高中数学必修二全册导学案

目录

第一章 空间几何体
................... .................................................. ...错误!未定义书签。
§空间几何体的结构 ....................... .................................................. ........ 错误!未定义书签。
§棱柱、棱锥、棱台的结构特征 ............ ................................................. 错误!未定义书签。
§圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征 ................... .................................. 错误!未定义书签。
§空间几何体的三视图和直观图 ............................... .............................. 错误!未定义书签。
§空间几何体的三视图 ................................... .......................................... 错误!未定义书签。
§空间几何体的直观图 ......................... .................................................. .. 错误!未定义书签。
§空间几何体的表面积 ...................... .................................................. ..... 错误!未定义书签。
§柱体、锥体、台体的表面积 ................ ................................................. 错误!未定义书签。
§柱体、锥体、台体的体积 ....................... .............................................. 错误!未定义书签。
§球的表面积和体积 .......................... .................................................. ..... 错误!未定义书签。
本章小结与检测 ...................... .................................................. ............... 错误!未定义书签。
第二章 点、直线、平面之间的位置关系 . .................................................. ..错误!未定义书签。
§空间点、直线平面之间的位置关系 ................. .................................... 错误!未定义书签。
§平面 .......................................... .................................................. ............. 错误!未定义书签。
§空间直线与直线之间的位置关系(1) ... ................................................. 错误!未定义书签。
§空间直线与直线的位置关系(2) ................... ......................................... 错误!未定义书签。
§空间直线与平面之间的位置关系 .................... ..................................... 错误!未定义书签。
§平面与平面之间的位置关系 ................................ ................................. 错误!未定义书签。
§直线、平面平行的判定及其性质 .............................. ........................... 错误!未定义书签。
§直线与平面平行的判定 .................................. ....................................... 错误!未定义书签。
§平面与平面平行的判定 .................................. ....................................... 错误!未定义书签。
§直线与平面平行的性质 .................................. ....................................... 错误!未定义书签。
§平面与平面平行的性质 .................................. ....................................... 错误!未定义书签。
§直线、平面垂直的判定及其性质 .............................. ........................... 错误!未定义书签。

§直线与平面垂直的判定 ........................... .............................................. 错误!未定义书签。
§平面与平面垂直的判定 ........................ ................................................. 错误!未定义书签。
§直线与平面垂直的性质 ........................ ................................................. 错误!未定义书签。
§平面与平面垂直的性质 ........................ ................................................. 错误!未定义书签。
本章小结与检测 ............................ .................................................. ......... 错误!未定义书签。
第三章 直线与方程 ................ .................................................. .......................错误!未定义书签。
§直线的倾斜角与斜率 .. .................................................. ......................... 错误!未定义书签。
§倾斜角与斜率 .. .................................................. ..................................... 错误!未定义书签。
§直线的方程 ....................................... .................................................. .... 错误!未定义书签。
§直线的点斜式方程 ..................... .................................................. .......... 错误!未定义书签。
§直线的两点式方程 ............... .................................................. ................ 错误!未定义书签。
§直线的一般式方程 ......... .................................................. ...................... 错误!未定义书签。
§直线的倾斜角与斜率 .. .................................................. ......................... 错误!未定义书签。
§两直线平行与垂直的判定 ................................. .................................... 错误!未定义书签。
§直线的交点坐标与距离公式 ................................ ................................. 错误!未定义书签。
§两条直线的交点坐标 ................................... .......................................... 错误!未定义书签。
§两点间的距离 ............................ .................................................. ........... 错误!未定义书签。
§点到直线的距离 ............... .................................................. .................... 错误!未定义书签。
§两条平行直线间的距离 ... .................................................. .................... 错误!未定义书签。
本章小结与检测 ....... .................................................. .............................. 错误!未定义书签。
第四章 圆与方程 ............................................. ................................................错误 !未定义书签。
§圆的方程 ................................ .................................................. ............... 错误!未定义书签。
§圆的标准方程(1) ......... .................................................. ......................... 错误!未定义书签。
§圆的标准方程(2) .................................................. .................................. 错误!未定义书签。
§圆的一般方程(1) ................................... ................................................. 错误!未定义书签。
§圆的一般方程(2) ......................... .................................................. ......... 错误!未定义书签。
§直线、圆的位置关系 ............... .................................................. ............ 错误!未定义书签。

§直线与圆的位置关系(1) .. .................................................. .................... 错误!未定义书签。
§直线与圆的位置关系(2) . .................................................. ..................... 错误!未定义书签。
§直线与圆的位置关系(3) .................................................. ...................... 错误!未定义书签。
§圆与圆的位置关系 ... .................................................. ............................ 错误!未定义书签。
§直线与圆的方程的应用 .................................. ....................................... 错误!未定义书签。
§空间直角坐标系 ..................................... ................................................ 错误!未定义书签。
§空间直角坐标系 ........................... .................................................. ........ 错误!未定义书签。
§空间两点间的距离公式 ............... .................................................. ........ 错误!未定义书签。
本章小结与检测 ................... .................................................. .................. 错误!未定义书签。

第一章 空间几何体
§空间几何体的结构
§1.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征
【学习目标】
1.了解棱柱、棱锥、棱台的定义，掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征及其关系；
2.能够运用几何体的特征判断几何体的名称.
【学习重点】
通过大量空间实物及模型，概括出棱柱、棱锥、棱台的结构征.
【学习难点】
柱、锥、台的结构特征的概括.
【学习过程】
一、自主学习
(一)阅读教材第2～3页，回答下列问题：
1.空间几何体： .
2.找一个多面体的实物，指出它的各个面、棱、顶点，想象它的对角线.


（二）阅读教材第3～4页，回答下列问题：
1.画出三棱锥、三棱台，四棱锥、四棱台，并 指出几何体的侧面、底面、侧棱，并在图中画
出高.（注意标出几何体的顶点字母）




2.棱柱、棱锥、棱台如何分类（提示：如按底面多边形的边数分类、 按侧棱与底面是否垂直
分类等）

二、合作探究
例1：请描述下列几何体的结构特征，并说出它的名称.
（1）由5个面围成，其中一个面是四边形，其余各面是有一个公共点的三角形；


（2）由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其它面都是全等的矩形.


例2：如图所示，长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
.
（1）这个长方体是棱柱吗如果是，是几棱柱为什么





A
1
D
A
B
D
1
M
N
B
1
C
C
1
（ 2）用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗如果是，是
几棱柱，并用 符号表示.如果不是，说明理由.





三、达标检测
1.下列四个命题中，真命题是（ ）
A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行
B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C.棱柱的任意两个侧面一定不平行
D.棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
2.下列几何体中，不属于多面体的是…………………… -( )
A.立方体 B.三棱柱 C.长方体 D.球
3.下列图形经过折叠不能围成一个棱柱的是………………………………( )

4.从某个角度看一个几何体，看到的是一个圆，那么这个几何体不可能是( )
A.圆柱 B.圆锥 C.球 D.棱柱

5.关于棱台，下列说法正确的是（ ）.
A.两底面可以不相似 B.侧面都是全等的梯形
C.侧棱长一定相等 D.侧面一定是梯形
6.五棱锥是由多少个面围成的（ ）.
个 个 个 个
7.从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E、F、G，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是 .
四、学习小结
1.棱柱、棱锥、棱台的结构特征.

2.棱柱、棱锥、棱台如何表示

3.学会看图，画图，识图，提高自己的空间想象能力.

§1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征
【学习目标】
1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；
2.理解柱、锥、台体的关系.
【学习重点】
圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征和有关概念.
【学习难点】
圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征.
【学习过程】
一、自主学习
(一)阅读教材第3页，回答下列问题：
旋转体： .
(二)阅读教材第5～6页，回答下列问题：
1.圆柱、锥、台和球的定义以及结构特征，相关概念.


2.画出圆柱 、锥、台，并画出轴、母线，指出圆柱、锥、台的轴、底面、侧面、母线.（注意
标出几何体的顶点字母 ）



3.球的截面的性质：用一个平面去截球，得到一个截面，截面是 ，把过球心的截面圆
叫 ，不过球心的截面圆叫 .
（1）球心与截面圆心的连线 于截面。
（2）设球心到截面的距离为d，截面圆的半径为r，球的半径为R，则：

4.关于地球的几个概念：地球可以近似的看作一个球体，为了描述地球上某地
的地 理位置，我们在地球上规定了经线、纬线、南极、北极等概念.

5.球面距离：假如我们要 坐飞机从北京到巴西去，选择怎样的航线航程最短呢我们把球面上
过两点的大圆，在这两点之间的劣弧的 长叫球面上两点间的球面距离。因此，飞机、轮船都

尽可能以大圆弧为航线航行。
参照教材P6图画出一个球，
（1）在球上画出一个球大圆，一个球小圆；
（2）在球上找A、B两点，画出AB的球面距离；





二、合作探究
例1：
Rt?ABC
的三边长分别为3、4、5， 绕其中一边旋转成一个圆锥，下面的描述不正确
的是（ ）
A.是底面半径为3的圆锥 B.是底面半径为4的圆锥
C.是底面半径为5的圆锥 D.是母线长为5的圆锥
例2：下列说法中正确的是（ ）
A.以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥
B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台
C.在圆柱的上下底面上各取一点，这两点的连线是圆柱的母线.
D.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
例3：在半径为25cm的球内有一个截面，它的面积 是49cm
2
，求球心到这个截面的距离.





三、达标检测
1.有下列四种说法：
①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；
②以直角三角形的一直角边为旋转轴，旋转所得几何体是圆锥；
③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；
④圆锥的底面是圆面，侧面是个曲面。

其中错误的有（ ）
个 个 个 个
2.下面几何体的截面一定是圆面的是（ ）
A.圆柱 B.圆锥 C.球 D.圆台
，B为球面上相异两点，则通过A，B两点可作球的大圆(圆心与球心重合的截面圆)有( ).
A.一个
C.零个




B.无穷多个
D.一个或无穷多个
4.距离球心为1的截面的面积是
2
?
，则球的半径是 。
5.一个圆锥的高为2cm，母线与轴的夹角为
30?
，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积 .



6.根据下面对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.
一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形.

7.把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1:4，母线长是10cm，求 圆锥的
母线长.


四、学习小结
1.知识点总结：

2.学习方法指导：本节课要求会画旋转体，看图，知道各个旋转体里高、母线和底面半径
的关系，并且提高自己的空间想象能力.

§1.1.3简单组合体的结构特征

【学习目标】
1.运用柱体、锥体、台体、球的结构特征描述简单几何体的结构特征；
2.会判断简单几何体的构成.
【学习重点】
判断简单几何体的构成；

【学习难点】
判断简单几何体的构成.
【学习过程】
一、自主学习（看教材
P6?P7
，然后思考完成）
１.简单几何体的分类：
（1）分类方式一：
多面体包括： 、 、 ；
旋转体包括： 、 、 、 .
（2）分类方式二：
柱体包括： 、 ；
锥体包括： 、 ；
台体包括： 、 .
球体.
2.指出下列图形是由哪些简单的几何体构成的






（1） （2） （3）
（1） ；
（2） ；
（3）
.

