高中数学必修2全册课时同步测试卷及答案

2020年10月6日发(作者：利国伟)

【
若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】

第一章 空间几何体
§1.1 空间几何体的结构
第1课时 多面体的结构特征
一、基础过关
1．下列说法中正确的是 ( )
A．棱柱的侧面可以是三角形
B．由6个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图
C．正方体的各条棱长都相等
D．棱柱的各条棱长都相等
2．棱台不具备的特点是
A．两底面相似
C．侧棱都相等


















( )
B．侧面都是梯形
D．侧棱延长后都交于一点
( )
3. 如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水
槽中的水形成的几何体是
A．棱柱 B．棱台
C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定
4．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( )
A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1
5．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.
6．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图________(填序号)．


7．如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长 方体分成两部分
后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧< br>棱．
8. 如图所示的是一个三棱台ABC—A
1
B
1
C< br>1
，如何用两个平面把这个三棱台分成三部分，使
每一部分都是一个三棱锥．


1

二、能力提升
9．下图中不可能围成正方体的是( )

10．在正方体上任意选择4个顶点， 它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是
________(写出所有正确结论的编号)．
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；
④每个面都是等边三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体．
11．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．
(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其它各面都是矩形；
(2)由五个面围成，其中一个面是正方形，其它各面都是有一个公共顶点的全等三角形．
三、探究与拓展
12．正方体的截面可能是什么形状的图形？






















2

答案
1．C 2.C 3.A 4.B 5.12 6.①②
7．解 截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．
它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．
EF，B′C′，BC是侧棱，截面BCFE左侧部分也是棱柱．它是四棱柱ABEA′—DCFD′.
其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．A′D′，EF，BC，AD为侧棱．

8．解 过A
1
、B、C三点作一个平面，再过A
1
、B、C
1
作一个平面，就把三棱台ABC—A
1
B
1
C
1
分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A
1
—ABC，B—A
1
B
1
C
1
，A
1
—BCC
1
.
9．D 10.①③④⑤
11．解 (1)该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形 ，可满足
每相邻两个面的公共边都相互平行，故该几何体是六棱柱．
(2)该几何体的其中一 个面是四边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公
共顶点，因此该几何体是四棱锥．
12．解 本问题可以有如下各种答案：
①截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形；
②截面三角形是锐角三角形；
③截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四
边形时， 这个四边形中至少有一组对边平行；
④截面可以是五边形；
⑤截面可以是六边形；
⑥截面六边形可以是等角(均为120°)的六边形．特别地，可以是正六边形．
截面图形举例



3

【
若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】

第2课时 旋转体与简单组合体的结构特征
一、基础过关
1．下列说法正确的是 ( )
A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥
B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
2．下列说法正确的是 ( )
A．直线绕定直线旋转形成柱面
B．半圆绕定直线旋转形成球体
C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的
3．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一 个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆
锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体 ，则截面图形可能是( )
A．(1)(2) B．(1)(3) C．(1)(4)


D．(1)(5)
( ) 4．观察如图所示的四个几何体，其中判断正确的是

A．a是棱台
C．c是棱锥








B．b是圆台
D．d不是棱柱
5．将等边三角形绕它的一条中线旋转180°，形成的几何体是________．
6．请描述下列几何体的结构特征，并说出它的名称．
(1)由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其它面都是全等
的矩形；
(2)如右图，一个圆环面绕着过圆心的直线l旋转180°.






4

7. 如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD在直线旋转一周时， 其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的
结构特征．
二、能力提升
8．下列说法正确的个数是 ( )
①长方形绕一条直线旋转一周所形成 的几何体是圆柱；②过圆锥侧面上一点有无数条母
线；③圆锥的母线互相平行．
A．0 B．1 C．2 D．3
9．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )

10．已知球O 是棱长为1的正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
的内切球，则平面ACD
1
截球O所得
的截面面积 为________．
11．以直角三角形的一条边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围 成的旋转体有
哪些？
三、探究与拓展
12．如图所示，圆台母线AB长为20 cm，上、下底面半径分别为5 cm和10 cm，从母线AB
的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳长的最小值．

















5

答案
1．C 2.D 3.D 4.C 5.圆锥
6．解 (1)特征：具有棱柱的特征，且侧面都是全等的矩形，底面是正五边形．几何体为正
五棱柱．
(2)由两个同心的大球和小球，大球里去掉小球剩下的部分形成的几何体，即空心球．
7．解 如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．

8．A 9.B
π
10.
6
11．解 假设直角三角形ABC 中，∠C＝90°.以AC边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转
形成的面所围成的旋转体如图(1)所 示．

当以BC边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图(2)所示．
当以AB边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图(3)所示．
12．解 作出圆台的侧面展开图，如图所示，由其轴截面中Rt△OPA与Rt△OQB相似，得OA5
＝，可求得OA＝20 cm.设∠BOB′＝α，由于扇形弧
OA＋AB
10
BB′的长与底面圆Q的周长相等，而底面圆Q的周长为2π×10
cm.扇形OBB′的半径为OA＋AB＝20＋20＝40 cm，扇形OBB′所
在圆的周长为2π×40＝80π cm.所以扇形弧BB′的长度20π为所< br>1
在圆周长的
.所以OB⊥OB′.所以在Rt△B′OM中，B′M
2
＝40
2
4
＋30
2
，
所以B′M＝50 cm，即所求绳长的最小值为50 cm.

6

【
若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】

§1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.2.1 中心投影与平行投影
1.2.2 空间几何体的三视图
一、基础过关
1．下列命题正确的是 ( )
A．矩形的平行投影一定是矩形
B．梯形的平行投影一定是梯形
C．两条相交直线的投影可能平行
D．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点
2．如图所示的一个几何体，哪一个是该几何体的俯视图 ( )


3．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 ( )

A．①②

B．①③





C．①④





D．②④
( )
4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与 侧视图分别如图所示，则该几何
体的俯视图为


5．根据如图所示俯视图，找出对应的物体．



7

(1)对应________；(2)对应________；
(3)对应________；(4)对应________；
(5)对应________．
6．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两 底面之间的距离)和底面边长分
别是______和________．

7．在下 面图形中，图(b)是图(a)中实物画出的正视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正
确，请找出错误 并改正，然后画出侧视图(尺寸不作严格要求)．

8．画出如图所示的四棱锥和三棱柱的三视图．


二、能力提升
9．一个长方体去掉一角的直观图如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是( )

10．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )
A．球









B．三棱锥
D．圆柱 C．正方体
11．用若干块相 同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何
体需要的小正方体的块数是_ _______．

8

12．如图，螺栓是棱柱和圆柱的组合体，画出它的三视图．

三、探究与拓展 < br>13．用小立方体搭成一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最
多要 几个小立方体？最少要几个小立方体？




















9

答案
1．D 2.C 3.D 4．C
5．(1)D (2)A (3)E (4)C (5)B 6.2 4
7．解 图(a)是由两个长方体组合而成的，正视图正确，俯视图错误，俯视 图应该画出不可
见轮廓线(用虚线表示)，侧视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)， 正确
画法如图所示．

8．解 三视图如图所示：

9．A 10．D
11．6
12．解 该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，正视图反 映正六棱柱的三个侧面
和圆柱侧面，侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影 后是
一个正六边形和一个圆(中心重合)．它的三视图如图所示．

13．解 由于 正视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字，因此，用的立方块数最多
的情况是每个方框都用该列 的最大数字，即如图①所示，此种情况共用小立方块17块．

而搭建这样的几何体用方块数 最少的情况是每列只要有一个最大的数字，其他方框内的
数字可减少到最少的1，即如图②所示，这样的 摆法只需小立方块11块．

10

【
若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】

1.2.3 空间几何体的直观图
一、基础过关
1．下列结论：
①角的水平放置的直观图一定是角；
②相等的角在直观图中仍然相等；
③相等的线段在直观图中仍然相等；
④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．
其中正确的有
A．①②








( )
B．①④

C．③④

D．①③④
( )
( )
2．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直
观 图中∠A′等于
A．45° B．135° C．90° D．45°或135°
3．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是


4．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的 ( )

5．利用斜二测画法得到：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形．
以上结论中，正确的是______________．(填序号)
6．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边
上的中线的实际长度为____________．

11

7．如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S.求梯形OABC的面积．

8．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．

二、能力提升
9．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一
个平面图形的直观图，则原图的周长是
A．8 cm B．6 cm
D．2(1＋2) cm C．2(1＋3) cm
( )
10．如图所示的是水平放置的△ABC在直角坐标系的直观图，其中D′
是A′C′的中点， 且∠A′C′B′≠30°，则原图形中与线段BD
的长相等的线段有________条．
11．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．

12．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，
试画出它的直观图．

三、探究与拓展
13．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，
如图，其中的对角线 A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边
形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图 形并求出
其面积．


12

答案
1．B 2.D 3.C 4.C 5.①② 6.2.5
7．解 设O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为2h.
过C′作C′D′⊥O′A′于D′，

则C′D′＝
2
h.
2
1
由题意知
C′D′(C′B′＋O′A′)＝S.
2
2
即
h(C′B′＋O′A′)＝S.
4
1
又原直角梯形面积为S′＝
·2h(C′B′＋O′A′)
2
4S
＝h(C′B′＋O′A′)＝＝22S.
2
所以梯形OABC的面积为22S.
8．解 (1)作出长方体的直观图ABCD －A
1
B
1
C
1
D
1
，如图a所示； < br>(2)再以上底面A
1
B
1
C
1
D
1
的对角线交点为原点建立x′，y′，z′轴，如图b所示，在z′
上取点V′，使得V′O′的长度 为棱锥的高，连接V′A
1
，V′B
1
，V′C
1
，V′D
1
，
得到四棱锥的直观图，如图b；
(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图c.

9．A 10.2 11.
2

2
12．解 画法：步骤：
(1)如图a所示，在梯形ABCD中，
以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，
建立平面直角坐标系xOy.如图b所示，
画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在图a中，过D点作DE⊥x轴，垂足为E.在图b中，
在x′轴上取A′B′＝AB＝4 cm，

13

3
A′E′＝AE＝3≈2.598 cm；
2
113
过点E′作 E′D′∥y′轴，使E′D′＝
ED＝×
＝0.75 cm，再过点D′作
222
D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2 cm.
( 3)连接A′D′、B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图c所示，则
四边形A′B ′C′D′就是所求作的直观图．

13．解 四边形ABCD的真实图形如图所示，
∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，
∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′
＝45°，
∴在原四边形ABCD中，
DA⊥AC，AC⊥BC，
∵DA＝2D′A′＝2，
AC＝A′C′＝2，
∴S
四边形ABCD
＝AC·AD＝22.

14

【
若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】

§1.3 空间几何体的表面积与体积
第1课时 柱体、锥体、台体的表面积
一、基础过关
1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( )
842
A．8 B. C. D.
πππ
2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比为 ( )
1＋2π1＋4π1＋2π1＋4π
A. B. C. D.
2π4ππ2π
3．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于 ( )
A．6 B．6π

C．35π

D．65π
( ) 4．三视图如图所示的几何体的全面积是
A．7＋2
11
B.＋2
2

C．7＋3
3
D.
2
5．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴 截面中两条母线的夹角)是
________．
6．一简单组合体的三视图及尺寸如下图所示 (单位：cm)，则该组合体的表面积为
________cm
2
.

7．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________． < br>8．长方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1< br>中，宽、长、高分别为3、4、5，现有一个小虫从A出发沿长
方体表面爬行到C
1来获取食物，求其路程的最小值．

15

二、能力提升
9．已知由半圆的四分之三截成的扇形的面积为B，由这个扇形围成一个圆锥， 若圆锥的全
面积为A，则A∶B等于
( )
A．11∶8 B．3∶8 C．8∶3



D．13∶8
( ) 10．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为


A．372 B．360 C．292 D．280
11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．

12．有一根长为3π cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度．
三、探究与拓展
13．有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点
是下层正方 体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含
最底层正方体的底面面积) ．








16

答案
1．B 2．A 3．C 4.A 5.60° 6.12 800 7.2
8．解 把长方体含AC
1
的面作展开图，有三种情形如图所示：利用勾股定理可得AC
1
的长
分别为90、7 4、80.
由此可见图②是最短路线，其路程的最小值为74.
9．A 10．B
11．38
12．解 把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩

形ABCD(如图所示)，由题意知BC＝3π cm，AB＝4π cm，
点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度
即为铁丝的最短长度．
AC＝AB
2
＋BC
2
＝5π cm，
故铁丝的最短长度为5π cm.
13．解 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，2，1.
考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面 积之和为下底面积最大正方体的底面
面积的二倍．
∴S
表
＝2S
下
＋S
侧

＝2×2
2
＋4×[2
2
＋(2)
2
＋1
2
]＝36.
∴该几何体的表面积为36.

17

【
若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】

第2课时 柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积
一、基础过关
1
1．一个三棱锥的高和底面边长都缩小为原来的时，它的体积是原来的
2
1112
A. B. C. D.
2484
2．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为
A．1∶9 B．1∶27





C．1∶3




D．1∶1

( )
( )
3．已知直角三角形的两直角边长为a、b，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形< br>成的几何体的体积之比为
( )
A．a∶b
A．1
________ cm.
6．如图，在长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB＝AD＝3 cm，AA
1
＝2 cm，则四棱锥A－BB
1
D
1
D
的体积为______ cm
3
.


