人教A版数学必修二教案

第一章 空间几何体
本章教材分析
柱体、锥体、台体和球体是简 单的几何体，复杂的几何体大都是由这些简单的几何体组
合而成的.有关柱体、锥体、台体和球体的研究 是研究比较复杂的几何体的基础.本章研究空
间几何体的结构特征、三视图和直观图、表面积和体积等. 运用直观感知、操作确认、度量
计算等方法,认识和探索空间几何图形及其性质.
本 章中的有关概念，主要采用分析具体实例的共同特点，再抽象其本质属性空间图形而
得到.教学中应充分 使用直观模型，必要时要求学生自己制作模型，引导学生直观感知模型，
然后再抽象出有关空间几何体的 本质属性，从而形成概念.
本章内容是在义务教育阶段学习的基础上展开的.例如，对于棱柱 ，在义务教育阶段直
观认识正方体、长方体等的基础上，进一步研究了棱柱的结构特征及其体积、表面积 .因此，
在教材内容安排中，特别注意了与义务教育阶段“空间与图形”相关内容的衔接.
值得注意的是在教学中，要坚持循序渐进，逐步渗透空间想象能力面的训练.由于受有
关线面位置关系知 识的限制，在讲解空间几何体的结构时，少问为什么，多强调感性认识.
要准确把握这方面的要求，防止 拔高教学.重视函数与信息技术整合的要求，通过电脑绘制
简单几何体的模型,使学生初步感受到信息技 术在学习中的重要作用.为了体现教材的选择性,
在练习题安排上加大了弹性,教师应根据学生的实际, 合理地进行取舍.
本章教学时间约需7课时，具体分配如下（仅供参考）：
1.1.1
1.1.2
1.2.1
1.2.2
1.2.3
1.3.1
1.3.2

柱、锥、台、球的结构特征
简单组合体的结构特征
中心投影与平行投影
空间几何体的三视图
空间几何体的直观图
柱体、锥体、台体的表面积与体积
球的体积和表面积
本章复习
约1课时
约1课时
约1课时
约1课时
约1课时
约1课时
约1课时

§1.1 空间几何体的结构
§1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征

一、教材分析
本节 教材先展示大量几何体的实物、模型、图片等，让学生感受空间几何体的结构特征，
从整体上认识空间几 何体，再深入细节认识，更符合学生的认知规律.
值得注意的是：由于没有点、直线、平面的 有关知识，所以本节的学习不能建立在严格
的逻辑推理的基础上，这与以往的教材有较大的区别，教师在 教学中要充分注意到这一点.
本节教学尽量使用信息技术等手段，向学生展示更多具有典型几何结构特征 的空间物体，增
强学生的感受.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）通过实物操作，增强学生的直观感知.
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类.
（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。
（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类.
2．过程与方法
（1）让学生 通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征.
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识.
3．情感、态度与价值观
（ 1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高
学生的观察能力.
（2）培养学生的空间想象能力和抽象概括能力.
三、重点难点
教学重点：柱、锥、台、球的结构特征.
教学难点：归纳柱、锥、台、球的结构特征.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）、导入新课
思路1 .从古至今，各个国家的建筑物都有各自的特色，古有埃及的金字塔，今有各城市
大厦的旋转酒吧、旋转 餐厅，还有上海东方明珠塔上的两个球形建筑等.它们都是独具匠心、
整体协调的建筑物，是建筑师们集 体智慧的结晶.今天我们如何从数学的角度来看待这些建
筑物呢？引出课题：柱、锥、台、球的结构特征 .
思路2.在我们的生活中会经常发现一些具有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些
建 筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流.教师对学生的活动及时给予评
价.引出课题： 柱、锥、台、球的结构特征.

（二）、推进新课、新知探究、提出问题
1.观察下面的图片，请将这些图片中的物体分成两类，并说明分类的标准是什么？

图1
2.你能给出多面体和旋转体的定义吗？
活动：可让学生分组讨论，根据初中已有的知识，学 生很快就能分成两类，对没有思路
的学生，教师予以提示.
1.根据围成几何体的面是否都是平面来分类.
2.根据围成几何体的面的特点来定义多面体，利用动态的观点来定义旋转体.
讨论结果：
1.通过观察，可以发现，（2）、（5）、（7）、（9）、（13）、（14）、（15）、（16 ）具有同样的
特点：组成几何体的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形，像这样的几何体称为多面
体；（1）、（3）、（4）、（6）、（8）、（10）、（11）、（12）具有同样的特点：组成 它们的面不全是
平面图形，像这样的几何体称为旋转体.
2.多面体：一般地，由若干个平面 多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多
边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多 面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的
顶点.按围成多面体的面数分为：四面体、五面体、六面体、… …，一个多面体最少有4个
面，四面体是三棱锥.棱柱、棱锥、棱台均是多面体.
旋转体：由 一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋
转体，这条定直线叫做旋转体 的轴.圆柱、圆锥、圆台、球均是旋转体.
提出问题
1.与其他多面体相比，图片中的多面体（5）、（7）、（9）具有什么样的共同特征？
2.请给出棱柱的定义？
3.与其他多面体相比，图片中的多面体（14）、（15）具有什么样的共同特征？
4.请给出棱锥的定义.
5.利用同样的方法给出棱台的定义.
活动：让学生先思考或讨论，如果学生没有思路时，教师再提示.
对于1、3，可根据围成多面体的各个面的关系来分析.
对于2,利用多面体（5）、（7）、（9）的共同特征来定义棱柱.

对于4,利用多面体（14）、（15）的共同特征来定义棱锥.
对于5,利用图片中的多面体（13）、（16）的共同特征来定义棱台.
讨论结果：
1.特点是：有两个面平行，其余的面都是平行四边形.像这样的几何体称为棱柱.
2.定义 ：两个平面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都
互相平行，由这些面围成 的多面体称为棱柱.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面；
其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的 公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做
棱柱的顶点.
表示法：用表示底面各顶点的字母表示棱柱.
分类：按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
3.其中一个面是多边形，其余各面是三角形，这样的几何体称为棱锥.
4.定义：有一面为 多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的多面
体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥 的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧
面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面 的公共边叫做棱锥的侧棱.
表示法：用顶点和底面各顶点的字母表示.
分类：按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……
5.定义：用一个平行于棱锥底 面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台.原棱
锥的底面和截面叫做棱台的下底面和上底面； 其他各面叫做棱台的侧面；相邻侧面的公共边
叫做棱台的侧棱；底面多边形与侧面的公共顶点叫做棱台的 顶点.
表示法：用表示底面各顶点的字母表示棱台.
分类：按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台……
提出问题
1.与其他旋转体相比，图片中的旋转体（1）、（8）具有什么样的共同特征？
2.请给出圆柱的定义.
3.其他旋转体相比，图片中的旋转体（3）、（6）具有什么样的共同特征？
4.请给出圆锥的定义.
5.类比圆锥和圆柱的定义方法，请给出圆台的定义.
6.用同样的方法给出球的定义.
讨论结果：
1.静态的观点：有两个平行的平面 ，其他的面是曲面；动态的观点：矩形绕其一边旋转
形成的面围成的旋转体.像这样的旋转体称为圆柱.
2.定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的旋转
体叫做 圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平
行于轴的边旋转而成 的曲面叫做圆柱的侧面，圆柱的侧面又称为圆柱面，无论转到什么位置，
不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面 的母线.
表示：圆柱用表示轴的字母表示.
规定：圆柱和棱柱统称为柱体.
3. 静态的观点：有一平面，其他的面是曲面；动态的观点：直角三角形绕其一直角边旋
转形成的面围成的旋 转体.像这样的旋转体称为圆锥.
4.定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两 边旋转而形成的面所
围成的旋转体叫做圆锥.旋转轴叫做圆锥的轴；垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称 为圆锥
的底面；不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，圆锥的侧面又称为圆锥面，
无论转到什么位置，这条边都叫做圆锥侧面的母线.
表示：圆锥用表示轴的字母表示.

规定：圆锥和棱锥统称为锥体.
5.定义：以直角梯形垂直于底边的腰所在的 直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面
所围成的几何体叫做圆台.还可以看成是用平行于圆锥底面的 平面截这个圆锥，截面与底面
之间的部分.旋转轴叫做圆台的轴；垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为 圆台的底面；不
垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫做圆台的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫做圆 台
侧面的母线.
表示：圆台用表示轴的字母表示.
规定：圆台和棱台统称为台体.
6.定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面，
球面所 围成的旋转体称为球体，简称球.半圆的圆心称为球心，连接球面上任意一点与球心
的线段称为球的半径 ，连接球面上两点并且过球心的线段称为球的直径.
表示：用表示球心的字母表示.
知识总结：
1.棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较，如下表所示:
结构特征 棱柱
两个平面互相平行，其余各面
都是四边形，并且每相邻两个
定义 四边形的公共边都互相平行，
这些面围成的几何体称为棱
柱
底面
侧面
侧棱
平行于底面的
截面
过不相邻两侧
棱的截面
结构特征
两底面是全等的多边形
平行四边形
平行且相等
与两底面是全等的多边形
平行四边形
棱锥
有一面为多边形，其余
各面是有一个公共顶
点的三角形，这些面围
成的几何体叫做棱锥
多边形
三角形
相交于顶点
与底面是相似的多边
形
三角形
棱台
用一个平行于棱锥底
面的平面去截棱锥，底
面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱
台
两底面是相似的多边
形
梯形
延长线交于一点
与两底面是相似的多
边形
梯形
2.圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征比较，如下表所示:
圆柱
以矩形的一边所在
的直线为旋转轴，其
定义 余各边旋转而形成
的曲面所围成的几
何体叫做圆柱
两底面是平行且半
径相等的圆
矩形
平行且相等
与两底面是平行且
半径相等的圆
圆锥
以直角三角形的
一条直角边 为旋
转轴，其余各边
旋转而形成的曲
面所围成的几何
体叫做圆锥
圆
扇形
相交于顶点
平行于底面且半
径不相等的圆
圆台
以直角梯形垂直于
底边的腰所在的直
线为旋转轴，其余各
边旋转而形成的曲
面 所围成的几何体
叫做圆台
两底面是平行但半
径不相等的圆
扇环
延长线交于一点
与两底面是平行且
半径不相等的圆
球
以半圆的 直径所在
的直线为旋转轴，
将半圆旋转一周所
形成的曲面称为球
面，球面所围 成的
几何体称为球体，
简称球
无
不可展开
无
球的任何截面都是
圆
底面
侧面展开
图
母线
平行于底
面的截面

轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆
3.简单几何体的分类：
?
?
棱柱
?
?
多面体< br>?
棱锥
?
?
棱台
?
?
?
?
简单几何体
?
?
圆柱

?
?
?
旋转体?
圆锥
?
?
?
圆台
?
?
球
?
?
?

（三）、应用示例
思路1
例1 下列几何体是棱柱的有（ ）

图2
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
活动：判断一个几何体是哪种几何体，一定要紧扣柱、锥、台、球的结构特征，注意定
义中的特殊字眼 ，切不可马虎大意.
棱柱的结构特征有三方面：有两个面互相平行；其余各面是平行四边形；这些平行 四边
形面中，每相邻两个面的公共边都互相平行.当一个几何体同时满足这三方面的结构特征时，
这个几何体才是棱柱.很明显，几何体②④⑤⑥均不符合，仅有①③符合.
答案：D
点评 ：本题主要考查棱柱的结构特征.本题容易错认为几何体②也是棱柱，其原因是忽
视了棱柱必须有两个面 平行这个结构特征，避免出现此类错误的方法是将教材中的各种几何
体的结构特征放在一起对比，并且和 图形对应起来记忆，要做到看到文字叙述就想到图，看
到图形就想到文字叙述.
变式训练
1.下列几个命题中，
①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台;
②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台;
③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体;
④分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴， 将矩形旋转，所得到的两个圆柱是两个
不同的圆柱.
其中正确的有__________个.（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4
分析：①中两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会交于一点，所
以①是错误的；② 中两个底面互相平行，其余四个面都是等腰梯形，也有可能两底面根本就
不相似，所以②不正确；③中底 面不一定是正方形，所以③不正确；很明显④是正确的.
答案：A

2.下列命题中正确的是（ ）
A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥
D.棱台各侧棱的延长线交于一点
答案：D

3.下列命题中正确的是（ ）
A.以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥
B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台
C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面
D.圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径
分析：以直角梯 形垂直于底的腰为轴，旋转所得的旋转体才是圆台，所以B不正确；
圆锥仅有一个底面，所以C不正确； 圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等
于圆锥的母线长，所以D不正确.很明显A正确.
答案：A

思路2
例1 （2007宁夏模拟，理6）长方体AC1
的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C
1
沿长
方体的表面的最短距 离为（ ）
A.
1?3
B.
2?10
C.
32
D.
23

活动：解决空间几何体表面上两点间最短线路问题，一般都是将空间几何体 表面展开，
转化为求平面内两点间线段长，这体现了数学中的转化思想.
解：如图3，在长方 体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB =3，BC=2，BB
1
=1.

图3
如图4所示，将侧面AB B
1
A
1
和侧面BCC
1
B
1
展开,

图4
则有AC
1
=
5?1?
22
26
，即经过侧面ABB
1
A
1
和侧面BCC
1
B1
时的最短距离是
26
；
如图5所示，将侧面ABB
1
A
1
和底面A
1
B
1
C
1
D
1
展开,
22
则有AC
1
=
3?3?32
，即经过 侧面ABB
1
A
1
和底面A
1
B
1
C1
D
1
时的最短距离是
32
；

图5
如图6所示，将侧面ADD
1
A
1
和底面A
1
B
1
C
1
D
1
展开,

图6
则有AC
1
=
4
2
?2
2
?25
，即经过侧面ADD
1
A
1
和底面A
1
B
1
C
1
D
1
时的最短距离是
25
.
由于
32
＜
25
，
32
＜
26
，
所以由A到C
1
在正方体表面上的最短距离为
32
.
答案：C
点评：本题主要考查空间几何体的简单运算及转化思想.求表面上最短距离可把图形 展
成平面图形.
变式训练
1.图7是边长为1 m的正方体，有一蜘蛛潜伏在A处 ，B处有一小虫被蜘蛛网粘住，请制作
出实物模型，将正方体剪开，描述蜘蛛爬行的最短路线.

图7 图8
分析： 制作实物模型(略).通过正方体的展开图8可以发现,AB间的最短距离为A、B两
点间的线段的长< br>2?1?5
.由展开图可以发现,C点为其中一条棱的中点.具体爬行路线
如图9中的粗 线所示,我们要注意的是爬行路线并不唯一.
解：爬行路线如图9(1)— (6)所示：
22

图9

2.（2006江西高考，理15） 如图10所示，已知正三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
的底面 边长为1，高
为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A
1
点的最短 路线的长为
．．
_________.

图10
分析：将正三棱 柱ABC—A
1
B
1
C
1
沿侧棱AA
1
展 开，其侧面展开图如图11所示，则沿
着三棱柱的侧面绕行两周到达A
1
点的最短路线 的长就是图11中AD+DA
1
.延长A
1
F至M，
．．
使 得A
1
F=FM，连接DM，则A
1
D=DM，如图12所示.

图11 图12
则沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A
1< br>点的最短路线的长就是图12中线段AM的长.在图12
．．
中,△AA
1M是直角三角形，则AM=
答案：10

（四）、知能训练
1.（2007广东中山二模，文2）如图13，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ） < br>AA
1
2
?A
1
M
2
?8
2
?(1?1?1?1?1?1)
2
=10.

图13
A.（1）是棱台 B.（2）是圆台
C.（3）是棱锥 D.（4）不是棱柱
分析 ：图（1）不是由棱锥截来的，所以（1）不是棱台；图（2）上下两个面不平行，
所以（2）不是圆台 ；图（4）前后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形
的公共边平行，所以（4）是棱 柱；很明显（3）是棱锥.
答案：C

2.下面几何体中，过轴的截面一定是圆面的是（ ）
A.圆柱 B.圆锥 C.球 D.圆台
分析：圆 柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，
球的轴截面是圆面，所以A 、B、D均不正确.
答案：C

3.（2007山东菏泽二模，文13）一个无盖 的正方体盒子展开后的平面图，如图14所示，A、
B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中∠AB C=____________.

图14
分析：如图15所示，折成正方体，很明显点A、B、C是上底面正方形的三个顶点，
则∠ABC=90°.

图15
答案：90°

4. （2007山东东营三模，文13）有一粒正方体的骰子每一个面有一个英文字母，如图16所
示.从3 种不同角度看同一粒骰子的情况，请问H反面的字母是___________.

图16
分析：正方体的骰子共有6个面，每个面都有一个字母，从每一个图中都看到有公共顶
点的三个 面，与标有S的面相邻的面共有四个，由这三个图,知这四个面分别标有字母H、E、
O、p、d，因此 只能是标有“p”与“d”的面是同一个面，p与d是一个字母；翻转图②，使S
面调整到正前面，使p 转成d，则O为正下面，所以H的反面是O.

答案：O

5.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm
2
，母线与轴的
夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径.
分析：这类题目应该选取轴截面研究几何关系.
解：圆台的轴截面如图17，

图17
设圆台上、下底面半径分别为x cm和3x cm，延长AA
1
交OO
1
的延长线于S.
在Rt△SOA中，∠ASO=45°，则∠SAO=45°.
所以SO=AO=3x.所以OO
1
=2x.
又
1
（6x+2x）·2x=392，解得x=7，
2
所以圆台的高OO
1
=14 cm，母线长l=
2
OO< br>1
=
142
cm，而底面半径分别为7 cm和21 cm,
即圆台的高14 cm，母线长
142
cm，底面半径分别为7 cm和21 cm.

6.（2005全国高中数学竞赛浙江预赛，4）正方体的截平面不可能是
．．．
①钝角三角形;②直角三角形;③菱形;④正五边形;⑤正六边形.
下述选项正确的是：（ ）
A.①②⑤ B.①②④ C.②③④ D.③④⑤
分析：正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三 角形、等边三角形，但不可能是钝角
三角形、直角三角形（证明略）；对四边形来讲，可以是梯形（等腰 梯形）、平行四边形、菱
形、矩形，但不可能是直角梯形（证明略）；对五边形来讲，不可能是正五边形 （证明略）；
对六边形来讲，可以是六边形（正六边形）.
答案：B

（五）、拓展提升
1.有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱吗？ 分析：如图18所示，此几何体有两个面互相平行，其余各面是平行四边形，很明显这
个几何体不是 棱柱，因此说有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体不一定是棱
柱.

