平面的斜线与平面所成的角：平
面的一条斜线和它在平面内的
射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二
证，三计算”。
在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一
点到面的垂线，
解
题时，注意挖掘题设中两个信息：（1）斜线上一点到面的垂线；
（2）过斜线上的一点或过斜线的平面
与已知面垂直，由面面垂直
性质易得垂线。
（3）二面角和二面角的平面角
①二面
角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫
做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半
平面叫做二面角
的面。
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面
内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的
平面角。
③直二面角：平面
角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如
果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过
来，
如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角
④求二面角的方法
定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于
棱的射线得到平面角
垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面
与两个面的交线所成的角为二面角的平面
角
9、空间直角坐标系
（1）定义：如图， 是单位正方体.以A为原点，分别以OD,O
,
OB的方向为正方向，
建立三条数轴 。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
1）O叫做坐标原点 2）x 轴，y轴，z轴叫做坐标轴.
3）过每两
个坐标轴的平面叫做坐标面。
（2）右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相
互垂直时，可
能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，
中指指向则为z
轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。
（3）任意点坐标表示：空间一点M的坐标可以用有序实数组 来
表示，有序实数组
叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记
作
（x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的
竖坐标）