B．b∶a
B．2
C．a
2
∶b
2


C．3
D．b
2
∶a
2

( )
D．4
4．若球的体积与表面积相等，则球的半径是
5．将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm，则钢球的半径是

7．(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是______；
(2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是______．
8．在球面上有四个 点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PA＝PB＝PC＝a，求
这个球的体积．
二、能力提升
9．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积和体积分别为
( )

18

A．24π cm
2,
12π cm
3

C．24π cm
2,
36π cm
3

A．2π，6π
C．4π，6π



















B．15π cm
2,
12π cm
3

D．以上都不正确
( ) 10．圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的体积和表面积分别为
B．3π，5π
D．2π，4π
11．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________ m
3
.

12．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器 内放一个半径为r的铁球，
并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
三、探究与拓展
13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切 ，第三个球过这
个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．














19

答案
1．C 2.A 3.B 4.C 5.3 6．6
7．(1)球 (2)球
8．解 ∵PA、PB、PC两两垂直，PA＝PB＝PC＝a.
∴以PA、PB、PC为相邻三条棱可以构造正方体．
又∵P、A、B、C四点是球面上四点，
∴球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径．
3
a，
2
4433
∴V＝
πR
3
＝
π(
a)
3
＝< br>πa
3
.
3322
∴2R＝3a，R＝
9．A 10.A 11.9π＋18
12．解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．

根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为3r，则容器内水的体积145
为V＝V
圆锥
－V
球
＝
π·(3r)
2
·3r－
πr
3
＝
πr
3
，
333
而将球取出后，设容器内水的深度为h，
则水面圆的半径为
3
h，
3
从而容器内水的体积是
13 1
V′＝
π·(
h)
2
·h＝
πh
3
，
339
3
由V＝V′，得h＝
15r.
3
即容器中水的深度为
15r.
13．解 设正方体的棱长为a.如图所示．
(1)中正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切

20

点及球心作截面，
所以有2r
1
＝a，
r
1
＝
a
2
，
所以S
1
＝4πr
2
1
＝πa
2
.
(2)中球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，
过球心作正方体的对角面得截面，
2r
2
＝2a，r
2
＝
2
2
a，
所以S
2
＝4πr
2
2
＝2πa
2
.
(3)中正方体的各个顶点在球面上，
过球心作正方体的对角面得截面，
所以有2r
3
＝3a，r
3
＝
3
2
a，
所以S
3
＝4πr
2
3
＝3πa
2
.
综上可得S
1
∶S
2
∶S
3
＝1∶2∶3.
21

【
若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】

第二章 点、直线、平面之间的位置关系
§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平 面
一、基础过关
1．下列命题：
①书桌面是平面；
②有一个平面的长是50 m，宽是20 m；
③平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．
其中正确命题的个数为
A．1个






































( )
( )
B．2个


















C．3个
B．菱形
D．四边相等的四边形
( )
B．一点和一条直线
D．三个点
( )
B．2条或3条
D．1条或2条或3条
D．0个
2．下列图形中，不一定是平面图形的是
A．三角形
C．梯形
3．空间中，可以确定一个平面的条件是
A．两条直线
C．一个三角形
A．1条或2条
C．1条或3条
4．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有 < br>5．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线
在同一 平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个
平面．其中正确命题的个 数是________．
6．已知α∩β＝m，a?α，b?β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关 系用集合符号表示为
________．
7．如图，梯形ABDC中，AB∥CD，AB>C D，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出
平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．

8．空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明此三条直线必相交< br>于一点．
二、能力提升
9．空间不共线的四点，可以确定平面的个数是
A．0





( )
B．1
22
C．1或4 D．无法确定

10．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β?α∩β＝A
D．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线?α、β重合
11．下列四个命题：
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；
②经过空间任意三点有且只有一个平面；
③过两平行直线有且只有一个平面；
④在空间两两相交的三条直线必共面．
其中正确命题的序号是________．
( )
12. 如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长 线)分别与平面
α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．

三、探究与拓展
13. 如图，在正方体ABCD－A
1
B
1C
1
D
1
中，对角线A
1
C与平面BDC
1< br>交于点O，AC、BD交
于点M，E为AB的中点，F为AA
1
的中点．
求证：(1)C
1
、O、M三点共线；
(2)E、C、D
1
、F四点共面．













23

答案
1．A 2.D 3.C 4.D
5．0
6．A∈m
7. 解 很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，
即点S在交线上，
由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．
∵E∈AC，AC?平面SAC，∴E∈平面SAC.
同理，可证E∈平面SBD.
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE是平面SBD
和平面SAC的
交线．
8．证明 ∵l
1
?β，l
2
?β，l
1
D∥l
2
，
∴l
1
、l
2
交于一点，记交点为P.
∵P∈l
1
?α，P∈l
2
?γ，∴P∈α∩γ＝l
3
，
∴l
1
，l
2
，l
3
交于一点．
9．C 10.C
11．③
12．证明 因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD ∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，
由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G 、E都在平面AC与平面
α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．
13．证明 (1)∵C
1
、O、M∈平面BDC
1
，
又C
1
、O、M∈平面A
1
ACC
1
，由公理3知，点C
1
、O、 M在平面BDC
1
与平面A
1
ACC
1
的交线上，
∴C
1
、O、M三点共线．
(2)∵E，F分别是AB，A
1A的中点，∴EF∥A
1
B.∵A
1
B∥CD
1
，∴E F∥CD
1
.
∴E、C、D
1
、F四点共面．

24

【
若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
一、基础过关
1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是
A．异面
C．相交










B．平行
D．以上都有可能
( )
( )
2．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则有
A．∠BAC＝∠B′A′C′
B．∠BAC＋∠B′A′C′＝180°
C．∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°
D．∠BAC＞∠B′A′C′
3．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是
A．空间四边形
C．菱形






B．矩形
D．正方形
( )
4．“a、b为异面直线”是指： ①a∩b＝?，且aD∥b；②a?面α，b?面β，且a∩b＝?；③a?面α，b?面β，且α∩β＝?；④a?面α，b?面α；⑤不存在面α，使a?面α，b?面α成立．
上述结论中，正确的是
A．①④⑤
C．②④










( )
B．①③④
D．①⑤
5．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是________．
6．已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：
(1)BC′与CD′所成的角为________；
(2)AD与BC′所成的角为________．
7．如图所示，四边形ABEF和ABC D都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB
1
＝90°，BC綊AD，
2
1
BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点．
2
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？

8．如图，正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
(1)BE与CG所成的角；
(2)FO与BD所成的角．



25

二、能力提升
9.如图所示，已知三棱 锥A－BCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列结论正确的
是
( )
1
A．MN≥(AC＋BD)
2
1
C．MN＝(AC＋BD)
2
A．12对








1
B．MN≤(AC＋BD)
2
1
D．MN<(AC＋BD)
2
D．48对

10．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( )
B．24对 C．36对
11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：

①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD.
以上结论中正确的序号为________．
12．已知A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
三、探究与拓展
13 ．已知三棱锥A—BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M、N分别是BC、
AD的 中点，求直线AB和MN所成的角．









26

答案
1．D 2．C 3．B
4．D 5.平行或异面
6．(1)60° (2)45°
7．(1)证明 由已知FG＝GA，FH＝HD，
11
可得GH綊
AD.又BC綊AD，
22
∴GH綊BC，
∴四边形BCHG为平行四边形．
1
(2)解 由BE綊AF，G为FA中点知，BE綊FG，
2
∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，
∴EF与CH共面．
又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．
8．解 (1)如图，∵CG∥BF，∴∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，
又△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.

(2)连接FH，BD，FO，∵HD綊EA，EA綊FB，
∴HD綊FB，
∴四边形HFBD为平行四边形，
∴HF∥BD，
∴∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．
连接HA、AF，易得FH＝HA＝AF，
∴△AFH为等边三角形，
又依题意知O为AH中点，∴∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角是30°.

9．D 10．B
11．①③
12．(1)证明 假设EF与BD不是异面直线 ，则EF与BD共面，从
而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同
一平 面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF
与BD是异面直线．
(2)解 取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以相

27

交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG
＝ FG＝
1
2
AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.
13．解 如图，取AC的中点P.
连接PM、PN，
则PM∥AB，且PM＝
11
2
AB，PN∥CD，且PN＝
2
CD，
所以∠MPN为直线AB与CD所成的角(或所成角的补角)．
则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°，
若∠MPN＝60°，因为PM∥AB，
所以∠PMN是AB与MN所成的角(或所成角的补角)．
又因AB＝CD，所以PM＝PN，则△PMN是等边三角形，
所以∠PMN＝60°，
即AB与MN所成的角为60°.
若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形．所以∠PMN＝30°，
即AB与MN所成的角为30°.
故直线AB和MN所成的角为60°或30°.

28

【
若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】

2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
一、基础过关
1．已知直线a∥平面α，直线b?α，则a与b的位置关系是
A．相交 B．平行



C．异面


2．直线l与平面α不平行，则
A．l与α相交 B．l?α
C．l与α相交或l?α D．以上结论都不对
3．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的
A．一条直线不相交
C．无数条直线不相交
系一定是
A．平行






















( )
B．两条直线不相交
D．任意一条直线不相交



( )






( )
( )
D．平行或异面
4．如果平 面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关
B．相交
D．AB?α C．平行或相交
5．直线a?平面α，直线b? 平面α，则a，b的位置关系是________．
6．若a、b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．
7．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？说明理由．
8. 如图，直线a∥平面α，a?β，α∩β＝b，求证：a∥b.

二、能力提升
9．下列命题正确的是 ( )
A．若直线a在平面α外，则直线a∥α
B．若直线a与平面α有公共点，则a与α相交
C．若平面α内存在直线与平面β无交点，则α∥β
D．若平面α内的任意直线与平面β均无交点，则α∥β
10．教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线( )
A．异面 B．相交 C．平行 D．垂直
11．若不在同一条直线上的 三点A、B、C到平面α的距离相等，且A、B、CD∈α，则面
ABC与面α的位置关系为_____ ___．
12. 如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β
的关系并证明你的结论．

29

三、探究与拓展
13．正方体ABCD—A
1
B
1
C1
D
1
中，点Q是棱DD
1
上的动点，判断过A、Q、B
1
三点的截面
图形的形状．

答案
1．D 2．C 3．D 4．C
5.平行、相交或异面
6．b?α，b∥α或b与α相交
7．解 不正 确．如图，设α∩β＝l，则在α内与l平行的直线可以有无数条，如a
1
，a
2，…，
a
n
，它们是一组平行线，这时a
1
，a
2，…，a
n
与平面β平行，但此时α与β不平行，α∩β
＝l.
8．证明 ∵直线a∥平面α，
∴直线a与平面α无公共点．
∵α∩β＝b，∴b?α，b?β.
∴直线a与b无公共点．
∵a?β，∴a∥b.
9．D 10.D 11.平行或相交
12．解 由α∩γ＝a知a?α且a?γ，
由β∩γ＝b知b?β且b?γ，
∵α∥β，a?α，b?β，∴a、b无公共点．
又∵a?γ且b?γ，∴a∥b.
∵α∥β，∴α与β无公共点，
又a?α，∴a与β无公共点，∴a∥β.
13．解 由点Q在线段DD
1
上移动，当点Q与点D
1
重合时，截 面图形为等边三角形AB
1
D
1
，
如图(1)所示；
当 点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB
1
C
1
D，如图(2)所示；

图(1) 图(2)
当点Q不与点D，D
1
重合时，截面图形为等腰梯形AQRB
1
，如图( 3)所示．


30

图(3)

31

【
若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】

§2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
一、基础过关
1．直线m∥平面α，直线n∥m，则
A．n∥α
C．n?α
A．平行































( )
B．n与α相交
D．n∥α或n?α
B．相交
D．不相交
( )
B．b与α相交
D．b∥α或b与α相交
( )
2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是 ( )
C．平行或相交
A．b∥α
C．b?α
关系是
A．l∥α








3．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是
4．一条直线 l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置
B．l⊥α
D．l∥α或l?α C．l与α相交但不垂直
5. 如图，在长方体ABCD－A< br>1
B
1
C
1
D
1
的面中：

(1)与直线AB平行的平面是______；
(2)与直线AA
1
平行的平面是______；
(3)与直线AD平行的平面是______．
6．已知不重合的直线a，b和平面α. < br>①若a∥α，b?α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b?α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b?α，其中正确命题的个数是________．
7．在正方 体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，E为 DD
1
的中点，求证：BD
1
∥平面AEC.
8. 如图，四棱锥 A—DBCE中，O为底面正方形DBCE对角线的交点，F为AE的中点．求
证：AB∥平面DCF.

二、能力提升

32

9．在空间四 边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝EF∶FB＝1∶3，
则对角线AC 和平面DEF的位置关系是
A．平行
C．在内

















B．相交
D．不能确定
( )
B．只能作出一个
D．以上都有可能
( )
10．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面
A．不存在
C．能作出无数个
11．过平行六面体ABCD－A
1
B
1< br>C
1
D
1
任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB
1D
1
平行的
直线共有________条．
12． 如图，在平行四边 形ABCD中，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成
△A′DE，F为线段A′C的中点 ．求证：BF∥平面A′DE.