图18
由此看，判断一个几何体是否是棱柱，关键是紧扣棱柱的3个本质特征：①有 两个面互

相平行；②其余各面都是四边形；③每相邻两个四边形的公共边都互相平行.这 3个特征缺
一不可，图18所示的几何体不具备特征③.

2.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？
剖析：如图19所示，将正 方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
截去两 个三棱锥A—A
1
B
1
D
1
和
C—B
1< br>C
1
D
1
，得如图20所示的几何体.

图19 图20
图20所示的几何体有一个面A BCD是四边形，其余各面都是三角形的几何体，很明显
这个几何体不是棱锥，因此说有一个面是多边形 ，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱
锥.
由此看，判断一个几何体是否是棱锥 ，关键是紧扣棱锥的3个本质特征：①有一个面是
多边形；②其余各面都是三角形；③这些三角形面有一 个公共顶点.这3个特征缺一不可，
图18所示的几何体不具备特征③.

（六）、课堂小结
本节课学习了柱体、锥体、台体、球体的结构特征.

（七）、作业
1.如图21，甲所示为一几何体的展开图.

图21
(1)沿图中虚线将它们折叠起来，是哪一种几何体？试用文字描述并画出示意图.
(2)需要多少个这样的几何体才能拼成一个棱长为6 cm的正方体？请在图乙棱长为6 cm的正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中指出这几个几何体的名称.
答案：(1)有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥，如图22甲所示.

图22
(2)需要3个这样的几何体，如图22乙所示.分别为四棱锥：A
1
—CDD
1
C
1
，A
1
—ABCD，
A
1
—BCC
1
B
1
.

2.如图 23，在正三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中，AB=3，A A
1
=4.M为AA
1
的中点，P是BC上一点，
且由P沿棱柱侧面 经过棱CC
1
到M的最短路线长为
29
，设这条最短路线与CC
1< br>的交点为
N，求P点的位置.

图23
分析：把三棱锥展开后放在 平面上，通过列方程解应用题来求出P到C点的距离,即确
定了P点的位置.
解：如图24所示，把正三棱锥展开后，设CP=x,

图24
根据已知可得方程2
2
+（3+x)
2
=29.解得x=2.
所以P点的位置在离C点距离为2的地方.


§1.1.2 简单组合体的结构特征
一、教材分析
立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小 与位置关系的学科，只有把我们周围的物
体形状正确迅速分解开，才能清醒地认识几何学，为后续学习打 下坚实的基础.简单几何体
（柱体、锥体、台体和球）是构成简单组合体的基本元素.本节教材主要是为 了让学生在学
习了柱、锥、台、球的基础上，运用它们的结构特征来描述简单组合体的结构特征.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）理解由柱、锥、台、球组成的简单组合体的结构特征.
（2）能运用简单组合体的结构特征描述现实生活中的实际模型.
2．过程与方法
让学生通过下观感觉空间物体，认识简单的组合体的结构特征，归纳简单组合体的基本
构成形式.
3．情感态度与价值观
培养学生的空间想象能力，培养学习教学应用意识.
三、重点难点
描述简单组合体的结构特征.
四、课时安排

1课时
五、教学设计
（一）导入新课
思路1.在我们的 生活中，酒瓶的形状是圆柱吗？我们的教学楼的形状是柱体吗？钢笔、
圆珠笔呢？这些物体都不是简单几 何体，那么如何描述它们的结构特征呢？教师指出课题：
简单几何体的结构特征.
思路2.现 实世界中的物体表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球体等简单几何体外，
还有大量的几何体是由简单 几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体，这节课学习的
课题是：简单几何体的结构特征.

（二）推进新课、新知探究、提出问题
①请指出下列几何体是由哪些简单几何体组合而成的.

图1
②观察图1，结合生活实际经验，简单组合体有几种组合形式？
③请你总结长方体与球体能组合成几种不同的组合体.它们之间具有怎样的关系？
活动：让学生仔细观察图1，教师适当时候再提示.
①略.
②图1中的三个组合体分别代表了不同形式.
③学生可以分组讨论，教师可以制作有关模型展示.
讨论结果：①由简单几何体组合而成的几 何体叫做简单组合体.现实世界中，我们看到
的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组 合而成.图1（1）是一个四棱锥
和一个长方体拼接成的，这是多面体与多面体的组合体；图1（2）是 一个圆台挖去一个圆
锥构成的，这是旋转体与旋转体的组合体；图1（3）是一个球和一个长方体拼接成 的，这
是旋转体与多面体的组合体.
②常见的组合体有三种：多面体与多面体的组合 ；多面体与旋转体的组合；旋转体与旋
转体的组合.其基本形式实质上有两种：一种是由简单几何体拼接 而成的简单组合体，如图1
（1）和（3）所示的组合体；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成 的简单组合体，
如图1（2）所示的组合体.
③常见的球与长方体构成的简单组合体 及其结构特征：1°长方体的八个顶点在同一个
球面上，此时长方体称为球的内接长方体，球是长方体的 外接球，并且长方体的对角线是球
的直径；2°一球与正方体的所有棱相切，则正方体每个面上的对角线 长等于球的直径；3°
一球与正方体的所有面相切，则正方体的棱长等于球的直径.

（二）应用示例
思路1
例1 请描述如图2所示的组合体的结构特征.

图2
活动：回顾简单几何体的结构特征，再将各个组合体分解为简 单几何体.依据柱、锥、
台、球的结构特征依次作出判断.
解：图2（1）是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；
图2（2）是由一个长方体截去一个三棱锥后剩下的部分得到的组合体；
图2（3）是由一个圆柱挖去一个三棱锥剩下的部分得到的组合体.
点评：本题主要考查简单组合体的结构特征和空间想象能力.
变式训练
如 图3所示，一个圆环绕着同一个平面内过圆心的直线l旋转180°，想象并说出它形
成的几何体的结构 特征.

图3
答案：一个大球内部挖去一个同球心且半径较小的球.

例2 连接正方体的相邻各面的中心（所谓中心是指各面所在正方形的两条对角线的交点），
所得的一个几何体是几面体？并画图表示该几何体.
活动：先画出正方体，然后取各个面的中心，并依 次连成线观察即可.连接相应点后,得
出图形如图4(1)，再作出判断.

(1) (2)
图4
解：如图4(1)，正 方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
，O< br>1
、O
2
、O
3
、O
4
、O
5、O
6
分别是各表面的中心.
由点O
1
、O
2
、O
3
、O
4
、O
5
、O
6
组成了一个八 面体，而且该八面体共有6个顶点，12条棱.
该多面体的图形如图4（2）所示.
点评：本 题中的八面体，事实上是正八面体——八个面都是全等的正三角形，并且以每
个顶点为其一端，都有相同 数目的棱.由图还可见，该八面体可看成是由两个全等的四棱锥
经重合底面后而得到的，而且中间一个四 边形O
2
O
3
O
4
O
5
还是正方形，当然 其他的如
O
1
O
2
O
6
O
4
等也 是正方形.为了增强立体效果，正方体应画得“正”些，而八面体的放置应稍许
“倾斜”些，并且“后面 的”线，即被前面平面所遮住的线，如图中的O
1
O
5
、O
6
O
5
、O
5
O
2
、O
5
O
4< br>应画成虚线.

变式训练
连接上述所得的几何体的相邻各面的中心，试问所得的几何体又是几面体？
答案：六面体（正方体）.

思路2
例1 已知如图5所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC， 当梯形ABCD绕BC所在
直线旋转一周时，其他各边旋转围成的一个几何体，试描述该几何体的结构特 征.

图5 图6
活动：让学生思考AB、AD、DC与旋转轴BC是否垂直，以此确定所得几何体的结构
特征.
解：如图6所示，旋转所得的几何体是两个圆锥和一个圆柱拼接成的组合体.
点评：本题主要考查空间想象能力以及旋转体、简单组合体.
变式训练
如 图7所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，当梯形ABCD绕AD所在
直线旋转一周 时，其他各边旋转围成的一个几何体，试描述该几何体的结构特征.

图7 图8
答案：如图8所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合
体.

例2 如图9（1）、（2）所示的两个组合体有什么区别？

图9
活动：让学生分组讨论和思考，教师及时点拨和评价学生.
解：图9（1）所示的组合体是一 个长方体上面又放置了一个圆柱，也就是一个长方体和一
个圆柱拼接成的组合体；而图9（2）所示的组 合体是一个长方体中挖去了一个圆柱剩余部
分构成的组合体.
点评：考查空间想象能力和组合体的概念.
变式训练

如图10，说出下列物体可以近似地看作由哪几种几何体组成？

图10
答案：图 10（1）中的几何体可以看作是由一个圆柱和一个圆锥拼接而成；图10（2）
中的螺帽可以近似看作 是一个正六棱柱中挖掉一个圆柱构成的组合体.

（三）知能训练
1.（2005 湖南数学竞赛，9）若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90
的正方体，则正方体 的一条对角线贯穿的小长方体的个数是（ ）
A.64 B.66 C. 68 D.70
分析：由2、3、5的最小公倍数为30，由2、3、5组成的棱长为30的正方体的一条对
角 线穿过的长方体为整数个，所以由2、3、5组成棱长为90的正方体的一条对角线穿过的
小长方体的个 数应为3的倍数.
答案：B

2.图11是一个奖杯，可以近似地看作由哪几种几何体组成？

图11
答案：奖杯的底座是一个正棱台，底座的上面是一个正四棱柱，奖杯的最上部，在正棱
柱上底面的中心放 着一个球.

（四）拓展提升
1.请想一想正方体的截面可能是什么形状的图形？
活动：静止是相对的，运动是绝对的，点动成线，线动成面.用运动的观点看几何问题
的形成， 容易建立空间想象力，这样对于分割和组合图形是有好处的.
明确棱柱、棱锥、棱台等多面体的定义及 圆柱、圆锥、圆台的生成过程，以及柱、锥、
台的相互关系，对于我们正确的割补图形也是有好处的.
对于正方体的分割，可通过实物模型，实际切割实验，还可借助于多媒体手段进行切割
实验.对 于切割所得的平面图形可根据它的定义进行证明，从而判断出各个截面的形状.
探究：本题考查立体几 何的空间想象能力，通过尝试、归纳，可以有如下各种肯定或否
定性的答案：
（1）截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形.
（2）截面三角形是锐角三角形，截面三角形不能是直角三角形、钝角三角形.
（3）截面可 以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面
为四边形时，这个四边形至少有 一组对边平行.
（4）截面不能是直角梯形.

（5）截面可以是五边形：截 面五边形必须有两组分别平行的边，同时有两个角相等；
截面五边形不可能是正五边形.
（6）截面可以是六边形：截面六边形必须有分别平行的边，同时有两个角相等.
（7）截面六边形可以是等角（均为120°）的六边形，即正六边形.
截面图形如图12中各图所示：

图12

（五）课堂小结
本节课学习了简单组合体的概念和结构特征.

（六）作业
习题1.1 A组 第3题；B组 第2题.



























§1.2 空间几何体的三视图和直观图

§1.2.1 中心投影与平行投影§1.2.2 空间几何体的三视图
一、教材分析
在上一节认识空间几何体结构特征的基础上，本节来学习空间几何体的 表示形式，以进
一步提高对空间几何体结构特征的认识.主要内容是：画出空间几何体的三视图.
比较准确地画出几何图形，是学好立体几何的一个前提.因此，本节内容是立体几何的
基础之一，教学中应当给以充分的重视.
画三视图是立体几何中的基本技能，同时，通过三视 图的学习，可以丰富学生的空间想
象力.“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图. 光线自物体的前面向后投
影所得的投影图称为“正视图”，自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”， 自上向下投影所
得的投影图称为“俯视图”.用这三种视图即可刻画空间物体的几何结构，这种图称之为 “三视
图”.
教科书从复习初中学过的正方体、长方体……的三视图出发，要求学生 自己画出球、长
方体的三视图；接着，通过“思考”提出了“由三视图想象几何体”的学习任务.进行几 何体与其
三视图之间的相互转化是高中阶段的新任务，这是提高学生空间想象力的需要，应当作为教学的一个重点.
三视图的教学，主要应当通过学生自己的亲身实践，动手作图来完成.因 此，教科书主
要通过提出问题，引导学生自己动手作图来展示教学内容.教学中，教师可以通过提出问题 ，
让学生在动手实践的过程中学会三视图的作法，体会三视图的作用.对于简单几何体的组合
体 ，在作三视图之前应当提醒学生细心观察，认识了它的基本结构特征后，再动手作图.教
材中的“探究” 可以作为作业，让学生在课外完成后，再把自己的作品带到课堂上来展示交流.
值得注意的问 题是三视图的教学，主要应当通过学生自己的亲身实践、动手作图来完成.
另外，教学中还可以借助于信 息技术向学生多展示一些图片，让学生辨析它们是平行投影下
的图形还是中心投影下的图形.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）掌握画三视图的基本技能
（2）丰富学生的空间想象力
2．过程与方法
主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。
3．情感、态度与价值观
（1）提高学生空间想象力
（2）体会三视图的作用
三、重点难点
教学重点：画出简单组合体的三视图，给出三视图和直观图，还原或想象出原实际图的
结构特征.
教学难点：识别三视图所表示的几何体.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）导入新课
思路1.能否熟练画出上节所学习的几何体？工程师如何制作工程设计图纸？
我们常 用三视图和直观图表示空间几何体，三视图是观察者从三个不同位置观察同一个
几何体而画出的图形；直 观图是观察者站在某一点观察几何体而画出的图形.三视图和直观

图在工程建设、机械制 造以及日常生活中具有重要意义.本节我们将在学习投影知识的基础
上，学习空间几何体的三视图.
教师指出课题：投影和三视图.
思路2.
“横看成岭侧成峰”，这说明从不同的角 度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实
地反映出物体的结构特征，我们可从多角度观看物体，这 堂课我们主要学习空间几何体的三
视图.在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三 视图（正视图、侧视
图、俯视图），你能画出空间几何体的三视图吗？
教师点出课题：投影和三视图.

（二）推进新课、新知探究、提出问题
①如图1所示的五个图片是我国民间艺术皮影戏中的部分片断，请同学们考虑它们是怎
样得到的?


图1
②通过观察和自己的认识,你是怎样来理解投影的含义的?
③请同学们观察图2的投影过程，它们的投影过程有什么不同？

图2
④图2（2）（3）都是平行投影，它们有什么区别？
⑤观察图3，与投影面平行的平面图形 ，分别在平行投影和中心投影下的影子和原图形
的形状、大小有什么区别？

图3
活动：①教师介绍中国的民间艺术皮影戏，学生观察图片.

②从投影的形成过程来定义.
③从投影方向上来区别这三种投影.
④根据投影线与投影面是否垂直来区别.
⑤观察图3并归纳总结它们各自的特点.
讨论结果：①这种现象我们把它称为是投影.
②由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可 以留下这个物体的影子，这种现象叫做
投影.其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做 投影幕.
③图2（1）的投影线交于一点，我们把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影；
图2（2）和（3）的投影线平行，我们把在一束平行光线照射下形成投影称为平行投影.
④图2（ 2）中，投影线正对着投影面，这种平行投影称为正投影；图2（3）中，投影
线不是正对着投影面，这 种平行投影称为斜投影.
⑤在平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子和原平面图形是全等的 平面图
形；在中心投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子和原平面图形是相似的平面图形.
以后我们用正投影的方法来画出空间几何体的三视图和直观图.
知识归纳：投影的分类如图4所示.

图4
提出问题
①在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图，请你回忆三视
图包含哪些部分？
②正视图、侧视图和俯视图各是如何得到的？
③一般地，怎样排列三视图？
④正视图、侧视图和俯视图分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察到的几何体
的正投影图，它们都是平面图形.观察长方体的三视图，你能得出同一个几何体的正视图、
侧视图和俯视 图在形状、大小方面的关系吗？
讨论结果：①三视图包含正视图、侧视图和俯视图.
②光线 从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫该几何体的正视图（又称主视
图）；光线从几何体的左面 向右面正投影，得到的投影图叫该几何体的侧视图（又称左视图）；
光线从几何体的上面向下面正投影， 得到的投影图叫该几何体的俯视图.
③三视图的位置关系：一般地，侧视图在正视图的右边；俯视图在正视图的下边.如图5
所示.

图5
④投影规律：
（1）正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度.
（2）一个几何体的正视图和 侧视图高度一样，正视图和俯视图长度一样，侧视图和俯
视图宽度一样，即正、俯视图——长对正；主、 侧视图——高平齐；俯、侧视图——宽相等.
画组合体的三视图时要注意的问题：
（1）要确定好主视、侧视、俯视的方向，同一物体三视的方向不同，所画的三视图可
能不同.
（2）判断简单组合体的三视图是由哪几个基本几何体生成的，注意它们的生成方式，
特别是它 们的交线位置.
（3）若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和
可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线，用虚线画出.
（4）要检验画出的三视图是否符合 “长对正、高平齐、宽相等”的基本特征，即正、俯
视图长对正；正、侧视图高平齐；俯、侧视图宽相等 ，前后对应.
由三视图还原为实物图时要注意的问题：
我们由实物图可以 画出它的三视图，实际生产中，工人要根据三视图加工零件，需要由
三视图还原成实物图，这要求我们能 由三视图想象它的空间实物形状，主要通过主、俯、左
视图的轮廓线（或补充后的轮廓线）还原成常见的 几何体，还原实物图时，要先从三视图中
初步判断简单组合体的组成，然后利用轮廓线（特别要注意虚线 ）逐步作出实物图.

（三）应用示例
思路1
例1 画出圆柱和圆锥的三视图.
活动：学生回顾正投影和三视图的画法，教师引导学生自己完成.
解：图6（1）是圆柱的三视图，图6（2）是圆锥的三视图.

(1) (2)
图6
点 评：本题主要考查简单几何体的三视图和空间想象能力.有关三视图的题目往往依赖
于丰富的空间想象能 力.要做到边想着几何体的实物图边画着三视图，做到想图（几何体的
实物图）和画图（三视图）相结合 .
变式训练
说出下列图7中两个三视图分别表示的几何体.

(1) (2)
图7
答案：图7（1）是正六棱锥；图7（2）是两个相同的圆台组成的组合体.

例2 试画出图8所示的矿泉水瓶的三视图.
活动：引导学生认识这种容器的结构特征.矿泉水瓶是我们熟悉 的一种容器，这种容器
是简单的组合体，其主要结构特征是从上往下分别是圆柱、圆台和圆柱.

图8 图9

解：三视图如图9所示.
点评：本题主要考查简单组合体的三视图.对于简单空间 几何体的组合体，一定要认真
观察，先认识它的基本结构，然后再画它的三视图.
变式训练
画出图10所示的几何体的三视图.