二、合作探究
例1：如图，是由等腰梯形、矩形、半圆、圆和三角形对 接成的轴对称图形，若将它绕轴旋
转
180
后形成一个组合体，下列说法中不正确的是 （ ）
A.该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体
B.该组合体还是一个轴对称图形
0

C.该组合体中球和圆锥只有一个公共点
D.该组合体中圆柱和圆台的有一个公共底面




例2：你能说出图中所示的两个几何体是由哪些简单几何体组成而成的吗









图1
图2
三、达标检测
1.正方体内有一个球，该球与正方体的六个面各有一个公共点，若球的半径为
R
，则正方体
的棱长为 （ ）
A
.
R
B
.
2R
C
.
3R
D
.
2R

2.正方体是六面体，将 两个相同的正方体的两个面粘合在一起，拼接成一个多面体，该多面
体是 （ ）
A
.
六面体 B
.
八面体 C
.
十面体 D
.
十二面体
3.用平面截下列几何体，截面一定是圆面的是 （ ）
A
.
圆柱 B
.
圆锥 C
.
球
D.圆台
4.将装有水的长方体水槽的底面一边固定在桌面 上，将水槽倾斜一个小
角度，则倾斜后水形成的几何体的形状是 （ ）

A
.棱柱
B
.棱锥
C
.棱台
D
.棱柱和棱锥的组合体

5.图（1）是由哪个平面图形旋转得到的（ ）












(1) A B C D


6.观察常见的六面螺母，可以近似地看成它是由一个正六棱柱挖去一个 后组成的简
单组合体。




四、学习小结
1.简单组合体的机构特征.


2.简单几何体的分类.

§空间几何体的三视图和直观图
§1.2.1空间几何体的三视图
【学习目标】
1.了解平行投影与中心投影的概念和简单性质；
2.理解三视图的含义，能画出简单几何体的三视图，掌握画法规则；
3.能根据三视图，运用空间想象能力，识别并说出它所表示的空间图形.
【学习重点】
画出简单组合体的三视图.
【学习难点】
识别三视图所表示的空间几何体
.

【学习过程】
一、自主学习（看教材
P11?P15
的内容，完成下列问题）
1.平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线 .
在平行投影中，投影线 投影面时，叫做正投影，否则叫做 .
2.空间几何体的三视图是指 、 、 .
3.三视图的排列规则是， 放在正视图的下方，长度与正视图一样， 放在
正视图的左侧，高度与正视图一样，宽度与俯视图的宽度一样.
4.画出下列几何体的三视图.
（1）正方体 （2）圆锥





5.下列两个三视图对应的几何体是什么





主视图
侧视图
主视图侧视图
俯视图
俯视图

（1） ； （2） .
二、合作探究
例1：螺栓是棱柱和圆柱的组合体如下图（1），画出它的三视图.



例２：下面三视图的实物图形的名称是 .






三、达标检测
1.右面的三视图所示的几何体是( ).
A.六棱台
C.六棱柱


B.六棱锥
D.六边形
正视图

侧视图

俯视图
2.一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视
图与侧(左)视图分别如右图所示，则 该几何体的俯视图为
( ).



B C
3.一个几何体的某一方向的视图是圆，则它不可能是（ ）
A.长方体 B.圆锥 C.圆柱 D.球体
4.如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）


A
D
正(主)视图
侧(左)视图

5.下图为长方体木块堆成的几何体的三视图，堆成这个几何体的木块共有( ).
块
块
块

块
四、学习小结
1.三视图的位置关系有什么要求

2.三视图的大小关系有什么要求

§1.2.2空间几何体的直观图
【学习目标】
1.体会平面图形和空间图形的直观图的含义；
2.结合画直观图的实例，掌握直观图的斜二测画法及步骤；
3.会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图；
4.会用斜二测画法画柱、锥、台、球及其简单组合体等空间图形的直观图.
【学习重点】
用斜二测画法画空间几何体的直观图.
【学习难点】
直观图中的数量关系的运算
.
【学习过程】
一、自主学习（看教材
P16?P19
的内容，完成下列问题）
1.表示空间图形的_____________，叫做空间图形的直观图.
2.用斜二测画 法画空间图形的直观图时，图形中平行于
x
轴、
y
轴或
z
轴 的线段，在直观图
中分别画成 于
x
?
轴、
y
?
轴或
z
?
轴的线段.平行于
x
轴和
z< br>轴的线段，在直观图
中长度 ；平行于
y
轴的线段，长度变为原来的 .
3.斜二测画法是一种特殊的 投影画法.
二、合作探究
例1：用斜二测画法画水平放置正六边形的直观图.






例2：用斜二测画法画长4cm 、宽3cm 、高2cm 的长方体的直观图.

三、达标检测
1.讨论：把一个圆水平放置，看起来象个什么图形它的直观图如何画






2.用斜二测画法画底面半径为4cm 高为3cm 的圆柱的直观图.



3.用斜二测画法画边长为2的正三角形直观图.








4.利用斜二测画法画直观图时：
①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形。
以上结论中，正确的是 .
5.右图是一个几何体的三视图，则此几何体的直观图是( ).

A B C D
正视图


俯视图


侧视图

6.若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ）
A.

2
1
倍 B .倍 C .2倍 D .
2
倍
4
2

四、学习小结
1.用斜二测画法画直观图的步骤有哪些



2.用斜二测画法画直观图需注意些什么

§空间几何体的表面积
§1.3.1
柱体、锥体、台体的表面积
【学习目标】
1.了解平面展开图的概念，会识别一些简单多面体的平面展开图；
2.了解直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积的计算公式；
3.了解圆柱、圆锥、圆台的表面积的计算公式；
4.会求一些简单几何体的表面积.
【学习重点】
多面体的平面展开图，求简单几何体的表面积.
【学习难点】
多面体的平面展开图
.

【学习过程】
一、自主学习（看教材
P24?P25
的内容，然后思考下列问题）
1.什么是多面体的表面积

2.棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的侧面展开图是什么如何计算
它们的表面积






3.圆柱、圆锥、圆台的表面积
几
何
体
图形 表面积公式 元素意义

底面积：
=
圆
柱

侧面积：
=
表面积：
=





底面积：
=
侧面积：
=
表面积：
=






上底面积：
=
下底面积：
=
侧面积：
=
表面积：
=

二、合作探究



—
—

—
圆
锥

—
—
圆
—
台

例1：已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S—ABC（图6），求它的表面积.

例2:一个正三棱台的两个底面的边长分别等于
8cm
和
18cm
， 侧棱长等于
13cm
，求它的侧
面积.


例3:已知一 圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为
50
?
，求圆锥的底面面积.

【小结】注意圆锥的底面半径和侧面展开图的扇形的半径是不同的，扇形的弧 长等于圆锥底
面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.
三、达标检测
1.正方体的全面积是
96cm
，则正方体的棱长是 （ ）
A.
8cm
B.
6cm
C.
4cm
D.
2cm

2
2.若圆台的上、下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两 底面面积和的2倍，则圆台的母
线长是 （ ）
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5

3.圆锥的底面半径为1，高为
3
，则圆锥的表面积为 （ ）
A.
?
B.
2
?
C.
3
?
D.
4
?


4.螺帽（正 六棱柱挖去一个圆柱）毛坯的底面六边形边长是12mm，高是10mm，内孔直径
是10mm（如下图 ），求此螺帽的表面积.


四、学习小结
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积的求法.
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积的求法.

§1.3.2柱体、锥体、台体的体积

【学习目标】
1.了解柱、锥、台的体积公式（不要求记忆公式），能运用公式求解有关体积计算问题；
2.了解柱体、锥体、台体空间结构的内在联系，感受它们体积之间的关系；
3.培养学生空间想象能力、理性思维能力以及观察能力.
【学习重点】
柱、锥、台的体积计算公式及其应用.

【学习难点】
运用公式解决有关体积计算问题.

【学习过程】
一、自主学习（看教材
P25?P27
的内容，然后思考下列问题）
1.柱体、锥体、台体的体积：
（1）
V
柱体
=
（2）
V
锥体
=
（3）
V
台体
　
=
注： 几何体高度的含义：
（1）柱体的高是指两底面之间的距离，对于直棱柱来说，就是其侧棱的长，对于圆柱来说，
就是其母线 的长.
（2）锥体的高是指顶点到底面的距离，对于正棱锥和圆锥来说，是其顶点与底面中心的连
线.
（3）台体的高，是指两底面之间的距离，对于正棱台和圆台来说，是其两底面中心的连线.
2.长方体的长、宽、高分别是2、3、4，则其体积是 .
3.圆锥的底面半径是2，母线长是3，则圆锥的体积是 .
4.正四棱锥
P?ABCD
的底面边长是2，侧棱长是3，则这个棱锥的体积是 .
二、合作探究
例1:长方体
ABCD?A
1
B
1C
1
D
1
的相邻的三个面的对角线长分别为4、5、6，求长方体的体< br>积.




例２:已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出
的尺寸（单位：
cm
），求这个几何体的体积.



三、达标检测
1.棱长为
a
，各面均为等边三角形的四面体（正四面体）的 表面积为_____________体积为

__________________.

2.已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为
V
1和
V
2
，则
V
1
:V
2
?
（ ）
A
.
1:3
B
.
1:1
C
.
2:1
D
.
3:1

3
.
矩形两邻边的长为a、b，当它分别绕边a、b旋转一周时, 所形成的几何体的体积之比为
（ ）
A.
ba
ba
B. C.
()
3
D.
()
3

ab
ab
4.如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长

主视图
左视图
为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是 .





5.圆柱内有一个四棱柱，四棱柱的底 面是圆柱底面的内接正方形.已知圆柱表面积为6，且
底面圆直径与母线长相等，求四棱柱的体积.






6.已知某个几何体的三视图如下， 根据图中标出的尺寸（单位：cm），求这个几何体的表面
积和体积。





俯视图
10
20
10





四、学习小结
20
正视图
20
侧视图
20
俯视图

柱体、锥体、台体的体积公式

§1.3.3球的表面积和体积
【学习目标】
1.了解球的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；
2.能运用球的表面积和体积公式进行计算；
3.能解决与球有关的简单的实际问题.
【学习重点】
球的表面积和体积公式的应用.
【学习难点】
球与多面体的关系（内切、外接等）.
【学习过程】
一、自主学习（看教材
P27?P28
的内容，然后思考下列问题）
1.球的体积：
V
球
=
2.球的表面积：
S
球
=
3.将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的 倍.
4.一个球的体积是
86
?
，则它的表面积是 .
二、合作探究
例1:在球心同侧有相距
9cm
的两个平行截面，它们的面积 分别为
49
?
cm
和
400
?
cm
，求< br>球的表面积.








例2: 等体积的球和正方体，试比较它们的表面积的大小.
A
B
O
22
O
1
O
2

例3:一个正方体的8个顶点都在一个球面上，它的棱长为2，则球的表面积是 ，体
积是

三、达标检测
1.如果两个球的体积之比为
8:27
,那么两个球的表面积之比为( )
A.
8:27
B.
2:3
C.
4:9
D.
2:9

2.正方体的内切球和外接球的半径之比为 .
3.若三个球的表面积之比是
1:2:3
，则它们的体积之比是 .
4.球的半径扩大为原来的
2
倍,它的体积扩大为原来的 ___ __ 倍.
5.与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体的表面积之比为 .
6.球的表面积扩大为原来的4倍，则它的体积扩大为原来的___________倍.
7.两个球体积之和为12π，且这两个球大圆周长之和为6π，那么这两球半径之差是多少





8.直径为10cm的一个大金属球，熔化后铸成若干个直 径为2cm的小球，如果不计损耗，可
铸成这样的小球多少个





9.已知正方体、球、底面直径与母线相等的圆柱，它们的表面积相等，试比较它 们的体积V
正方体
，V
球
，V
圆柱
的大小.

四、学习小结
1.球的体积公式：



2.球的表面积公式：

本章小结与检测
一、知识网络
棱柱
柱
圆柱
棱锥
棱台
结构
锥
台
圆锥
圆台
球
正投影
空
平行投影
间三视图
斜投影
几
三视图和直观图
何
直观图
中心投影体
表面积计算公式
表面积和体积
柱、锥、台、球
体积计算公式

二、达标检测
(一)选择题
1.右面的三视图所示的几何体是( ).
正视图

侧视图

俯视图

A.六棱台 B.六棱锥
C.六棱柱 D.六边形
2.已知两个球的表面积之比为1∶9，则这两个球的半径之比为( ).
∶3 ∶
3
∶9 ∶81
3.一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的
正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示，则该
正(主)视图
侧(左)视图
几何体的俯视图为( ).