三、探究与拓展
13. 正方形ABCD与正方 形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且
AP＝DQ.求证：PQ∥平面B CE.(用两种方法证明)




















33

答案
1．D 2.B 3.D 4.D
5．(1)平面A
1
C
1
和平面DC
1
(2)平面BC
1
和平面DC
1
(3)平面B
1
C和平面A
1
C
1

6．1
7．证明 如图，连接BD交AC于F，连接EF.

因为F为正方形ABCD对角线的交点，所以F为AC、BD的中点．
在三角形DD
1
B中，E、F分别为DD
1
、DB的中点，所以EF∥D
1
B.
又EF?平面AEC，BD
1
?平面AEC，所以BD
1
∥平面AE C.
8．证明 连接OF，
∵O为正方形DBCE对角线的交点，∴BO＝OE，
又AF＝FE，
∴AB∥OF，

?
OF? 平面DCF
?
?AB∥平面DCF.
?
AB∥OF
AB?平面DCF
9．A 10．D 11．12
12．证明 取A′D的中点G，连接GF，GE，

11
由条件易知FG∥CD，FG＝
CD，BE∥CD，BE＝CD，
22
所以FG∥BE，FG＝BE，故四边形BEGF为平行四边形，
所以BF∥EG.因为EG?平面A′DE，
BF?平面A′DE，
所以BF∥平面A′DE.
13．证明 如图所示，连接AQ并延长交BC于K，连接EK.
DQAQ
∵KB∥AD，∴
＝
.
BQQK
∵AP＝DQ，AE＝BD，
∴BQ＝PE.
DQAPAQAP
∴
＝
.∴
＝
.∴PQ∥EK.
BQPEQKPE
又PQ?平面BCE，EK?平面BCE，

34

∴PQ∥平面BCE.

35

【
若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】

2.2.2 平面与平面平行的判定

一、基础过关
1．直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，
则α与β的 位置关系是
A．相交



















( )
( )
B．平行 C．异面 D．不确定
2．平面α与平面β平行的条件可以是
A．α内的一条直线与β平行
B．α内的两条直线与β平行
C．α内的无数条直线与β平行
D．α内的两条相交直线分别与β平行
3．给出下列结论，正确的有 ( )
①平行于同一条直线的两个平面平行；
②平行于同一平面的两个平面平行；
③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；
④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．
A．1个 B．2个

C．3个



D．4个
( )
4．若正n边形的两条对角线分别与面α平行，则这个正n边形所在的平面一 定平行于平面
α，那么n的取值可能是
A．12 B．8 C．6 D．5
5．已知平面α、β和直线a、b、c，且a∥b∥c ，a?α，b、c?β，则α与β的关系是________．
6．有下列几个命题：
①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；
②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；
③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；
④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则
α∥β.
其中正确的有________．(填序号)
7．如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所 在平面互相垂直，BE∥CF，求证：AE∥平面
DCF.

8. 在长方体ABC D—A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F、E< br>1
、F
1
分别是AB、CD、
A
1
B
1
、C
1
D
1
的中点．

36

求证：平面A
1
EFD
1
∥平面BCF
1
E
1
.

二、能力提升
9．α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，在下列条件下，可判定α∥β的是
( )
A．α，β都平行于直线a、b
B．α内有三个不共线的点到β的距离相等
C．a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥β
D．a、b是两条异面直线，且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β
10. 正方体EFGH— E
1
F
1
G
1
H
1
中，下列四对截面中， 彼此平行的一对截面是( )

A．平面E
1
FG
1
与平面EGH
1

B．平面FHG
1
与平面F
1
H
1
G
C．平面F
1
H
1
H与平面FHE
1

D．平面E
1
HG
1
与平面EH
1
G
11. 如图所示，在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1D
1
中，E、F、G、H分别是棱CC
1
、C
1
D1
、D
1
D、
CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其 内部运动，则M满足________
时，有MN∥平面B
1
BDD
1
.

12．已知在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，M、E、F、N分别是A
1
B
1
、B
1
C
1
、C
1
D
1
、D
1
A
1
的
中点．
求证：(1)E、F、D、B四点共面；
(2)平面AMN∥平面EFDB.
三、探究与拓展
13．如图所示，B为△AC D所在平面外一点，M、N、G分别为△ABC、△ABD、
△BCD的重心．
(1)求证：平面MNG∥平面ACD；
(2)求S
△
MNG
∶S
△
ADC
.





37

答案
1．B 2．D 3．B 4.D
5．相交或平行
6．③
7．证明 由于AB∥CD，BE∥CF，故平面ABE∥平面DCF.
而直线AE在平面ABE内，根据线面平行的定义，知AE∥平面DCF.
8．证明 ∵E、 E
1
分别是AB、A
1
B
1
的中点，∴A
1
E
1
∥BE且A
1
E
1
＝BE.
∴四边形A
1
EBE
1
为平行四边形．
∴A
1< br>E∥BE
1
.∵A
1
E?平面BCF
1
E
1
，
BE
1
?平面BCF
1
E
1
.
∴A
1
E∥平面BCF
1
E
1
.
同理A
1
D
1
∥平面BCF
1
E
1
，
A
1
E∩A
1
D
1
＝A
1
， < br>∴平面A
1
EFD
1
∥平面BCF
1
E
1< br>.
9．D 10.A 11.M∈线段FH
1
12．证明 (1)∵E、F 分别是B
1
C
1
、C
1
D
1
的中点，∴E F綊B
1
D
1
，
2

∵DD
1
綊BB
1
，
∴四边形D
1
B
1
BD是平行四边形，
∴D
1
B
1
∥BD.
∴EF∥BD，
即EF、BD确定一个平面，故E、F、D、B四点共面．
(2)∵M、N分别是A
1
B
1
、A
1
D
1
的中点，
∴MN∥D
1
B
1
∥EF.
又MN?平面EFDB，
EF?平面EFDB.
∴MN∥平面EFDB.
连接NE，则NE綊A
1
B
1
綊AB.
∴四边形NEBA是平行四边形．
∴AN∥BE.又AN?平面EFDB，BE?平面EFDB.∴AN∥平面EFDB.
∵AN、MN都在平面AMN内，且AN∩MN＝N，
∴平面AMN∥平面EFDB.
13．(1)证明 连接BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H.

38

BMBNBG
∵M、N、G分别为△ABC、△AB D、△BCD的重心，则有
＝＝＝2.
MPNFGH
连接PF、FH、PH，有MN∥PF.
又PF?平面ACD，MN?平面ACD，
∴MN∥平面ACD.
同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，
∴平面MNG∥平面ACD.
MGBG2
(2)解 由(1)可知
＝＝，
PHBH3
2
∴MG＝PH.
3
11
又PH＝
AD，∴MG＝AD.
23
11
同理NG＝
AC，MN＝CD.
33
∴△MNG∽△DCA，其相似比为1∶3，
∴S
△
MNG
∶S
△
ADC
＝1∶9.


39

【
若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】

2.2.3 直线与平面平行的性质
一、基础过关
1．a，b是两条异面直线，P是空间一点，过P作平面与a，b都平行，这样的平面( )
A．只有一个
C．不一定有








B．至多有两个
D．有无数个
2. 如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为( )
A．AC⊥BD
C．AC＝BD











B．AC∥截面PQMN
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
( )
3. 如图所示，长方体 ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F 分别是棱AA
1
和BB
1
的中点，过EF的平
面EFGH分别交BC 和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是
A．平行 B．相交











C．异面 D．平行和异面
4．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线( )
A．至少有一条
C．有且只有一条
B．至多有一条
D．没有
5．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：
①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其 中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，
写出你认为正确的一个命题：_________ _____.(用序号表示)
6. 如图所示，ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的
a
棱A
1
B
1
、B
1
C
1
的中点，P是上底 面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，
3
N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝ ________.
7. ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在 DM上取一点G，
过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.


40

8. 如图所示，三棱锥A—BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.

求证：CD∥平面EFGH.
二、能力提升
9.如图所示，平面α∩β＝l
1
，α∩γ＝l
2
，β∩γ＝l
3
，l
1
∥l< br>2
，下列说法正确的是( )

A．l
1
平行于l
3
，且l
2
平行于l
3

B．l
1
平行 于l
3
，且l
2
不平行于l
3

C．l
1
不平行于l
3
，且l
2
不平行于l
3

D ．l
1
不平行于l
3
，但l
2
平行于l
3

10．如图所示，已知A、B、C、D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩ α
＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是________．

10题图 11题图
11．如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、 G、H分别是四边上的点，它们共面，并且
AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD ＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB
＝________.
12. 如图所示，P 为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、
PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l .
(1)求证：BC∥l；
(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
三、探究与拓展
13．如图所示，三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
，D是BC上一点，且A
1
B∥平面AC
1
D，D< br>1
是B
1
C
1
的
中点，求证：平面A
1BD
1
∥平面AC
1
D.

41

答案
1．C 2．C 3．A 4．B
22
5．①②?③(或①③?②) 6.a
3
7．证明 如图所示，连接AC交BD于O，连接MO，
∵ABCD是平行四边形，

ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，
过G和 AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.

∴O是AC中点，又M是PC的中点，
∴AP∥OM.
根据直线和平面平行的判定定理，
则有PA∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，
根据直线和平面平行的性质定理，
则有AP∥GH.
8．证明 ∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥GH.
又GH?平面BCD，EF?平面BCD.
∴EF∥平面BCD.
而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF?平面ACD，∴EF∥CD.
而EF?平面EFGH，CD?平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH.
9．A 10.平行四边形
11．m∶n
12．(1)证明 因为BC∥AD，AD?平面PAD，
BC?平面PAD，所以BC∥平面PAD.
又平面PAD∩平面PBC＝l，BC?平面PBC，所以BC∥l.

42

(2)解 MN∥平面PAD.
证明如下：
如图所示，取PD中点E.
连接EN、AE.
1
又∵N为PC中点，∴EN綊
AB
2
∴EN綊AM，∴四边形ENMA为平行四边形，∴AE∥MN.
又∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
13．证明 连接A
1
C交AC
1
于点E，
∵四边形A
1
ACC
1
是平行四边形，
∴E是A
1
C的中点，连接ED，
∵A
1
B∥平面AC
1
D，
平面A
1
BC∩平面AC
1
D＝ED，
∴A
1
B∥ED，
∵E是A
1
C的中点，∴D是BC的中 点．又∵D
1
是B
1
C
1
的中点，∴BD
1
∥C
1
D，
又∵C
1
D?平面AC
1
D，BD
1
?平面AC
1
D，
∴BD
1
∥平面AC
1
D，
又A
1
B∩BD
1
＝B，
∴平面A
1
BD
1
∥平面AC
1
D.

43

【
若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】

2.2.4 平面与平面平行的性质
一、基础过关
1．已知平面α∥平 面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，
则a、b的位置关系是
A．平行












( )
( )
B．相交 C．异面 D．不确定
2．已知a、b表示直线，α、β表示平面，下列推理正确的是
A．α∩β＝a，b?α?a∥b
B．α∩β＝a，a∥b?b∥α且b∥β
C．a∥β，b∥β，a?α，b?α?α∥β
D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
3. 如图所示，P是三角形ABC所在平面 外一点，平面α∥平面ABC，α分别交
线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′ ＝2∶3，则
S
△
A
′
B
′
C
′
∶S
△
ABC
等于
A．2∶25
C．2∶5
( )
a∥c
?
a∥γ
?
??
??
?a∥b；
①
?a∥b; ②
??
b∥c
?
b∥γ
?
α∥c
?
α∥γ
?
??
??
?α∥β；
③
?α∥β； ④
??
β∥c
?
β∥γ
?
α∥c
?
α∥γ
?
??
??
?a∥α.
⑤
?α∥a; ⑥
??
a∥c
?
a∥γ
?
A．④⑥ B．②③⑥ C．②③⑤⑥ D．②③
5．分别在两个平行平面的两个三角形．(填“相似”“全等”)
(1)若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有______关系；
(2)若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有________关系．
6．已知 平面α∥β∥γ，两条直线l、m分别与平面α、β、γ相交于点A、B、C与D、E、
DE2
F.已知AB＝6，＝，则AC＝______.
DF5



( )
B．4∶25
D．4∶5
4．α，β，γ为三个不重合的平面，a， b，c为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是









44

7.如图，在三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1中，M是A
1
C
1
的中点，平面AB
1
M∥平面BC< br>1
N，AC∩平
面BC
1
N＝N.