图10 图11
答案：三视图如图11所示.

思路2
例1 （2007安徽 淮南高三第一次模拟，文16）如图12甲所示，在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F分别是AA
1
、C
1
D
1
的中点，G是正方形BCC
1
B
1
的中心，则四边形 AGFE在该正
方体的各个面上的投影可能是图12乙中的____________.

甲 乙
图12

活动：要画出四边形AGFE在该正方体的各个面上的 投影，只需画出四个顶点A、G、
F、E在每个面上的投影，再顺次连接即得到在该面上的投影，并且在 两个平行平面上的投
影是相同的.
分析：在面ABCD和面A
1
B
1
C
1
D
1
上的投影是图12乙（1）；在面ADD
1A
1
和面BCC
1
B
1
上的投影是图12乙（2）；在 面ABB
1
A
1
和面DCC
1
D
1
上的投 影是图12乙（3）.
答案：（1）（2）（3）
点评：本题主要考查平行投影和空间想象 能力.画出一个图形在一个平面上的投影的关
键是确定该图形的关键点，如顶点等，画出这些关键点的投 影，再依次连接即可得此图形在
该平面上的投影.如果对平行投影理解不充分，做该类题目容易出现不知 所措的情形，避免
出现这种情况的方法是依据平行投影的含义，借助于空间想象来完成.
变式训练
如图13(1)所示，E、F分别为正方体面ADD′A′、面BCC′B ′的中心，则四边形BFD′E
在该正方体的各个面上的投影可能是图13(2)的_________ __.

(1) (2)
图13
分析：四边形BFD′E在正方体ABCD—A′B′C′D′的面ADD′ A′、面BCC′B′上的投影
是C；在面DCC′D′上的投影是B；同理，在面ABB′A′、面A BCD、面A′B′C′D′上的投影也
全是B.
答案：B C
例2 （20 07广东惠州第二次调研，文2）如图14所示，甲、乙、丙是三个立体图形
的三视图，甲、乙、丙对应 的标号正确的是（ ）

甲 乙 丙
图14
①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱
A.④③② B.②①③ C.①②③ D.③②④
分析：由于甲的俯视图是圆，则该几何体是旋转体，又因正视图和侧视图均是矩形，则甲是圆柱；由于乙的俯视图是三角形，则该几何体是多面体，又因正视图和侧视图均是三角
形，则该 多面体的各个面都是三角形，则乙是三棱锥；由于丙的俯视图是圆，则该几何体是
旋转体，又因正视图和 侧视图均是三角形，则丙是圆锥.
答案：A
点评：本题主要考查三视图和简单几何体的结构 特征.根据三视图想象空间几何体，是
培养空间想象能力的重要方式，这需要根据几何体的正视图、侧视 图、俯视图的几何特征，
想象整个几何体的几何特征，从而判断三视图所描述的几何体.通常是先根据俯 视图判断是

多面体还是旋转体，再结合正视图和侧视图确定具体的几何结构特征，最终确 定是简单几何
体还是简单组合体.
变式训练
1.图15是一几何体的三视图，想象该几何体的几何结构特征，画出该几何体的形状.

图15 图16
分析：由于俯视图有一个 圆和一个四边形，则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组
合体，结合侧视图和正视图，可知该几何体 是上面一个圆柱，下面是一个四棱柱拼接成的组
合体.
答案：上面一个圆柱，下面是一个四棱柱拼接成的组合体.该几何体的形状如图16所示.

2.（2007山东高考，理3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）

图17
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
分析：正方体的三视图都是正方形，所以①不符合题意，排除A、B、C.
答案：D
点评：虽然三视图的画法比较繁琐，但是三视图是考查空间想象能力的重要形式，因此
是新课标高考的 必考内容之一，足够的空间想象能力才能保证顺利解决三视图问题.

（四）知能训练
1.下列各项不属于三视图的是（ ）
A.正视图 B.侧视图 C.后视图 D.俯视图
分析：根据三视图的规定，后视图不属于三视图.
答案：C

2.两条相交直线的平行投影是（ ）
A.两条相交直线 B.一条直线
C.两条平行直线 D.两条相交直线或一条直线

图18

分析：借助于长方体模型来 判断，如图18所示，在长方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，一束
平行光线从正上方向下照射.则相交直线CD
1
和DC< br>1
在面ABCD上的平行投影是同一条直线
CD，相交直线CD
1
和B D
1
在面ABCD上的平行投影是两条相交直线CD和BD.
答案：D

3.甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一个四边形桌子旁边，桌上一张纸上写着数字“9”，
如图19所示.甲说他看到的是“6”，乙说他看到的是“ 6”，丙说他看到的是“ 9”，丁说他看到
的是“9”，则下列说法正确的是（ ）

图19
A.甲在丁的对面，乙在甲的左边，丙在丁的右边
B.丙在乙的对面，丙的左边是甲，右边是乙
C.甲在乙的对面，甲的右边是丙，左边是丁
D.甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边
分析：由甲、乙、丙、丁四人的叙述，可以 知道这四人的位置如图20所示，由此可得
甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边.

图20
答案：D

4.（2007广东汕头模拟，文3）如果一个空间几 何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角
形，俯视图为一个圆及其圆心，那么这个几何体为（ ）
A.棱锥 B.棱柱 C.圆锥 D.圆柱
分析：由于俯视图是一个圆及其圆心，则该几何 体是旋转体，又因正视图与侧视图均为
全等的等边三角形，则该几何体是圆锥.
答案：C

5.（2007山东青岛高三期末统考，文5）某几何体的三视图如图21所示，那么这个几 何体
是（ ）

图21
A.三棱锥 B.四棱锥 C.四棱台 D.三棱台

分析：由所给三视图可以判定对应的几何体是四棱锥.
答案：B

6.（2007山东济宁期末统考，文5）用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的
三视图如图22所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是（ ）

图22
A.8 B.7 C.6 D.5
分析：由正视图和侧视图可知，该几何体有两层小正方体拼接成，由俯视图，可知最下
层有5个小正方体，由侧视图可知上层仅有一个正方体，则共有6个小正方体.
答案：C

7.画出图23所示正四棱锥的三视图.

图23
分析：正四棱锥的正视 图与侧视图均为等腰三角形，俯视图为正方形，对角线体现正四
棱锥的四条侧棱.
答案：正四棱锥的三视图如图24.

图24

（五）拓展提升
问题：用数个小正方体组成一个几何体，使它的正视图和俯视图如图25所示，俯视图
中小正方 形中的字母表示在该位置的小立方体的个数.
(1)你能确定哪些字母表示的数？

(2)该几何体可能有多少种不同的形状？

图25
分析 ：解决本题的关键在于观察正视图、俯视图，利用三视图规则中的“在三视图中，
每个视图都反映物体两 个方向的尺寸.正视图反映物体的上下和左右尺寸，俯视图反映物体
的前后和左右尺寸，侧视图反映物体 的前后和上下尺寸”.又“正视图与俯视图长对正,正视图
与侧视图高平齐,俯视图与侧视图宽相等”, 所以，我们可以得到a=3,b=1,c=1,d,e,f中的最大值
为2.
解：(1)面对 数个小立方体组成的几何体，根据正视图与俯视图的观察我们可以得出下列结
论：
①a=3,b=1,c=1;
②d,e,f中的最大值为2.
所以上述字母中我们可以确定的是a=3,b=1,c=1.
(2)当d,e,f中有一个是2时，有3种不同的形状；
当d,e,f有两个是2时，有3种不同的形状；
当d,e,f都是2时，有一种形状.
所以该几何体可能有7种不同的形状.

（六）课堂小结
本节课学习了：
1.中心投影和平行投影.
2.简单几何体和组合体的三视图的画法及其投影规律.
3.由三视图判断原几何体的结构特征.

（七）作业
习题1.2 A组 第1、2题.

§1.2.3 空间几何体的直观图
一、教材分析
“空间几何体的直观图”只介绍了最常用的、直 观性好的斜二测画法.用斜二测画法画直
观图，关键是掌握水平放置的平面图形直观图的画法，这是画空 间几何体直观图的基础.因
此，教科书安排了两个例题，用以说明画水平放置的平面图形直观图的方法和 步骤.在教学
中，要引导学生体会画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置.因为多
边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置
时， 直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法.而在平面上确定点的位置，可以借助于
平面直角坐标系， 确定了点的坐标就可以确定点的位置.因此，画水平放置的平面直角坐标
系应当是学生首先要掌握的方法 .
值得注意的是直观图的教学应注意引导学生正确把握图形尺寸大小之间的关系；另外，教学中还可以借助于信息技术向学生多展示一些图片，让学生辨析它们是平行投影下的图形
还是中心 投影下的图形.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图.
（2）采用对比的方法了解在平行投 影下面空间图形与在中心投影下面空间图形两种方
法的各自特点.
2．过程与方法
学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图.
3．情感态度与价值观
（1）提高空间想象力与直观感受.
（2）体会对比在学习中的作用.
（3）感受几何作图在生产活动中的应用.
三、重点难点
教学重点：用斜二测画法画空间几何体的直观图.
教学难点：直观图和三视图的互化.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）导入新课
思路1. 画几何体时，画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量
关系，怎样画呢？教师指 出课题：直观图.
思路2.正投影主要用于绘制三视图，在工程制图中被广泛采用，但三视图的直观性 较差，
因此绘制物体的直观图一般采用斜投影或中心投影.中心投影虽然可以显示空间图形的直观

形象，但作图方法比较复杂，又不易度量，因此在立体几何中通常采用斜投影的方法来画空间图形的直观图.把空间图形画在纸上，是用一个平面图形来表示空间图形，这样表达的不
是空间图 形的真实形状，而是它的直观图.

（二）推进新课、新知探究、提出问题
①如何用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图？
②上述画直观图的方法称为斜二测画法，请总结其步骤.
③探求空间几何体的直观图的画法.用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、2 cm
的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图.
④用斜二测画法画水平放置的平面图形和几何体的直观图有什么不同？并总结画几何
体的直观图的步骤.
活动：①和③教师首先示范画法，并让学生思考斜二测画法的关键步骤,让学生发表自
己的见解 ，教师及时给予点评.
②根据上述画法来归纳.
③让学生比较两种画法的步骤.
讨论结果：①画法：1°如图1（1），在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，
对称轴M N所在直线为y轴，两轴相交于点O.在图1(2)中，画相应的x′轴与y′轴，两轴相
交于点O′， 使∠x′O′y′=45°.
2°在图1(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′= AD，在y′轴上取M′N′=
1
MN.以点N′
2
为中点画B′C′平行于 x′轴，并且等于BC；再以M′为中点画E′F′平行于x′轴，并且等于EF.
3°连接 A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF
水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′〔图1(3)〕.

图1
②步骤是 ：1°在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，
把它们画成对应的x′轴 与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的
平面表示水平面 .
2°已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的
线段.
3°已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，
长度为原 来的一半.
③画法：1°画轴.如图2，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45° ，∠
xOz=90°.

图2

2°画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN=4 cm;在y轴上取线段 PQ，使
PQ=
3
cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线 ，设它们的交点
2
分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
3°画侧棱.过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm
长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.
4°成图.顺次连接A′、B′、C′、D ′，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚
线），就得到长方体的直观图.
点评： 画几何体的直观图时，如果不作严格要求，图形尺寸可以适当选取，用斜二测画
法画图的角度也可以自定 ，但是要求图形具有一定的立体感.
④画几何体的直观图时还要建立三条轴，实际是建立了空 间直角坐标系，而画水平放置
平面图形的直观图实际上建立的是平面直角坐标系.画几何体的直观图的步 骤是：
1°在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox、Oy，再作Oz轴， 使∠
xOy=90°,∠yOz=90°.
2°画出与Ox、Oy、Oz对应的轴O ′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′=45°，∠y′O′z′=90°,x′O′y′
所 确定的平面表示水平平面.
3°已知图形中，平行于x轴、y轴和z轴的线段，在直观图中分 别画成平行于x′轴、y′
轴和z′轴的线段，并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知图形中相应线 段和原坐标轴的
位置关系相同.
4°已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图 中保持长度不变，平行于y轴的线
段，长度为原来的一半.
5°擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.
斜二测画法的作图技巧:
1°在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，
一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称直线为坐标轴或图形
的对称点为原 点或利用原有垂直正交的直线为坐标轴等.
2°在原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中 依然与x′轴或y′轴平行，原图中不与
坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，画端点时作坐 标轴的平行线为辅助线.原
图中的曲线段可以通过取一些关键点，利用上述方法作出直观图中的相应点后 ，用平滑的曲
线连接而画出.
3°在画一个水平放置的平面时，由于平面是无限延展 的，通常我们只画出它的一部分
表示平面，一般地，用平行四边形表示空间一个水平平面的直观图.

（三）应用示例
思路1
例1 用斜二测画法画水平放置的圆的直观图.
活动：学生回顾讨论斜二测画法的步骤，自己画出来后再互相交流.教师适当点评.
解：（1 ）如图3(1)，在⊙O上取互相垂直的直径AB、CD，分别以它们所在的直线为x轴与
y轴，将线段 AB n等分.过各分点分别作y轴的平行线，交⊙O于E，F，G，H，…，画对
应的x′轴和y′轴 ，使∠x′O′y′=45°.

图3
1
CD，将A′B′ n等分，
2
1
1
分别以这些分点为中 点，画与y′轴平行的线段E′F′，G′H′，…，使E′F′=
EF
,G′H′=
GH
，….
2
2
(2)如图3(2)，以O′为中点，在x′轴上取A′B ′=AB，在y′轴上取C′D′=
（3）用光滑曲线顺次连接A′，D′，F′，H′，…，B′，G ′，E′，C′，A′并擦去辅助线，得到圆
的水平放置的直观图〔图3(3)〕.
点评：本题主要考查用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.
变式训练
1.画水平放置的等边三角形的直观图.
答案：略.

2.关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是（ ）
A.原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变
B.原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的
1

2
C.在画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°
D.在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
分析：在画与直角坐标系xOy 对应的x′O′y′时，∠x′O′y′也可以是135°，所以C不正
确.
答案：C
例2 如图4，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.

图4
活动：让学生由三视图还原为实物图，并判断该几何体的结构特征.教师分析：
由几 何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱，上部是
一个圆锥，并且圆锥的 底面与圆柱的上底面重合.我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部
的圆锥.
解：画法：
（1）画轴.如图5（1），画x轴、y轴、z轴，使∠xOy=45°,∠xOz=90°.

(1) (2)
图5
（2）画圆柱的两底面，仿照例2画法，画出底面⊙O.在z轴上截取O′，使 OO′等于三视图
中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′,Oy的平行线O′y′,利用O′x′ 与O′y′画出底面⊙O′（与
画⊙O一样）.
（3）画圆锥的顶点.在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度.
（4）成图. 连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图表示的几何体的直观图〔图5(2)〕.
点评： 空间几何体的三视图与直观图有着密切的联系，我们能够由空间几何体的三视
图得到它 的直观图.同时，也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图.
变式训练
图6所示是一个奖杯的三视图，你能想象出它的几何结构，并画出它的直观图吗？

图6 < br>答案：奖杯的几何结构是最上面是一个球，中间是一个四棱柱，最下面是一个棱台拼接
成的简单组 合体.其直观图略.

思路2
例1 如图7所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4 cm，CD=2 cm，∠DAB=30°，AD=3
cm，试画出它的直观图.

图7
活动：利用斜二测画法作该梯形的直观 图，要注意在斜二测画法中，要有一些平行于原
坐标轴的线段才好按部就班地作图，所以先在原坐标系中 过Ｄ作出该点在x轴的垂足，则对
应地可以作出线段ＤＥ的直观图，进而作出整个梯形的直观图. 解：步骤是：（1）如图8所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原
点，建 立平面直角坐标系xOy.如图9所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′A′y′=45°.

（2）如图8所示，过D点作DE⊥x轴，垂足为E.在x′轴上取A′B′=AB=4 cm，
A′E′=AE=
3
1
3
cm ≈2.598 cm；过E′ 作E′D′∥y′轴，使E′D′=
ED
，再过点D′作D′C′∥x′
2
2
轴，且使D′C′=CD=2 cm.

图8 图9 图10
（3）连接A′D′、B′C′、C′D′，并 擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图10所示，则四边
形A′B′C′D′就是所求作的直观图 .
点评：本题考查利用斜二测画法画空间图形的直观图.在画水平放置的平面图形的直观
图时 ，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，
便于画点；原图中 的共线点，在直观图中仍是共线点；原图中的共点线，在直观图中仍是共
点线；原图中的平行线，在直观 图中仍是平行线.本题中，关键在于点D′位置的确定，这里
我们采用作垂线的方法，先找到垂足E′， 再去确定D′的位置.
变式训练
1.如图11所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，且 AD＞BC，该梯形绕边AD所在直线EF
旋转一周得一几何体，画出该几何体的直观图和三视图.

图11
答案：该几何体是由一个圆锥和一个圆柱拼接而成的简单组合体，其直观图 如图12所
示，三视图如图13所示.

图12 图13

2.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是
（ ）
A.16 B.64 C.16或64 D.都不对
分析：根据直观图的画法，平行于x轴的线段 长度不变，平行于y轴的线段变为原来的
一半，于是长为4的边如果平行于x轴，则正方形边长为4，面 积为16，边长为4的边如果
平行于y轴，则正方形边长为8，面积是64.

答案：C

（四）知能训练
1.利用斜二测画法画直观图时：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形.
以上结论中，正确的是___________.
分析： 斜二测画法保持平行性和相交性不变，即平行直线的直观图还是平行直线，相交
直线的直观图还是相交直 线，故①②正确；但是斜二测画法中平行于y轴的线段，在直观图
中长度为原来的一半，则正方形的直观 图不是正方形，菱形的直观图不是菱形，所以③④错.
答案：①②

2.一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为2的正三角形，则原三角形的面积是
（ ）
A.
26
B.
46
C.
3
D.都不对
分析：根据斜二测画法的规则， 正三角形的边长是原三角形的底边长，原三角形的高是
正三角形高的
22
倍，而正三角 形的高是
3
，所以原三角形的高为
26
，于是其面积为
1
× 2×
26
=
26
.
2
答案：A

3. 一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则
该平面图形的 面积等于（ ）
A.
122
?
B.
1?
C.
1?2
D.
2?2

222
分析：平面图形是上底长为1，下底长为
1?2
，高为2的直角梯形.计算得面积为
2?2
.
答案：D

4.斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中对应点是M′,则点M′的找法
是___________.
分析：在x′轴的正方向上取点M
1
，使O′M1
=4，在y′轴上取点M
2
，使O′M
2
=2，过M
1
和M
2
分别作平行于y′轴和x′轴的直线的交点就是M′.
答案：在x ′O′y′中，过点（4，0）和y′轴平行的直线与过（0，2）和x′轴平行的直线的
交点即是.

