高中数学必修二 空间几何体的体积

高中数学必修二

第20课时 空间几何体的体积

学习目标：1.了解柱、锥、台、球的体积计算公式；
2.会求一些简单几何体的体积；
学习重点：会求一些简单几何体的体积．
学习难点：柱、锥、台、球体积公式的推导，及公式间的关系．
一．建构数学
1．多面体的面积和体积公式
名称
棱
柱
棱柱
直棱柱
棱锥
正棱锥
棱台
棱
台
正棱台
侧面积(S
侧
)
直截面周长×l
全面积(S
全
) 体 积(V)
S
底
·h=S
直截面
·h
S
侧
+2S
底

S
底
·h
S
侧
+S
底

1
S
底
·h
3
1
h(S
3
上底
ch
各侧面积之和
棱
锥
1
ch′
2
各侧面面积之和
+S下底
1
S
侧
+S
上底
+S
下底

(c+c′)h′
2
+
S
下底
?S
下底
)
表中S表示面积 ，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱
长。
2．旋转体的面积和体积公式
名称 圆柱
2πrl
2πr(l+r)
πrh(即πrl)
22
圆锥
πrl
πr(l+r)
圆台
π(r
1
+r
2
)l
π(r
1< br>+r
2
)l+π(r
1
+r
2
)
22
球

4πR
2
S
侧

S
全

V
1
2
πrh
3
1< br>22
πh(r
1
+r
1
r
2
+r
2
)
3
4
3
πR
3
表中l、h分别表示母线、高 ，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r
1
、r
2
分别表示圆台
上、下底面半径，R表示半径。
二．合作探究
例1．一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为
15
，求这个三棱锥的体积。


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例2．如图所示，三棱锥D －ABC一条侧棱AD＝8cm，底面一边长BC＝18cm，其余四条
棱长都是17cm，求三棱锥D －ABC的体积．










【变题】三棱锥S－ABC中，一条棱长为a，其余棱长均为1，求a为何值时三 棱锥的体
积最大，并求最大值．




例3．已知四棱椎
P?ABCD
的底面是边长为6 的正方形，侧棱
PA?
底面
ABCD
，且
A
B
C
D
PA?8
，则该四棱椎的体积是 。




【点评】：求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式V?
常用方法为：割补法和等积变换法：
（1）割补法：求一个几何体的体积可以将这个 几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出
锥体和柱体的体积，从而得出几何体的体积；
（2）等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面。①求体积时，可选择容
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1
Sh
进行计算即可。
3

易计算的方式来计 算；②利用“等积性”可求“点到面的距离”。
例4．（1）棱台的两个底面面积分别是245c㎡和 80ｃ㎡，截得这个棱台的棱锥的高为35cm，
3
求这个棱台的体积。 （答案：2325cm）
（2）把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面
周长与高的比为 ．
（3）圆台的高是12，母线长为13，两底面半径之比为8：3，则圆台的体积为 ．
（4）一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.
若放入一个半径为r的实心铁球， 水面高度恰好升高r，
则












三、课堂练习：
在棱长为
a
的正方体
ABCD?A
1
BC
11
D
1
中 ,
R
= 。
r

E
是线段
AC
11
的中点,
AC
(1) 求证:
CE
?
BD
；
BD?F
.
(2) 求证:
CE
∥平面
A
1
BD
；
(3) 求三棱锥
D?A
1
BC
的体积.






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四、回顾小结：
五、课后训练
班级：高二（ ）班 姓名：____________
1．正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 ．
2．若一个六棱锥的侧棱为10cm，底面是边长为6cm的正六边形，则这个六棱锥的体
积 ．
3．圆台的高是12，母线长为13，两底面半径之比为8：3，则圆台的体积为 ．
4．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为
43
?
， 则该正方体的表
面积为 。










5．如图1,在直角梯形
ABCD中,
?ADC?90?
,
CDAB
,
AB?4,AD?CD?2
.将
D
?ADE
沿
AC
折起,使平面
ADE?
平面
ABC
,得到几何体
D?ABC
,如图2所示.(Ⅰ)
求证:
BC?
平面
ACD
；
C
(Ⅱ) 求几何体
D?ABC
的体积.








D

C

A
图2
A
图1
B
B




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6．如图，在四棱锥
P?ABCD
中，底面
ABCD
是正方形，侧面
PAD
是正三角形 ，且平
面
PAD?
底面
ABCD
.
P
（Ⅰ）求证:平面
PAB?
平面
PAD
；
（Ⅱ）求直线
PC
与底面
ABCD
所成角的正切值大小；
（Ⅲ）设
AB?1
,求点
D
到平面
PBC
的距离.













7．如图，已知
AB
⊥平面
ACD
，
DE
∥
AB
，
AD?AC?DE?2AB
=2，且
F
是
CD
的中
点．
AF?3

（1）求证：
AF
∥平面
BCE
；
（2）求证：平面
BCE
⊥平面
CDE
；
(3)求此多面体的体积.





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D
A B
E
B
A
C
F
D

8．如图，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，棱长为a，E为棱CC
1
上的的动点．
（1）求证：A
1
E⊥BD；
D
1< br>（2）当E恰为棱CC
1
的中点时，求证：平面A
1
BD⊥平面EBD ；
（3）求
V
A
1



















截面，且
AB?AD?a
，
BF?DH?b
．
（Ⅰ）证明：截面四边形
EFGH
是菱形；
（Ⅱ）求三棱锥
F?ABH
的体积．








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E
D
A
B
F
_
BDE
。
C1
B
1
A
1
E
C
D
A
B9．如图是以正方形
ABCD
为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体，四边形
EFGH
为
H
G
C

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