求证：N为AC的中点．
8. 如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点 E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，
在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结 论．

二、能力提升
9．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B 分别在平面α、β内运动时，得到无
数个AB的中点C，那么所有的动点C
( )
A．不共面
B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A、B如何移动，都共面
10．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的 直线m与α，β分别交于点A，C，
过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9 ，PD＝8，则BD的长为( )
24
A．16 B．24或 C．14 D．20
5
11．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β 都垂直于γ；
②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异< br>面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件
有________个．
12. 如图所示，平面α∥平面β，△ABC、△A′B′C′分别在α、 β内，线段AA′、BB′、
CC′共点于O，O在α、β之间，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝9 0°，OA∶OA′＝3∶2.
求△A′B′C′的面积．


45

三、探究与拓展
13．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，A
1
B
1
的中点是P，过点A
1
作与
截面PBC
1
平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面 的面积．


























46

答案
1．A 2．D 3．B 4．C
5．(1)相似 (2)全等
6．15
7．证明 ∵平面AB
1
M∥平面BC
1
N，
平面ACC
1
A
1
∩平面AB
1
M＝AM， 平面BC
1
N∩平面ACC
1
A
1
＝C
1N，
∴C
1
N∥AM，又AC∥A
1
C
1
，
∴四边形ANC
1
M为平行四边形，
11
∴AN＝C
1
M＝A
1
C
1
＝AC，
22
∴N为AC的中点．
8. 解 当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，
证明如下：
取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE，①
1
由EM＝< br>PE＝ED，知E是MD的中点，设BD∩AC＝O，
2
则O为BD的中点，连接OE， 则BM∥OE，②
由①②可知，平面BFM∥平面AEC，又BF?平面BFM，
∴BF∥平面AEC.
9．D 10．B
11．2
12．解 相交直线AA′，BB′所在平面和两平行平面α、β分别相交于AB、A′B′，
由面面平行的性质定理可得AB∥A′B′.
同理相交直线BB′、CC′确定的平面和平行 平面α、β分别相交于BC、B′C′，从
而BC∥B′C′.同理易证AC∥A′C′.
∴∠BAC与∠B′A′C′的两边对应平行且方向相反．
∴∠BAC＝∠B′A′C′.
同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′.
∴△ABC与△A′B′C′的三内角分别相等，
∴△ABC∽△A′B′C′，∵AB∥A′B′，AA′∩BB′＝O，
∴在平面ABA′B′中，△AOB∽△A′OB′.

47

A′B′OA′
211
＝＝
.而S
△ABC
＝AB·AC＝×2×1＝1.
ABOA322
S
△
A
′
B
′
C
′
A′B′
2
∴
＝(< br>)
，
AB
S
△
ABC
444
∴S
△
A
′
B
′
C
′
＝S
△
ABC< br>＝×1＝.
999
∴

13．解 能．取AB，C
1
D
1
的中点M，N，连接A
1
M，MC，CN，NA
1
，
∵A
1
N∥PC
1
且A
1
N＝PC
1，PC
1
∥MC，PC
1
＝MC，
∴四边形A
1
MCN是平行四边形，
又∵A
1
N∥PC< br>1
，A
1
M∥BP，A
1
N∩A
1
M＝A< br>1
，C
1
P∩PB＝P，
∴平面A
1
MCN∥平面PBC
1
，
因此，过点A
1
与截面PBC
1
平行的截面是平行四边形．
连接MN，作A
1
H⊥MN于点H，
∵A
1
M＝A
1
N＝5，
MN＝BC
1
＝22，
∴A
1
H＝3.
∴S△A
1
MN＝
1
2
×22×3＝6.
故S?A
1
MCN＝2S△A
1
MN＝26.
48

【
若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】

§2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定
一、基础过关
1．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是
A．b⊥β
C．b?β
A．a⊥β
C．a?β




















B．b∥β
D．b?β或b∥β
( )
B．a∥β
D．a?β或a∥β
( )
( )
2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是
3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是
A．垂直且相交
B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交
D．不垂直也不相交
4．如图 所示，定点A和B都在平面α内，定点P?α，PB⊥α，C是平面α
内异于A和B的动点，且PC⊥A C，则△ABC为
A．锐角三角形
C．钝角三角形




B．直角三角形
D．无法确定
( )
5. 在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中 ，
(1)直线A
1
B与平面ABCD所成的角是________；
(2 )直线A
1
B与平面ABC
1
D
1
所成的角是______ __；
(3)直线A
1
B与平面AB
1
C
1
D所 成的角是______．
6. 如图所示，在正方体ABCD－A
1
B
1< br>C
1
D
1
中，M、N分别是棱AA
1
和AB上的点， 若∠B
1
MN
是直角，则∠C
1
MN＝______.

7．如图所示，在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F分别是棱B
1
C
1
、B
1
B的中点．
求证：CF⊥平面EAB.


49

8. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形 ，侧棱PA垂直于底面，E、F分
别是AB、PC的中点，PA＝AD.

求证：(1)CD⊥PD；
(2)EF⊥平面PCD.
二、能力提升
9. 如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为( )

A．4 B．3



C．2





D．1

10 ．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻
折，在翻 折过程中
( )
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
11 ．在直三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中，BC＝CC
1
，当底面A
1
B
1
C
1
满足条件______ __时，有
AB
1
⊥BC
1
(注：填上你认为正确的一种条件即可， 不必考虑所有可能的情况)．
12. 如图所示，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，P为DD
1
的中点，O为ABC D的中心，求证：
B
1
O⊥平面PAC.

三、探究与拓展 13．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在α内的射影之间距
离为 3，求直线AB和平面α所成的角．





50

答案
1．A 2.D 3．C 4．B
5．(1)45° (2)30° (3)90°
6．90°
7．证明 在平面B
1
BCC
1
中，
∵E、F分别是B
1
C
1
、B
1
B的中点，
∴△BB
1
E≌△CBF，
∴∠B
1
BE＝∠BCF，
∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，
又AB⊥平面B
1
BCC
1
，CF?平面B
1
BCC
1
，
∴AB⊥CF，又AB∩BE＝B，
∴CF⊥平面EAB.
8．证明 (1)∵PA⊥底面ABCD，
∴CD⊥PA.
又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.

(2)取PD的中点G，连接AG，FG.又∵G、F分别是PD、PC的中点，
1
∴GF綊CD，
2
∴GF綊AE，
∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG∥EF.
∵PA＝AD，G是PD的中点，
∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，
∵CD⊥平面PAD，AG?平面PAD.
∴CD⊥AG.∴EF⊥CD.
∵PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD.
9．A 10．B
11．∠A
1
C
1
B
1
＝90°
12．证明 连接AB
1
，CB
1
，设AB＝1.
∴AB
1
＝CB
1
＝2，

51

∵AO＝CO，∴B
1
O⊥AC.
连接PB
1
.
3
22
∵OB
2
1
＝OB
＋BB
1
＝
，
2
9
22
PB< br>2
1
＝PD
1
＋B
1
D
1
＝
，
4
3
OP
2
＝PD
2
＋DO
2＝，
4
22
∴OB
2
1
＋OP
＝PB
1
.
∴B
1
O⊥PO，
又∵PO∩AC＝O，∴B
1
O⊥平面PAC.
13．解 (1)如图①， 当A、B位于平面α同侧时，由点A、B分别向平面α作垂线，垂足分
别为A
1
、B< br>1
，则AA
1
＝1，BB
1
＝2，B
1
A< br>1
＝3.过点A作AH⊥BB
1
于H，则AB和α所成
2－1
3
角即为∠HAB.而tan∠BAH＝＝
.
3
3
∴∠BAH＝30°.

(2)如图②，当A、B位于平面α 异侧时，经A、B分别作AA
1
⊥α于A
1
，BB
1
⊥α于 B
1
，
AB∩α＝C，则A
1
B
1
为AB在平面α 上的射影，∠BCB
1
或∠ACA
1
为AB与平面α所成
的角．
∵△BCB
1
∽△ACA
1
，
BB
1
B
1
C
∴
＝＝2，
AA
1
CA
1
∴B
1
C＝2CA
1
，而B
1< br>C＋CA
1
＝3，
23
∴B
1
C＝.
3
BB
1
2
∴tan∠BCB
1
＝
＝＝3，
B
1
C
23
3
∴∠BCB
1
＝60°.
综合(1)、(2)可知：AB与平面α所成的角为30°或60°.

52

【
若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】

第三章 直线与方程
§3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率
一、基础过关
1．下列说法中：
①任何一条直线都有唯一的倾斜角；
②任何一条直线都有唯一的斜率；
③倾斜角为90°的直线不存在；
④倾斜角为0°的直线只有一条．
其中正确的个数是
A．0












( )
( )
B．1












C．2 D．3
2．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为
A．a＝4，b＝0
C．a＝4，b＝－3
线的斜率之和为
A．－23
A．[0°，90°]


B．a＝－4，b＝－3
D．a＝－4，b＝3




3．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在 直
( )
( )
B．0

C.3 D．23
4．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是
B．[90°，180°)
D．[90°，135°] C．[90°，180°)或α＝0°
5．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为____________，斜率为__ ________．
6．若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则 实数a的取值范围为
_______．
7. 如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60° ，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的
倾斜角和斜率．

8．一条光线从点A(－1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，求P点的
坐标．
二、能力提升
9．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标 原点按逆时针方向旋转45°，得
到直线l
1
，那么l
1
的倾斜角为
A．α＋45°



( )

53

B．α－135°
C．135°－α
( )
D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<1 80°时，倾斜角为α－135°
10. 若图中直线l
1
、l
2
、l
3
的斜率分别为k
1
、k
2
、k
3
， 则

A．k
1
2
3
C．k
3
2
1










B．k
3
1
2

D．k
1
3
2

11．已知直线l的倾斜角为α－20°，则α的取值范围是________．
12．△A BC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，
求边AB与AC所 在直线的斜率．
三、探究与拓展
f?a?f?b?f?c?
13．已知函数f(x )＝log
2
(x＋1)，a>b>c>0，试比较，，的大小．
abc
























54

答案
1．B 2．C 3.B 4．C
33
5．30°或150° 或－
33
6．(－2,1)
7．解 直线AD，BC的倾斜角为60°，直线AB ，DC的倾斜角为0°，直线AC的倾斜角为
30°，直线BD的倾斜角为120°.
kAD
＝k
BC
＝3，k
AB
＝k
CD
＝0，
k
AC
＝
3
，k
BD
＝－3.
3
3－01－0
31
8．解 设P(x,0)，则k
PA
＝
＝－，k
PB
＝
＝，依题意，
－1－x
x＋13－x3－x
由光的反射定律得k
PA
＝－k
PB
，
31
即＝，解得x＝2，即P(2,0)．
x＋13－x
9．D 10．D
11.20°≤α<200°
12．解 如右图，由题意知∠BAO＝∠OAC＝30°，
∴直线AB的倾斜角为180°－30°＝150°，直线AC的倾斜角为30°，
∴k
AB
＝tan 150°＝－
k
AC
＝tan 30°＝
3
.
3
3
，
3
f?x?
13．解 画出函数的草图如图，
可视为过原点直线的斜率．
x
f?c?f?b?f?a?
由图象可知：
>>.
cba

55

【
若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
一、基础过关
1．下列说法中正确的有 ( )
①若两条直线斜率相等，则两 直线平行；②若l
1
∥l
2
，则k
1
＝k
2
；③若两直线中有一条
直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两条直线的斜 率都不
存在，则两直线平行
A．1个
A．－8
A．45°
值为












B．2个
B．0
B．135°







C．3个
C．2





D．4个
( )
( )
D．10

D．120°

2．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值为
3 ．已知l
1
⊥l
2
，直线l
1
的倾斜角为45°，则直线l
2
的倾斜角为
C．－45°

4．已知A( m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则m的
( )
B．0 C．0或2 D．0或1 A．1
＝________.
5．经过点A(1,1)和点B(－3,2)的直线l
1与过点C(4,5)和点D(a，－7)的直线l
2
平行，则a
6． 直线l1
，l
2
的斜率k
1
，k
2
是关于k的方程2 k
2
－3k－b＝0的两根，若l
1
⊥l
2
，则b＝___ _____；
若l
1
∥l
2
，则b＝________.
7．(1)已知四点A(5,3)，B(10,6)，C(3，－4)，D(－6,11)，求证：AB⊥CD.
3
(2)已知直线l
1
的斜率k
1
＝，直线l
2< br>经过点A(3a，－2)，B(0，a
2
＋1)且l
1
⊥l
2
，求实数
4
a的值．
8. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQ R的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)、
P(1，t)、Q(1－2t,2＋t)、R(－2t ,2)，其中t>0.试判断四边形OPQR的形状．

二、能力提升
9．顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是
A．平行四边形
C．等腰梯形








B．直角梯形
D．以上都不对
( )
10．已知直线l
1
的倾斜角为60°，直线l
2
经过点 A(1，3)，B(－2，－23)，则直线l
1
，l
2
的位置关系是___ _________．

56

11．已知△ABC的顶 点B(2,1)，C(－6,3)，其垂心为H(－3,2)，则其顶点A的坐标为________．
12．已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6，6)，C(0，6)，求此三角形三边的
高所在直线的斜率．
三、探究与拓展
13．已知四边形ABCD的顶点A(m，n )，B(5，－1)，C(4，2)，D(2,2)，求m和n的值，使
四边形ABCD为直角梯形．

































57

答案
1．A 2．A 3.B 4.D
5．52
6．2 －
9
8

7．(1)证明 由斜率公式得：
k
3
AB
＝
6－
10－5
＝
3
5
，
k＝11－?－4?
CD
5
－6－3
＝－
3
，
则k
AB
·k
CD
＝－1，∴AB⊥CD.
(2)解 ∵l
1
⊥l
2
，∴k
1
·k
2
＝－1，
即
3
a
2
＋1－?－2?
4
×
0－3a< br>＝－1，解得a＝1或a＝3.
8．解 由斜率公式得k
t－0
OP
＝
1－0
＝t，
k
2 －?2＋t?
－t
2－0
QR
＝
－2t－?1－2t?
＝< br>－1
＝t，k
OR
＝
－2t－0
＝－
1
t< br>，
k
2＋t－t
PQ
＝
21
1－2t－1
＝
－2t
＝－
t
.
∴k
OP
＝k
QR< br>，k
OR
＝k
PQ
，从而OP∥QR，OR∥PQ.
∴四边形OPQR为平行四边形．
又k
OP
·k
OR
＝－1，∴OP⊥OR，
故四边形OPQR为矩形．
9．B
10．平行或重合
11．(－19，－62)
12．解 由斜率公式可得
k
?－4?
AB
＝
6－
5
6－?－2?
＝
4
，
k
6－6
BC
＝
6－0
＝0，
k
6－?－4?
AC
＝
0－?－2?
＝5.
由k
BC
＝0知直线BC∥x轴，

58

∴BC边上的高线与x轴垂直，其斜率不存在．
设AB、AC边上 高线的斜率分别为k
1
、k
2
，由k
1
·k
AB< br>＝－1，k
2
·k
AC
＝－1，
5
即k
1
·
＝－1，k
2
·5＝－1，
4
41
解得k
1
＝－
，k
2
＝－.
55
∴BC边上的高所在直线的斜率不存在；
AB边上的高所在直线的斜率为－
4
5
；
AC边上的高所在直线的斜率为－
1
5
.
13．解 ∵四边形ABCD是直角梯形，
∴有2种情形：
(1)AB∥CD，AB⊥AD，
由图可知：A(2，－1)．
(2)AD∥BC，AD⊥AB，
?
??
k
AD
＝k
BC
?
?
k
AD
·k＝－1


AB
?
?
n－2
3
m－ 2
＝
－1
?
?
?
?
n－2
m－2
·
n＋1
m－5
＝－1


m＝
16
∴
?
?
5
8
.
?
n＝－
5

16
综上
?
?
?< br>m＝2
?
或
?
n＝－1

?
m＝
?
5
?
n＝－
8
5

.