5.根据图14所示物体的三视图（阴影部分为空洞）描绘出物体的大致形状.

图14
分析：根据该物体的三视图可以判断该物体的外轮廓是一个 正方体，从正面和左面看是
一个正方形中间有一个圆形的孔.从而知这两个面应该都有一个圆柱形的孔.
解：由此可以推测该物体大致形状如图15所示.

图15

（五）拓展提升
问题：如图16所示,已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.

图16
探究：由这个三视图可以看出，该几何体是由一个长方体和一个以直四棱柱 的上底面为
底面的四棱锥拼接而成.

图17
解：步骤是：
（ 1）作出长方体的直观图ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
，如图17(1)所示.
（2）再以上底面A
1
B
1
C
1
D
1
的对角线交点为原点建立空间直角坐标系，如图17(2)所示，在
z′上取点V′，使得V′O′的长度为棱锥的高，连接V′A
1
、V′B
1
、V′C
1
、V′D
1
得到四棱锥的直

观图 ，如图17（2）.
（3）擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图17(3).

（六）课堂小结
本节课学习了：
1.直观图的概念.
2.直观图的画法.
3.直观图和三视图的关系.
4.规律总结：
（1 ）三视图的排列规则是：先画正视图，俯视图安排在正视图的正下方，长度与正视
图一样，侧视图安排在 正视图的正右方，高度与正视图一样.正视图反映物体的主要形状特
征，是三视图中最重要的视图，俯视 图与侧视图共同反映物体的宽度要相等.正视图又称为
主视图，侧视图又称为左视图.
(2) 画三视图时，要遵循“长对正，高平齐，宽相等”的原则.若相邻两个几何体的表面相
交，表面的交线是 它们原分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见
的轮廓线用虚线画出.
(3)用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，而画水
平放置的平面 图形的关键是确定多边形的顶点.因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接
这些顶点就可画出多边形来 ，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法就可归结为确定点
的位置的画法.
(4)如果同 一个空间图形摆放的位置不同，那么画出的三视图会有所不同，画出的直观
图也是会有所不同.

（七）作业
习题1.2 A组 第5、6题.













§1.3 空间几何体的表面积与体积
§1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
一、教材分析
本节一开始的“思考”从学生熟悉 的正方体和长方体的展开图入手，分析展开图与其表面

积的关系，目的有两个：其一，复 习表面积的概念，即表面积是各个面的面积的和；其二，
介绍求几何体表面积的方法，把它们展成平面图 形，利用平面图形求面积的方法，求立体图
形的表面积.
接着，教科书安排了一个“ 探究”，要求学生类比正方体、长方体的表面积，讨论棱柱、
棱锥、棱台的表面积问题，并通过例1进一 步加深学生的认识.教学中可以引导学生讨论得
出：棱柱的展开图是由平行四边形组成的平面图形，棱锥 的展开图是由三角形组成的平面图
形，棱台的展形图是由梯形组成的平面图形.这样，求它们的表面积的 问题就可转化为求平
行四边形、三角形和梯形的面积问题.
教科书通过“思考”提出 “如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？”的问
题.教学中可引导学生回忆圆柱、圆锥 的形成过程及其几何特征，在此基础上得出圆柱的侧
面可以展开成为一个矩形，圆锥的侧面可以展开成为 一个扇形的结论，随后的有关圆台表面
积问题的“探究”，也可以按照这样的思路进行教学.值得注意的 是，圆柱、圆锥、圆台都有
统一的表面积公式，得出这些公式的关键是要分析清楚它们的底面半径、母线 长与对应的侧
面展开图中的边长之间的关系，教学中应当引导学生认真分析，在分别学习了圆柱、圆锥、
圆台的表面积公式后，可以引导学生用运动、变化的观点分析它们之间的关系.由于圆柱可
看成 上下两底面全等的圆台；圆锥可看成上底面半径为零的圆台，因此圆柱、圆锥就可以看
成圆台的特例.这 样，圆柱、圆锥的表面积公式就可以统一在圆台的表面积公式之下.
关于体积的教学.我们知 道，几何体占有空间部分的大小，叫做几何体的体积.这里的“大
小”没有比较大小的含义，而是要用具 体的“数”来定量的表示几何体占据了多大的空间，因
此就产生了度量体积的问题.度量体积时应知道： ①完全相同的几何体，它的体积相等；
②一个几何体的体积等于它的各部分体积的和.体积相等的两个几 何体叫做等积体.相同的
两个几何体一定是等积体，但两个等积体不一定相同.体积公式的推导是建立在 等体积概念
之上的.
柱体和锥体的体积计算，是经常要解决的问题.虽然有关公式学 生已有所了解，但进一
步了解这些公式的推导，有助于学生理解和掌握这些公式，为此，教科书安排了一 个“探究”，
要求学生思考一下棱锥与等底等高的棱柱体积之间的关系.教学中，可以引导学生类比圆柱
与圆锥之间的体积关系来得出结论.
与讨论表面积公式之间的关系类似，教科书在得 出柱体、锥体、台体的体积公式后，安
排了一个“思考”，目的是引导学生思考这些公式之间的关系，建 立它们之间的联系.实际上，
这几个公式之间的关系，是由柱体、锥体和台体之间的关系决定的.这样， 在台体的体积公
式中，令S′=S，得柱体的体积公式；令S′=0，得锥体的体积公式.
值得注意的是在教学过程中，要重视发挥思考和探究等栏目的作用，培养学生的类比思
维能力，引导学生 发现这些公式之间的关系，建立它们的联系.本节的重点应放在公式的应
用上，防止出现：教师在公式推 导过程中“纠缠不止”，要留出“空白”，让学生自己去思考和
解决问题.如果有条件，可以借助于信息 技术来展示几何体的展开图.对于空间想象能力较差
的学生，可以通过制作实物模型，经过操作确认来增 强空间想象能力.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）了解柱体、锥体与台体的表面积（不要求记忆公式）.
（2）能运用公式求解柱体、锥体和台体的全面积.
（3）培养学生空间想象能力和思维能力.
2．过程与方法
让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，培养转化化归能力.
3．情感、态度与价值观

通过学习，使学生感受到几面体表面积的求解过程， 激发学生探索创新的意识，增强学
习的积极性.
三、重点难点
教学重点：了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式及其应用.
教学难点：表面积和体积计算公式的应用.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）导入新课
思路1.在过去的学习中，我们已经接触过一些几何 体的面积和体积的求法及公式，哪些
几何体可以求出表面积和体积？（引导学生回忆，互相交流，教师归 类）几何体的表面积等
于它的展开图的面积，那么，柱体、锥体、台体的侧面展开图是怎样的？你能否计 算？
思路2.被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的
四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具
很落后的中 古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如
此宏伟的大金字塔，真是 一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔
底边长230米，塔高146.5米， 你能计算建此金字塔用了多少石块吗？

（二）推进新课、新知探究、提出问题
①在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（图1），你
知道上述几何体的 展开图与其表面积的关系吗？

正方体及其展开图(1) 长方体及其展开图(2)
图1
②棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们 的展开图是什么？如何计
算它们的表面积？
③如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？
④联系圆柱、圆锥的侧面展开图， 你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如
果圆台的上、下底面半径分别是r′,r，母线长为 l，你能计算出它的表面积吗？
⑤圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？
活动：①学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式.
②学生思考几何体的表面积的含义，教师提示就是求各个面的面积的和.
③让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状.
④学生思考圆台的侧面展开图的形状.
⑤提示学生用动态的观点看待这个问题.
讨论结果：①正方体、长方体是由多个平面图形围成 的几何体，它们的表面积就是各个
面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求 面积的方法，求立体
图形的表面积.
②棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱 柱的各个面的面积的和；棱锥
的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的 面积的和；棱台
的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和. < /p>

③它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面
积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面展开图是矩
形，圆锥的 侧面展开图是扇形.
我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形（图2）.如果圆柱的底面半径 为r,母线长为l，
那么圆柱的底面面积为πr
2
,侧面面积为2πrl.因此，圆柱 的表面积S=2πr
2
+2πrl=2πr(r+l).

图2 图3
圆锥的侧面展开图是一个扇形（ 图3）.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l，那么它的
表面积S=πr
2
+πrl =πr(r+l).
点评：将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.
④圆 台的侧面展开图是一个扇环（图4），它的表面积等于上、下两个底面的面积和加
上侧面的面积，即S= π(r
2
+r′
2
+rl+r′l).

图4
⑤圆柱、圆锥、圆台侧面积的关系：
圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体 .圆柱可以看作是上下底面全等的圆
台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察它们的侧面积，不 难发现：
1212
S
圆柱表
=2πr(r+l)
????
S
圆台表
=π(r
1
l+r
2
l+r
1
2
+r
2
2
)
?????
S
圆锥表
=πr( r+l).
r?r?rr?0,r?r
从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的侧面积公式都可 以看作由圆台侧面积公式演变
而来.
提出问题
①回顾长方体、正方体和圆 柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比
出柱体的体积公式？
②比较柱体、锥体、台体的体积公式：
V
柱体
=Sh(S为底面积，h为柱体的高)；
1
3
1< br>V
台体
=
(S?SS'?S')
h(S′,S分别为上、下底面积，h 为台体的高).
3
V
锥体
=
Sh
(S为底面积，h为锥体的高)；
你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否
可以看作台体 体积公式的“特殊”形式？
活动：①让学生思考和讨论交流长方体、正方体和圆柱的体积公式.
②让学生类比圆柱、圆锥和圆台的表面积的关系？
讨论结果：
①棱长为a的正方体的体积V=a
3
=a
2
a=Sh；

长方体的长、宽和高分别为a,b,c，其体积为V=abc=(ab)c=Sh；
底面半径为r高为h的圆柱的体积是V=πr
2
h=Sh，
可以类比，一般的柱体的体积也是V=Sh，其中S是底面面积，h为柱体的高.
圆锥的体积 公式是V=
Sh
(S为底面面积，h为高)，它是同底等高的圆柱的体积的
棱锥的体积 也是同底等高的棱柱体积的
高).
由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高 ；棱锥与圆锥的体积公式类
似，都是底面面积乘高的
1
3
1
.
3
1
1
,即棱锥的体积V=
Sh
(S为底面面积，h为
3
3
1
.
3
1
(S′+
S'S
+S)h,
3
由于 圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆
台（棱台）的体积公式 V=
其中S′，S分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）高.
注意：不要求推导公式，也不要求记忆.
②柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以 看作是有一个底面是一个点的台体.
因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体.当S′=0时，台体的体 积公式变为锥体的体积公式;
当S′=S时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的 体积公式可以看作
台体体积公式的“特殊”形式.
柱体和锥体可以看作由台体变化得 到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可
以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得 出它们之间的体积关系,如图5：

图5

（三）应用示例
思路1
例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S—ABC（图6），求它的表面积.

图6
活动：回顾几何体的表面积含义和求法.
分析：由于四面体S—ABC的四个面是全等的等边 三角形，所以四面体的表面积等于
其中任何一个面面积的4倍.
解：先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D.
因为BC=a,SD=SB
2
?BD
2
?
a3
a
2
?()< br>2
?a
,
22

所以S
△
SBC=
133
2
1
a?a
. BC·SD=
a?
2 24
2
3
2
a?3a
2
.
4
因此，四面 体S—ABC的表面积S=4×
点评：本题主要考查多面体的表面积的求法.
变式训练 1.已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等.若圆柱的底面半径为r，圆柱侧面积为S，求
圆锥 的侧面积.
解：设圆锥的母线长为l，因为圆柱的侧面积为S，圆柱的底面半径为r，即S
圆 柱侧
=S，根据
圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线（高）长为
SS
，由题意 得圆锥的高为，又圆锥
2
?
r2
?
r
的底面半径为r，根据 勾股定理，圆锥的母线长l=
r
2
?(
得
S
2
)
，根据圆锥的侧面积公式
2
?
r
S
2
4
?
2
r
4
?S
2
S
圆锥侧
=πrl=π·r ·
r?(
.
)?
2
?
r2
2

2.两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积
的比是（ ）
A.1∶2∶3 B.1∶7∶19 C.3∶4∶5 D.1∶9∶27
分析：因为圆锥的高被分成的三部分相等 ，所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比
为1∶2∶3，于是自上而下三个圆锥的体积之比为(?
3
［
r
2
h
)∶
?
3
2h ］∶［
(2r)
2
·
?
3
3h］
(3r)
2
·
=1∶8∶27，所以圆锥被分成的三部分的体积之比为1∶（8－1）∶（27－8）= 1∶7∶19.
答案：B

3.三棱锥V—ABC的中截面是△A
1B
1
C
1
，则三棱锥V—A
1
B
1
C
1
与三棱锥A—A
1
BC的体积之
比是（ ）
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶8
分析：中截面将三棱锥的高分成相等的两部 分，所以截面与原底面的面积之比为1∶4，
将三棱锥A—A
1
BC转化为三棱锥A< br>1
—ABC，这样三棱锥V—A
1
B
1
C
1
与三棱锥A
1
—ABC的
高相等，底面积之比为 1∶4，于是其体积之比为1∶4.
答案：B

例2 如图7，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm，盆底直径为15 cm，底部渗水圆孔直
径为1.5 cm，盆壁长为15 cm.为了美化花盆 的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升
油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆？（π 取3.14，结果精确到1毫升，可用计算
器）

图7
活 动：学生思考和讨论如何转化为数学问题.只要求出每个花盆外壁的表面积，就可以
求出油漆的用量.而 花盆外壁的表面积等于花盆的侧面积加上底面积，再减去底面圆孔的面
积.
解：如图7，由圆 台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积S=π［
(
-π(
15
2
1 520
)??15??15
］
222
1.5
2
)
≈ 1 000(cm
2
)=0.1(m
2
).
2
涂100个这样的花盆需油漆：0.1×100×100=1 000（毫升）.
答：涂100个这样的花盆需要1 000毫升油漆.
点评：本题主要考查几何体的表面积公式及其应用.
变式训练
1.有位油漆工用一把长度为50 cm，横截面半径为10 cm的圆柱形刷子给一块面积为10 m
2
的木板涂油漆，且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务< br>所需的时间是多少?（精确到0.01秒）
解：圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积，
∵圆柱的侧面积为S
侧
=2πrl=2π·0.1·0.5=0.1π m
2
，
又∵圆柱形刷子以每秒5周匀速滚动，
∴圆柱形刷子每秒滚过的面积为0.5π m
2
，
10m
2
20
?
因此油漆工完成任务所需的时间t=
≈6.37秒.
2
?
0.5
?
m
点评：本题虽然是实际问题，但是通过仔细分析后，还是归为圆柱 的侧面积问题.解决
此题的关键是注意到圆柱形刷子滚动一周所经过的面积就相当于把圆柱的侧面展开的 面积，
即滚动一周所经过的面积等于圆柱的侧面积.从而使问题迎刃而解.

2.（ 2007山东滨州一模，文14）已知三棱锥O—ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC=1,OA=x，
OB=y，且x+y=4，则三棱锥体积的最大值是___________.
分析：由题意 得三棱锥的体积是
?
当x=2时，三棱锥的体积取最大值
答案：
11112< br>xy?x(4?x)??
(x-2)
2
+，由于x＞0，则
32663
2
.
3
2

3

例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8 gcm
3
）六角螺帽（图8）共重5.8 kg,已知底
面是正六边形，边长为12 mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm，问这堆螺帽大约有多少个?
（π取3.14）

图8
活动：让学生讨论和交流如何转化为数学问题.六角帽表示的几何体是一个组合体，在
一个六棱柱中间 挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.
解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与 圆柱体积的差，即V=
3
10
×12
2
×6×10-3.14×()
2
×10≈2
4
2
956(mm
3
)=2.956(cm
3
).
所以螺帽的个数为5.8×1 000÷(7.8×2.956)≈252(个).
答：这堆螺帽大约有252个.
点评：本题主要考查几何体的体积公式及其应用.
变式训练
如图9，有个水平放置圆台形容器，上、下底面半径分别为2分米，4分米 ，高为5分
米，现以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，当水面的高度为3分米时，求所用的时间.
（精确到0.01秒）

图9
解：如图10，设水面的半径为r，则EH=r-2分米，BG=2分米，

图10
在△ABG中，∵EH∥BG，
AHEH
.∵AH=2分米,
?
AGBG
2r?214
∴
?
.∴r=分米.
52
5
∴
∴当水面的高度为3分米时，容器中水的体积为
142
14
876
?
)+×4+4
2
］=立方分米, 25
55
876
?
292
?
∴所用的时间为
2 5
?
≈36.69秒.
325
V
水
=
?
·3［(
1
3
答：所用的时间为36.69秒.

思路2
例1 （2007山东烟台高三期末统考，理8）如图11所示，一个空间几何体的正视图、侧

视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）

图11
A.1 B.
1
1
1
C. D.
3
26
活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征.
分析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图12所示为该三棱锥的直观图，并且侧
棱PA⊥ AB，PA⊥AC，AB⊥AC.则该三棱锥的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以这
个几何体的 体积为V=
1111
S
?ABC
PA???1?
.
3326

图12
答案：D
点评：本题主要考查几何体的三视图 和体积.给出几何体的三视图，求该几何体的体积
或面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征， 再利用公式求得.此类题目成为新课
标高考的热点，应引起重视.
变式训练
1.（ 2007山东泰安高三期末统考，理8）若一个正三棱柱的三视图如图13所示，则这个正
三棱柱的表面 积为（ ）

图13
A.
183
B.
153
C.
24?83

D.
24?163

分析：该正三棱柱的直观图如图14所示 ，且底面等边三角形的高为
23
，正三棱柱的
高为2，则底面等边三角形的边长为4， 所以该正三棱柱的表面积为
3×4×2+2××4×
23
=24+
83
.
1
2

图14
答案：C

2.（2007山东 潍坊高三期末统考，文3）如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的
等边三角形，俯视图为一个 半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（ ）
A.
3
?
23
?
?
B. C.
3
?
D.
3 3
3
分析：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为
3
，所以这个几何体的体积为
V=
?
?
?1?3?
1
3
2
3
?
.
3
答案：A
3.（2007广东高考，文17）已知某几何体的俯视图是如图15所 示的矩形，正视图（或称主
视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一 个底边长为6、
高为4的等腰三角形.