A
B C D
，B为球面上相异两点，则通过A，B两点可作球的大圆(圆心与球心重合的截面圆)有(
正视
侧视
).

A.一个 B.无穷多个 C.零个 D.一个或无穷多个
5.右图是一个几何体的三视图，则此几何体的直观图是( )




A
B C
D
6.下图为长方体木块堆成的几何体的三视图，堆成这个几何体的木块共有( ).
块
块
块
块
7.关于斜二测画法画直观图说法不正确的是( ).
A.在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同
B.平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴
C.平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变
D.斜二测坐标系取的角可能是135°
8.如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( ).
A.①②
B.①③
C.①④
D.②④
①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥
(二)填空题
9.一圆球形气球，体积是8 cm
3
，再打入一些空气后，气球仍然保持为球形，体积是27 cm
3
.
则气球半径增加的百分率为 .
10. 底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，
则这个棱柱的 侧面积是 .
(三)解答题

11.下图是一个几何体的三视图(单位：cm)
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；
(2)求这个几何体的表面积及体积.








1
A
A＇
A

B
C
1
1
A
B
3
正视图
B＇
C
侧视图
B
C＇
A＇
B＇
俯视图
12.如图，一个圆锥形 容器的高为a，内装有一定量的水.如果将容器倒置，这时水所形成的
圆锥的高恰为
a
，求原来水面的高度.
2

第二章 点、直线、平面之间的位置关系
§空间点、直线平面之间的位置关系
§2.1.1平面
【学习目标】
利用生活中的实物对平面进行描述；掌握平面的表示法及水平放置的直观图；掌 握平面的基
本性质及作用；培养学生的空间想象能力.
【学习重点】
1.平面的概念及表示；
2.平面的基本性质，注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.
【学习难点】
平面基本性质的掌握与运用.
【学习过程】
一、自主学习（阅读教材P40-43完成下面问题）
1.平面及画法.


2.平面的表示
平面通常用希腊字母_____________等表示，如__ _____________等，也可以用表示平面的平
行四边形的________________ _____来表示，如_______________________________________
______________________________________________ _______等.
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成___ ____________
3.点与平面的关系：平面内有无数个点，平面可以看成点的集合.
点A在平面α内，记作：
点B在平面α外，记作：
4.三个公理：
公理1：文字语言：

符号语言：
图形语言：


公理2：文字语言：
符号语言：
图形语言：


公理3：文字语言：
符号语言：

图形语言：


二、合作探究
探究1:如果直线l与平面α有一个公共点，直线l是否在平面α内如果直线l 与平面α有两
个公共点呢


探究2:公理中“有且只有一个”的含义是什么


例题1：如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.





α
A
B
β
α
a
l
β
P
b
三、达标检测
1.下列说法中正确的是（ ）.
A.空间不同的三点确定一个平面
B.空间两两相交的三条直线确定一个平面

C.空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形
D.和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内
2.给出下列说法，其中说法正确的序号依次是________________________.
① 梯形的四个顶点共面； ② 三条平行直线共面；
③ 有三个公共点的两个平面重合；④ 每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面.
3.已知空间四 点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是_________________.
4. 下面四个叙述语（其中A,B表示点，
a
表示直线，
?
表示平面）
①
QA?
?
,B?
?
,?AB?
?
； ②
QA?
?
,B?
?
,?AB?
?
；
③
QA?a,a?
?
,?A?
?
； ④
QA?
?
,a?
?
,?A?a
.
其中叙述方式和推理都正确的序号是___________________________. < br>5.在棱长为
a
的正方体ABCD-A
1
B
1
C1
D
1
中M,N分别是AA
1
，D
1
C
1
的中点，过点D，M，N三点
的平面与正方体的下底面A
1
B
1
C
1
D
1
相交于直线
l
，
(1)画出直线
l
；
(2)设
lIA
1
B
1
?P
，求PB
1
的长；
(3)求D
1
到
l
的距离




四、学习小结
1.平面的画法
2.点与平面的关系
3.平面的三个公理

§2.1.2空间直线与直线之间的位置关系(1)
【学习目标】
1.掌握空间两条直线的位置关系，理解异面直线的概念 .
2.理解并掌握公理4，并能运用它解决一些简单的几何问题.
【学习重点】
异面直线的概念、公理4
【学习难点】
异面直线的概念
【学习过程】
一、自主学习（阅读教材P44-46完成下面问题）
1.空间两直线的位置关系和异面直线的概念与画法
?
?
相交直线： ；
(1)
?
?
共面直线
?
；
?
?
平行直线：
?
异面直线： .
(2)异面直线的画法
（注意：常用平面衬托法画两条异面直线）


2.公理4的 符号表示为：

=>
a
∥c

3.公理4实质是什么

4.公理4有什么作用

5.课前完成下列练习
1.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（
A.异面 B.平行 C.相交

2.判断：下列各图中直线
m
l与m是异面直线吗
?
l
）.
D.以上都有可能
l
m
?

?
m
?
l
1 2 3




α
β
β
m
β
m
m
l
l
α
l
α
4 5 6

二、合作探究
探究1：.辨析下列概念
①空间中没有公共点的两条直线是异面直线
②分别在两个不同平面内的两条直线是异面直线
③不同在某一平面内的两条直线是异面直线
④平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线
⑤既不相交，又不平行的两条直线是异面直线
D
C
A'
D'B'
C'
探究2：如图2.1.2-1，在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,
哪些棱所在的直线与
BA
1
成异面直线

A
B< br>探究3：如右图所示是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB、CD、EF、
G H这四条线段所在的直线是异面直线的有几对

C
G
A




三、达标检测
D
H
E
F
B
1.一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条之间的位置关系是（ ）
A.平行 B.相交 C.异面 D.可能相交、可能平行、可能异面

3.已知
a
、b是异面直线，c∥
a
，那么c与b（ ）
A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交
直线
4.设直线
a
、b分别是长方体相邻两个面的对角 线所在的直线，则
a
、b的位置关系是_______.
5.如图，在长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
(1)若E、F分别是AB、BC的中点，则EF和A
1
C
1
的位置 关系是__________________.
(2)若E是AB的三等分点，F是AB、BC的中 点，则EF和A
1
C
1
的位置关系是__________.
< br>A'
D'
C'
B'
D'
C'
B'
A'

D
C
F
EB
A
EB
D
F
C< br>
A
（1） （2）
四、学习小结
1.空间直线的位置关系有几种
2.异面直线的画法
3.公理4的实质及其作用.

§2.1.2空间直线与直线的位置关系(2)
【学习目标】
1.异面直线所成的角的定义.
2.等角定理.
3.会用异面直线所成的角的定义 找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异
面直线所成的角.
【学习重点】
异面直线所成的角
【学习难点】
找出或作出异面直线所成的角
【学习过程】
一、自主学习(阅读教材P46-48完成下面问题)
1.已知两条异面直线
a,b
，经过空间任一点
O
作直线 ，把
a
?
,b
?
所成的锐角（或
直角）叫异面直线
a,b
所成的角（或夹角）.
注意：①
a
?
,b
?
所成的角的大小与点
O
的选择无关，为了简便，点
O
通常取在异面直线的一
条上；
2.异面直线所成的角的范围为 ，
3.（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，
如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作
a?b
.
4.课前完成下列练习，
(1)若a、b是异面直线, b、c也是异面直线, 则a、c位置关系是( )
A.相交、平行或异面 B.平行 C.异面 D.平行或异面
(2)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线. ( )
(3).空间两条不相交的直线一定是异面直线. ( )
(4)垂直于同一条直线的两条直线必平行. ( )
(5)过一点能引且只能引一条直线和已知直线垂直. ( )

(6)如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中
①
BM
与
ED
平行 ②
CN
与
BE
异面
③
CN
与
BM
成
60
④
DM
与
BN
垂直
以上四个命题中，正确命题的序号是( )
D
1

C
1

B
1

D
A
B
C
?
A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④
二、合作探究
探究1：在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的两边分
别平行，那么这两个角相等或互补 ”.空间中这一结论是否仍然成立呢
观察：如图所示,长方体ABCD-A
1
B1
C
1
D
1
中, ∠ADC与∠A
1
D
1
C
1
,∠ADC与
∠A
1
B
1
C
1
两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何

探究2：由异面直线所成的角的定义思考这个角的大小与O点的
位置有关吗 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变
A
A'
D'
A
1

C'
B'
D< br>B
C
注：在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如
线段的 端点,线段的中点等)
探究3：.在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，
(1)哪些棱所在的直线与直线BA
1
成异面直线
(2)求直线BA
1
和CC
1
所成的角的大小.（3）哪些棱所在的直线与直线A
1
B垂直





探究4：如图，已知长方体
ABCD-A'B'C'D'
中，
AB?3
,
AD?
(1)
3
，
AA
'
?1
.
BC
和
AC
'
所成的角是多少度
'
'
(2)
AA
和
BC
所成的角是多少度

三、达标检测
1.判断:
(1)平行于同一直线的两条直线平行.（ ）
(2)垂直于同一直线的两条直线平行.（ ）
(3)过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 .（ ）
(4)与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条. （ ）
(5)若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（ ）
(6)若两条 相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）
相等.（ ）
2.选择题
(1)两条直线
a
,b分别和异面直线c,d都相交，则直线< br>a
，b的位置关系是（ ）
A.一定是异面直线 B.一定是相交直线
C.可能是平行直线 D.可能是异面直线，也可能是相交直线
(2)一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )
A.平行 B.相交 C.异面 D.相交或异面
3.正四面体 A-BCD 中 , E、F 分别是边 AD、BC的中点，求异面直线 EF与AC 所成的角




四、学习小结
1.异面直线所成的角的画法是依据等角定理而成的.
2.作两条异面直线所成的角，与所选择的点无关，但一般选择一条直线上的特征点，如线
段的端点、中点等.

§2.1.3空间直线与平面之间的位置关系
§2.1.4平面与平面之间的位置关系
【学习目标】
掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面、平面与平面的位置关系
【学习重点】
直线与平面的三种位置关系及其作用、平面与平面的位置关系及画法
【学习难点】
直线与平面、平面与平面的位置关系的判断
【学习过程】
一、自主学习（阅读教材P48-50页，完成下面问题）
1.用符号表示下列
直线与平面相交：
直线在平面内：
直线与平面平行：
2.直线在平面外——直线和平面相交或平行，记作__________ 包括_____________________
.用图形表示直线与平面的三种位置关系


3.课前完成下列练习，
(1)已知直线
l
1
、
l
2
, 平面α,
l
1
∥
l
2
,
l
1
∥α, 那么
l
2
与平面α的关系是（ ）.
A.
l
1
∥α B.
l
2
?
α
C.
l
2
∥α或
l
2
?
α D.
l
2
与α相交
(2)以下说法（其中
a,b
表示直线，表示平面）
①若a∥b，b，则a∥
②若a∥，b∥，则a∥b
③若a∥b，b∥，则a∥

④若a∥，b，则a∥b
其中正确说法的个数是（ ）.
个 个 个 个
(3)已知
a
∥，b∥，则直线
a
，b的位置关系
①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交.
其中可能成立的有
个 个
二、合作探究
探究1：一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有几种
位置关系

探究2：如图，线段A
′
B所在直线与长方体的六个面所在平面有
几种位置关系

结论:直线与平面的位置关系有且只有三种：_____________________ _________.
探究3：如何表示直线与平面的三种位置关系
文字:

符号
图形


探究4：围成长方体的六个面,两两之间的位置关系有几种



探究5：平面与平面的位置有几种分别用文字、图形、符号语言表示


探究6：(见P49)下列命题中正确的个数是（ ）
(1)若直线L上有无数个点不在平面内，则L∥
A
D
B
C
A'
（ ）
个
D'
B'
C'
个

(2)若直线L与平面平行，则L与平面 内的任意一条直线都平行
(3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
(4)若直线L与平面平行，则L与平面内任意一条直线都没有公共点

三、达标检测
1.已知a，b是两条相交直线，a∥，则b与的位置关系是（ ）.
∥ 与相交
?
α ∥或b与相交
2. 如果平面外有两点A、B，它们到平面的距离都是a，则直线AB和平面的位置关系
一定是（ ）.
A.平行 B.相交 C.平行或相交
3.已知
a
∥，b∥，则直线
a
，b的位置关系

①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交.
其中可能成立的有 （ ）
个 个 个 个
4.如果平面外有两点A、B，它们到平面的距离 都是
a
，则直线AB和平面的位置关系
一定是（ ）
A.平行 B.相交 C.平行或相交
5.已知m，n为异面直线，m∥平面，n∥平面，∩=l，则l （ ）
A.与m，n都相交 B.与m，n中至少一条相交
C.与m，n都不相交
四、学习小结
D.与m，n中一条相交
?
?
直线与平面相交------ 一个交点
?
直线在平面外
?
直线与平面的位置关系
?