59

【
若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】

§3.2 直线的方程
3.2.1 直线的点斜式方程
一、基础过关
1．已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线方程为
A．y＝3x＋2
C．y＝－3x－2
A．2x＋y－1＝0
C．x－2y＋7＝0
A．k>0，b>0
C．k<0，b>0












B．y＝－3x＋2
D．y＝3x－2
( )
B．x－2y－5＝0
D．2x＋y－5＝0
( )
B．k>0，b<0
D．k<0，b<0
( )
2．过点(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为
3．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有
4．下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是( )

5．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为______ _．
6．已知一条直线经过点P(1,2)且与直线y＝2x＋3平行，则该直线的点斜式方程是__ ______．
7．求满足下列条件的直线方程：
(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；
(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；
(3)过点P(5，－2)，且与y轴平行；
(4)过点P(－2,3)，Q(5，－4)两点．
8．已知△ABC的三个顶点坐标分别是 A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，求BC边上的高所在
的直线方程．
二、能力提升
9．集合A＝{直线的斜截式方程}，B＝{一次函数的解析式}，则集合A、B间的关系是( )
A．A＝B
C．AB
( )
A．(1,3)
C．(3,1)








B．(－1，－3)
D．(－3，－1)






B．BA
D．以上都不对
10．直线kx－y＋1－3k＝0当k变化时，所有的直线恒过定点
11．下列四个结论：

60

y－2
①方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线；
x＋1
② 直线l过点P(x
1
，y
1
)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x
1
；
③直线l过点P(x
1
，y
1
)，斜率为0，则其方 程是y＝y
1
；
④所有的直线都有点斜式和斜截式方程．
正确的为________(填序号)．
12．已知直线l：y＝kx＋2k＋1.
(1)求证：直线l恒过一个定点；
(2)当－3三、探究与拓展
13．等腰△ABC的顶点A(－1,2)，AC的斜率为3，点B(－3,2)，求直线AC、BC及 ∠A的
平分线所在直线的方程．




























61

答案
1．D 2．C 3．B 4．C
11
5．y＝－x＋
33
6．y－2＝2(x－1)
7．解 (1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k ＝－3，∴由直线方程的点斜式得直线方程为y－3
＝－3(x＋4)，
即3x＋y＋9＝0.
(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为
y－(－4)＝0(x－3)，即y＝－4.
(3)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示，
但直线上点的横坐标均为5，故直线方程为x＝5.
－4－3－7
(4)过点P(－ 2,3)，Q(5，－4)的直线斜率k
PQ
＝
＝＝－1.
5－?－2?
7
又∵直线过点P(－2,3)，
∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y－3＝－1(x＋2)，
即x＋y－1＝0.
8．解 设BC边上的高为AD，则BC⊥AD，
∴k
AD
·k
BC
＝－1，
2＋3
3
∴·k
AD
＝－1，解得k
AD
＝. < br>5
0－3
33
∴BC边上的高所在的直线方程为y－0＝(x＋5)，即y＝x ＋3.
55
9．B 10.C
11．②③
12．解 (1)由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)．
由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1)．
(2)设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，
若使当－3?
f?－3?≥0，
需满足
?

?
f?3?≥0.
?
?
－3k＋2k＋1≥0，
即
?

?
?
3k＋2k＋1≥0.
1
解得－
≤k≤1.
5
所以，实数k的取值范围是
1
－
≤k≤1.
5

62

13．解 直线AC的方程：
y＝3x＋2＋3.
∵AB∥x轴，
AC的倾斜角为60°，
∴BC的倾斜角为30°或120°.
当α＝30°时，BC方程为y＝
3
x＋2＋3，∠A平分线倾斜角为120°，
3
∴所在直线方程为y＝－3x＋2－3.
当α＝120°时，BC方程为y＝－3x＋2－33，∠A平分线倾斜角为30°，
∴所在直线方程为y＝
33
x＋2＋.
33

63

【
若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】

3.2.2 直线的两点式方程
一、基础过关
1．过点A(3,2)，B(4,3)的直线方程是
A．x＋y＋1＝0
C．x－y＋1＝0






( )
B．x＋y－1＝0
D．x－y－1＝0
( ) 2．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程
A．可以写成两点式或截距式
B．可以写成两点式或斜截式或点斜式
C．可以写成点斜式或截距式
D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式
xy
3．直线
2
－
2
＝1在y轴上的截距是
ab
A．|b| B．－b
2



















( )
C．b
2
D．±b
( ) 4．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是
A．3x－y－8＝0
C．3x－y＋6＝0
B．3x＋y＋4＝0
D．3x＋y＋2＝0 < br>5．过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是___________ _____．
6．过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A、B两点，若P为AB的中点，则 直线l的截
距式方程是______________．
7．已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为37，求直线l的方程．
8．已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：
(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程；
(2)BC边的中线所在直线的方程并化为截距式方程．
二、能力提升
xyxy
9．直线－＝1与－＝1在同一坐标系中的图象可能是
mnnm
( )


10．过点(5,2)，且在x轴上的截距(直线与x轴交点的横坐标 )是在y轴上的截距的2倍的直

64

线方程是
( )










A．2x＋y－12＝0
C．x－2y－1＝0
________．
B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0
D．x＋2y－9＝0或2x－5y＝0
11．已知点A(2,5)与点B(4，－7)，点P在y轴上，若|PA|＋|PB|的值最小，则点P的坐 标是
12．三角形ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．
(1)求边AC和AB所在直线的方程；
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；
(3)求AC边上的中垂线所在直线的方程．
三、探究与拓展
13．已知直线l经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线l的方程．



























65

答案
1．D 2.B 3.B 4.B
xyx
5.＋＝1或＋y＝1
322
xy
6.＋＝1
26
7．解 设所求直线l的方程为y＝kx＋b.
∵k＝6，∴方程为y＝6x＋b.
令x＝0，∴y＝b，与y轴的交点为(0，b)；
b
b
－，0
?
. 令y＝0，∴x＝－，与x轴的交点为
?
?
6
?
6
b
－
?
2
＋b
2
＝37， 根据勾股定理得
?
?
6
?
∴b＝±6.因此直 线l的方程为y＝6x±6.
8．解 (1)平行于BC边的中位线就是AB、AC中点的连线．因为 线段AB、AC中点坐标为
?
7
，1
?
，
?
－1
，－2
?
，
?
2
??
2
?
1
x＋
y＋2
2
xy
所以这条直线的方程为＝，整理得，6x－8 y－13＝0，化为截距式方程为－
1313
1＋2
7
＋
1
2268
＝1.
(2)因为BC边上的中点为(2,3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为
x－1
＝，
3＋42－1
即7x－y－11＝0，化为截距式方程为
xy
－＝1.
1111
7
9．B 10．D
11．(0,1)
12．解 (1)由截距式得
xy
＋＝1，
－8
4
y＋4
∴AC所在直线的方程为x－2y＋8＝0，
y－4
x
由两点式得＝，
6－4
－2
∴AB所在直线的方程为x＋y－4＝0.
(2)D点坐标为(－4,2)，由两点式得
＝
.
6－2
－2－?－4?
∴BD所在直线的方程为2x－y＋10＝0.
y－2x－?－4?

66

1
(3)由 k
AC
＝
，∴AC边上的中垂线的斜率为－2，又D(－4,2)，
2
由点斜式得y－2＝－2(x＋4)，
∴AC边上的中垂线所在直线的方程为2x＋y＋6＝0.
13．解 当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，
1
故直线l的斜率为，
7
1
∴所求直线方程为y＝x，
7
即x－7y＝0.
当直线l不过原点时，
xy
设其方程为＋＝1，
ab
由题意可得a＋b＝0，①
71
又l经过点(7,1)，有＋＝1，②
ab
由①②得a＝6，b＝－6，
xy
则l的方程为＋＝1，
6
－6
即x－y－6＝0.
故所求直线l的方程为x－7y＝0或x－y－6＝0.

67

【
若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】

2.3.2 平面与平面垂直的判定
一、基础过关
1．过两点与一个已知平面垂直的平面
A．有且只有一个
C．一个或无数个








( )
B．有无数个
D．可能不存在
( ) 2．不能肯定两个平面一定垂直的情况是
B．一个平面经过另一个平面的一条垂线
A．两个平面相交，所成二面角是直二面角
C．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
D．平面α内的直线a与平面β内的直线b是垂直的
3．设有直线m、n和平面α、β，则下列结论中正确的是
①若m∥n，n⊥β，m?α，则α⊥β；
②若m⊥n，α∩β＝m，n?α，则α⊥β；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.
A．①② B．①③ C．②③

D．①②③
( ) 4．设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
5．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD ，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP
所成的二面角的度数是________．
6．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．
( )

7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥ 平面ABCD，PD∥MA，E、G、
F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证 ：平面EFG⊥平面PDC.
8. 如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形 ，∠BCD＝60°，E是CD
的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3.


68

(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A—BE—P的大小．
二、能力提升
9．在边长为1的菱形ABC D中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝
3
，则二面角B－AC－ D的余弦值为
2
( )

1
B.
2



22
C.
3

D.
3

2
( )
1
A.
3
10．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论 中不成
立的是






A．BC∥面PDF B．DF⊥面PAE
D．面PAE⊥面ABC C．面PDF⊥面ABC
11．如图，在直三棱柱ABC—A
1
B
1< br>C
1
中，E、F分别是A
1
B、A
1
C的中点，点D在B
1
C
1
上，A
1
D⊥B
1
C .
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A
1
FD⊥平面BB
1
C
1
C.


12．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC ＝60°，∠BCA＝90°，
点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.

(1)求证：BC⊥平面PAC.
(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．
三、探究与拓展 < br>13．如图所示，三棱锥P—ABC中，D是AC的中点，PA＝PB＝PC＝5，AC＝22，AB＝2，BC＝6.

(1)求证：PD⊥平面ABC；
(2)求二面角P—AB—C的正切值．




69

答案
1．C 2.D 3.B 4.B
5．45° 6．5
7．证明 因为MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.
又BC?平面ABCD，所以PD⊥BC.
因为四边形ABCD为正方形，
所以BC⊥DC.
又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.
在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，
所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.
又GF?平面EFG，
所以平面EFG⊥平面PDC.
8．(1)证明 如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，
△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.
又AB∥CD，所以BE⊥AB.
又因为PA⊥平面ABCD，
BE?平面ABCD，
所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，
因此BE⊥平面PAB.
又BE?平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)解 由(1)知，BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，
所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．
PA
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝3，则∠PBA＝60°.
AB
故二面角A—BE—P的大小是60°.
9．B 10．C
11．证明 (1)由E、F分别是A
1
B、A
1
C的中点知EF∥BC.
因为EF?平面ABC，BC?平面ABC.
所以EF∥平面ABC.
(2)由三 棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
为直三棱柱知CC
1< br>⊥平面A
1
B
1
C
1
.又A
1
D? 平面A
1
B
1
C
1
，故
CC
1
⊥ A
1
D.
又因为A
1
D⊥B
1
C，CC
1
∩B
1
C＝C，故A
1
D⊥平面BB
1
C
1
C，又A
1
D?平面A
1
FD，所以
平面A
1
FD⊥平面BB
1
C
1
C.
12．(1)证明 ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.
又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.