图15
（1）求该几何体的体积V；
（2）求该几何体的侧面积S.
解：由三视图可知该 几何体是一个底面边长分别为6、8的矩形，高为4的四棱锥.设底面矩
形为ABCD.如图16所示， AB=8，BC=6，高VO=4.

图16

（1）V=
1
×(8×6)×4=64.
3
(2) 设四棱锥侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形，侧面VAB、VCD也是全等的等腰三角
形， 在△VBC中，BC边上的高为h
1
=
VO
2
?(
AB
2
8
)?4
2
?()
2
?42
,
22
BC
2
6
)?4
2
?()
2
=5.
22
在△VAB中，AB边上的高为h
2
=
VO
2
?(
所以此几何体的侧面积S=
2(?6?42?
1
2
1
? 8?5)
=40+
242
.
2
点评：高考试题中对面积和体积的考 查有三种方式，一是给出三视图，求其面积或体积；
二是与的组合体有关的面积和体积的计算；三是在解 答题中，作为最后一问.

例2 图17所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打
一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少?（π取3.14）

图17
活动：因为正方体的棱长为4 cm，而孔深只有1 cm，所以正方体没有被打透.这样一来
打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面
积，这六个圆 柱的高为1 cm，底面圆的半径为1 cm.
解：正方体的表面积为16×6=96（cm
2
），
一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28（cm
2
），
则打孔后几何体的表面积为96＋6.28×6=133.68（cm
2
）.
答：几何体的表面积为133.68 cm
2
.
点评：本题主要考查正方体 、圆柱的表面积.求几何体的表面积问题，通常将所给几何
体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱 、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获
得几何体的表面积.本题中将几何体的表面积表达为正方体 的表面积与六个圆柱侧面积的和
是非常有创意的想法，如果忽略正方体没有被打透这一点，思考就会变得 复杂，当然结果也
会是错误的.
变式训练
图18所示是由18个边长为1 cm的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积.

图18
分析：从图18中 可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，

因为18-7-2 =9，所以第三层摆了9个.另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、
后,左、右两个面的表 面积也是分别相同的.
解：因为小正方体的棱长是1 cm，所以上面的表面积为1
2
×9=9（ cm
2
），
前面的表面积为1
2
×8=8（ cm
2
），左面的表面积为1
2
×7=7（ cm
2
），
则此几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=48( cm
2
).
答：此几何体的表面积为48 cm
2
.

（四）知能训练
1.正方体的表面积是96，则正方体的体积是（ ）
A.
486
B.64 C.16 D.96
分析：设正方体的棱长为a，则6a
2
=96，解得a=4，则正方体的体积是a
3< br>=64.
答案：B

2.（2007山东临沂高三期末统考，文2）如图1 9所示，圆锥的底面半径为1，高为
3
，则
圆锥的表面积为（ ）
A.π B.2π C.3π D.4π

分析：设圆锥的母线长为l，则l=
3?1
=2，所以圆锥的表 面积为S=π×1×(1+2)=3π.
答案：C

3.正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为
23
，则这个正三棱锥的体积是（ ）
A.
93
273
279
B. C. D.
4
4
44
22
分析：可 得正三棱锥的高h=
(23)?(3)
=3，于是V=
?
答案：D
1
3
3
2
93
?3?3?
.
44

4.若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的 _________倍；
若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的__ _______倍.
分析：圆柱的体积公式为V
圆柱
=πr
2
h， 底面半径不变，高扩大为原来的4倍，其体积也
变为原来的4倍；当圆柱的高不变，底面半径扩大为原来 的4倍时，其体积变为原来的4
2
=16
倍.
答案：4 16

5.图20是一个正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、AA
1
的 中点.现在沿△GFH所在平面锯
掉正方体的一个角，问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几?

图20
分析：因为锯掉的是正方体的一个角，所以HA与AG、AF都垂直，即H A垂直于立
方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF为底面，H为顶点的一个三棱锥.
解：设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a
3
.
三棱锥的底面 是Rt△AGF，即∠FAG为90°，G、F又分别为AD、AA
1
的中点，所以
1
1111
a
.所以△AGF的面积为
?a?a?a
2
.又因 AH是三棱锥的高，H又是
2
2228
1
1111
3
AB的 中点，所以AH=
a
.所以锯掉的部分的体积为
?a?a
2
?a.
2
32848
1
3
11
又因,所以锯掉的那块的体 积是原正方体体积的.
a?a
3
?
484848
AF=AG=

6.（2 007山东临沂高三期末考试，理13）已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，
则圆锥的底面面 积是____________.
?
?
2
S
?
l?S,< br>分析：如图21，设圆锥底面半径为r，母线长为l，由题意得
?
2
解得r=，
2
?
?
?
?
l?2
?
r,
所以圆 锥的底面积为πr
2
=
?
?
SS
?
.
2
?
2

图21
答案：
S

2

7.如图22，一个正三棱柱容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干，将容 器放倒，把一个
侧面作为底面，如图23，这时水面恰好为中截面，则图22中容器内水面的高度是__ _______.

图22 图23
分析：图22中容器内水面的高度为h，水的体积为V，则V=S
△
ABC< br>h.又图23中水组成
了一个直四棱柱，其底面积为
33
2a，∴
S< br>?ABC
，高度为2a，则V=
S
?ABC
·
44
3
S
?ABC
?2a
3
4
?a
. h=
S
?ABC
2
答案：
3
a

2

8.圆台的两个底面半径分别为2、4，截得这个圆台的圆锥的高为6，则这个圆 台的体积是
_____________.
分析：设这个圆台的高为h，画出圆台的轴截面， 可得
个圆台的体积是
26?h
，解得h=3，所以这
?
46
?
2
(2+2×4+4
2
)×3=28π.
3
答案：28π

9.已知某个几何体的三视图如图24，根据图中标出的 尺寸（单位：cm）,可得这个几何体的
体积是（ ）

图24
A.
cm
3

分析：该几何体是四棱锥，并且长为20 cm的一条侧棱垂直于底面，所以四棱锥的高为
20 cm,底面是边长为20 cm的正方形（如俯视图），所以底面积是20×20=400 cm
2
，所以该几
40008000
3
cm
3
C.2 000 cm
3
D.4 000
33

何体的体积是
答案：B
1
8000
3
×400×20=cm.
3
3

（五）拓展提升
问题：有两个相同的直三棱柱，高为
2
，底面三角形的三边 长分别为3a,4a,5a(a＞0).用它们
a
拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形 中，表面积最小的是一个四棱柱，则a的取值
范围是___________.
探究：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：
四棱柱有一种，就 是边长为5a的边重合在一起，表面积为24a
2
+28，三棱柱有两种，边长为
4a 的边重合在一起，表面积为24a
2
+32，边长为3a的边重合在一起，表面积为24a2
+36，两
个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况，表面积为12a
2< br>+48,
最小的是一个四棱柱，这说明24a
2
+28＜12a
2< br>+48
?
12a
2
＜20
?
0＜a＜
15< br>.
3
答案：0＜a＜
15

3

（六）课堂小结
本节课学习了：
1.柱体、锥体、台体的表面积和体积公式.
2.应用体积公式解决有关问题.

（七）作业
习题1.3 A组 第1、2、3题.





§1.3.2 球的体积和表面积
一、教材分析
本节教材直接给出了球的表面积和体积公式，并用两个例题来说明其应用.值得注意的
是教学的重点放在 球与其他几何体的组合体的有关计算上，这是高考的重点.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）了解几何体体积的含义，以及柱体、锥体与台体的体积公式.（不要求记忆公式）
（2）熟悉台体与柱体和锥体之间体积的转换关系.
（3）培养学生空间想象能力和思维能力.
2．过程与方法
（1）让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体之间的体积关系.

（2） 通过相关几何体的联系，寻找已知条件的相互转化，解决一些特殊几何体体积的
计算.
3．情感、态度与价值观
通过柱体、锥体、台体体积公式之间的关系培养学生探索意识.
三、重点难点
教学重点：球的表面积和体积公式的应用.
教学难点：关于球的组合体的计算.
四、课时安排
约1课时
五、教学设计
（一）导入新课
思路1.位于香港栈桥回澜阁西部、西陵峡路东端海滨，有一座新异奇秀的半 球形建筑.
由香港好世界饮食服务（中国）有限公司等三方合资兴建，1996年9月正式开业，既是岛
城饮食服务业的“特一级”店，又是新增加的一处景点.酒店的总建筑面积11 380平方米，现酒店管理层决定在半球形屋顶嵌上一层特殊化学材料以更好地保护酒店，那么，需要多少面
积的这种 化学材料呢？
思路2.球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求
球的表面积与体积呢？球的大小与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？教
师引 出课题：球的体积和表面积.

（二）推进新课、新知探究
球的半径为R ，它的体积和表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.事实上，
如果球的半径为R，那么S=4 πR
2
,V=
?
R
3
.
注意：球的体积和表面积公式的证明以后证明.

（三）应用示例
思路1
例1 如图1所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
4
3

图1
（1）球的体积等于圆柱体积的
2
；
3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
活动：学生思考圆柱和球的结构特征，并展 开空间想象.教师可以使用信息技术帮助学
生读懂图形.
证明：（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.
则有V
球
=
?
R
3
，V
圆柱
=πR
2
·2R=2 πR
3
，所以V
球
=
V
圆柱
.
4
3
2
3

（2）因为S
球
=4πR
2
，S
圆柱侧
=2πR·2R=4πR
2
，所以S
球
=S< br>圆柱侧
.
点评：本题主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算.解决此类问题的 关键是明
确组合体的结构特征.
变式训练
1.如图2(1)所示，表面积为324 π的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积.

图2
解：设球 的半径为R，正四棱柱底面边长为a,则轴截面如图2（2），所以AA′=14,AC=
2a
,
又∵4πR
2
=324π,∴R=9.
∴AC=
AC'
2
?CC'
2
?82
.∴a=8.
∴S
表
=64×2+32×14=576,即这个正四棱柱的表面积为576.

2有一种空心钢球，质量为142 g,测得外径（直径）等于5 cm，求它的内径（钢的密度为7.9
gcm
3
，精确到0.1 cm）.
解：设空心球内径（直径）为2x cm,则钢球质量为
4
?
5
3
4
?
3
?()?x
］=142,
323
5142 ?3
∴x
3
=
()
3
?
≈11.3,∴x≈2.2 4,∴直径2x≈4.5.
27.9?4?3.14
7.9·［
答：空心钢球的内径约为4.5 cm.

例2 如图3所示，表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1 m、高为3 m的
圆柱形物体，上面是一个半球形体.如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱
大约需要多少朵鲜花（π取3.1）?

图3
活动：学生思考和讨论如何计算鲜 花的朵数.鲜花的朵数等于此几何体的表面积（不含
下底面）与每朵鲜花占用的面积.几何体的表面积等 于圆柱的侧面积再加上半球的表面积.
解：圆柱形物体的侧面面积S
1
≈3.1×1 ×3=9.3(m
2
),
半球形物体的表面积为S
2
≈2×3.1 ×(
1
2
)
≈1.6(m
2
),
2

所以S
1
+S
2
≈9.3+1.6=10.9(m
2).
10.9×150≈1 635(朵).
答：装饰这个花柱大约需要1 635朵鲜花.
点评：本题主要考查球和圆柱的组合体的应用，以及解决实际问题的能力.
变式训练
有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为R的内切球，然后将 容器注满
水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为多少？
分析：转化为求水的体积.画出轴截面，充分利用轴截面中的直角三角形来解决.
解：作出圆锥和球的轴截面图如图4所示，

图4
圆锥底面半径r=
R
?3R
,
tan30?
圆锥母线l= 2r=
23R
，圆锥高为h=
3r
=3R，
∴V
水
=
?
3
r
2
h?
4
?
3
?4
?
3
5
?
3
3R
2
·3R
?R?
·
R?R
，
3333
球取出后，水形成一个圆台，下底面半 径r=
3R
,设上底面半径为r′，
则高h′=(r-r′)tan60°=
3(3R?r')
,
∴
5
?
3
?
R?h'
(r
2
+r′
2
+rr′),∴5R
3
=
3(3R?r')(r'
2
?3Rr'?3 R
2
)
,
33
33
∴5R
3
=
3(33R?r')
， 解得r′=
3
4
3
R?
6
16
R
,
3
∴h′=(
3?
3
12
)R.
答：容器中水的高度为(
3?
3
12
)R.

思路2
例1 （2006广东高考，12）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则 该球的表面积
为____________.
活动：学生思考长方体和球的结构特征.教师可以借助于信息技术画出图形.
分析：画出球的 轴截面可得，球的直径是正方体的对角线，所以球的半径R=
33
，则
2

该球的表面积为S=4πR
2
=27π.
答案：27π
点评： 本题主要考查简单的组合体和球的表面积.球的表面积和体积都是半径R的函数.
对于和球有关的问题， 通常可以在轴截面中建立关系.画出轴截面是正确解题的关键.
变式训练
1.（2006全 国高考卷Ⅰ，理7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为
16，则这个球的表面积是（ ）
A.16π B.20π C.24π D.32π
分析：由V=Sh，得S=4，得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴截面可得，该正四棱 柱
的对角线即为球的直径，所以，球的半径为R=
1
2
2?2
2?4
2
?6
，所以球的表面积为
2
S=4πR
2
=24π.
答案：C

2.（2005湖南数学竞赛，13）一个球与正四面体 的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，
则这个球的体积为_____________.
分析：把正四面体补成正方体的内接正四面体，此时正方体的棱长为
2
a
，于是球的< br>2
半径为
22
?
3
a
，V=
a
.
424
2
?
3
a

24
答案：

3.（2007天津高考，理12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三
条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为___________.
分析：长方体的对角线为
1?2?3?14
，则球的半径为
222
14
,则球的表面积为2
4π(
14
2
)=14π.
2
答案：14π
例2 图5是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直
径为6 cm，高为20 cm的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？

图5
活 动：学生思考杯里的水将下降的原因，通过交流和讨论得出解题思路.因为玻璃杯是
圆柱形的，所以铅锤 取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃杯的

底面一样，是一直 径为20 cm的圆，它的体积正好等于圆锥形铅锤的体积，这个小圆柱的高
就是水面下降的高度. < br>解：因为圆锥形铅锤的体积为
?
?
?()
2
×20=60π（ cm
3
），
设水面下降的高度为x，则小圆柱的体积为
?
(
1
3
6
2
20
2
)x
=100πx（ cm
3
）.
2
所以有60π=100πx，解此方程得x=0.6（ cm）.
答：杯里的水下降了0.6 cm.
点评：本题主要考查几何体的体积问题，以及 应用体积解决实际问题的能力.明确几何
体的形状及相应的体积公式是解决这类问题的关键.解实际应用 题的关键是建立数学模型.本
题的数学模型是下降的水的体积等于取出的圆锥形铅锤的体积.明确其体积 公式中的相关量
是列出方程的关键.
变式训练
1.一个空心钢球，外直径为12 cm，壁厚0.2 cm，问它在水中能浮起来吗？（钢的密度为7.9
gcm
3
）和它一样尺寸的空心铅球呢？（铅的密度为11.4 gcm
3
）
分析：本题的关键在于如何判断球浮起和沉没，因此很自然要先算出空心 钢球的体积，
而空心钢球的体积相当于是里、外球的体积之差，根据球的体积公式很容易得到空心钢球的
体积，从而算出空心钢球的质量，然后把它与水的质量相比较即可得出结论，同理可以判断
铅球 会沉没.
解：空心钢球的体积为V
钢
=
4
?
4
?
4
?
×20.888≈87.45(cm
3
)，
?63
??5.8
3
?
333
∴钢的质量为m
钢
= 87.45×7.9=690.86(g).
∵水的体积为V
水
=
4
?
3
×6=904.32(cm
3
)，
3
∴水的质量为 m
水
=904.32×1=904.32(g)＞m
钢
.
∴钢球能 浮起来，而铅球的质量为m
铅
=87.45×11.4=996.93(g)＞m
水< br>.
∴同样大小的铅球会沉没.
答：钢球能浮起来，同样大小的铅球会沉没.

2.（2006全国高中数学联赛试题第一试，10）底面半径为1 cm的圆柱形容器里放 有四个半
径为
1
cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现 往容器里注水使
2
水面恰好浸没所有铁球，则需要注水___________cm
3
.
分析：设四个实心铁球的球心为O
1
、O
2
、O
3
、O
4
，其中O
1
、O
2
为下层两球的球心， A、
B、C、D分别为四个球心在底面的射影，则ABCD是一个边长为
2
cm的正 方形，所以
2
注水高为(1+
224
?
1
3
12< br>()?(?)
π cm
3
. ) cm.故应注水π(1+)-4×
223232
2
1
+）π
3
2
答案：（

（四）知能训练
1.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ）
A.1倍 B.2倍 C.
9
7
倍 D.倍
5
4
分 析：根据球的表面积等于其大圆面积的4倍，可设最小的一个半径为r，则另两个为
36
?r
2
9
?
2r、3r，所以各球的表面积分别为4πr、16πr、36 πr，（倍）.
22
5
4
?
r?16
?
r
222
答案：C

2.（2006安徽高考，理9）表面积为
23
的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球
的体积为（ ）
A.
2
?
22
?
?
2
?
B. C. D.
33
33
3 a
2
?23
知，分析：此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由8×a= 1，
4
则此球的直径为
2
.
答案：A

3.（ 2007北京西城抽样，文11）若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是9π，
则球的表面 积是____________.
分析：画出球的轴截面，则球心与截面圆心的连线、截面的半径、球 的半径构成直角三
角形，又由题意得截面圆的半径是3，则球的半径为
4?3
=5，所 以球的表面积是4π
×5
2
=100π.
答案：100π

4.某街心花园有许多钢球（钢的密度是7.9 gcm
3
）,每个钢球重145 kg,并且外径等于
50 cm,试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的.如果是空心的，请你 计算出它的内径
（π取3.14,结果精确到1 cm）.
解：由于外径为50 cm的钢球 的质量为7.9×
22
4
?
50
3
?()
≈516 792(g),
32
街心花园中钢球的质量为145 000 g,而145 000＜516 792,
所以钢球是空心的.
设球的内径是2x cm，那么球的质量为 7.9·［
4
?
50
3
4
?
3
?()?x
］=145 000,
323
解得x
3
≈11 240.98,x≈22.4,2x≈45(cm).
答：钢球是空心的，其内径约为45 cm.