?
直线与平面平行------无交点
?
?
直线在平面内 ------------------------------- 无数多个交点

§直线、平面平行的判定及其性质
§2.2.1直线与平面平行的判定
【学习目标】
理解并掌握直线与平面平行的判定定理
【学习重点】
掌握直线与平面平行的判定定理.
【学习难点】
理解直线与平面平行的判定定理.
【学习过程】
一、自主学习（阅读教材P54-56完成下面问题）
1.直线与平面平行的定义是什么

2.判定定理

图形语言：


符号语言：
3.课前完成下列练习
判断对错:
(1)直线
a
与平面α不平行，即
a
与平面α相交. （ ）
(2)直线
a
∥b，直线b平面α，则直线
a
∥平面α. （ ）
平面α，则直线
a
∥b. （ ） (3)直线
a
∥平面α，直线b
二、合作探究
实例探究：
1.门 扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，另一边与门框所在平面具有什么样的位置
关系
2 .课本的对边是平行的，将课本的一边紧贴桌面，沿着这条边转动课本，课本的上边缘与桌

面所在平面具有什么样的位置关系
探究1:如图,1.直线
a
与直线b共面吗

2.直线
a
与平面 相交吗

a






探究2:直线与平面平行的判定定理：
平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.
判定定理告诉我们，判定直线与平面平行的条件有三个分别是
(1)
a
在平 面外，即
a
?
(2)
b
在平面内，即
b
?
(面外)
(面内)
b

?

A
E
B
C
F
D
(3)
a
与b平行，即
a
∥b(平行)
思 想: 线线平行
?
线面平行
例1:求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面.
已知：空间四边形ABCD，E、F分别是AB、AD的中点.
求证：EF∥平面 BCD





练习1:在正方体ABCD-A
1B
1
C
1
D
1
中，E、F分别为棱BC、C
1
D
1
的中点.
求证：EF∥平面BB
1
D
1
D.








D< br>A
B
C
E
A'
D'
F
B'
C'

要证明直线与平面平行，只要在这个平面内找出一条直线与已知直线平行，把证明线面问题转化为证明线线问题.
三、达标检测
1.直线
a
∥平面α，平面α内有无数条直线交于一点，那么这无数条直线中与直线 a 平行
的（ ）
A.至少有一条 B.至多有一条
C.有且只有一条 D.不可能有
2.如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面（ ）.
A.只有一个 B.恰有两个
A'
D'
B'
C'
C.或没有，或只有一个 D.有无数个
3.如图，长方体ABCD-A’B’C’D’中，
D
AB
C
(1 )与AB平行的平面是____________________;_
(2)与AA’平行的平面是_______________________;
(3)与AD平行的平面是_______________________.

4.如图，正方体ABCD-A’B’C’D’中，E为DD’的中点，试判断BD’与平面AEC
D'
的关系，并说明理
C'
由.



四、学习小结
A'
B'
E
D
C
B
A
面内找线
线 线平行?????线面平行
(在平面内找一条直线与已知直线平行)

§2.2.2平面与平面平行的判定
【学习目标 】
理解并掌握平面与平面平行的判定定理.
【学习重点】
掌握平面与平面平行的判定定理.
【学习难点】
理解平面与平面平行的判定定理.
【学习过程】
一、自主学习（阅读教材P56-58完成下面问题）
1.平面与平面平行的定义是什么

2.平面与平面平行判定定理：

图形语言：

符号语言：
3.课前完成下列练习
判断对错:
(1)如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( )
(2)如果一个平面内有无数条直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(
(3)如果一个平面内任意一条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( )
二、合作探究
探究1:(1)平面β内有一条直线与平面α平行，α、β平行吗

（2）平面β内有两条直线与平面α平行，α、β平行吗

探究2:平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
符号表示：
)

利用判定定理证明两个平面平行，必须具备两个条件:
（1）有两条直线平行于另一个平面，
（2）这两条直线必须相交.
思想：线线相交，线面平行
?
面面平行. < br>例题1:已知正方体ABCD-
A
1
B
1
C
1
D
1
,求证：平面
AB
1
D
1
C
1BD








练习 .在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，M、N、P分别是C
1
C、B
1
C
1
、C
1< br>D
1
的中点，求证：平面
MNP∥平面A
1
BD.







A'
D'
P
B'
N
C'
M
C
B
D
A
证题思路：要证 明两平面平行，关键是在其中一个平面内找出两条相交直线分别平行于另
一个平面.
三、达标检测
1.已知三条互相平行的直线
a,b,c中，a?
?
,b?
?
,c?
?
则两个平面α、β的位置
系是____________________.

2.如果两个平面分别平行于第 三个平面,那么这两个平面的位置关系是_________________.
3.已知a、b、c是三条不重合直线，、、是三个不重合的平面，下列说法中：
⑴ a∥c，b∥c
?
a∥b； ⑵ a∥，b∥
∥，∥
?
?
a∥b； ⑶ c∥，c∥
?
∥；⑷
?
a∥∥； ⑸ a∥c，∥c
?
a∥； ⑹ a∥，∥.

其中正确的说法依次是_________________.

4.已知四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为平行四边形.点M
、
N
、
Q
P
Q
分别在PA
、
BD
、
PD上, 且PM：MA=BN：ND=PQ：QD.
M



C
D
求证：面MNQ∥面PBC.
N

B A





5.直四棱柱
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，底面ABCD为正方形，边长为2,侧棱
A'
N
D'
F
B'
M
E
C'
A
1A?3
，M、N分别为A
1
B
1
、A
1
D1
的中点，E、F分别是B
1
C
1
、C
1
D< br>1
的
中点.
D
求证:平面AMN∥平面EFDB；
四、学习小结
A
B
C
面内找线
线面平行?????面面平 行（平面内找两条相交直线与另外一个平面平行）

§2.2.3直线与平面平行的性质
【学习目标】
理解直线与平面平行的性质定理的含义, 并会应用性质解决问题
【学习重点】
直线与平面平行的性质及其应用
【学习难点】
将空间问题转化为平面问题的方法，
【学习过程】
一、自主学习（阅读教材P58-60完成下面问题）
1.直线与平面平行的判定定理的符号表示


2.平面与平面平行的判定定理的符号表示


3.直线与平面平行性质定理：
性质定理：一条直线与一个平面平行，__________ ____________________________________.
图形语言：

符号语言为：_______________________________________.

4.完成下列练习
(1)已知直线l A.平行
C.相交
B.异面
D.平行或异面
(2)下列说法错误的是（ ）
A.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的平行.
B.平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面
C.若直线
a
、b均平行于平面α，则
a
与b平行
D.夹在两个平行平面间的平行线段相等

二、合作探究
探究1：
(1)如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的直线有哪些位置关系
（观察长方体）

(2)如果一条直线和一个平面平行，如何在这个平面内做一条直线与已知直线平行
（可观察教室内灯管和地面）

探究2: 一条直线与平面平行，这条直线和这个平面内直线的位置关系有几种可能

探究3：如果一条 直线
a
与平面α平行,在什么条件下直线
a
与平面α内的直线平行呢

由于直线
a
与平面α内的任何直线无公共点，所以过直线
a
的某一平面，若与平面α相交，
则直线
a
就平行于这条交线
例题1：已知 ：
a
∥α，
a
?
β，α∩β＝b.求证：
a
∥b.




线面平行性质定理作用：证明两直线平行
思想：线面平行
?
线线平行
探究4：有一块木料如图，已知棱BC平行于面 A
′
C
′
(1)要经过木料表面A
′
B
′
C
′
D′ 内
的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线(2)所画的线和面AC有什么关系







D'
A'
P
B'C
A
C'
D
B
例题2：已知平面外的两条平行直线中的一条平行 于这个平面，求证：另一条也平行于这个
平面.

三、达标检测
1.梯形ABCD中AB
?
?
A.平行 B.平行和异面
C.平行和相交

D.异面和相交
2.下列判断正确的是( )
A.
a
∥α，
b?
?
，则
a
∥b
C.
a?
?
，则a∥α
B.
a
∩α＝P，b α，则
a
与b不平行
D.
a
∥α，b∥α,则
a
∥b
3.直线
a
∥平面α，P∈α，过点P平行于
a
的直线( )
A.只有一条，不在平面α内 B.有无数条，不一定在α内
C.只有一条，且在平面α内 D.有无数条，一定在α内
4.下列命题错误的是 （ ）
A.平行于同一条直线的两个平面平行或相交
B.平行于同一个平面的两个平面平行
C.平行于同一条直线的两条直线平行
D.平行于同一个平面的两条直线平行或相交
5.若直线
a
∥b，
a
∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是
四、学习小结
放入平面
线面平行?????线线平行（把直线放入到与已知直线平行的平面中）

§2.2.4平面与平面平行的性质
【学习目标】
理解平面与平面平行的性质定理的含义, 并会应用性质解决问题
【学习重点】
平面与平面平行的性质及其应用
【学习难点】
将空间问题转化为平面问题的方法，
【学习过程】
一、自主学习（阅读教材P60-61完成下面问题）
1.平面与平面平行性质定理：
(1)性质定理：___________________ _______________________________.
图形语言：


符号语言为：_______________________________________.
（2）其它性质：
①
?

?
,l?
?
?l
?
；
②
?

?
,l?
?
?l?
?
；
③夹在平行平面间的平行线段相等.

2.课前完成下列练习，
(1)下列说法正确的是（ ）.
A.如果两个平面有三个公共点，那么它们重合
B.过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行
C.在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行
D.如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行

(2)下列说法正确的是（ ）.
A.过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行

B.经过两条平行线中一条有且只有一个平面与另一条直线平行
C.经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行
D.经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行
二、合作探究
探究1：两个 平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面有
什么样的关系两个平面平行，那么其中一个平面内的 直线与另一
平面内的直线有何关系
例题1:如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a,β∩γ=b，
求证：a∥b





面面平行性质定理作用：证明两直线平行
思想：面面平行
?
线线平行
例题2: 求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等
已知:
?

?
，
AB∥CD
，
A?
?
,D?
?
,B?
?
, C?
?
，求证：
AB?CD
.






例题3:经过正方体ABCD-A’B’C’D’的A、B、C’、D’作一平面 ，求证：AD’
D'
∥BC’
C'
B'






三、达标检测
A'
D
C
A
B
1.设不同的直线a,b和不同的平面α，β，γ，给出下列四个说法：
① a∥α，b∥α，则a∥b； ② a∥α, a∥β, 则α∥β；

③α∥γ，β∥γ，则α∥β； ④ a∥b,b
?
α,则a∥α.
其中说法正确的序号依次是 .
2.在正方体
ABCD?A'B'C'D'
中，下列四对截面中，彼此平行的一对 截面是（ ）.
A.
BDC'与B'D'C
B.
A'BC'与ACD'

C.
B'D'D与BDA'
D.
A'DC'与AD'C

3.已知在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行 四边形，点E、F在PC上，且PE：
EF：FC=1：1：1，问在PB上是否存在一点M，使平面A EM∥平面BFD，并请说
M
P
E
明理由.