70

(2)解 ∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC.
又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE.
∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，
∴∠PAC＝90°.
∴在棱PC上存在一点E，
使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，
故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．
13．(1)证明 连接BD，
∵D是AC的中点，PA＝PC＝5，
∴PD⊥AC.
∵AC＝22，AB＝2，BC＝6，
∴AB
2
＋BC
2
＝AC
2
.
∴∠ABC＝90°，即AB⊥BC.
1
∴BD＝AC＝2＝AD.
2< br>∵PD
2
＝PA
2
－AD
2
＝3，PB＝5，
∴PD
2
＋BD
2
＝PB
2
.∴PD⊥BD.
∵AC∩BD＝D，∴PD⊥平面ABC.
(2)解 取AB的中点E，连接DE、PE，由E为AB的中点知DE∥BC，
∵AB⊥BC，∴AB⊥DE.
∵PD⊥平面ABC，∴PD⊥AB.
又AB⊥DE，DE∩PD＝D，∴AB⊥平面PDE，∴PE⊥AB.
∴∠PED是二面角P—AB—C的平面角．
16
在△PED中，DE＝
BC＝
，PD＝3，∠PDE＝90°，
22
PD
∴tan∠PED＝
＝2.
DE
∴二面角P—AB—C的正切值为2.

71

【
若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】

2.3.3 直线与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质
一、基础过关
1．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是 ( )
①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；
②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；
③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上；
④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面．
A．4 B．3 C．2






D．1


( )
( )
2．在圆柱的一个底 面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一底面的垂线，则这
条垂线与圆柱的母线所在直线的 位置关系是
A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或平行
3．若m、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为
m∥n
?
m⊥α
?
??
?
?n⊥α； ②
?
?m∥n；
①
??
m⊥α
?
n⊥α
?
m⊥α
?
m∥α
?
??
??
?n⊥α.
③
?m⊥n; ④
??
n∥α
?
m⊥n
?
A．1
A．垂心




B．2



C．3





D．4
D．重心
4．在△ABC所在的平面α外有一点P，且PA＝PB＝PC，则P在α内的射影是△ABC的( )
B．内心 C．外心
5. 如图所示，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________.

6．若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则a与β的关系为________．
7. 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.

求证：BC⊥AB.
8. 如图所示，在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，M是AB上一点，N是
A
1
C的中点，MN⊥平面A
1
DC.
求证：(1)MN∥AD
1
；

72

(2)M是AB的中点．
二、能力提升
ππ
9. 如图所示，平面α⊥平 面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、
46
B分别作两平面交 线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′等于( )

A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．4∶3
10．设α－l－β是直二面角，直线a?α，直线b?β，a，b与l都不垂直，那么( )
A．a与b可能垂直，但不可能平行
B．a与b可能垂直，也可能平行
C．a与b不可能垂直，但可能平行
D．a与b不可能垂直，也不可能平行
11． 直线a和b在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是
________．(只填序号)
①a和b垂直于正方体的同一个面；
②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；
③a和b平行于同一条棱；
④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直． < br>12．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，
△PAD 是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45.
(1)设M是PC上的一点，
求证：平面MBD⊥平面PAD；
(2)求四棱锥P—ABCD的体积．
三、探究与拓展
1
13．如图，直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，AC＝BC＝AA
1
，D是棱AA
1
2
的中点，DC
1
⊥BD.
(1)证明：DC
1
⊥BC；
(2)求二面角A
1
－BD－C
1
的大小．









73

答案
1．B 2.B 3．C 4．C
5．6
6．a⊥β
7．证明 在平面PAB内，作AD⊥PB于D.
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB.
∴AD⊥平面PBC.
又BC?平面PBC，
∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，
BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB.
又AB?平面PAB，
∴BC⊥AB.
8．证明 (1)∵ADD
1
A
1
为正方形，
∴AD
1
⊥A
1
D.
又∵CD⊥平面ADD
1
A
1
，
∴CD⊥AD
1
.
∵A
1
D∩CD＝D，
∴AD
1
⊥平面A
1
DC.
又∵MN⊥平面A
1
DC，
∴MN∥AD
1
.
(2)连接ON，在△A
1
DC中，
A
1
O＝OD，A
1
N＝NC.
11
∴ON綊CD綊AB，
22
∴ON∥AM.
又∵MN∥OA，
∴四边形AMNO为平行四边形，
∴ON＝AM.
11
∵ON＝AB，∴AM＝AB，
22
∴M是AB的中点．
9．A 10．C
11．①②③
12．(1)证明 在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，
∴AD
2
＋BD
2
＝AB
2
.∴AD⊥BD.

74

又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，BD?面ABCD，
∴BD⊥面PAD，又BD?面BDM，
∴面MBD⊥面PAD.
(2)解 过P作PO⊥AD，
∵面PAD⊥面ABCD，
∴PO⊥面ABCD，
即PO为四棱锥P—ABCD的高．
又△PAD是边长为4的等边三角形，
∴PO＝23.
在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，∴四边形ABCD为梯形．
4×8
85
在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为＝，
5
45
此即为梯形的高．
∴S
四边形ABCD
＝
25＋45
85
×
＝24.
25
1
∴V
P—ABCD
＝×24×23＝163.
3
13．(1)证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D为AA
1
的中点，故DC＝DC
1
.
1
2
＋DC
2
＝CC
2
，所以DC⊥DC.而DC ⊥BD，CD∩BD＝D，所
又AC＝
AA
1
，可得DC
1111< br>2
以DC
1
⊥平面BCD.
因为BC?平面BCD，所以DC
1
⊥BC.
(2)解 DC
1
⊥BC，CC
1
⊥BC?BC⊥平面ACC
1
A
1
?BC⊥AC，取
A
1
B
1
的中点O，过点O作OH⊥BD于点H， 连接C
1
O，C
1
H，A
1
C
1
＝B1
C
1
?C
1
O⊥A
1
B
1
，面A
1
B
1
C
1
⊥面A
1
BD?C1
O⊥面A
1
BD，又
∵DB?面A
1
DB，∴C1
O⊥BD，又∵OH⊥BD，∴BD⊥面C
1
OH，
C
1H?面C
1
OH，∴BD⊥C
1
H，得点H与点D重合，且∠C
1
DO
是二面角A
1
－BD－C的平面角，设AC＝a，则C
1O＝
2
a，C
1
D
2
＝2a＝2C
1
O?∠C
1
DO＝30°，故二面角A
1
－BD－C
1
的大 小为30°.

75

【
若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】

3.2.3 直线的一般式方程
一、基础过关
1．直线(2m
2
－5m＋2)x－(m
2
－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为
A．－2 B．2





C．－3 D．3
( ) 2．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和二、四象限，则
A．C＝0，B>0
C．AB<0，C＝0
B．A>0，B>0，C＝0
D．AB>0，C＝0
( )
( )
3．直线x＋2ay－1＝0与(a－1)x＋ay＋1＝0平行，则a的值为
33
A. B.或0 C．0 D．－2或0
22
4．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是
A．3x＋2y－1＝0
C．2x－3y＋5＝0
为________．




B．3x＋2y＋7＝0
D．2x－3y＋8＝0
( )
5．已知直线(a＋2)x＋(a
2
－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距
6．若直线l
1< br>：x＋ay－2＝0与直线l
2
：2ax＋(a－1)y＋3＝0互相垂直，则a的值为 ________．
7．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率为3，且经过点A(5,3)；
(2)过点B(－3,0)，且垂直于x轴；
(3)斜率为4，在y轴上的截距为－2；
(4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；
(5)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点；
(6)在x轴，y轴上截距分别是－3，－1.
8．利用直线方程的一般式，求过点(0,3)并且与坐标轴围成三角形的面积是6的直线方程．
二、能力提升
9．直线l
1
：ax－y＋b＝0，l
2
： bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致
是 ( )

10．直线ax＋by＋c＝0 (ab≠0)在两坐标轴上的截距相等，则a，b，c满足( )
A．a＝b







B．|a|＝|b|且c≠0
D．a＝b或c＝0 C．a＝b且c≠0
11．已知A(0,1)，点B在直线l1
：x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，直线AB的一般式方

76

程为________________．
12．已知直线l1
：(m＋3)x＋y－3m＋4＝0，l
2
：7x＋(5－m)y－8＝0，问 当m为何值时，直线
l
1
与l
2
平行．
三、探究与拓展
13．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．
































77

答案

1．D 2.D 3.A 4.A
4
5．－
15
6．0或－1
7．解 (1)由点斜式方程得y－3＝3(x－5)，
即3x－y＋3－53＝0.
(2)x＝－3，即x＋3＝0.
(3)y＝4x－2，即4x－y－2＝0.
(4)y＝3，即y－3＝0.
y－5x－?－1?
(5)由两点式方程得
＝，
－1－5
2－?－1?
即2x＋y－3＝0.
(6)由截距式方程得
xy
＋＝1，即x＋3y＋3＝0.
－3－1
8．解 设直线为Ax＋By＋C＝0，
C
∵直线过点(0,3)，代入直线方程得3B＝－C，B＝－.
3
C
2
由三角形面积为6，得|
|＝12，
AB
C
∴A＝±
，
4
CC
∴方程为±x－y＋C＝0，
43
所求直线方程为3x－4y＋12＝0或3x＋4y－12＝0.
9．C 10．D
11．x－y＋1＝0
12．解 当m＝5时，l
1
：8x＋y－11＝0，l
2
：7x－8＝0.
显然l
1
与l
2
不平行，同理，当m＝－3时，l
1
与l< br>2
也不平行．
7
－?m＋3?＝
m－5
?
?
当m≠5且m≠－3时，l
∥l?
?
8
3m－4≠
?
5－ m
?
12

，
∴m＝－2.
∴m为－2时，直线l
1
与l
2
平行．
13．(1)证明 将直线l的方程整理为
31
y－
＝a(x－
)，
55
13
∴l的斜率为a，且过定点A(
，
)．
55

78

13
而点A(，
)在第一象限，故l过第一象限．
55

∴不论a为何值，直线l总经过第一象限．
3
－0
5
(2)解 直线OA的斜率为k＝＝3.
1
5
－0
∵l不经过第二象限，∴a≥3.
79

【
若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】

§3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.1 两条直线的交点坐标
一、基础过关
1．两直线2x－y＋k＝0和4x－2y＋1＝0的位置关系为
A．垂直 B．平行


( )
C．重合 D．平行或重合
( )
A．2x＋y－8＝0
C．2x＋y＋8＝0
A．1
A．－24


















B．2x－y－8＝0
D．2x－y＋8＝0
( )
C．2

D．－2
D．以上答案均不对
2．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线的方程是
3．直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为
B．－1
B．6
4．两条直线l
1
：2x＋3y－m＝0 与l
2
：x－my＋12＝0的交点在y轴上，那么m的值为( )
C．±6
5．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，则b ＝________.
6．已知直线l过直线l
1
：3x－5y－10＝0和l2
：x＋y＋1＝0的交点，且平行于l
3
：x＋2y－5
＝0，则直线 l的方程是______________．
7．判断下列各题中直线的位置关系，若相交，求出交点坐标．
(1)l
1
：2x＋y＋3＝0，l
2
：x－2y－1＝0；
(2)l
1
：x＋y＋2＝0，l
2
：2x＋2y＋3＝0；
(3)l
1
：x－y＋1＝0，l
2
：2x－2y＋2＝0. 8．求经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且在y轴上的截距为在x轴上截距
的两倍的直线l的方程．
二、能力提升
9．若两条直线2x－my＋4＝0和2mx＋3y－6＝0的交点位于第二象限，则m的取值范围是
( )
3
－，2
?
A.
?
?
2
?
3
－，0
?
C.
?
?
2
?










B．(0,2)
3
－，2
?
D.
?
?
2
?




( )
10．直线l与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M(1，
－1)，则直线l的斜率为
32
A. B.
23
________．
12．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－ 2y＋1＝0，∠A的角平分线所在直线

80




3
C．－
2
2
D．－
3
11．当a取不 同实数时，直线(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为

的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．

三、探究与拓展
13．一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝2 5反射后通过点P(－4,3)，求
反射光线与直线l的交点坐标．


































81

答案
1．D 2．A 3.B 4．C
5．2
6．8x＋16y＋21＝0
21
7．解 (1)≠
，所以方程组有唯一解，两直线相交，交点坐标为(－1，－1)．
1
－2
112
(2)
＝
≠
，所以方程组没有解，两直线平行．
2 23
1
－1
1
(3)
＝＝，方程组有无数个解，两直线重合．
2
－2
2
8．解 (1)2x＋y－8＝0在x轴、y轴上的截距分别是4和8，符合题意．
(2)当l的方程不是2x＋y－8＝0时，
设l：(x－2y＋1)＋λ(2x＋y－8)＝0，
即(1＋2λ)x＋(λ－2)y＋(1－8λ)＝0.
据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0.
1－8λ
令x＝0，得y＝－；
λ－2
1－8λ
令y＝0，得x＝－
.
1＋2λ
?
1－8λ
?
1－8λ
∴－
＝2·
?
－
?

1＋2λ
λ－2
??
12
解之得λ＝，此时y＝
x.
83
即2x－3y＝0.
∴所求直线方程为2x＋y－8＝0或2x－3y＝0.
9．A 10．D
11．(－1，－2)
12．解 如图所示，由已知，A应是BC边上的高线所在直线与∠A
的角平分线所在直线的交点．
? ?
?
x－2y＋1＝0
?
y＝0
由
?
，得
?
，
??
?
y＝0
?
x＝－1
故A(－1,0)．
又∠A的角平分线为x轴，
故k
AC
＝－k
AB
＝－1，
∴AC所在直线方程为y＝－(x＋1)，
又k
BC
＝－2，∴BC所在直线方程为y－2＝－2(x－1)，


82

??
?
y＝－?x＋1?
?
x＝5
由
?
，得
?
，
y－2＝－2?x－1?y＝－6
??
??
故C点坐标为(5，－6)．
13．解 设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在
l上得
b
?
4
?
·
－
＝－1
a
?
3< br>?