5.（2007海南高考，文11）已知三棱锥S—ABC的各顶点都在一个半径为r的球面 上，球

心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC=
2r
,则球的体积与 三棱锥体积之比是（ ）
A.π B.2π C.3π D.4π
分析：由题意得SO=r为三棱锥的高，△ABC 是等腰直角三角形，所以其面积是
1
2
r
3
4
?
r
3
1
2
×2r×r=r,所以三棱锥体积是
?r?r?
，又 球的体积为，则球的体积与三棱锥
3
33
2
体积之比是4π.
答案：D
点评：面积和体积往往涉及空间距离，而新课标对空间距离不作要求，因此在高考试 题
中其难度很低，属于容易题，2007年新课标高考试题就体现了这一点.高考试题中通常考查
球、三棱锥、四棱锥、长方体、正方体等这些简单几何体或它们的组合体的面积或体积的计
算.我们应 高度重视这方面的应用.

（五）拓展提升
问题：如图6，在四面体ABCD中， 截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）
球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果 截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱
锥A—BEFD与三棱锥A—EFC的表面积分别是S1
，S
2
，则必有（ ）

图6
A.S
1
＜S
2
B.S
1
＞S
2
C.S
1
=S
2
D.S
1
,S
2
的大小关系不能确
定
探究：如图7，连O A、OB、OC、OD，则V
A—BEFD
=V
O—ABD
＋V
O— ABE
＋V
O—BEFD
+V
O—ADF
，
V
A— EFC
=V
O—AFC
＋V
O—AEC
＋V
O—EFC，又V
A—BEFD
=V
A—EFC
，而每个小三棱锥的高都是原四面< br>体的内切球的半径，故S
△
ABD
＋S
△
ABE
＋S
BEFD
+S
△
ADF
=S
△
AFC
＋S
△
AEC
＋S
△
EFC
，又面AEF是公
共面，故 选C.

图7
答案：C

（五）课堂小结
本节课学习了：
1.球的表面积和体积.
2.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积.

3.空间几何体的表面积与体积的规律总结：
（1）表面积是各个面的面积之 和，求多面体表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开
后展成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积 .求旋转体的表面积时，可从回忆旋转体
的生成过程及其几何特征入手，将其展开求表面积，但要搞清它 们的底面半径、母线长与对
应的侧面展开图中的边长关系，注意球面不可展开.
（2）在体积公式中出现了几何体的高，其含义是：
柱体的高：从柱体的一个底面上任一点向 另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为
柱体的高；
锥体的高：从锥体的顶点向底面作垂线，这点和垂足间的距离称为锥体的高；
台体的高：从台 体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为
台体的高.
注意球没有高的结构特征.
（3）利用侧面展开图或截面把空间图形问题转化为平面图形问题 ，是解决立体几何问
题的常用手段.
（4）柱体、锥体、台体和球是以后学习第二章 点、直线、平面位置关系的载体，高
考试题中，通常是用本模块第一章的图，考查第二章的知识. （5）与球有关的接、切问题是近几年高考的热点之一，常以选择题或填空题的形式出现，
属于低档 题.

（六）作业
课本本节练习 1、2、3.


第二章 点、直线、平面之间的位置关系
本章教材分析
本章将在前一章 整体观察、认识空间几何体的基础上，以长方体为载体，使学生在直观
感知的基础上，认识空间中点、直 线、平面之间的位置关系；通过大量图形的观察、实验和
说理，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本 性质以及判定方法，学会准确地使用数学语
言表述几何对象的位置关系，初步体验公理化思想，培养逻辑 思维能力，并用来解决一些简
单的推理论证及应用问题.
本章主要内容：2.1点、 直线、平面之间的位置关系，2.2直线、平面平行的判定及其性
质，2.3直线、平面垂直的判定及其 性质.2.1节的核心是空间中直线和平面间的位置关系.从
知识结构上看，在平面基本性质的基础上， 由易到难顺序研究直线和直线、直线和平面、平
面和平面的位置关系.本章在培养学生的辩证唯物主义观 点、公理化的思想、空间想象力和
思维能力方面，都具有重要的作用.2.2和2.3节内容的编写是以 “平行”和“垂直”的判定及其
性质为主线展开，依次讨论直线和平面平行、平面和平面平行的判定和性 质；直线和平面垂
直、平面和平面垂直的判定和性质.
“平行”和“垂直”在定义和 描述直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系中起着
重要作用.在本章它集中体现在：空间中平 行关系之间的转化、空间中垂直关系之间的转化
以及空间中垂直与平行关系之间的转化.
本章教学时间约需12课时，具体分配如下（仅供参考）：
2.1.1
2.1.2
平面
空间中直线与直线之间的位置关系
约1课时
约1课时

2.1.3
2.1.4
2.2.1
2.2.3
2.2.2
2.2.4
2.3.1
2.3.2
2.3.3
2.3.4

空间中直线与平面之间的位置关系
平面与平面之间的位置关系
直线与平面平行的判定
直线与平面平行的性质
平面与平面平行的判定平面与平面平行的性质
直线与平面垂直的判定
平面与平面垂直的判定
直线与平面垂直的性质
平面与平面垂直的性质
本章复习
约1课时
约1课时
约1课时
约1课时
约1课时
约1课时
约1课时
约1课时
约1课时
约1课时















§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
§2.1.1 平面
一、教材分析
平面是最基本的几何概念,教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例,对它只是加以描述
而不定义.立体 几何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是无
限延展性.为了更准确地理 解平面,教材重点介绍了平面的基本性质,即教科书中的三个公理,
这也是本节的重点.另外,本节还应 充分展现三种数学语言的转换与翻译,特别注意图形语言
与符号语言的转换.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）利用生活中的实物对平面进行描述；
（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图
（3）掌握平面的基本性质及作用；
（4）培养学生的空间想象能力.
2．过程与方法
（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；

（2）让学生归纳整理本节所学知识.
3．情感、态度与价值观
使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.
三、重点难点
三种数学语言的转换与翻译,利用三个公理证明共点、共线、共面问题.
四、课时安排
1课时
五、教学过程
（一）导入新课
思路1.(情境导入)
大家都看过电视剧《西游记》吧，如来佛对孙悟空说：“你一 个跟头虽有十万八千里，
但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以 看作是一个
点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始< br>认识数学中的平面.
思路2.(事例导入)
观察长方体（图1），你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间的
关系吗？

图1
长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成.有些面是平行的，有 些面是相交的；有
些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成 是某
个面内的直线等等.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢？本节我们将讨论这个
问题.

（二）推进新课、新知探究、提出问题
①怎样理解平面这一最基本的几何概念;
②平面的画法与表示方法;
③如何描述点与直线、平面的位置关系？
④直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直 线与平面至少有几个公共点才能判
断直线在平面内？
⑤根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？
⑥如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？请画图表示;
⑦描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言？
⑧自己总结三个公理的有关内容.
活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时
表扬，对回答不 准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下：
①回忆我们学过的最基本的概念（原始概念），如点、直线、集合等.
②我们的桌面看起来像 什么图形？表示平面和表示点、直线一样，通常用英文字母或希
腊字母表示.
③点在直线上和点在直线外；点在平面内和点在平面外.
④确定一条直线需要几个点？

⑤引导学生观察教室的门由几个点确定.
⑥两个平面不可能仅有一个公共点，因为平面有无限延展性.
⑦文字语言、图形语言、符号语言.
⑧平面的基本性质小结.
讨论结果：①平面与 我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定
义的原始概念），只能通过对它描述加 以理解，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来
定义它，因为它是不加定义的.平面的基本特征是无 限延展性，很像如来佛的手掌(吴承恩的
立体几何一定不错).
②我们的桌面看起来像平行四 边形，因此平面通常画成平行四边形，有些时候我们也可
以用圆或三角形等图形来表示平面，如图2.平 行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等
于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为 了增强它的立体感，我们常把它
遮挡的部分用虚线画出来，如图3.

图2 图3
平面的表示法 有如下几种：（1）在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面
α、平面β、平面γ等， 且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图4)；（2）用平行四边形
的四个字母表示，如平面ABC D（图5）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来
表示，如平面AC（图5）.

图4 图5
③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表：
点A在直线a上（或直线a经过点A）
点A在直线a外（或直线a不经过点A）
点A在平面α内（或平面α经过点A）

点A在平面α外（或平面α不经过点A）




A∈a
A
?
a
元素与
A∈α
集合间
的关系
A
?
α
④直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内(图7)，直 线上有两个点在平面
内，则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板，则直尺落在平面内.
公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平
面内.
这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图6）描述.
空间图形的 基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而
可以把直线、平面看成是点的 集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借
用集合中的符号语言来表示.规定直线用两 个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，
点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希 腊字母表示.公理1也可以用符号

语言表示：
若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a
?
α.

图6 图7
请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交.
若A∈a,B∈a,且A
?
α,B∈α,则a
?
α.如图（图7）.
⑤在生活中，我们常常可以看到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的
平板仪等 等.
上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理.
公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
如图（图8）.

图8
公理2刻画了平面特有的性质，它是确定一个平面位置的依据之一.
⑥我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？
不是，因为 平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如
果平面是有限的，那么无限延 伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限
延展的特征.
现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（课件演示给学生看）.
问：两个平面会不会 只有一个公共点？不会，因为平面是无限延展的，应当有很多公共
点.正因为平面是无限延展的，所以有 一个公共点，必有无数个公共点.那么这无数个公共点
在什么位置呢？可见，这无数个公共点在一条直线 上.
这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.< br>此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图（图9），用符号语言
表示 为：P∈α,且P∈β
?
α∩β=l,且P∈l.

图9
公理3告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且
其交线一定过这个 公共点.也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外
一个公共点，只要找出这两个平 面的两个公共点，就找出了它们的交线.
由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据，还 告诉我们所有交点在同一条直线
上，并给出了找这条交线的方法.
⑦描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言:文字语言、图形语言、符号语言.
⑧“平面的基本性质”小结：
名称 作用

公理1
公理2
公理3
判定直线在平面内的依据
确定一个平面的依据
两平面相交的依据

（三）应用示例
思路1
例1 如图10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.

图10
活动：学生自己思考或讨论，再写出（最好用实物投影仪展示写的正确的答案）.教师
在学生中巡视，发 现问题及时纠正，并及时评价.
解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.
在（2）中，α∩β=l,a
?
α,b
?
β,a∩l=P,b∩l=P.
变式训练
1.画图表示下列由集合符号给出的关系：
(1)A∈α,B
?
α,A∈l,B∈l;
(2)a
?
α,b
?
β,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.
解：如图11.

图11

2.根据下列条件，画出图形. < br>（1）平面α∩平面β=l，直线AB
?
α，AB∥l，E∈AB，直线EF∩β=F， F
?
l;
（2）平面α∩平面β=a，△ABC的三个顶点满足条件:A∈a，B∈ α，B
?
a，C∈β，C
?
a.
答案：如图12.

图12
点评：图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：
(1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来.

(2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来.

例2 已知直线a和直线b相交于点A.求证：过直线a和直线b有且只有一个平面.

图13
证明：如图13,点A是直线a和直线b的交点,在a上取一点B，b上取一点C，
根据公理2经过不在同一直线上的三点A、B、C有一个平面α，
因为A、B在平面α内，根据公理1，直线a在平面α内,
同理直线b在平面α内，即平面α是经过直线a和直线b的平面.
又因为A、B在a上，A、C在b上，所以经过直线a和直线b的平面一定经过点A、
B、C.
于是根据公理2，经过不共线的三点A、B、C的平面有且只有一个，
所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个.
变式训练
求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.
证明：如图14，直线a、b、c、d两两相交，交点分别为A、B、C、D、E、F,

图14
∵直线a∩直线b=A,∴直线a和直线b确定平面设为α，即a,b
?
α.
∵B、C∈a，E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.
而B、F∈c，C、E∈d,∴c、d
?
α,
即a、b、c、d在同一平面内.
点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理2外，确定平面的依据
还有：
(1) 直线与直线外一点.(2)两条相交直线.(3)两条平行直线.
(2)
思路2
例1 如图15，已知α∩β=EF,A∈α,C、B∈β,BC与EF相交，在图 中分别画出平面ABC与α、
β的交线.

图15
活动：让学生先思考或 讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时
表扬，对作图不准确的学生提示引导考虑 问题的思路.
解：如图16所示，连接CB，
∵C∈β, B∈β,∴直线CB
?
β.

图16
∵直线CB
?
平面ABC，∴β∩平面ABC=直线CB.
设直线CB与直线EF交于D,
∵α∩β=EF,∴D∈α,D∈平面ABC.
∵A∈α,A∈平面ABC，
∴α∩平面ABC=直线AD.
变式训练
1.如图17，AD∩平面α=B,AE∩平面α=C，请画出直线DE与平面α的交点P，并指出点P
与直线BC的位置关系.

图17
解：AD和AC是相交直线，它们确定一个平面ABC，
它与平面α的交线为直线BC，DE
?
平面ABC，
∴DE与α的交点P在直线BC上.

2.如图18，正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为8 cm，M、N、P分 别是AB、A
1
D
1
、BB
1
的
中点，

图18
(1)画出过M、N、P三点的平面与平面A
1
B
1
C
1
D
1
的交线，以及与平面BB
1
C
1
C的交线.
(2)设过M、N、P三点的平面与B
1
C
1
交于点 Q，求PQ的长.
解：(1)设M、N、P三点确定的平面为α，则α与平面AA
1
B
1
B的交线为直线MP，设
MP∩A
1
B
1
=R ，则RN是α与平面A
1
B
1
C
1
D
1
的 交线，设RN∩B
1
C
1
=Q，连接PQ，则PQ是所
要画的平面α 与平面BB
1
C
1
C的交线.如图18.
(2)正方体棱长为8 cm，B
1
R=BM=4 cm，又A
1
N=4 cm，B
1
Q=
∴B
1
Q=
1
A
1
N,
3
1
44
×4=（cm）.在△PB
1
Q中，B
1
P=4 cm，B
1
Q=cm，
3
33
4
22
∴PQ=< br>B
1
P?B
1
Q?10
cm.
3

< br>点评：公理3给出了两个平面相交的依据，我们经常利用公理3找两平面的交点和交线.

例2 已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共
线.
解：如图19,∵A、B、C是不在同一直线上的三点,

图19
∴过A、B、C有一个平面β.
又∵AB∩α=P，且AB
?
β,
∴点P既在β内又在α内.设α∩β=l,则P∈l,
同理可证：Q∈l,R∈l,
∴P、Q、R三点共线.
变式训练
三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点.
已知平面α、β、γ两两相交于三条直线l
1
、l
2
、l
3
，且l
1
、l
2
、l
3
不平行.
求证： l
1
、l
2
、l
3
相交于一点.
证明：如图20 ，α∩β=l
1
，β∩γ=l
2
，α∩γ=l
3
，

图20
∵l
1
?
β，l
2
?
β，且l
1
、l
2
不平行,
∴l
1
与l
2
必相交.设l
1
∩l
2
=P，
则P∈l
1
?
α,P∈l
2
?
γ,
∴P∈α∩γ=l
3
.
∴l
1
、l
2
、l
3
相交于一点P.
点评：共点、共线问题是本节的重点，在高考中也经常考查，其理论依据是公理3.

（四）知能训练
画一个正方体ABCD—A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由.
解：如图21,

图21

∵F∈CD′，∴F∈平面ACD′.
∵E∈AC，∴E∈平面ACD′.
∵E∈BD，∴E∈平面BDC′.
∵F∈DC′，∴F∈平面DC′B.
∴EF为所求.

（五）拓展提升
O
1
是正方 体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
的上底面 的中心，过D
1
、B
1
、A作一个截面，求证：此
截面与对角线A< br>1
C的交点P一定在AO
1
上.
解：如图22,连接A
1
C
1
、AC，

图22
因AA
1
∥CC
1
，则AA
1
与CC
1< br>可确定一个平面AC
1
，
易知截面AD
1
B
1与平面AC
1
有公共点A、O
1
，
所以截面AD
1< br>B
1
与平面AC
1
的交线为AO
1
.
又P ∈A
1
C，得P∈平面AC
1
，而P∈截面AB
1
D
1
，
故P在两平面的交线上，即P∈AO
1
.
点评：证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上.

（六）课堂小结
1.平面是一个不加定义的原始概念，其基本特征是无限延展性.
2.通过三个公理介绍了平面的基本性质，及作用.
名称
公理1
公理2
公理3
作用
判定直线在平面内的依据
确定一个平面的依据
两平面相交的依据
3.利用三个公理证明共面、共线、共点问题.

（七）作业
课本习题2.1 A组5、6.

§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
一、教材分析
空间中直线与直线的位置关系是立 体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节
的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不 同，它是以否定形式给出的，因此它的
证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定 理又是定义两异面直线所
成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）了解空间中两条直线的位置关系；
（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；
（3）理解并掌握公理4；
（4）理解并掌握等角公理；
（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2．过程与方法
让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.
3．情感、态度与价值
让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.
三、重点难点
两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）导入新课
思路1.(情境导入）
在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线
的位置关系. < br>学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯
管所在 的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样.
教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出 很多，又如学校的旗杆所在的直
线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一 平面内.今天我们
讨论空间中直线与直线的位置关系.
思路2.（事例导入）

观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A ′B所在的直线与线段
C′C所在直线的位置关系如何？

图1

（二）推进新课、新知探究、提出问题
①什么叫做异面直线？
②总结空间中直线与直线的位置关系.
③两异面直线的画法.
④在同一平面内，如 果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间
这个结论成立吗？
⑤什么是空间等角定理？
⑥什么叫做两异面直线所成的角？
⑦什么叫做两条直线互相垂直？
活动：先让学生动手做题，再回答，经教师提示、点拨，对回 答正确的学生及时表扬，
对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
讨论结果：①异面直 线是指不同在任何一个平面内的两条直线.它是以否定的形式给出
的，以否定形式给出的问题一般用反证 法证明.
②空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型(图1)，引导学生得出空间的< br>两条直线的三种位置关系：
?
?
相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点 ;
共面直线
?
?

?
?
平行直线:同一平面内,没 有公共点;
?
?
异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点.
③教师再次 强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图2.

图2
④组织学生思考：
长方体ABCD—A′B′C′D′中，如图1,
BB′∥AA′，DD′∥AA′,BB′与DD′平行吗？
通过观察得出结论：BB′与DD′平行.
再联系其他相应实例归纳出公理4.
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号表示为：a∥b,b∥c
?
a∥c.
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用.
公理4是：判断空间两条直线平行的依据，不必证明，可直接应用.
⑤等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

⑥怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？ 可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示.如图3，异面直线a、b，在
空间中任取 一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条
异面直线所成 的角.

图3
针对这个定义，我们来思考两个问题.
问题1：这样定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O有无限制条
件？ < br>答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的.若在空间中，再取一点O′（图4），过点
O′作 a″∥a，b″∥b，根据等角定理，a″与b″所成的锐角（或直角）和a′与b′所成的锐角（或
直 角）相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或
直角）都是相等 的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异
面直线所成角的合理性.注意 ：有时，为了方便，可将点O取在a或b上（如图3）.