4.如图，设平面α证：MN





四、学习小结
纳入平面
面面平行?????线面平行（将直线 放入到与已知平面平行的平面内）
纳入平面
面面平行?????线线平行（引入第三平面，使得 两条直线在两个平

B
A
F
D
C
C
Aα
K
M
N
B
D
β
面内与第三平面的交线）

§直线、平面垂直的判定及其性质
§2.3.1直线与平面垂直的判定
【学习目标】
理解直线与平面垂直的定义, 掌握直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些
空间位置关系的简单命题.理解直线与平面 所成的角的定义及求法；
【学习重点】
操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理.
【学习难点】
操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用
【学习过程】
一、自主学习（阅读教材P64-66完成下面问题）
1.(1)定义：如果直线
l
与平面
?
内的 直线都垂 直，则直线
l
与平面
?
互相垂直，记作
l?
?
.< br>l
是平面
?
的 ，
?
是直线
l
的 ，它们的唯一公共点
P
叫做 .
(2)直线与平面垂直的判定如何叙述，体现了怎样的思想


符号语言表示为： .
(3)斜线和平面所成的角指的是什么直线与平面所成的角的范围是多少
2.完成下列练习.
(1)下面四个说法：
①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；
②过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；
③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.
④经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直；
其中正确的说法个数是（ ）.

(2)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于（ ）.

A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC

(3)直线
l
与平面内的两条直线都垂直，则直线
l
与平面的位置关系是
A.平行 B.垂直 C.在平面内 D.无法确定

二、合作探究
1.线面垂直的定义
探究1:结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义.
(1)阳光下，直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少


(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变

(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B
1
C
1
的位置关系如何依据是什么

思想: 直线与直线垂直
?
直线与平面垂直
思考：(1)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂
直
(2)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线
即若l?
?
,a?
?
，则
l?a


2.直线与平面垂直的判定定理
探究2:请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，
A
得到折痕AD（如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）


D
B
C

B
D


（1） （2）
A
C

(1)折痕AD与桌面垂直吗
(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直


思想: 直线与直线垂直
?
直线与平面垂直
例题1：如图，已知
ab,a?
?
，则
b?
?
吗请说明理由.



3.直线与平面所成的角
探究3: 斜线:
斜足:
斜线在平面上的投影:
直线和平面所成的角:
一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；(判断直线与平面垂直的方法4)
一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角.
例题2:在正方体
ABCD_A
1
B
1
C
1
D
1
中,求:
(1)直线
A
1
B
和平面ABCD所成的角
(2)直线< br>A
1
B
和平面
A
1
B
1
CD
所成的角
三、学习小结
A
A'
D'
C'
B'
a


?

b

D
C
B
面内找线
线线垂 直?????线面垂直（平面内找两条相交直线与已知直线垂直）

§2.3.2平面与平面垂直的判定
【学习目标】
1.正确理 解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的
概念；
2.掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；
【学习重点】
平面与平面垂直的判定；
【学习难点】
如何度量二面角的大小.
【学习过程】
一、自主学习（阅读教材P67-69完成下面问题）
1.平面与平面垂直的判定：
(1)定义：_______________________________.
所组成 的图形叫二面角.这条直线叫做____________，这两个半平面叫做________.记作二面角
?
－AB－
?
.（简记
P－AB－Q
）
( 2)二面角的平面角：在二面角
?
－l－
?
的棱
l
上任取一 点
O
，以点
O
为垂足，在半平面
?
,
?
内 分别作_____________射线
OA
和
OB
，则射线
OA< br>和
OB
构成的
?AOB
叫做二面角的平面
角.
范围：_________________________.
(3)定义：两个平面相交 ，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
记作
?
?
?
.
(4)判定：_________________________，则这两个平面垂直 .（线面垂直
?
面面垂直）
2.完成下列练习.
判断对错:
1 .如果平面
?
内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则
?
⊥β.（ ）
2.如果平面
?
内有一条直线垂直于平面β内的两条直线，则
?
⊥β.（ ）
3.如果平面
?
内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线, 则
?
⊥β.（ ）

二、合作探究
探究1：二面角的平面角∠AOB有什么特点
(1)角的顶点在哪里(2)角的两边分别在哪里(3)角的两边和棱有什么关系
特别指出：
①二面角的大小是用平面角来度量的，其范围是
[0
，
180
0）；

②二面角的平面角的大小与棱上点（角的顶点）的选择无关，是有二面角的两个面的 位置
惟一确定；
③二面角的平面角所在的平面和棱是垂直的
直二面角:
规律：求异面直线所成的角，直线与平面所成的角，平面与平面
所成的角最终都转化为线与线相交构成的 角.
例题1：如图四面体ABCD的棱BD长为2，其余各棱长均为
2
，
求 二面角A-BD-C的大小.


两个平面互相垂直
两个互相垂直的平面画法：

平面
?
与β垂直，记作：
定理:一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
符号语言:

AB?
?
，AB?
?
=B，AB ?
?
?
?
?
?
图形语言:
思想:线面垂直
?
面面垂直
例题2:已知直线PA垂直于圆O所在的平面， A为垂足，AB为圆O的直
径，C是圆周上异于A、B的一点.
探究1:四面体P- ABC的四个面的形状是怎样的

探究2:有哪些直线和平面垂直

探究3:有哪些平面相互垂直

求证：平面PAC平面PBC


三、达标检测
1.过平面
?
外两点且垂直于平面
?
的平面 （ ）
A.有且只有一个 B.不是一个便是两个 C.有且仅有两个 D.一个或无数个
2.若平面
?
?
平面
?
，直线
n
?
?
m
?
?
,
m?n
，则 （ ）
A.
n?
?
B.
n?
?
且
m?
?
C.
m?
?
D.
n?
?
与
m?
?
中至少有一个成立
3.在直 二面角
?
?AB?
?
棱AB上取一点P，过P分别在
?
,< br>?
平面内作与棱成45°角的斜线
PC、PD，则∠CPD的大小是（ ）.
° ° ° °或120°
4.设
l,m,n
表示 三条直线，
?
,
?
,
?
表示个平面，给出下列四个命题：


①若
l?
?
,m?
?
，则
l m
；②若
m?
?
,n
是
l
在
?
内 的射影，
m?l
，则
m?n
；
③若
m?
?
,mn
，则
n
?
； ④若?
?
?
,
?
?
?
，则
?
?
. 其中真命题是（ ）
A.①② B.②③ C.①③ D.③④
5.已知平面α∩平面β=直线
a
，α、β垂直于平面γ，又平 行于直线b，求
证:(1)
a
⊥γ；(2)b⊥γ.

四、学习小结
面内找线
线面垂直?????面面垂直（一个平面内找垂直于另一个平面的直线）

§2.3.3直线与平面垂直的性质
【学习目标】
掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用.
【学习重点】
直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用.
【学习难点】
直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透.
【学习过程】
一、自主学习（阅读教材P70-71完成下面问题）
1.线面垂直性质定理：______ _________________________________.
（线面垂直
?
线线平行）
用符号语言表示为：
2.完成下列练习
(1)在下列说法中，错误的是（ ）.
A.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任一直线，则α⊥β
B.若平面α内任一直线平行于平面β，则α∥β
C.若平面α⊥平面β，任取直线l
?
α，则必有l⊥β
D.若平面α∥平面β，任取直线l
?
α，则必有l∥β
(2)给出下列说法：
①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；
②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；
③直线m⊥平面α，直线n⊥m，则n∥α；
④垂直于同一个平面的两条直线平行.
其中正确的两个说法是（ ）.
A..①② B.②③ C.③④ D.②④
(3)已知两个平面垂直，给出下列一些说法：
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；

②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内
任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.
其中正确的说法的序号依次是 .
二、合作探究
探究1:如图，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱A A′、
B B′、C C′、D D′所在直线都垂直于平面ABCD，它
们之间具有什么位置关系


探究2：已知：
a
?
?
，b
?
?
.求证：b∥
a



直线和平面垂直的性质定理: 垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号语言

作用：线面垂直
?
线线平行
探究3: 设直线
a
,b分别 在正方体ABCD—A′B′C′D′中两个不同的平面内,欲使b∥
a
,
a
、
b应满足什么条件


探究4:把直角三角板ABC的直角边BC放置于 桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面
?
垂
直，a是
?
内一条直 线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与a垂直





例题:三棱锥
P?ABC
中，
PA?PB?PC
,
PO?
平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC的外心.
C
FE
O
B
A
D
a
B
α
C
AN
D
C M
E
A
B
F
a

b
P

三、达标检测
垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A、B的任一点，则下列关系不正确的是
（ ）.
⊥BC ⊥平面PAC ⊥PB ⊥BC
2.直线
b
?
直线
a
，直线
b
?
平面?
，则直线
a
与平面
?
的关系是（

）

∥
?
B.
a
?
?
C.
a?
?
或
a
∥
?
D.
a?
?

3.已知平面
?
,
?
和直线m，给出条件
①m∥
?
；②m⊥
?
；③m
?
?
；④
?
?
?
；⑤
?

?
.
(1)当满足条件________时，有m∥
?
；(2)当满足条件_________时，有m⊥
?
.
4.如图，在正方体AB CD-A
1
B
1
C
1
D
1
中.求证：B< br>1
D⊥平面A
1
C
1
B；








四、学习小结
纳入平面
线面垂直?????线线垂直（将直线放入垂直于已知直线的平面内）

§2.3.4平面与平面垂直的性质
【学习目标】
1.学生掌握直 线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；能运用性质定理解决一些简单问
题；
2.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系.
【学习重点】
平面与平面垂直的性质及其应用.
【学习难点】
掌握两个平面垂直的性质及应用.
【学习过程】
一、自主学习（阅读教材P71-72完成下面问题）
1.面面垂直性质定理： .

（面面垂直
?
线面垂直）

用符号语言表示为：

2.课前完成下列练习
(1)两个平面互相垂直，下列命题正确的是（ ）
A.一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
B.一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
C.一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面
D.过一个平面内任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.
(2)下列命题中，正确的是（ ）
A.过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直
B.过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直
C.若
a
,b异面，过
a
一定可作一个平面与b垂直
D.
a
,b异面，过不在
a
,b上的点M，一定可以作一个平面和
a,b都垂直.

二、合作探究
探究1：黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直

探究2：如图，长方体ABCD－A'B'C'D'中，平面A'ADD'与平面ABCD垂直，直线A'A垂 直于
其交线AD，平面A'ADD’内的直线A'A与平面ABCD垂直吗




探究3:如图，设α⊥β，α∩β＝CD，ABα，AB⊥CD，且AB∩CD＝ B，我们看直线AB与平面
β的位置关系.




归纳得到平面与平面垂直的性质定理:
定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
用符号语言如何表述


平面与平面垂直性质定理说明，由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直，这种直
线与平面的的位置关系同平面与平面的位置关系的相互转化，是解决空间图形的重要思想
方法.
探究4：若两个平面垂直，过其中一个平面内一点能否作另一个平面的垂线这条直线与这个
平面有何关 系可作多少条这样的垂线



探究5：思考：设平面α⊥平面β，点P在 平面α内，过点P作平面β的垂线a，直线a与
平面α具有什么位置关系


探究6：已知平面α，β，直线
a
，且α⊥β，α∩β＝AB，
a
∥α，< br>a
⊥AB，试判断直线
a
与平

面β的位置关系


例题1:如图，已知平面α，β满足α⊥β，直线
a
满足
a
⊥β，
a
的位置关系.




