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数学必修二第二章经典测试题(含标准答案)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 17:32
tags:高中数学必修二视频

高中数学集合的基本运算视频教学视频教程-高中数学选修IA

2020年10月6日发(作者:魏容)


必修二第二章综合检测题
一、选择题
1.若直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是( )
A.相交 B.平行C.异面 D.平行或异面
2.平行六面体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,既与AB共面也与CC
1
共面
的棱的条数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.已知平面α和直线l,则α内至少有一条直线与l( )
A.平行 B.相交 C.垂直 D.异面
4.长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,异面直线AB,A
1
D
1
所成的角等< br>于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
5.对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面α,使得( )
A.a?α,b?αB.a?α,b

α
C.a⊥α,b⊥αD.a?α,b⊥α
6.下面四个命题:其中真命题的个数为( )
①若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面;
②若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交;
③若a

b,则a,b与c所成的角相等;
④若a⊥b,b⊥c,则a

c.
A.4 B.3 C.2 D.1
7.在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E,F分别是线段A
1
B
1
,B
1
C
1
上的不与端点重合的动点,如果A
1
E=B
1
F,有下 面四个结论:
①EF⊥AA
1
;②EF

AC;③EF与AC异面 ;④EF

平面ABCD.
其中一定正确的有( )
A.①② B.②③ C.②④ D.①④
8.设a,b为两条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面,下
列命题中为真命题的是( )
A.若a,b与α所成的角相等,则a

b
B.若a

α,b

β,α

β,则a

b
C.若a?α,b?β,a

b,则α

β
D.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b
9.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α ,A?l,直线AB

l,
直线AC⊥l,直线m

α,n

β,则下列四种位置关系中,不一定成
立的是( )
A.AB

m B.AC⊥mC.AB

β D.AC⊥β
1 11


10.已知正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E、F分别为BB
1
、CC
1

中点,那么直线AE与D
1
F所成角的余弦值为( )
4333
A.-
5
B .
5
C.
4
D.-
5

11.已知三棱锥D-AB C的三个侧面与底面全等,且AB=AC=
3,BC=2,则以BC为棱,以面BCD与面BCA为面的 二面角的余
弦值为( )
311
A.
3
B.
3
C.0 D.-
2

12.如图所示,点P在正方 形ABCD所在平面外,PA⊥平面ABCD,
PA=AB,则PB与AC所成的角是( )

A.90° B.60° C.45° D.30°
二、填空题
三、13.下列图形可用符号表示为________.

14.正方体ABCD- A
1
B
1
C
1
D
1
中,二面角C
1
-AB-C的平面角等
于________.
15.设平面α

平面β,A,C∈α,B,D∈β,直线AB与CD交
于点S,且点S位于平面α,β之间,AS=8, BS=6,CS=12,则SD
=________.
16.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有
如下四个结论:
①AC⊥BD;
②△ACD是等边三角形;
③AB与平面BCD成60°的角;
④AB与CD所成的角是60°.
其中正确结论的序号是________.

2 11


三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.如下图,在三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,△ ABC与△A
1
B
1
C
1

为正三角形且AA1
⊥面ABC,F、F
1
分别是AC,A
1
C
1
的中点.
求证:(1)平面AB
1
F
1

平面C
1
BF;
(2)平面AB
1
F
1
⊥平面ACC
1
A
1












18.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面A BCD,AB=
4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.

(1)证明:CD⊥平面PAE;
(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面AB CD所成的角
相等,求四棱锥P-ABCD的体积.



3 11


19.如图所示,边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形
ABC D所在的平面,BC=22,M为BC的中点.
(1)证明:AM⊥PM;
(2)求二面角P-AM-D的大小.










20.如图,棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的侧面BCC
1
B
1
是菱形, B
1
C⊥A
1
B.

(1)证明:平面AB
1
C⊥平面A
1
BC
1

(2)设D是A
1
C
1
上的点,且A
1
B

平面B
1
CD,求A
1
D






DC
1
的值.
4 11


2
21.如图,△ABC中,AC=BC=
2
AB,ABED是边长为1的 正方形,
平面ABED⊥底面ABC,若G,F分别是EC,BD的中点.
(1)求证:GF

底面ABC;
(2)求证:AC⊥平面EBC;
(3)求几何体ADEBC的体积V.