图4
问题2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否矛盾？
答：没有矛盾.当a、b相交时，此 定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角
的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广.
⑦在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直
角 ，我们就说这两条异面直线互相垂直.例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱
都是相互垂直的 ，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面（图5）.

图5

（三）应用示例
思路1
例1 如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.

图6
求证：四边形EFGH是平行四边形.
证明：连接 EH，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH=
同理，FG∥BD，且FG=
1
BD
.
2
1
BD
.
2
所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形.
变式训练
1.如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且AC=B D.
求证：四边形EFGH是菱形.
证明：连接EH，因为EH是△ABD的中位线，所以 EH∥BD，且EH=
同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG=
1
BD
.
2
11
BD
,EF=
AC
.
22
所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形.
因为AC=BD,所以EF=EH.
所以四边形EFGH为菱形.

2. 如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且AC=BD，
AC⊥BD.
求证：四边形EFGH是正方形.
证明：连接EH，因为EH是△ABD的中位线，
所以EH∥BD，且EH=
1
BD
.
2
11
BD
，EF=
AC
.
22
同理， FG∥BD，EF∥AC，且FG=
所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形 .
因为AC=BD，所以EF=EH.
因为FG∥BD，EF∥AC，所以∠FEH为两异 面直线AC与BD所成的角.又因为AC⊥BD，
所以EF⊥EH.
所以四边形EFGH为正方形.
点评：“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行常用的方法.

例2 如图7，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.

图7
(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？
(3)哪些棱所在直线与直线AA′垂直？
解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD、DC 、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与
BA′是异面直线.
(2)由BB′ ∥CC′可知，∠B′BA′是异面直线BA′和CC′的夹角，∠B′BA′=45°，所以直线
BA ′和CC′的夹角为45°.
（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、 D′A′分别与直线AA′垂直.
变式训练
如图8，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.

图8
（1）求异面直线BC′与A′B′所成的角的度数；
（2）求异面直线CD′和BC′所成的角的度数.
解：（1）由A′B′∥C′D′可知，∠BC′D′是异面直线BC′与A′B′所成的角，
∵BC′⊥C′D′，∴异面直线BC′与A′B′所成的角的度数为90°.
（2）连接AD′,AC,由AD′∥BC′可知，∠AD′C是异面直线CD′和BC′所成的角，
∵△AD′C是等边三角形.
∴∠AD′C=60°，即异面直线CD′和BC′所成的角的度数为60°.
点评：“平移法”是求两异面直线所成角的基本方法.

思路2
例1 在长方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中 ，E、F分别是棱AA
1
和棱CC
1
的中点.
求证：EB
1
∥DF，ED∥B
1
F.
活动：学生先思考或讨论，然后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.
证明：如图9，设G是DD
1
的中点，分别连接EG，GC
1
.

图9
∵EGA
1
D
1
，B
1
C
1
A
1
D
1
,
∴EGB
1
C
1
.四边形EB
1
C
1
G是平行四边形,
∴EB
1
GC
1
.
同理可证DFGC
1
，∴EB
1
DF.
∴四边形EB
1
FD是平行四边形.

∴ED∥B
1
F.
变式训练
如图10， 在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中 ，E、F分别是AA
1
、AB的中点，试判断下列
各对线段所在直线的位置关系：

图10
（1）AB与CC
1
；
（2）A
1
B
1
与DC；
（3）A
1
C与D
1
B；
（4）DC与BD
1
；
（5）D
1
E与CF.
解：（1）∵C∈平面ABCD，AB
?
平面ABCD，又C
?
AB，C1
?
平面ABCD,∴AB与
CC
1
异面.
（2）∵ A
1
B
1
∥AB，AB∥DC，∴A
1
B
1
∥DC.
（3）∵A
1
D
1
∥B
1
C
1
，B
1
C
1
∥BC，∴A
1
D
1
∥BC，则A
1
、B、C、D
1
在同一平面内.
∴A
1
C与D
1
B相交.
（4）∵B∈平面ABCD，D C
?
平面ABCD，又B
?
DC，D
1
?
平面AB CD,∴DC与BD
1
异面.
（5）如图10，CF与DA的延长线交于G，连接D
1
G，
∵AF∥DC，F为AB中点，∴A为DG的中点.
又AE∥DD
1
， < br>∴GD
1
过AA
1
的中点E.∴直线D
1
E与CF相 交.
点评：两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行（或重合）.两条
直 线相交，总可以找到它们的交点.作图时用实点标出.两条直线异面，有时看上去像平行（如
图中的EB 与A
1
C），有时看上去像相交（如图中的DC与D
1
B）.所以要仔细观察 ，培养空
间想象能力，尤其要学会两条直线异面判定的方法.

例2 如图11， 点A是BCD所在平面外一点，AD=BC，E、F分别是AB、CD的中点，且
EF=
2AD，求异面直线AD和BC所成的角.
2

图11
解：设G是AC中点，连接EG、FG.

因E、F分别是AB、CD中点，故 EG∥BC且EG=
11
BC
，FG∥AD，且FG=
AD
.
22
由异面直线所成角定义可知EG与FG所成锐角或直角为异面直线AD、BC所成角，即∠EGF
为所求.
由BC=AD知EG=GF=
2
1
AD,由勾股定理可得∠EGF=90°.
AD
，又EF=
2
2
点评：本题的平移点是AC中点G，按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行线，
然后在△EFG中求角.通常在出现线段中点时，常取另一线段中点 ，以构成中位线，既可用
平行关系，又可用线段的倍半关系.
变式训练
设 空间四边形ABCD，E、F、G、H分别是AC、BC、DB、DA的中点，若AB=
122
，
CD=
42
，且HG·HE·sin∠EHG=
123
，求AB和 CD所成的角.
解：如图12，由三角形中位线的性质知，HG∥AB，HE∥CD，

图12
∴∠EHG就是异面直线AB和CD所成的角.
由题意可知EFGH是平行 四边形，HG=
∴HG·HE·sin∠EHG=
126
sin∠EHG.
∴
126
sin∠EHG=
123
.
11
AB?62
，HE=
CD?23
，
22
∴sin∠EHG=
2
.故∠EHG=45°.
2
∴AB和CD所成的角为45°.

（四）知能训练
如图13，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在
原正方体中相 互异面的有对____________.

图13

答案：三

（五）拓展提升
图14是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：

图14
①AB与C D所在直线垂直；②CD与EF所在直线平行；③AB与MN所在直线成60°角；
④MN与EF所在直 线异面.其中正确命题的序号是（ ）
A.①③ B.①④ C.②③ D.③④
答案：D

（六）课堂小结
本节学习了空间两直线的三种位置关系：平行、相交、异面，其中异面关系是重点和难
点.
为了准确理解两异面直线所成角的概念，我们学习了公理4和等角定理.

（七）作业
课本习题2.1 A组3、4.





















§2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系

一、教材分析
空间中直线与平面 之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，直线与平面的相交
和平行是本节的重点和难点.空间中 直线与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，
要求学生在公理1的基础上会判断直线与平面之间 的位置关系.本节重点是结合图形判断空
间中直线与平面之间的位置关系.
二、教学目标 < br>1．知识与技能
（1）了解空间中直线与平面的位置关系；
（2）培养学生的空间想象能 力.
2．过程与方法
（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；
（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.
3．情感、态度与价值
让学生感受到掌握空间直线与平面关系的必要性，提高学生的学习兴趣.
三、教学重点与难点
正确判定直线与平面的位置关系.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）导入新课
思路1.(情境导入)
一支笔所在的直线与我们的课桌面所在的平面,可能有几个交点?可能有几种位置关系?
思路2.(事例导入)
观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C ′D′中，线段A′B所在的直线与长方
体ABCD—A′B′C′D′的六个面所在平面有几种位置关 系？

图1

（二）推进新课、新知探究、提出问题
①什么叫做直线在平面内？
②什么叫做直线与平面相交?
③什么叫做直线与平面平行?
④直线在平面外包括哪几种情况?
⑤用三种语言描述直线与平面之间的位置关系.
活动：教师提示、点拨从直线与平面的交点个数考虑，对回答正确的学生及时表扬.
讨论结果：①如果直线与平面有无数个公共点叫做直线在平面内.
②如果直线与平面有且只有一个公共点叫做直线与平面相交.
③如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行.
④直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.
⑤

直线在平面内 a
?
α

直线与平面相交 a∩α=A

直线与平面平行 a∥α


（三）应用示例
思路1
例1 下列命题中正确的个数是( )
①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点
A.0 B.1 C.2 D.3
分析：如图2,

图2
我们借助长方体模型，棱AA
1
所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA
1
所在直线
与平面ABCD相 交，所以命题①不正确；
A
1
B
1
所在直线平行于平面A BCD，A
1
B
1
显然不平行于BD，所以命题②不正确；
A
1
B
1
∥AB,A
1
B
1
所在直线平行 于平面ABCD，但直线AB
?
平面ABCD,所以命题③不正
确；
l与平面α平行,则l与α无公共点,l与平面α内所有直线都没有公共点,所以命题④正确.
答案：B
变式训练
请讨论下列问题：
若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系.

图3
解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面
相交.

点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问< br>题要全面.

例2 已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.
已知直线a∥b∥c，直线l∩a=A，l∩b=B，l∩c=C.
求证：l与a、b、c共面.
证明：如图4,∵a∥b,

图4
∴a、b确定一个平面，设为α.
∵l∩a=A，l∩b=B,∴A∈α，B∈α.
又∵A∈l，B∈l,∴AB
?
α，即l
?
α.
同理b、c确定一个平面β，l
?
β,
∴平面α与β都过两相交直线b与l.
∵两条相交直线确定一个平面,
∴α与β重合.故l与a、b、c共面.
变式训练
已知a
?
α,b
?
α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a，
求证：PQ
?
α.
证明：∵PQ∥a，∴PQ、a确定一个平面，设为β.
∴P∈β，a
?
β，P
?
a.又P∈α，a
?
α， P
?
a,
由推论1：过P、a有且只有一个平面,
∴α、β重合.∴PQ
?
α.
点评：证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法.

思路2
例1 若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.
解：如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.

图5 < br>用符号语言表示为：若a∩b=A,b
?
α,则a
?
α或a∩α=A.
变式训练
若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.
分析：如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.

图6

用符号语言表示为：若a与b异面,a
?
α,则b∥α或b∩α=A.
点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问
题要全面 .

例2 若直线a不平行于平面α,且a
?
α,则下列结论成立的是( )
A.α内的所有直线与a异面 B.α内的直线与a都相交
C.α内存在唯一的直线与a平行 D.α内不存在与a平行的直线
分析：如图7,若直线a不平行于平面α,且a
?
α,则a与平面α相交.

图7
例如直线A′B与平面ABCD相交，直线AB、CD在平面ABCD内，直线 AB与直线A′B
相交，直线CD与直线A′B异面，所以A、B都不正确；平面ABCD内不存在与a 平行的
直线，所以应选D.
答案：D
变式训练
不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A
?
α,给出以下三个命题： < br>①△ABC中至少有一条边平行于α;②△ABC中至多有两边平行于α；③△ABC中只可
能有 一条边与α相交.
其中真命题是_____________.
分析：如图8,三点A、B、C可能在α的同侧，也可能在α两侧，

图8
其中真命题是①.
答案：①
变式训练
若直线a
?
α,则下列结论中成立的个数是( )
(1)α内的所有直线与a异面 (2)α内的直线与a都相交 (3)α内存在唯一的直线与a平
行 (4)α内不存在与a平行的直线
A.0 B.1 C.2 D.3
分析：∵直线a
?
α,∴a∥α或a∩α=A.
如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.

图9
答案：A

点评：判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空 间模型），另外考
虑问题要全面即注意发散思维.

（四）知能训练
已知 α∩β=l,a
?
α且a
?
β,b
?
β且b
?α,又a∩b=P.
求证：a与β相交,b与α相交.
证明：如图10,∵a∩b=P,

图10
∴P∈a,P∈b.
又b
?
β,∴P∈β.
∴a与β有公共点P,即a与β相交.
同理可证,b与α相交.

（五）拓展提升
过空间一点，能否作一个平面与两条异面直线都平行？
解：(1)如图11,
C′D′与BD是异面直线，可以过P点作一个平面与两异面直线C′D′、BD都平行.
如图12,

图11 图12 图13
显然，平面PQ是符合要求的平面. (2)如图13,当点P与直线C′D′确定的平面和直线BD平行时，不存在过P点的平面与两
异 面直线C′D′、BD都平行.
点评：判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空间 模型），另外考
虑问题要全面即注意发散思维.

（六）课堂小结
本节主要学习直线与平面的位置关系，直线与平面的位置关系有三种：
①直线在平面内——有无数个公共点,
②直线与平面相交——有且只有一个公共点,
③直线与平面平行——没有公共点.
另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点.

（七）作业
课本习题2.1 A组7、8.

§2.1.4 平面与平面之间的位置关系
一、教材分析
空间中平面与平面之间的位置关系是立体 几何中最重要的位置关系，平面与平面的相交
和平行是本节的重点和难点.空间中平面与平面之间的位置 关系是根据交点个数来定义的，
要求学生在公理3的基础上会判断平面与平面之间的位置关系.本节重点 是结合图形判断空
间中平面与平面之间的位置关系.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）了解空间中平面与平面的位置关系；
（2）培养学生的空间想象能力.
2．过程 与方法
（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；
（2）让学生利用已有 的知识与经验归纳整理本节所学知识.
3．情感、态度与价值
让学生感受到掌握空间两个平面关系的必要性，提高学生的学习兴趣.
三、教学重点与难点
平面与平面的相交和平行.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）复习
1.直线与直线的位置关系:相交、平行、异面.
2.直线与平面的位置关系：
①直线在平面内——有无数个公共点,
②直线与平面相交——有且只有一个公共点,
③直线与平面平行——没有公共点.

（二）导入新课
思路1. (情境导入)
拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？
思路2.(事例导入)
观察长方体（图1），围成长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几
种？

图1

（三）推进新课、新知探究、提出问题
①什么叫做两个平面平行？
②两个平面平行的画法.
③回忆两个平面相交的依据.
④什么叫做两个平面相交?
⑤用三种语言描述平面与平面之间的位置关系.
活动: 先让学生思考，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对
回答不准确的学生提示引 导考虑问题的思路.
问题①引导学生回忆直线与平面平行的定义.
问题②怎样体现两个平面平行的特点.
问题③两个平面有一个公共点,两平面是否相交.
问题④回忆公理三.
问题⑤鼓励学生自我训练.
讨论结果：
①两个平面平行——没有公共点.
②画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行，如图2.

图2 图3
③如果两个平面有一个公共点，那 么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，
就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公 理3.如图3，用符号语言表示为：P∈α
且P∈β
?
α∩β=l,且P∈l.
④两个平面相交——有一条公共直线.
⑤如果两个平面没有公共点，则两平面平行
?
若α∩β=
?
,则α∥β.
如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交
?
若α∩β=AB,则α与β相交.
两平面平行与相交的图形表示如图4.

图4

（四）应用示例
思路1

例1 已知平面α,β,直线a,b,且α∥β,a
?α,b
?
β,则直线a与直线b具有怎样的位置关系?
活动：学生自己思考或讨 论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠
正,并及时评价.
解：如图5,直线a与直线b的位置关系为平行或异面.

图5

例2 如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.
解：三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条,如图6.

图6
变式训练
α、β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定α∥β的是( )
A.α、β都平行于直线l、m
B.α内有三个不共线的点到β的距离相等
C.l、m是α内的两条直线,且l∥β,m∥β
D.l、m是两条异面直线,且l∥α、m∥α、l∥β,m∥β
分析：如图7,分别是A、B、C的反例.

图7

答案：D
点评：判断正误要结合图形，并善于发现反例，即注意发散思维.

思路2
例1 α∩β=l,a
?
α,b
?
β,试判断直线a、b的位置关系,并画图表示.
活动:学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,
并及 时评价.
解：如图8,直线a、b的位置关系是平行、相交、异面.

图8
变式训练
α∩β=l,a
?
α,b
?
β,b∩β=P,试判断直线a、b的位置关系,并画图表示.
解：如图9,直线a、b的位置关系是相交、异面.

图9
直线a、b不可能平行，这里仅要求学生结合图形或实物模型加以体会，学完下一节后
可以证明.
点评：结合图形或实物模型判断直线与平面的位置关系，目的在于培养学生的空间想象
能力.

例2 如图10，在棱长为a的正方体ABCD—A
1
B
1C
1
D
1
中，M、N分别是AA
1
、D
1C
1
的中
点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l，

图10
（1）画出l的位置；
（2）设l∩A
1
B
1
=P，求PB
1
的长.
解：（1）平面DMN与平面AD
1
的交线为DM，
则平面DMN与平面A
1
C
1
的交线为QN.
QN即为所求作的直线l.如图10.
（2）设QN∩A
1
B
1
=P,
∵△MA
1Q≌△MAD，∴A
1
Q=AD=a=A
1
D
1
, < br>∴A
1
是QD
1
的中点.又A
1
P∥D
1< br>N,
111
D
1
N=C
1
D
1
=a.
244
13
∴PB
1
=A
1
B
1
－A< br>1
P=
a?a?a
.
44
∴A
1
P=
变式训练
画出四面体ABCD中过E、F、G三点的截面与四面体各面的交线.
解：如图11,分别连接并延长线段EF、BD，

图11
∵线段EF、BD共面且不平行，∴线段EF、BD相交于一点P.
∴连接GP交线段CD于H,分别连接EG、GH、FH即为所作交线.
点评：利用公理3作两平面的交线是高考经常考查的内容，是两平面关系的重点.

（五）知能训练
三棱柱的各面把空间分成几部分?
解：分为21部分.

（六）拓展提升
已知平面α∩平面β=a,b
?
α,b∩a=A,c
?
β且c∥a,
求证：b、c是异面直线.
证明：反证法：若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交.
(1)若b∥c.∵a∥c,∴a∥b.这与a∩b=A矛盾.
(2)若b、c相交于B,则B∈β.又a∩b=A,∴A∈β.
∴AB
?
β,即b
?
β.这与b∩β=A矛盾.
∴b,c是异面直线.
（七）课堂小结
本节主要学习平面与平面的位置关系，平面与平面的位置关系有两种：
①两个平面平行——没有公共点；
②两个平面相交——有一条公共直线.
另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点.

（八）作业
课本习题2.1 B组1、2、3.