三、达标检测
1.下列命题中为真命题的是（ ）
A.平行于同一条直线的两个平面平行
B.垂直于同一条直线的两个平面平行
α，试判断直线
a
与平面α
C.若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行.
D.若三直线a、b、c两两平行，则在过直线a的平面中，有且只有—个平面与b，c均平
行.
2.在四棱锥A- BCDE中，AB⊥底面BCDE，且BCDE为正方形，则此四棱锥侧面与底面中互相
垂直的面有（ ）
对 对 对 对
5.已知PCBM 是直角梯形，∠PCB＝ 90°，PM∥BC，PM＝1，PC＝2，点A是平面PCBM外一
点，又AC＝1，∠ACB＝ 90°，二面角P-BC-A 的大小为60°.
(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；
(2)求三棱锥P-MAC 的体积.
四、学习小结
纳入平面
面面平行?????线面平行（将直线放入到与已知平面垂直的平面内）

本章小结与检测
一、知识网络
平面的概念及表示方法
平面
平面的基本性质
确定平面的条件
用符号语言描述点、直线、平面之间的关系
平 行
空间点、
直线、
平面之
间的位
置关系
空间中直线与直线< br>之间的位置关系
共面直线
异面直线
平行
空间中直线与平面
之间 的位置关系
平面与平面之
间的位置关系
直线与平面平行的判定
直线、
平面平
行的判
定及其
性质
平面与平面平行的判定
直线与平面平行的性 质
平面与平面平行的性质
直线与平面垂直的判定
直线、
平面垂
直的判
定及其
性质
平面与平面垂直的判定
直线与平面垂直的性质
平面与平面 垂直的性质
线面角
二面角
相交
在平面内
平行
相交
点 、
直
线、
平
面
之
间
的
位
置
关
系
相交
线线角

二、达标检测
(一)选择题
1.垂直于同一条直线的两条直线一定( ).
A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能
2.正四棱柱
ABCD?A
1
B
1
C< br>1
D
1
中，
AA
1
＝2AB
，则异面直线< br>A
1
B与AD
1
所成角的余弦值为( )
A.
1

5
B.
2

5
C.
3

5
D.
4

5
3.经过平面外两点与这个平面平行的平面( ).
A.可能没有 B.至少有一个 C.只有一个 D.有无数个
4.点E，F，G，H分别为空间四边形ABC D中AB，BC，CD，AD的中点，若AC＝BD，且AC

与BD所成角的大小为90 °，则四边形EFGH是（ ）.
A.菱形 B.梯形 C.正方形 D.空间四边形
5.已知
m,n
为异面直线，
m?平面
?
，
n?平 面
?
，且
?
I
?
?l
，则( ).
A.
l
与m，n都相交
C.
l
与m，n都不相交




B.
l
与m，n中至少一条相交
D.
l
只与m，n中一条相交
6.在长方体ABCD-A
1B
1
C
1
D
1
中，AB＝AD＝2
3
，CC
1
＝
2
，则二面角C
1
-BD-C的大小为( ).
° ° °

°

7.如果平面
?外有两点A，B，它们到平面
?
的距离都是
a
，
则直线AB和平 面
?
的位置关
系一定是( ).
A.平行 B.相交 C.平行或相交
?

8.平面
?
∥平面
?
，A B，CD是夹在
?
和
?
之间的两条线段，E，F分别为AB，CD的中点，< br>则EF与平面
?
的关系是( ).
A.平行
(二)填空题
9.下图是无盖正方体纸盒的展开图，在原正方体中直线AB，CD所成角的大小为 .
B
1
C

F
C
1
A
1

A
D


B
B
E

A
C
(第9题)

(第10题)



10.正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的各棱长均为2，E，F分别是AB，A
1
C1
的中点，则EF的长是 .
11.已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为
5
，则侧面与底面所成二面角的大小为 .
(三)解答题
12.如图，ABCD是正方形，O是该正方形的中心，P是平面ABCD 外一点，
PO
?
底面ABCD，
E是PC的中点.
求证：(1)PA∥平面BDE ；
D
A
O
(第12题)

B.相交 C.垂直 D.不能确定
P
E
C
B

(2)BD⊥平面PAC.





13.如图，棱长为1的正方体ABCD-A
1
B
1< br>C
1
D
1
中，
(1)求证：AC⊥平面B
1
D
1
DB；
(2)求证：BD
1
⊥平面ACB
1
；
(3)求三棱锥B-ACB
1
体积.
D
C
A
B
D
1
C
1
1
(第13题)

B
1
A

第三章 直线与方程
§直线的倾斜角与斜率
§3.1.1倾斜角与斜率
【学习目标】
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念
2.掌握过两点的直线斜率计算公式.
【学习重点】
倾斜角、斜率、斜率公式及其应用.
【学习难点】
直线倾斜角与斜率之间的关系.
【学习过程】
一、自主学习(阅读课本第82—85页，完成自主学习)
问题1:平面直角坐标系内的一条直线，它的位置由哪些条件确定呢______________.
1.直线的倾斜角
?
当直线l与x轴相交时，_________________ ___.
(1)倾斜角的定义
?

?
当直线l与x轴平行或重合时， 规定__________.
(2)直线倾斜角的范围为___________________.
试一试：分别在下图中标出各直线的倾斜角
?
(同时画出弧线)或者指出其度数.
yyyy





l
x
O(1)
l
x
O
(2)
l
O
(3)
l< br>x
O
(4)
x
问题2：在日常生活中，还有没有表示直线倾斜程度的量 __________________.
2.直线的斜率
(1)斜率的定义
一 条直线的倾斜角
?
(
?
?90?)
的__________,叫做这 条直线的斜率.记作：___________.
试一试：（1）已知直线的倾斜角
?
，求直线的斜率k.

①
?
?0
?

⑤
?
?90
?

(2)斜率的范围


②
?
?30
?


③
?
?45
?


④
?
?60
?

⑧
?
?150
?
⑥
?
?120
?
⑦
?
?135
?

①α=0°时，则k___0, ②0°＜α＜90°,则k____0,
③α= 90°，则k_________, ④90 °＜α＜180°，则k_____0,
(3)斜率公式：
已知直线上两点
p1
(
x
1
,y
1
)
,
p
2< br>(x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
)的直线的斜率公式为_____________.
思考:(1)运用上述公式计算直线的斜率时，与两点的顺序有关吗答：_____________.
(2)当直线与x轴平行或重合时，上述公式还适用吗答：___________.当直线与y轴平行 或重
合时，上述公式还适用吗答：______.为什么答：___________.
试 一试：经过点
A(2,3),B(?1,4)
直线的斜率是________，其倾斜角是__ ______角.
二、合作探究
例 1:过两点
A(m,2),B(?m,?2m ?1)
的直线的倾斜角为
60?
，求
m
的值.



例2:判断
A(1,2),B(?1,0),C(3,4)
三点是否在同一 条直线上，为什么




例3:经过点P(0，-1)作直线< br>l
,若直线
l
与连接A(1，0),B(0，2)线段总有公共点，找出直线< br>l
的
倾斜角α与斜率k的取值范围，并说明理由.







三、达标检测
1.直线y=x的倾斜角为_______, 直线y=-x的倾斜角为_______,

2
1
–1
O
–1
y
B
1
A
x
P

直线x=1的倾斜角为_______， 直线y=0的倾斜角为________.
2.下列叙述中不正确的是（ ）.
．．．
A.若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应
B.每一条直线都惟一对应一个倾斜角
C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为
0
o
或
90
?

D.若直线的倾斜角为
?
，则直线的斜率为
tan
?

3.过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
或3 或4
4.若两条直线关于x轴对称，则它们的倾斜角__________，则它们的斜率互 为___________.
5.直线
l
经过二、三、四象限，则其倾斜角
?
为_____角；斜率
k
的取值范围为_________.
6.画出过点(0,2)，且斜率为2与-2的直线.





四、学习小结
1.直线的倾斜角及范围
2.直线斜率及范围
3.斜率公式

§直线的方程

§3.2.1直线的点斜式方程
【学习目标】
理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；能正确求直线方程.
【学习重点】
直线方程的点斜式、斜截式方程及其应用.
【学习难点】
直线方程的点斜式、斜截式方程及其应用.
【学习过程】
一、自主学习（阅读课本第
92
—
93
页，完成自主学习）


问题
1
：下列条件能确定直线的是那些
(1)斜率为3的直线 (2)过点A(2,1)的直线 (3)斜率为3，过点A(2,1)的直线

问题
2
：在上述能确定直线的条件中，能否用给定条件求出这条直线上所有点的坐标
(x, y)
所
满足的关系式
(
即直线的方程
)
呢

1.直线的点斜式方程
已知直线
l
上一点
p
0
(
x
0
,
y
0
)
与这条直线的斜率
k
，则直线的点斜式方程为_____________.
思考：
(1)
经过点P
0
(x
0
,y
0
)
且斜率为
0的直线
l
的方程是
_________________.

( 2)
经过点
P
0
(x
0
,y
0
)
且斜率不存在的直线
l
的方程是
________________.
注：点斜式适用范围是
__________________________________ _____________________.

试一试：(1)斜率为3，过点A(2,1 )的直线的点斜式方程是_______________________.
(2)
已知直 线
l
的斜率为
k
，与
x
轴的交点为
(0,b),
则直线
l
的点斜式方程为
___________

把方程化为一次函数解析式形式为
______________.

2.
直线的斜截式方程：
方程
y?kx?b
是由直线的
_ _____
与它在
______________
确定，所以把此方程叫做直线的斜< /p>

截式方程
.

思考：截距与距离相同吗怎样理解截距
注：斜截式适用范围是
____________________________________ ___________________.

试一试：斜率是-2，在y轴上的截距式1的直 线的方程是________________________.
二、合作探究
例1：根据下列条件写出直线的点斜式或斜截式方程.
(1)直线
l
过原点和点
P
1
(?2,3)
.
(2)倾斜角为
60?
，与y轴的交点到坐标原点的距离为2.




例2：判断
A(1,3),B(5,7),C(10,12)
三 点是否在同一条直线上，为什么





例3：无论k取何值，直线
kx?y?1?3k?0
恒过哪个定点





三、达标检测
1.⑴直线过点
P
1
(?2,3)
，且平行于
x
轴的直线方程______________ _.
⑵直线过点
P
1
(?2,3)
，且平行于y轴的直线方程__ ____________.
2.过点
(4,?2)
，倾斜角为
120?
的直线方程是（ ）.
A.
3x?y?2?43?0

C.
x?3y?23?4?0

B.
3x?3y?6?43?0

D.
x?3y?23?4?0

3.已知直线
l
的倾斜角为 30°，在y轴上的截距为－2，则直线
l
的方程为__________．

4.已知直线
l
的方程为
y?3x?1
则直线
l
的 斜率为__________，倾斜角为__________，在
y轴上的截距为_________ _．
5.直线
y?3(x?3)
的斜率与y轴上的截距分别是( )
A.
3
,
3
B.
3
,?
3
C.
3
,3
D.
?
3
,?3

6.已知直线的方程是
y?2??x?1
，则（ ）.
A.直线经过点
(2,?1)
，斜率为
?1
B.直线经过点
(?2,?1)
，斜率为
1

C.直线经过点
(?1,?2)
，斜率为
?1
D.直线经过点
(1,?2)
，斜率为
?1

7.无论k取何值，直线y－2＝k(x＋1)所过的定点是( )
A.(1,2) B.(－1,2) C.(－1，－2) D.(1，－2)
8.已知点(1,1)在直线
y?2x?m
上，则
m
的值是_________.
四、学习小结
1.点斜式方程及适用范围.
2斜截式方程及适用范围.
3.怎样判断点在直线上

§3.2.2直线的两点式方程
【学习目标】
掌握直线方程的两点式、了解直线的截距式的形式特点及适用范围；能正确求直线方程.
【学习重点】
直线方程的两点式、截距式及其应用.
【学习难点】
直线方程的两点式、截距式及其应用.
【学习过程】
一、自主学习（阅读课本第95—96页，完成自主学习）
问题：过两点(1,2)、(2,3)能确定一条直线吗如果能，你能求出其点斜式方程吗


1.两点式方程的概念：
经过两点
P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
) (x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
的 直线方程可写为________________.
思考：当直线的斜率为0或不存在斜率时能用两点式方程吗此时直线的方程分别是什么


注：两点式适用范围是
___________________________ __________________________.