?
?
ab
?
8×
2
＋6×< br>2
＝25

?
?
a＝4
，解得
?
，
b＝3
?
?

∴A的坐标为(4,3)．
∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，
又由反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y＝3.
7< br>?
?
y＝3
x＝
?
?
8
由方程组
?
，解得
?
，
?
?
?
8x＋6y＝25
?
y＝3

< br>7
?
∴反射光线与直线l的交点坐标为
?
?
8
，3< br>?
.

83

【
若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】

3.3.2 两点间的距离
一、基础过关
1．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b等于
A．0或8










B．0或－8
D．0或－6


( )
( )
( )
D．210

D．6＋210
C．0或6
A．5
A．23


( )
2．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于
B．42 C．25
3．已知△ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC的周长是
B．3＋23






C．6＋32
B．4x－2y＝5
D．x－2y＝5
4．已知点A(1,2)，B(3,1)，则到A，B两点距离相等的点的坐标满足的条件是
A．4x＋2y＝5
C．x＋2y＝5
_______．

5． 已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点 的距离是
6．点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为_________ _____．
7．已知直线l：y＝－2x＋6和点A(1，－1)，过点A作直线l
1与直线l相交于B点，且|AB|
＝5，求直线l
1
的方程．
8．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半．
二、能力提升
9．已知A( －3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|最短，则点M的坐标是( )
22
??
0，
22
?

，0
A．(－1,0) B．(1,0) C.
?
D.
5
??5
??
10．设A，B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线 PA的方程为x－y＋1
＝0，则直线PB的方程为
A．x＋y－5＝0
C．2y－x－4＝0
长为________．
12．△ABC中，D是BC 边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|
2
＝|AD|
2
＋|BD| ·|DC|.求证：
△ABC为等腰三角形．
三、探究与拓展
13．已知直线l过 点P(3,1)且被两平行直线l
1
：x＋y＋1＝0，l
2
：x＋y＋6＝ 0截得的线段长
为5，求直线l的方程．



84






( )




B．2x－y－1＝0
D．2x＋y－7＝0
1 1．等腰△ABC的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰

答案
1．A 2．C 3．C 4．B
5.17 6.(2,10)或(－10,10)
7．解 由于B在l上，可设B点坐标为(x
0
，－2x
0
＋6)．
由|A B|
2
＝(x
0
－1)
2
＋(－2x
0
＋ 7)
2
＝25，
化简得x
2
0
－6x
0
＋5＝0，解得x
0
＝1或5.
当x
0
＝1时，AB方程为x＝1，
当x
0
＝5时，AB方程为3x＋4y＋1＝0.
综上，直线l
1
的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.
8．证明 如图所示，D，E分别为边AC和BC的中点，
以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
设A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)，则|AB|＝c，
又由中点坐标公式， < br>mn
?
?
c＋m
n
?
，
，E
?可得D
?
，
?
22
?
?
2
，
2
?
?
c＋m
mc
－＝，
222
1
所以|DE|＝
|AB|.
2
所以|DE|＝
即三角形的中位线长度等于底边长度的一半．
9．B 10．A
11．26
12．证明 作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以 OA所
在直线为y轴，建立直角坐标系(如右图所示)．
设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)．
因为|AB|
2< br>＝|AD|
2
＋|BD|·|DC|，所以，由距离公式可得
b
2< br>＋a
2
＝d
2
＋a
2
＋(d－b)(c－d)，
即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)．
又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即－b＝c.
所以|AB|＝|AC|，即△ABC为等腰三角形．
13．解 设直线l与直线l
1
，l
2
分别相交于A(x
1
，y
1
)，B(x< br>2
，y
2
)两点，
则x
1
＋y
1
＋1＝0，x
2
＋y
2
＋6＝0，
两式相减，得(x
1< br>－x
2
)＋(y
1
－y
2
)＝5①
又(x
1
－x
2
)
2
＋(y
1
－y
2< br>)
2
＝25 ②
联立①②可得

85

??
?
x
1
－x
2
＝5
?
x
1
－x
2
＝0
或
?
， ?
y－y＝0y－y＝5
?
12
?
??
12
由 上可知，直线l的倾斜角分别为0°和90°，
故所求的直线方程为x＝3或y＝1.


86

【
若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】

3.3.3 点到直线的距离
3.3.4 两条平行直线间的距离
一、基础过关
1．已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为
A．1
A.10




B．－1
B．22




C.2
C.6










( )
( )
( )
D．±2
D．2

2．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是原点，则|OP|的最小值是
3．到直线3x－4y－1＝0的距离为2的直线方程为
A．3x－4y－11＝0
C．3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0
B．3x－4y＋9＝0
D．3x－4y＋11＝0或3x－4y－9＝0
4．P、Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任一点，则|PQ|的最小值为( )
9182929
A. B. C. D.
551 05
5．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是_____ ___．
6．过点A(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为______________．
7．△ABC的三个顶点是A(－1,4)，B(－2，－1)，C(2，3)．
(1)求BC边的高所在直线的方程；
(2)求△ABC的面积S.
8．如图，已 知直线l
1
：x＋y－1＝0，现将直线l
1
向上平移到直线l
2< br>的位
置，若l
2
、l
1
和坐标轴围成的梯形面积为4，求l< br>2
的方程．


二、能力提升
9．两平行直线l
1
，l
2
分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P、Q旋 转，但始终保持
平行，则l
1
，l
2
之间的距离的取值范围是
A．(0，＋∞)
C．(0,5]
A．3











B．[0,5]
D．[0，17]
( )
C．1 D．0
( )
10．直线7x＋3y－21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为
B．2
1 1．若直线m被两平行线l
1
：x－y＋1＝0与l
2
：x－y＋3＝0所截 得的线段的长为22，则m
的倾斜角可以是________．(写出所有正确答案的序号)
①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°
12．已知直线l
1
与l
2
的方程分别为7x＋8y＋9＝0,7x＋8y－3＝0.直线l平行于l
1< br>，直线l与l
1
的距离为d
1
，与l
2
的距离为d< br>2
，且d
1
∶d
2
＝1∶2，求直线l的方程．
三、探究与拓展

87

13．等腰直角三角形 ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x＋3y－6＝0上，顶点A的坐
标是(1，－2)．求边AB 、AC所在直线方程．



答案
1．D 2.B 3．C 4．C
713
5.
26
6．2x＋y－5＝0
7．解 (1)设BC边的高所在直线为l，
3－?－1?
由题意知k
BC
＝
＝1，
2－?－2?
－1
则k
l
＝
＝－1，
k
BC
又点A(－1,4)在直线l上，
所以直线l的方程为y－4＝－1×(x＋1)，
即x＋y－3＝0.
(2)BC所在直线方程为
y＋1＝1×(x＋2)，即x－y＋1＝0，
点A(－1,4)到BC的距离
d＝
|－1－4＋1|
1
2
＋?－1?
2
＝22，
又|BC|＝?－2－2?
2
＋?－1－3?
2
＝42，
1
则S
△
ABC
＝
·|BC|·d
2
1
＝
×42×22＝8.
2
8．解 设l
2
的方程为y＝－x＋b(b>1)，
则图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)．
∴|AD|＝2，|BC|＝2b.
梯形的高h就是A点到直线l
2
的距离，
|1＋0－b||b－1|b－1
故h＝＝＝
(b>1)，
222
由梯形面积公式得
2＋2bb－1
×
＝4，
2
2
∴b
2
＝9，b＝±3.但b>1，∴b＝3.
从而得到直线l
2
的方程是x＋y－3＝0.
9．C 10．B
11．①⑤

88

12．解 因为直线l平行 l
1
，设直线l的方程为7x＋8y＋C＝0，则d
1
＝
又2d1
＝d
2
，∴2|C－9|＝|C＋3|.
解得C＝21或C＝5.
|C－9||C－?－3?|
，d
2
＝.
2222
7＋8
7
＋8
故所求直线l的方程为7x＋8y＋21＝0或7x＋8y＋5＝0.
23
13．解 已知BC的斜率为－
，因为BC⊥AC，所以直线AC的斜率为，从而方程y＋2＝
32310
(x－1)，即3x－2y－7＝0，又点A(1，－2)到直线BC：2x＋3y－6＝0 的距离为|AC|＝
，
2
13
102
且|AC|＝|BC|＝
.由于点B在直线2x＋3y－6＝0上，可设B(a,2－a)，且点B到直线
3
132
|3a－2?2－a?－7|
3
1013
AC的距离为
＝，|
a－11|＝10.
13
3
3
2
＋?－2?
2< br>1313633
所以
a－11＝10或a－11＝－10，所以a＝
或， 331313
6316324
，－
?
或B
?
，
?

所以B
?
13
??
13
?
1313< br>?
1624
－＋2＋2
1313
所以直线AB的方程为y＋2＝
·(x－1)或y＋2＝(x－1)．即x－5y－11＝0
633
－1－1
131 3
或5x＋y－3＝0，
所以AC所在的直线方程为3x－2y－7＝0，AB所在的直线方 程为x－5y－11＝0或5x
＋y－3＝0.

89

【
若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】

第四章 圆与方程
§4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
一、基础过关
1．(x＋1)
2
＋(y－2)
2
＝4的圆心与半径分别为
A．(－1,2)，2
C．(－1,2)，4
A．在圆内
C．在圆上


















( )
B．(1，－2)，2
D．(1，－2)，4
( )
B．在圆外
D．不确定
( )
B．(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝1
2．点P(m2,
5)与圆x
2
＋y
2
＝24的位置关系是
3．圆的一条直径的两个端点是(2,0)，(2，－2)，则此圆的方程是
A．(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝1
C．(x＋2)
2
＋(y－1)
2
＝1 D．(x＋2)
2
＋(y＋1)
2
＝1
3
4．圆(x－1 )
2
＋y
2
＝1的圆心到直线y＝x的距离为
3
13
A. B. C．1 D.3
22
( )
5．圆O的方程为(x－3)
2
＋(y－4)
2
＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________．
6．圆(x－3)
2
＋(y＋1)
2
＝1关于直线x＋2y－3＝0对称的圆的方程是____ ____________．
7．求满足下列条件的圆的方程：
(1)经过点P(5,1)，圆心为点C(8，－3)；
(2)经过点P(4,2)，Q(－6，－2)，且圆心在y轴上．
8．求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程．
二、能力提升
9．方程y＝9－x
2
表示的曲线是
A．一条射线
C．两条射线
A．第一象限
C．第三象限
是________．
12．平面直角坐标系中有A(0,1)，B(2,1)，C(3,4 )，D(－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？
为什么？
三、探究与拓展
1 3．已知点A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，点P在圆x
2
＋y
2
＝4上运动，求|PA|
2
＋|PB|
2

90
( )












B．一个圆



D．半个圆
B．第二象限
D．第四象限
10．若 直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)
2
＋(y＋b)
2
＝1的圆心位于( )
11．如果直线l将圆(x－1)
2
＋(y－2)
2
＝5平分且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围

＋|PC|
2
的最值．

答案
1．A 2.B 3.B 4．A
5．5＋2
193
x－
?
2
＋
?y－
?
2
＝1 6.
?
?
5
??
5
?
7．解 (1)圆的半径r＝|CP|＝
圆心为点C(8，－3)，
∴圆的方程为(x－8)
2
＋(y＋3)
2
＝25.
(2 )设所求圆的方程是x
2
＋(y－b)
2
＝r
2
.
∵点P、Q在所求圆上，依题意有
145
r
2
＝，
4?5－8?
2
＋?1＋3?
2
＝5，
?
?
?
?
?
?
22
5
?
?
36＋?2＋b?＝r，
b＝－
?
2
.
16＋?2－b?
2
＝r
2
，



∴所求圆的方程是
5
145
y＋
?
2
＝
. x
2
＋
?
?
2
?
4
8．解 由题意知线段AB的垂直平分线方程为3x＋2y－15＝0，
?
?
3x＋2y－15＝0，
∴由
?
，
3x＋1 0y＋9＝0
?
?
?
?
x＝7，
解得
?

?
?
y＝－3.
∴圆心C(7，－3)，半径r＝|AC|＝65.
∴所求圆的方程为(x－7)
2
＋(y＋3)
2
＝65.
9．D 10.D
11．[0,2]
12．解 能．设过A(0,1)，B(2 ,1)，C(3,4)的圆的方程为(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
.
将A，B，C三点的坐标分别代入有
a
2
＋?1－b?< br>2
＝r
2
，
2
2
2
2


?
?
?
?2－a?
＋?1－b?＝r，
?
?
?3－a?
＋?4－b?＝r，
2
2


a＝1，?
?
解得
?
b＝3，
?
?
r＝5.


∴圆的方程为(x－1)
2
＋(y－3)
2
＝5.

91

将D(－1,2)代入上式圆的方程，得
(－1－1)
2
＋(2－3)
2
＝4＋1＝5，
即D点坐标适合此圆的方程．
故A，B，C，D四点在同一圆上．
13．解 设P(x，y)，则x
2
＋y
2
＝4.
|PA|
2
＋|PB|
2
＋|PC|
2
＝(x＋2)
2
＋(y＋2)
2
＋(x＋2)
2
＋(y－6)
2
＋(x－4)
2
＋(y＋2)
2
＝3(x
2
＋y
2
)－
4 y＋68＝80－4y.
∵－2≤y≤2，
∴72≤|PA|
2
＋|PB |
2
＋|PC|
2
≤88.
即|PA|
2
＋|P B|
2
＋|PC|
2
的最大值为88，最小值为72.