§2.2 直线、平面平行的判定及其性质
§2.2.1 直线与平面平行的判定
一、教材分析
空间里直线与平面之间的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，它不仅应用较多，
而且是学习平面与平面平行的基础.空间中直线与平面平行的定义是以否定形式给出的用起
来不方便，要 求学生在回忆直线与平面平行的定义的基础上探究直线与平面平行的判定定理.
本节重点是直线与平面平 行的判定定理的应用.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）理解并掌握直线与平面 平行、平面与平面平行的判定定理；
（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；
2．过程与方法
学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理.
3．情感、态度与价值观
（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；
（2）让学 生了解空间与平面互相转换的数学思想.
三、教学重点与难点
如何判定直线与平面平行.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）复习
复习直线与平面平行的定义：如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行.

（二）导入新课
思路1.(情境导入)
将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什
么样的位置关系？
思路2.(事例导入)

观察长方体（图1），你能发现长方体ABC D—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方
体ABCD—A′B′C′D′的侧面C′D′ DC所在平面的位置关系吗？

图1

（三）推进新课、新知探究、提出问题
①回忆空间直线与平面的位置关系.
②若平面外一条直线平行平面内一条直线，探究平面外的直线与平面的位置关系.
③用三种语言描述直线与平面平行的判定定理.
④试证明直线与平面平行的判定定理.
活动：问题①引导学生回忆直线与平面的位置关系.
问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力.
问题③引导学生进行语言转换.
问题④引导学生用反证法证明.
讨论结果：①直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.
②直线a在平面α外，是不是能够断定a∥α呢？
不能！直线a在平面α外包含两种情形：一是a与α相交，二是a与α平行，
因此，由直线a在平面α外，不能断定a∥α.
若平面外一条直线平行平面内一条直线，那么平面外的直线与平面的位置关系可能相交
吗？
既然不可能相交，则该直线与平面平行.
③直线与平面平行的判定定理：
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
符号语言为：.
图形语言为：如图2.

图2
④证明：∵a∥b，∴a、b确定一个平面，设为β.
∴a
?
β，b
?
β.
∵a
?
α，a
?
β，∴α和β是两个不同平面.
∵b
?
α且b
?
β，
∴α∩β=b.假设a与α有公共点P,
则P∈α∩β=b，即点P是a与b的公共点，这与已知a∥b矛盾.
∴假设错误.故a∥α.

（四）应用示例
思路1
例1 求证空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.
已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点.
求证：EF∥面BCD. < br>活动：先让学生思考或讨论，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表
扬，对回答 不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
证明：如图3,连接BD,

图3
EF∥面BCD.所以,EF∥面BCD.
变式训练
如图4,在△ABC 所在平面外有一点P，M、N分别是PC和AC上的点，过MN作平面
平行于BC，画出这个平面与其他 各面的交线，并说明画法.

图4
画法：过点N在面ABC内作NE∥BC交AB 于E，过点M在面PBC内作MF∥BC交
PB于F，连接EF，则平面MNEF为所求，其中MN、N E、EF、MF分别为平面MNEF与
各面的交线.
证明：如图5,

图5
.

所以,BC∥平面MNEF.
点评：“见中点， 找中点”是证明线线平行常用方法，而证明线面平行往往转化为证明线
线平行.

例2 如图6，已知AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，E、F、G分别为AB、
BC、CD的中点.

图6
求证：AC∥平面EFG，BD∥平面EFG.
证明：连接AC、BD、EF、FG、EG.
在△ABC中，
∵E、F分别是AB、BC的中点,∴AC∥EF.
又EF
?
面EFG，AC
?
面EFG,
∴AC∥面EFG.
同理可证BD∥面EFG.
变式训练
已知 M、N分别是△ADB和△ADC的重心，A点不在平面α内，B、D、C在平面α
内，求证：MN∥α .
证明：如图7,连接AM、AN并延长分别交BD、CD于P、Q，连接PQ.

图7
∵M、N分别是△ADB、△ADC的重心，
∴
AMAN
?
=2.∴MN∥PQ.
MPNQ
又PQ
?
α，MN
?
α,∴MN∥α.
点评：利用平面几何中的平行线截比例线段定理,三角形的中位线性质等知识促成“线线
平行”向“线面 平行”的转化.

思路2
例题 设P、Q是边长为a的正方体AC
1< br>的面AA
1
D
1
D、面A
1
B
1
C
1
D
1
的中心,如图8,
（1）证明PQ∥平面AA
1
B
1
B；
（2）求线段PQ的长.

图8
(1)证法一：取AA< br>1
,A
1
B
1
的中点M,N,连接MN,NQ,MP, ∵MP∥AD,MP=
11
AD
,NQ∥A
1
D
1,NQ=
A
1
D
1
,
22
∴MP∥ND且MP=ND.
∴四边形PQNM为平行四边形.
∴PQ∥MN.
∵MN
?
面AA
1
B
1
B,PQ
?
面AA
1
B
1
B,
∴PQ∥面AA
1
B
1
B.
证法二：连接AD
1
,AB
1
,在△AB
1
D
1
中,显然P,Q分别是 AD
1
,D
1
B
1
的中点,
1
AB
1
.
2
∵PQ
?
面AA
1
B
1
B,AB
1
?
面AA
1
B
1
B,
∴PQ∥AB
1
,且PQ=
∴PQ∥面AA
1B
1
B.
(2)解:方法一:PQ=MN=
A
1
M< br>2
?A
1
N
2
?
2
a
.
2
方法二：PQ=
12
AB
1
?a
.
22
变式训练
如图9，正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，E在AB
1
上，F在BD上，且B
1
E=BF.

图9
求证：EF∥平面BB
1
C
1
C.
证明：连接AF并延长交BC于M，连接B
1
M.
∵AD∥BC,∴△AFD∽△MFB.
∴
AFDF
?
.
FMBF
AFDF
?
.
FMBF
又∵BD=B
1
A，B
1
E=BF,∴DF=AE.
∴
∴EF∥B
1M，B
1
M
?
平面BB
1
C
1
C.

∴EF∥平面BB
1
C
1
C.

（五）知能训练
已知四棱锥P—ABCD的底面为平行四边形,M为PC的中点,求证:PA∥平面MBD.
证明：如图10,连接AC、BD交于O点,连接MO,

图10
∵O为AC的中点,M为PC的中点,
∴MO为△PAC的中位线.
∴PA∥MO.
∵PA
?
平面MBD,MO
?
平面MBD,
∴PA∥平面MBD.

（六）拓展提升
如图11，已知平行四 边形ABCD和平行四边形ACEF所在的平面相交于AC,M是线段
EF的中点.

图11
求证:AM∥平面BDE.
证明：设AC∩BD=O，连接OE，
∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是平行四边形，
∴四边形AOEM是平行四边形.
∴AM∥OE.
∵OE
?
平面BDE，AM
?
平面BDE，∴AM∥平面BDE.

（七）课堂小结
知识总结：利用线面平行的判定定理证明线面平行.
方 法总结：利用平面几何中的平行线截比例线段定理，三角形的中位线性质等知识促成
“线线平行”向“线 面平行”的转化.

（八）作业
课本习题2.2 A组3、4.

§2.2.2 平面与平面平行的判定
§2.2.4 平面与平面平行的性质
一、教材分析
空间中平面与平面 之间的位置关系中，平行是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较
多，而且是空间问题平面化的典范. 空间中平面与平面平行的判定定理给出了由线面平行转
化为面面平行的方法；面面平行的性质定理又给出 了由面面平行转化为线线平行的方法，所
以本节在立体几何中占有重要地位.本节重点是平面与平面平行 的判定定理及其性质定理的
应用.
二、教学目标
1、知识与技能
（1）理 解并掌握平面与平面平行的判定定理；
（2）掌握两个平面平行的性质定理及其应用
（3）进一 步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；
2、过程与方法
学生通过观察与类比，借助实 物模型理解及其应用
3、情感、态度与价值观
（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力；
（2）进一步体会类比的作用；
（3）进一步渗透等价转化的思想。
三、教学重点与难 点
教学重点:平面与平面平行的判定与性质.
教学难点:平面与平面平行的判定.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）导入新课
思路1.(情境导入)
大家都见过蜻蜓和直升飞机在天空飞翔，蜻蜓的翅膀可以看作 两条平行直线，当蜻蜓的
翅膀与地面平行时，蜻蜓所在的平面是否与地面平行？直升飞机的所有螺旋桨与 地面平行
时，能否判定螺旋桨所在的平面与地面平行？由此请大家探究两平面平行的条件.
思路2.(事例导入)
三角板的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板所在的平面 与桌面平行吗？三角板的
两条边所在直线分别与桌面平行，情况又如何呢？下面我们讨论平面与平面平行 的判定问

题.

（二）推进新课、新知探究、提出问题
①回忆空间两平面的位置关系.
②欲证线面平行可转化为线线平行，欲判定面面平行可如何转化？
③找出恰当空间模型加以说明.
④用三种语言描述平面与平面平行的判定定理.
⑤应用面面平行的判定定理应注意什么？
⑥利用空间模型探究：如果两个平面平行，那么一个 平面内的直线与另一个平面内的直
线具有什么位置关系？
⑦回忆线面平行的性质定理，结合模型探究面面平行的性质定理.
⑧用三种语言描述平面与平面平行的性质定理.
⑨应用面面平行的性质定理的难点在哪里？
⑩应用面面平行的性质定理口诀是什么？
活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点 拨，对回答正确的学生及时表扬，
对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
问题①引导学生回忆两平面的位置关系.
问题②面面平行可转化为线面平行.
问题③借助模型锻炼学生的空间想象能力.
问题④引导学生进行语言转换.
问题⑤引导学生找出应用平面与平面平行的判定定理容易忽视哪个条件.
问题⑥引导学生画图探究，注意考虑问题的全面性.
问题⑦注意平行与异面的区别.
问题⑧引导学生进行语言转换.
问题⑨作辅助面.
问题⑩引导学生自己总结，把握面面平行的性质.
讨论结果：①如果两个平面没有公共点，则 两平面平行
?
若α∩β=
?
,则α∥β.
如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交
?
若α∩β=AB,则α与β相交.
两平面平行与相交的图形表示如图1.

图1
②由两个平面平行的定义可 知：其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行.
这是因为在这些直线中，如果有一条直线和另 一平面有公共点，这点也必是这两个平面的公
共点，那么这两个平面就不可能平行了.
另一方面，若一个平面内所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行，否则，
这两个平面有公共 点，那么在一个平面内通过这点的直线就不可能平行于另一个平面.
由此将判定两个平面平行 的问题转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，但
事实上判定两个平面平行的条件不需要一个 平面内的所有直线都平行于另一平面，到底要多
少条直线（且直线与直线应具备什么位置关系）与另一面 平行，才能判定两个平面平行呢？
③如图2,如果一个平面内有一条直线与另一个平面平行，两个平面不一定平行.

图2
例如：AA′
?
平面AA′D′D,AA′ ∥平面DCC′D′;但是,平面AA′D′D∩平面DCC′D′=DD′.
如图3,如果一个平面内有两条直线与另一个平面平行，两个平面也不一定平行.

图3
例如：AA′
?
平面AA′D′D,EF
?
平面AA ′D′D,AA′∥平面DCC′D′,EF∥平面DCC′D′;但
是,平面AA′D′D∩平面DC C′D′=DD′.
如图4,如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面一定平行.

图4
例如：A′C′
?
平面A′B′C′D′,B′D′
?
平面A′B′C′D′,A′C′∥平面ABCD,B′D′∥平面ABCD;
直线A′C′与直线B ′D′相交.
可以判定,平面A′B′C′D′∥平面ABCD.
④两个平面平行的判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
以上是两个平面平行的文字语言，另外面面平行的判定定理的符号语言为：
若a
?
α，b
?
α，a∩b=A,且a∥α,b∥β，则α∥β.
图形语言为：如图5,

图5
⑤利用判定定理证明两个平面平行，必须具备：
(Ⅰ)有两条直线平行于另一个平面;
(Ⅱ)这两条直线必须相交.
尤其是第二条学生容易忽视，应特别强调.
⑥如图6 ,借助长方体模型，我们看到，B′D′所在的平面A′C′与平面AC平行，所以B′D′
与平面AC 没有公共点.也就是说，B′D′与平面AC内的所有直线没有公共点.因此，直线B′D′
与平面AC 内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线.

图6
⑦直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直 线的平面和这个平面相交，那么这条直线和
交线平行.
因为，直线B′D′与平面AC内的所 有直线要么是异面直线，要么是平行直线，只要过B′D′
作平面BDD′B′与平面AC相交于直线B D，那么直线B′D′与直线BD平行.
如图7.

图7
⑧两个平面平行的性质定理用文字语言表示为：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
?

??
?
两个平面平行的性质定理用符号语言表示为：
?
?
?
?a
?
?
a∥b.
?
?
?
?b
??
两个平面平行的性质定理用图形语言表示为：如图8.

图8
⑨应用面面平行的性质定理的难点是：过某些点或直线作一个平面.
⑩应用线面平行性质定理的口诀：“见到面面平行，先过某些直线作两个平面的交线.”

（三）应用示例
思路1
例1 已知正方体ABCD—A
1
B< br>1
C
1
D
1
，如图9,求证：平面AB
1
D
1
∥平面BDC
1
.

图9
活动：学生自己思 考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视学生的解答，发现

问题及时纠正,并及 时评价.
证明：∵ABCD—A
1
B
1
C
1
D< br>1
为正方体，
∴D
1
C
1
∥A
1
B
1
,D
1
C
1
=A
1
B
1.
又∵AB∥A
1
B
1
,AB=A
1
B1
,
∴D
1
C
1
∥AB,D
1
C< br>1
=AB.
∴四边形ABC
1
D
1
为平行四边形.
∴AD
1
∥BC
1
.
又AD
1
?
平面AB
1
D
1
，BC
1
?
平面AB
1
D
1
，
∴BC
1
∥平面AB
1
D
1
.
同理，BD∥平面AB
1
D
1
.
又BD∩BC
1
=B，∴平面AB
1
D
1
∥平面BDC
1
.
变式训练
如图10,在正方体ABCD—EFGH中，M、N、P、Q、R分别是E H、EF、BC、CD、AD
的中点，求证：平面MNA∥平面PQG.

图10
证明：∵M、N、P、Q、R分别是EH、EF、BC、CD、AD的中点，
∴MN∥HF,P Q∥BD.∵BD∥HF,
∴MN∥PQ.
∵PR∥GH,PR=GH;MH∥AR,MH =AR,∴四边形RPGH为平行四边形，四边形ARHM
为平行四边形.
∴AM∥RH,RH∥PG.∴AM∥PG.
∵MN∥PQ,MN
?
平面P QG,PQ
?
平面PQG,∴MN∥平面PQG.
同理可证，AM∥平面PQG.又直线AM与直线MN相交，
∴平面MNA∥平面PQG.
点评：证面面平行，通常转化为证线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，所以
关键是证 线线平行.

例2 证明两个平面平行的性质定理.
解：如图11,已知平面α、β、γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,求证:a∥b.

图11
证明：∵平面α∥平面β,
∴平面α和平面β没有公共点.
又a
?
α，b
?
β,

∴直线a、b没有公共点.
又∵α∩γ=a，β∩γ=b,
∴a
?
γ，b
?
γ.∴a∥b.
变式训练
如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.
解：已知α∥β，γ∥β，求证：α∥γ.
证明：如图12，作两个相交平面分别与α、β、γ交于a、c、e和b、d、f,

图12
?
ac
?
?

?
?
??
?
bd
?
?
ae?a
?
?
?
?
??
?
?

?
.
bf?b
?
?
ce
?
??
?

?
?
?
?
df
?
?
点评：欲将面面平行转化为线线平行，先要作平面.

（四）知能训练
已知：a、b是异面直线，a
?
平面α,b
?平面β，a∥β，b∥α.
求证：α∥β.
证明：如图13,在b上任取点P，显然P
?
a.于是a和点P确定平面γ，且γ与β有公共
点P.

图13
设γ∩β=a′，∵a∥β，∴a′∥a.∴a′∥α.
这样β内相交直线a′和b都平行于α，∴α∥β.

（五）拓展提升
1 .如图14，两条异面直线AB、CD与三个平行平面α、β、γ分别相交于A、E、B及C、F、
D， 又AD、BC与平面的交点为H、G.

图14
求证：EHFG为平行四边形.
平面ABC?
?
?AC
?
?
证明：
平面ABC?
?
?EG
?
?
AC∥EG. 同理,AC∥HF.
?
?

?
?
ACEG
?
?
?
EG∥HF.同理,EH∥FG.故EHFG是平行四边形.
ACHF
?

（六）课堂小结
知识总结：利用面面平行的判定定理和面面平行的性质证明线面平行.
方法总结：见到面面平 行,利用面面平行的性质定理转化为线线平行,本节是“转化思想”
的典型素材.

（七）作业
课本习题2.2 A组7、8.







§2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
§2.3.1 直线与平面垂直的判定
一、教材分析
空间中直线与平面 之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较
多，而且是空间问题平面化的典范. 空间中直线与平面的垂直问题是连接线线垂直和面面垂
直的桥梁和纽带，可以说线面垂直是立体几何的核 心.本节重点是直线与平面垂直的判定定
理的应用.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；
（2）使学生掌握直线和平面所成的角求 法；

（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、 概
括结论.
2．过程与方法
（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的 定义的形成过程；
（2）探究判定直线与平面垂直的方法.
3．情态、态度与价值观
培 养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.
三、教学重点与难点
教学重点:直线与平面垂直的判定.
教学难点:灵活应用直线与平面垂直判定定理解决问题.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）导入新课
思路1.(情境导入)
日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如， 旗杆与地面的位置关系，
大桥的桥柱与水面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的印象.
在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子.随着时间的变化，尽管影子BC的
位置在移动，但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直.也就是说，旗杆AB所在直线
与地面内任 意一条不过点B的直线B′C′也是垂直的.
思路2.(事例导入)
如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？举例
说明.
如图1，直线AC
1
与直线BD、EF、GH等无数条直线垂直，但直线AC
1
与平面ABCD
不垂直.

图1

（二）推进新课、新知探究、提出问题
①探究直线与平面垂直的定义和画法.
②探究直线与平面垂直的判定定理.
③用三种语言描述直线与平面垂直的判定定理.
④探究斜线在平面内的射影，讨论直线与平面所成的角.
⑤探究点到平面的距离.
活动:问题①引导学生结合事例观察探究.
问题②引导学生结合事例实验探究.
问题③引导学生进行语言转换.
问题④引导学生思考其合理性.
问题⑤引导学生回忆点到直线的距离得出点到平面的距离.