试试：(1)已知直线
l
经过两点(1,2)、(2,3),求直线
l
的方程.

(2) 已知直线
l
经过
A(a,0)
、
B(0,b)
，其中
a?0,b?0
，求
l
的方程.


2.直线的截距式方程：
方程
xy
??1
由直线
l
在两个坐标轴上的截距____与_____确定，所以把此方程叫做直线的
ab
截距式方程 .
思考：（1）过原点的直线能否用截距式当直线的斜率为0或不存在斜率时呢
(2)方程

xy
??1
中的a，b是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离
a b

注：截距式适用范围是
________________________ _______________________________.

试一试：在两
x
轴、
y
轴上的截距分别为2、3的直线的方程是_______________ ___.

二、合作探究
例1:已知三角形的三个顶点A(-5,0)、B(3,-3)、C(0,2)，求
(1)BC边所在的直线方程；
(2)BC边上的中线所在的直线方程。



例2：求过点P(2, 3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程.







例3：一条直线与
x
轴、
y
轴的交点分别是A、B，且线段AB的中点为P(4,1)，求这条直线< br>的方程.







三、达标检测
1.下列命题中真命题有______________个.
(1) 经过点
p
0
(
x
0
,
y
0
)的直线都可以用方程
y?
y
0
?k(x?
x
0
)
表示；
(2)经过任意两点
P
1
(x
1
,y< br>1
),P
2
(x
2
,y
2
)
的直线 都可以用方程
(0,b)
C
AO
y
M
x
B
y
B
P
(4,1)
x
O
A
(a,0)
y?
y
1
x?
x
1
?
表示；
y
2< br>?
y
1
x
2
?
x
1
(3)不经过原 点的直线都可以用方程
xy
??1
表示；
ab

( 4)经过定点
B(0,b)
的直线都可以用方程
y?kx?b
表示.
2.直线
l
过点
(?1,?1),(2,5)
两点，点
(1007 ,b)
在
l
上，则
b
的值为（ ）

3.直线3x－2y＋6＝0与坐标轴围成的三角形的面积为______________．
4.经过点A(－2,3)，且在两坐标轴上的截距之和为2的直线的方程为__________.
5.菱形的两条对角线分别位于
x
轴和
y
轴上，其长度分别为8和6 ，求菱形的各边所在的直
线方程.





四、学习小结
1.两点式方程及适用范围.
2截距式方程及适用范围.
3.中点坐标公式.

§3.2.3直线的一般式方程
【学习目标】
了解二元一次方程与直线的关系，明确直线方程一般式的特征.
【学习重点】
直线方程一般式的理解与应用.
【学习难点】
直线方程一般式的理解与应用.
【学习过程】
一、自主学习（阅读课本第97—98页，完成自主学习）
问题1 ：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于
x,y
的二元一次方程表示吗（分
斜率存在于不存在两类说明）

问题2：任意一个二元一次方程：Ax＋By＋C＝0（A， B不同时为0）是否表示一条直线（分
B=0与B≠0两类说明）


1.直线与二元一次方程的关系
（1）在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一 个关于
x,y
的___________表示；
（2）每个关于
x,y的二元一次方程都表示____________________．
2.直线的一般式方程 < br>关于
x,y
的二元一次方程___________________________ _叫做直线的一般式方程.
注：一般式中系数A、B满足_______________________．
思考：(1)直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点


(2)在一般式方程 Ax + By + C = 0 中，直线存在斜率的条件是什么此时直线的斜率是多少

二、合作探究
例1：在方程 Ax + By + C = 0 中， A, B, C 为何值时，方程表示的直线：

①平行于x 轴：__________________

③平行于 y 轴：_________________

②与x 轴重合：_________________
④与y轴重合：_________________
⑤过原点： _____________________ ⑥与x轴、y轴都相交（重合不算）：________

例2：一条光线从点P(6,4) 射出，与x轴相交于点Q(2,0),经过x轴反射，求入射光线和反射
光线所在直线的方程.





例3：设直线
l
的方程为
ax?y?a?2?0(a?R)
.
(1)若
l
不经过第二象限，求实数
a
的取值范围.
(2)若
l
在两坐标轴上的截距相等，求直线
l
的方程.







三、达标检测
1.斜率为－3，在x轴上的截距为2的直线的一般式方程是( )[
＋y＋6＝0
＋y－6＝0






－y＋2＝0
－y－2＝0

2.斜率为
?3
，在
x
轴上截距为2的直线的一般式方程是（ ）.
A.
3x?y?6?0

C.
3x?y?6?0







B.
3x?y?2?0

D.
3x?y?2?0

3.直线x－3y＋1＝0的倾斜角为( )
° ° ° °

4.直线3x－2y－4＝0的截距式方程为( )
y
－
2
＝1
y
－
1
＝1
2
－
y
＝1
－2
＋
y
＝1
－2
5.直线
ax?by?c?0(a?0,b?0)
在两坐标轴上的截距相等，则< br>a
、
b
、
c
满足的条件是（ ）
A.
a?b
B.
a?b
C.
a?b且c?0
D.
c?0或c?0且a?b

6.已知 直线
5x?4y?20?0
，直线的斜率为___________，化成斜截式方程为___ _______.
7.若直线(m+2)x+(2-m)y=2m在x轴上的截距为3，则m的值是________
8.若方程
Ax?By?C?0
表示一条直线，则（ ）.
A.
A?1



四、学习小结
1.直线与二元一次方程的关系.
2.直线方程的各种形式及其适用范围.
B.
B?0
C.
AB?0
D.
A
2
?B
2
?0

?
点斜式：___ _________,适用范围___________________
?
??
?< br>斜截式：____________,适用范围___________________
???
一般式：_____________.

?
两点式：______ ______,适用范围___________________
?
?
?
截 距式：____________,适用范围___________________
?
?< br>3.根据已知条件怎样选择不同的形式求直线方程

§直线的倾斜角与斜率

§3.1.2两直线平行与垂直的判定
【学习目标】
熟练掌握两条直线平行或垂直的条件，能够解决两条直线平行或垂直的简单问题.
【学习重点】
两条直线平行或垂直的条件.
【学习难点】
解决两条直线平行或垂直的简单问题.
【学习过程】
一、自主学习(阅读课本第86—88页，完成自主学习)
1.两直线平行的条件
设直线
l
1
和
l
2
的倾斜角分别为
?
1< br>和
?
2
，斜率分别为
k
1
和
k
2< br>.
l
1
l
2
?
?
1
__
?
2
?
k
1
__
k
2
；反之：
k
1
?
k
2
?
?
1
__
?
2
?l
1
__l
2
.
α
1
α
2
O
x
y
l
1
l
2
所以
l
1
l
2
?________
.
思考：(1)“两直线平行，它们的斜率相等”对吗为什么

(2)直线
l
1
:y?k
1
x?b
1
,l
2
:y?k< br>2
x?b
2
,则
l
1
l
2
的条件是 什么

试一试：已知点A(2,3)、B(-4,0)、C(-3,1)、D(-1,2)， 则直线AB与CD的位置关系是什么

2.两直线垂直的条件
设直线
l< br>1
和
l
2
的倾斜角分别为
?
1
和
?
2
，斜率分别为
k
1
和
k
2

l
1
?l
2
?
?
1
?
?
2
?90??
k
1
?tan
?
1
?tan(
?
2
?90?)??
11
??
，
tan
?
2k
2
α
2
O
y
l
1
l
2α
1
x
即
k
1
?
k
2
??1
；反之也成立.
所以
l
1
?l
2
?_________
.
思考:(1)“两直线垂直，它们的斜率之积等于-1”对吗为什么

(2)直线
l
1
:y?k
1
x?b
1
,l
2
:y?k
2
x?b
2
。则
l
1
?l< br>2
垂直的条件是什么

试一试：已知点A(-6,0)、B(3,6)、C( 0,3)、D(6,-6)，则直线AB与CD的位置关系是什么


二、合作探究
例1：求满足下列条件的直线方程：
(1)过点(1,2) ，且与直线3x＋4y＋1＝0平行；
(2)过点(3,0) ，且与直线2x＋y-5＝0垂直．
(3)与直线y＝－2x＋3平行，且与直线2x＋3y＋6＝0在y轴上的截距相同；
(4)与直线3x＋4y－12＝0垂直，且与直线y＝4x－2在y轴上的截距相同．






例2：已知点A(2,a)、B(a-1,3)、C(1,2)、D(-2,a+2).
(1) 若直线AB与CD平行，求a的值； (2)若直线AB与CD垂直，求a的值.




三、达标检测
1.下列说法正确的是（ ）.
A.若两直线平行，则两直线的斜率相等. B.若两直线的斜率不相等，则两直线不平行.
C.若两直线垂直，则斜率之积为-1. D.若两直线的斜率均不存在，则它们垂直.
2.过点
A(1,2)
和点
B(?3,2)
的直线与直线
y ?1
的位置关系是（ ）.
A．相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对
3.经过
(m,3)
与
(2,m)
的直线
l
与斜率为
?4
的直线互相垂直，则
m
值为（ ）.
7
A.
?

5
B.
714
C.
?

55
D.
14

5

< br>4.直线y＝(a
2
－1)x＋2与直线y＝3x＋a平行，则a的值为( )
A.－2 C.±2 或2
5.已知点A(m,1)、B(-3,4)、C(1, m)、D(-1,m+1),当直线AB⊥CD时，m=__________.
6.（选做）已知直 线
l
1
：x＋2ay－1＝0与
l
2
:(a－1)x－ay ＋1＝0.(1) 若
l
1
l
2
，求a的值；(2)
l
1
?l
2
求a的值.




四、学习小结
1.两直线平行的条件.
2.两直线垂直的条件.
3.拓 展知识点：已知两条直线l
1
：A
1
x＋B
1
y＋C
1
＝0，l
2
：A
2
x＋B
2
y＋C
2
＝0
(1)
l
1
l
2
?
A
1
B
2
?
A
2
B
1
且B
1
C
2
?
B
2
C
1
或A
1
C
2
?
A
2
C
1
；
(2)
l
1
?l
2
?
A
1
A
2
?
B
1
B
2
?0
（注：此结论可以避免讨论斜率是否存在而解题）

§直线的交点坐标与距离公式
§3.3.1两条直线的交点坐标
§3.3.2两点间的距离
【学习目标】
1.能用解方程组的方法求两直线的交点.
2.掌握两点间距离公式及其应用.
【学习重点】
求两直线的交点；两点间距离公式及其应用.
【学习难点】
两点间距离公式推导
【学习过程】
一、自主学习
1.两直线的交点（阅读课本第102页）
两直线是否有公共点，要看它们的方程是否有公共解.
?
Ax?B
1
y?C
1
?0
将两条直线
l
1
和
l
2< br> 的方程联立，得方程组
?
1

?
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
(1)若方程组无解，则
l
1
与
l
2
_____________.
(2)若方程组 有且只有一个解，则
l
1
与
l
2
____________ ___.
(3)若方程组有无数解，则
l
1
与
l
2
_______________.
试一试：直线
3x?4y?2?0与2x?y?2?0
的交点坐标是______________.
2. 两点间距离公式（阅读课本第104－105页，理解公式推导过程）
Bx
2
,y< br>2
）
两点
A(x
1
,y
1
)，（
间 的距离公式 |AB|=_______________________.
特别地，
P(x,y)
与原点O(0,0)的距离 |OP|=_____________________.
试一试：两点
A(?1,3),B(2,5)
之间的距离为___________.
二、合作探究

例1：求经过两直线
2x?3y?3?0
和< br>x?y?2?0
的交点且与直线
3x?y?1?0
平行的直线方
程.