92

【
若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】

4.1.2 圆的一般方程
一、基础过关
1．方程x
2
＋y
2
－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是
11
A．m≤2 B．m＜ C．m＜2 D．m≤
22
2．设A，B为直线y＝x与圆x
2
＋y
2
＝1的两个交点，则|AB|等于
A．1 B.2









C.3 D．2

( )
( )
3．M(3,0)是圆x
2
＋y
2
－8x－ 2y＋10＝0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是( )
A．x＋y－3＝0
C．2x－y－6＝0
A．圆内
B．x－y－3＝0
D．2x＋y－6＝0
( )
C．圆上 D．圆上或圆外
4．已知圆x
2
＋y
2
－2ax－2y＋(a－1)
2
＝ 0(0B．圆外
5．如果圆的方程为x
2
＋ y
2
＋kx＋2y＋k
2
＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为_____ ___．
6．已知圆C：x
2
＋y
2
＋2x＋ay－3＝0(a为 实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称
点都在圆C上，则a＝________. 7．已知圆的方程为x
2
＋y
2
－6x－6y＋14＝0，求过点A(－ 3，－5)的直线交圆的弦PQ的中
点M的轨迹方程．
8．求经过两点A(4,2)、B(－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．
二、能力提升
9．若圆M在x轴与y轴上截得的弦长总相等，则圆心M的轨迹方程是
A．x－y＝0
C．x
2
＋y
2
＝0





















B．x＋y＝0
D．x
2
－y
2
＝0
( )
( )
10．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x
2
＋y
2
≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之
差最大，则该直线的方 程为
A．x＋y－2＝0
C．x－y＝0




B．y－1＝0
D．x＋3y－4＝0
11． 已知圆的方程为x2
＋y
2
－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和
BD，则四边形ABCD的面积为________．
12．求一个动点P在圆x
2
＋y
2
＝1上移动时，它与定点A(3,0)连线的中点M的轨迹方程．
三、探究与拓展
13．已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的 线段长为43，求圆的方程．





93

答案
1．B 2.D 3．B 4．B
5．(0，－1)
6．－2
7．解 设所求轨迹上任一点M(x，y)，圆的方程可化为(x－3)
2
＋(y－3)
2
＝4.圆心C(3,3)．
∵CM⊥AM，
∴k
CM
·k
AM
＝－1，
即
y－3
x－3
·
y＋5
x＋3
＝－1，
即x
2
＋(y＋1)
2
＝25.
∴所求轨迹方程为x
2
＋(y＋1)
2
＝25(已知圆内的部分)．
8．解 设圆的一般方程为x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0，
令y＝0，得x
2
＋Dx＋F＝0，
所以圆在x轴上的截距之和为x
1
＋x
2
＝－D；
令x＝0，得y
2
＋Ey＋F＝0，
所以圆在y轴上的截距之和为y
1
＋y
2
＝－E；
由题设 ，得x
1
＋x
2
＋y
1
＋y
2
＝－(D＋ E)＝2，所以D＋E＝－2.①
又A(4,2)、B(－1,3)两点在圆上，
所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②
1＋9－D＋3E＋F＝0，③
由①②③可得D＝－2，E＝0，F＝－12，
故所求圆的方程为x
2
＋y
2
－2x－12＝0.
9．D 10．A
12．解 设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(x
0
，y
0
)．
由于点A的坐标为(3,0)且M是线段AP的中点，
所以x＝
x
0
＋3
y
2
，y＝
0
2
，
于是有x
0
＝2x－3，y
0
＝2y.
因为点P在圆x
2
＋y
2
＝1上移动，
所以点P的坐标满足方程x
2
0
＋y
2
0
＝1，
则(2x－3)
2
＋4y
2
＝1，整理得
?
?x－
3
2
?
?
2
＋y
2
＝
1
4
.
所以点M的轨迹方程为
?
?
x－
3
2
?
?
2
＋y
2
＝
1
4
.
13．解 设圆的方程为：
x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0，①
将P、Q的坐标分别代入①，

94

?
?
4D－2E＋F＝－20 ②
得
?

D－3E－F＝10 ③
?
?
令x＝0，由①得y
2
＋Ey＋F＝0，④
由已知 |y
1
－y
2
|＝43，其中y
1
，y
2
是方程④的两根．
∴(y
1
－y
2
)
2
＝(y< br>1
＋y
2
)
2
－4y
1
y
2

＝E
2
－4F＝48.⑤
解②③⑤联立成的方程组，
D＝－ 2
?
?
得
?
E＝0
?
?
F＝－12


D＝－10
?
?
或
?
E＝－8
?
?
F＝4
.
故所求方程为：x
2
＋y
2
－2x－12＝0或x
2
＋y
2
－10x－8y＋4＝0.

95

【
若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】

§4.2 直线、圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
一、基础过关
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x＋1)
2
＋(y＋1 )
2
＝9的位置关系是
A．过圆心
A．y＝2x
13
C．y＝x＋
22
方程是



B．相切









C．相离
B．y＝2x－2
13
D．y＝x－
22
( )

( )
D．相交
2．直线l将圆x
2
＋y
2
－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2 y＝0垂直，则直线l的方程为( )
3．若圆C半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准















A．(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝1
C．(x＋2)
2
＋(y－1)
2
＝1
A．在圆上
C．在圆内




B．(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝1
D．(x－3)
2
＋(y－1)
2
＝1
( )
B．在圆外
D．都有可能
4．若直线ax＋by＝1与圆x
2
＋ y
2
＝1相交，则点P(a，b)的位置是
5．过原点O作圆x
2
＋y
2
－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ
的长 为________．
6．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1 被该圆所截得的弦长
为22，则圆C的标准方程为____________．
7．已知圆C 和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为27，
求圆C的方程． 8．已知圆C：x
2
＋y
2
－2x＋4y－4＝0.问是否存在斜率为1 的直线l，使l被圆C截得的弦
AB满足：以AB为直径的圆经过原点．
二、能力提升 9．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)
2
＋y
2
＝1引切线，则 切线长的最小值为
A．1
A．1个




B．22
B．2个




C.7

D．3
( )
D．4个
10．圆x
2＋y
2
＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为2的点有
C．3个
( )
11．由动点P向圆x
2
＋y
2< br>＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，且∠APB＝60°，则动
点P的轨迹方程为_ _________________．
12．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、P B是圆C：x
2
＋y
2
－2x－2y＋1＝0的两条
切线，A、B是 切点．
(1)求四边形PACB面积的最小值；
(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明

96

理由．
三、探究与拓展
13 ．圆C：(x－1)
2
＋(y－2)
2
＝25，直线l：(2m＋1)x＋( m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
(1)证明：不论m取什么数，直线l与圆C恒交于两点；
(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值．


































97

答案
1．D 2．A 3．A 4．B
5．4
6．(x－3)
2
＋y
2
＝4
7．解 设圆心坐标为(3m，m)，∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，∴圆心到直线y|2m|
＝x的距离为＝2|m|.
2
由半径、弦心距的关系得9m
2
＝7＋2m
2
，
∴m＝±1.∴所求圆C的方程为(x－3)
2
＋(y－1)
2
＝9或(x ＋3)
2
＋(y＋1)
2
＝9.
8．解 假设存在且设l为：y＝ x＋m，圆C化为(x－1)
2
＋(y＋2)
2
＝9，圆心C(1，－2)．
?
?
y＝x＋m
解方程组
?

?
?
y＋2＝－?x－1?
m＋1m－1
得AB的中点N的坐标N(－，
)，
22
由于以AB为直径的圆过原点，所以|AN|＝|ON|.
又|AN|＝
|ON|＝
|CA|
2
－|CN|
2
＝
?m＋3?
2
9－，
2

m＋1m－1
2
?－?
＋?
?
2
.
22
?3＋m?
2
?
m＋1
??
m－1
?
所以 9－＝
?
－
?
2
＋
??
2
，解得m＝1或 m＝－4.
2
2
??
2
??
所以存在直线l，方程为x－ y＋1＝0和x－y－4＝0，并可以检验，这时l与圆是相交于
两点的．
9．C 10．C
11．x
2
＋y
2
＝4
3
12．解 (1)如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为(x，－2－x)．
4
圆的方程可化为(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝1， < br>1
所以S
四边形PACB
＝2S
△
PAC
＝2××|AP|×|AC|＝|AP|.
2
因为|AP|
2
＝|PC|2
－|CA|
2
＝|PC|
2
－1，
所以当|PC|
2
最小时，|AP|最小．
35
因为|PC|2
＝(1－x)
2
＋(1＋2＋
x)
2
＝(
x ＋1)
2
＋9.
44
4
所以当x＝－时，|PC|
2
min
＝9.
5

98

所以|AP|
min
＝9－1＝22.
即四边形PACB面积的最小值为22.
(2)假设直线上存在点P满足题意．
因为∠APB＝60°，|AC|＝1，
所以|PC|＝2.
22
??
?x－1?
＋?y－1?＝4，
设P(x，y)，则有
?

?
?
3x＋4y＋8＝0.

整理可得25x
2
＋40x＋96＝0，
所以Δ＝40
2
－4×25×96<0.所以这样的点P是不存在的．
13．(1)证明 ∵直线l的方程可化为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0(m∈R)．
?
?
2x＋y－7＝0
∴l过
?
的交点M(3,1)． < br>?
?
x＋y－4＝0
又∵M到圆心C(1,2)的距离为d＝?3－1?
2
＋?1－2?
2
＝5<5，
∴点M(3,1)在圆内，∴过点M(3,1)的直线l与圆C恒交于两点．
(2)解 ∵过 点M(3,1)的所有弦中，弦心距d≤5，弦心距、半弦长和半径r构成直角三
角形，∴当d
2
＝5时，半弦长的平方的最小值为25－5＝20.
∴弦长AB的最小值|AB|
min
＝45.
2m＋1
1
此时，k
CM
＝－
，k
l
＝－.
2
m＋1
1
2m＋1
∵l⊥CM，∴·
＝－1，
2
m＋1
3
解得m＝－
.
4
3
∴当m＝－
时，取到最短弦长为45.
4


99

【
若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】

4.2.2 圆与圆的位置关系
一、基础过关
1．已知02
＋y
2
＝r
2
与(x－1)
2
＋(y＋1)
2
＝2的位置关系是
A．外切 B．相交
B．(0,81)
B．3条



C．外离
C．(0,79)
C．4条



D．内含
D．(－1,79)
D．0条
( )
2．若两圆x
2< br>＋y
2
－2x＋10y＋1＝0，x
2
＋y
2
－2x ＋2y－m＝0相交，则m的取值范围是( )
A．(－2,39)
A．2条
3．圆C
1
：x
2
＋y
2
＋4x－4y＋7＝0和 圆C
2
：x
2
＋y
2
－4x－10y＋13＝0的公切线有 ( )
4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)
2
＋(y＋7)
2
＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．(x－5)
2
＋(y＋7)
2
＝25
B．(x－5)
2
＋(y＋7)
2
＝17或(x－5)
2
＋(y＋7)2
＝15
C．(x－5)
2
＋(y＋7)
2
＝9 < br>D．(x－5)
2
＋(y＋7)
2
＝25或(x－5)
2＋(y＋7)
2
＝9
5．若圆x
2
＋y
2
＝ 4与圆x
2
＋y
2
－2ax＋a
2
－1＝0相内切，则a＝ ________.
6．集合A＝{(x，y)|x
2
＋y
2
＝4 }，B＝{(x，y)|(x－3)
2
＋(y－4)
2
＝r
2
}，其中r>0 ，若A∩B中
有且仅有一个元素，则r的值是__________．
7 ．a为何值时，两圆x
2
＋y
2
－2ax＋4y＋a
2
－5 ＝0和x
2
＋y
2
＋2x－2ay＋a
2
－3＝0.
(1)外切；(2)内切．
8．点M在圆心为C
1
的方程x
2＋y
2
＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆心为C
2
的方程x
2
＋y
2
＋
2x＋4y＋1＝0上，求|MN|的最大值．
二、能力提升
9．若圆(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝b
2
＋1始终平分圆(x＋1)
2
＋(y＋1)
2
＝4的周长 ，则a，b满足的关
系式是 ( )
A．a
2
－2a－2b－3＝0
B．a
2
＋2a＋2b＋5＝0
C．a
2
＋2b
2
＋2a＋2b＋1＝0
D．3a
2
＋2b
2
＋2a＋2b＋1＝0
10．若集合 A＝{(x，y)|x
2
＋y
2
≤16}，B＝{(x，y)|x
2
＋(y－2)
2
≤a－1}且A∩B＝B，则a的取
值范围是
( )
B．a≥5 C．1≤a≤5 D．a≤5 A．a≤1

11．若⊙O：x
2
＋y
2
＝5与⊙O
1
：(x－ m)
2
＋y
2
＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处
的切线互相垂直，则线段AB的长度是__________．
12．已知圆C
1
： x
2
＋y
2
－2ax－2y＋a
2
－15＝0，圆C
2
：x
2
＋y
2
－4ax－2y＋4a
2
＝0( a>0)．试求

100