例2：当λ变化时，方程
3x?4y?2?
?
(2x?y?2)?0
表示什么图形，图形有何特点



例3：证明平行四边形的四条边的平方和等于两条对角线的平方和.


y
D

C


x

A
B

三、达标检测
1.两条直线
3x?2y?n?0< br>和
2x?3y?1?0
的位置关系是（ ）.
A.平行 B.相交且垂直 C.相交但不垂直 D.与
n
的值有关
2.已知集合
M ?
?
(x,y)x?y?2
?
,N?
?
(x,y)x?y? 4
?
，那么集合
M?N
为(
A.{3,–1} ,–1 C.(3,–1) D.{(3,–1)}
3.以点
A(?3,0),B(3,?2),C(?1,2)
为顶点的三角形是（ ）三角形.
A.等腰 B.等边 C.直角 D.以上都不是
4.直线2ax＋y－2＝0过定点__________．
5.已知点
A(1,2 ),B(3,4),C(5,0)
，则
?ABC
是________三角形.
6.已知点
A(8,10),B(?4,4)
求线段
AB
的长及中点坐标.




7.求经过点P(1,0)和两直线l
1
：x＋2y－2＝0，l
2
：3x－2y＋2＝0交点的直线方程．

)

8.求在x轴上，与两点A(-1,3),B(2,4)等距离的点的坐标.




四、学习小结
1.怎样用解方程的办法判断两直线是否有交点

2.过两条直线
l
1
:A
1
x?
B1
y
?C
1
?0与
l
2
:
A
2
x?
B
2
y?
C
2
?0
的交点的直线系 方程是：
A
1
x?
B
1
y
?C
1
?
?
(
A
2
x?
B
2
y?
C< br>2
)?0
.

3.两点间的距离公式.

§3.3.3点到直线的距离
§3.3.4两条平行直线间的距离
【学习目标】
1.掌握点到直线距离的公式，会用公式解决有关问题。
2.掌握两条平行直线间的距离公式，并会求两条平行直线间的距离.
【学习重点】
点到直线距离的公式、两条平行直线间的距离公式及其应用.
【学习难点】
距离公式的应用.
【学习过程】
一、自主学习
1.点到直线的距离公式（阅读课本第106—107页，理解公式推导过程）
已知点
P(x
0
,y
0
)
和直线
l:Ax?By?C?0
，则点
P
到直线
l
的距离
d?___________
.
思考：(1)在运用公式时，直线的方程必须化为什么形式

(2)当A＝0或B＝0时，公式仍然适用吗请你总结一下.
A＝0时，
d?___________
. B＝0时，
d?___________
.
试一试：点P(1,2)到直线x-y－3=0的距离是_________.
问题：已知直 线
l
1
:2
x?7y?8
?0与
l
2
:2
x?7y?2
?0
，它们是否平行若平行，它们之间的
距离是多少能得到一般 结论吗
提示：在
l
1
上任取一点P(即任意取一个x值，代入
l< br>1
方程求得对应y值从而得到点P)，计算
点P到
l
2
的距离 .


2.两条平行直线间的距离公式
两平行线
l
1< br>Ax?By?C
1
?0
，
l
2
:
Ax?By ?C
2
?0
的距离为
d?
C
1
?C
2王新敞
A?B
22

思考：(1)直线
l
1
:2
x?7y?8
?0与
l
2
:6
x?21y ?2
?0
是否平行若平行，用上述公式求出这
两条直线间的距离



(2)应用两平行直线的距离公式时应注意什么
①直线方程必须化为______ ___式；②两平行直线的方程
x,y
的系数对应__________.
二、合作探究
例1：已知点A（1,3）、B（3,1）、C（-1,0），求三角形ABC的面积.







A
D
B
C
例2:求与直线
l:5x?12y?6?0
平行且与直线
l
的距离为 3的直线
l'
的方程.





例3 :求经过点
P(1,2)
且使点
A(2,3)
与点
B(0,?5)< br>到它的距离相等的直线
l
的方程.





三、达标检测
1.求点
P(?5,7)
到直线
12x? 5y?3?0
的距离为_____________.
2.点（0，5）到直线y=2x的距离为_____________.
3.两条平行直线 3x+4y-2=0,3x+4y-12=0之间的距离为________________.
4. 已知点
P(2,3)
到经过原点的直线
l
的距离为2，则直线
l的方程是_________________．
5.垂直于直线x－3y＋1＝0且到原点的距 离等于5的直线方程是___________________.

6.已知点
?
a,2
?
(a?0)
到直线
l
1
:x?y?3 ?0
的距离为1,则
a
的值等于( )
A.
2
B.
2?2
C.
2?1
D.
2?1

7.点A（-3，-4）、B（6，3）到直线
l:ax?y? 1?0
的距离相等，求
a
的值.


四、学习小结
1.点到直线的距离公式.
2.求两条平行直线间的距离的方法
?
?
化归转化法：_____________________

?
直接应用公式法： _________________

本章小结与检测
一、知识网络
直线的倾斜角
直线的斜率
两条直线平行于垂直的判定
点斜式
直
线< br>与
方
程
斜截式
直线的方程
两点式
截距式
一般 式
直
线
方
程
之
间
的
转
化
两条直线的交点坐标
交点坐标和距离公式
两点间的距离
点到直线的距离
两条平 行线间的距离

二、达标检测
(一)选择题
1.下列直线中与直线x－2y＋1＝0平行的一条是( )．
－y＋1＝0 －4y＋2＝0 ＋4y＋1＝0 －4y＋1＝0
2.已知两点A(2，m)与点B(m，1)之间的距离等于
13
，则实数m＝( )．
A.－1 C.－1或4 D.－4或1
3.过点M(－2，a)和N(a，4)的直线的斜率为1，则实数a的值为( )．
或4 或2
4.直线
l
1
:2x?y?10?0
与直线l
2
:3x?4y?4?0
的交点是（ ）
A.（-4，2） B.（4，-2） C.（-2，4） D.（2，-4）
5.点P(0,1)到直线
3x?y?3?0
的距离是（ ）
D.
3

6.直线l：mx－m
2
y－1＝0经过点 P(2，1)，则倾斜角与直线l的倾斜角互为补角的一条直线
方程是( )．
―y―1＝0 ―y―3＝0 ＋y－3＝0 ＋2y－4＝0
7.若过点P（6，m）和Q（m，3）的直线与斜率为

1
的直线垂直，则m的值为（ ）
2

8.已知两条平行直线l
1
: 3x＋4y＋5＝0，l
2
: 6x＋by＋c＝0间的距离为3，则b＋c＝( )．
A.－12 D.－12或48
9.过点P(1，2)，且与原点距离最大的直线方程是( )．
＋2y－5＝0 ＋y－4＝0 ＋3y－7＝0 ＋y－5＝0
10.点M(4，m）关于点N（n, － 3）的对称点为P（6，-9）则（ ）
＝－3,n＝10
(二)填空题
11.若三点
A(3,1),B(?2, k),C(8,11)
在同一直线上，则
k
的值为____________. 12.直线
y?kx?3
过直线
2x?y?1?0
与
y?x?5
的交点， 则
k
=__________.
13.点P为 X轴上一点，P到直线
3x?4y?6?0
的距离为6，则点P 的坐标为_______.
14.两平行线3x－2y－15＝0与3x－2y＋11＝0的距离为________．[来源:
15.设直线
l
的斜率为
k
，且
?3?k?
(三) 解答题
16.求满足下列条件的直线
l
的方程
(1)直线
l是线段
AB
的垂直平分线，且点A、B的坐标分别是
(1,2)与(3,1).
(2) 直线
l
垂直于直线x+3y-5=0, 且与点P(-1,0)的距离是




17.已知两条直线
l
1
：x?my?6?0,l
2
：(m?2)x?3y?2m?0,
求
m
为何值时两条直线：
＝3,n＝10 ＝－3, n＝5 =3, n = 5
3
3
，则直线
l
的倾斜角
?
的取值范 围是_________.
3
10
.
5

(1)相交； (2)平行； (3)重合； (4)垂直.






18.已知平行四边 形的两条边所在的直线的方程分别是
x?y?1?0与3x?y?4?0
且它们
的对角 线交点是M（3,3），求这个平行四边形的其它两边所在的直线方程.

第四章 圆与方程
§圆的方程
§4.1.1圆的标准方程(1)
【学习目标】
1.能根据圆心、半径写出圆的标准方程.
2.利用圆的标准方程，会判断点与圆的位置关系.
【学习重点】
求圆的标准方程.
【学习难点】
根据不同的已知条件，判断点与圆的位置关系.
【学习过程】
一、自主学习(阅读课本第118-119页，完成自主学习)
1. 已知两点
A(2,?5),B(6,9)
,求它们之间的距离若已知
C(3,?8), D(x,y)
,求它们之间的距
离.



2.图中哪个点是定点哪个点是动点动点具有什么性质



3.具有什么性质的点的轨迹称为圆 圆心和半径分别确定了圆的_______和_______.



4.我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一 点和倾斜角,那么,在平面
内确定圆的条件是什么

< br>5.在平面直角坐标系中，若一个圆的圆心
C(a,b)
,半径为
r
( 其中
a,b,r
都是常数,
r?0
)，
圆的标准方程为_____ _____________________________.
6.当圆心在原点时,圆的标准方程是_________________ .
思 考：圆的标准方程
(x?a)?(y?b)?r
中,只要求出___、___、___,这时圆 的方程就被
确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中____是圆的定位条件,_____ 是圆的定形条
件.
二、合作探究
例1:写出圆心为
A(2,?3)
半径长等于
5
的圆的方程，判断
M
1
(5,?7),M
2
(?5,?1)
是否在这
个圆上.



例2: 圆的一条直径的两个端点分别是
A(2,0),B(2,?2)
，求圆的标准方程,并判断点< br>C(0,0),

222
D(2,?2)
与该圆的位置关系.



三、达标检测
1.写出下列各圆的标准方程.
(1) 圆心在原点，半径是
3
；

(2) 圆心在
C(3,4)
，半径是
5
；

(3) 经过点
P(5,1)
，圆心在点
C(8,?3)
；

2.写出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1)
(x?1)?y?6
(2)
(x?1)?(y?2)?9
(3)
(x?2)?(y?3)?3




222222< /p>

3.已知圆心在点
C(?3,?4),
且经过原点，求该圆的标准方程， 并判断点
P
1
(?,0),P
2
(1,?1),

P
3
(3,?4)
和圆的位置关系.

四、学习小结
1.圆的标准方程 .
2.求圆的标准方程的方法有：

§4.1.1圆的标准方程(2)
【学习目标】
会用待定系数法求圆的标准方程.
【学习重点】
掌握求圆的标准方程的思路方法.
【学习难点】
领会用数形结合求圆的标准方程的思想.
【学习过程】
一、自主学习(阅读课本第119-120页，完成自主学习)
1.圆的定义是什么


2.圆的标准方程是怎样的


3.点M(x
0
,y
0
)与圆(x-a)
2
+(y-b)
2
= r
2
的关系的判断方法：
(1)当点M(x
0
,y
0)在圆(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
上时,点M 的坐标_____方程(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
.
(2)当点M(x
0
,y
0
)不在圆(x-a)
2+(y-b)
2
=r
2
上时,点M的坐标______方程(x-a)< br>2
+(y-b)
2
=r
2
.
(3)用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为：
1°点到圆心的距离大于半径
?
点在圆外
?
_________________.
2°点到圆心的距离等 于半径
?
点在圆上
?
_________________.
3° 点到圆心的距离小于半径
?
点在圆内
?
_________________ .
二、合作探究
例1：
?ABC
的三个顶点的坐标分别是
A(5 ,1),B(2,?8),C(7,?3)
,求它的外接圆的方程.