22.如下图所示,在直 三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,AC=3,BC=4,< br>AB=5,AA
1
=4,点D是AB的中点.
(1)求证:AC⊥BC
1
;(2)求证:AC
1

平面
CDB
1
;(3 )求异面直线AC
1
与B
1
C所成角的余弦值.




5 11




必修二第二章综合检测题
1D2CAB与CC
1
为异面直线,故棱中不存在同时与两 者平行的直
线,因此只有两类:

第一类与AB平行与CC
1
相交 的有:CD、C
1
D
1

与CC
1
平行且与AB相 交的有:BB
1
、AA
1

第二类与两者都相交的只有BC,故共有5条.
3C当直线l与平面α斜交时,在平面α内不 存在与l平行的直线,
∴A错;当l?α时,在α内不存在直线与l异面,∴D错;当l∥α
时 ,在α内不存在直线与l相交.无论哪种情形在平面α内都有无数
条直线与l垂直.
4D由于 AD

A
1
D
1
,则∠BAD是异面直线AB,A
1
D
1
所成的角,
很明显∠BAD=90°.
5B对于选项A,当 a与b是异面直线时,A错误;对于选项B,
若a,b不相交,则a与b平行或异面,都存在α,使a? α,b

α,B
正确;对于选项C,a⊥α,b⊥α,一定有a

b ,C错误;对于选项D,
a?α,b⊥α,一定有a⊥b,D错误.
6D异面、相交关系在空 间中不能传递,故①②错;根据等角定
理,可知③正确;对于④,在平面内,a

c, 而在空间中,a与c可
以平行,可以相交,也可以异面,故④错误.
7D如图所示.由于AA
1
⊥平面A
1
B
1
C
1
D
1,EF?平面A
1
B
1
C
1
D
1
,< br>则EF⊥AA
1
,所以①正确;当E,F分别是线段A
1
B
1
,B
1
C
1
的中点时,
EF

A
1
C
1
,又AC

A
1
C
1
,则 EF

AC,所以③不正确;当E,F分别
不是线段A
1
B
1
,B
1
C
1
的中点时,EF与AC异面,所以②不正确;由
于平面A
1
B
1
C
1
D
1

平 面ABCD,EF?平面A
1
B
1
C
1
D
1
,所以EF

平面
ABCD,所以④正确.

6 11


8D
选项A中,a,b还可能相交或异面,所以A是假命题;选项B
中,a,b还可能相交或异面,所以B是假命题;选项C中,α,β还
可能相交,所以C是假命题;选项 D中,由于a⊥α,α⊥β,则a

β
或a?β,则β内存在直线l

a,又b⊥β,则b⊥l,所以a⊥b.
9C
如图所示:

AB
l

m;AC⊥l,m

l?AC⊥m;AB
l?AB

β.
3
10、
5

11C取BC 中点E,连AE、DE,可证BC⊥AE,BC⊥DE,∴∠
AED为二面角A-BC-D的平面角
又AE=ED=2,AD=2,∴∠AED=90°,故选C.
12B将其还原成正方体AB CD-PQRS,显见PB

SC,△ACS为
正三角形,∴∠ACS=60°.
13α∩β=AB1445°
如图所示,正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,由于BC⊥AB,BC
1

AB,则∠C
1
BC是二面角C
1
-AB-C的平面角.又△BCC
1
是等腰直
角三角形,则∠C
1
BC=45°.

15、9
如下图所示,连接AC,BD,

7 11


则直线AB,CD确定一个平面ACBD.
∵α

β,∴AC

BD,
ASCS812
则< br>SB

SD
,∴
6

SD
,解得SD=9.
16①②④
如图所示,①取BD中点,E连接AE,CE,则BD⊥AE,BD⊥
C E,而AE∩CE=E,∴BD⊥平面AEC,AC?平面AEC,故AC⊥BD,
故①正确.


2
②设正方形的边长为a,则AE=CE=
2
a. < br>由①知∠AEC=90°是直二面角A-BD-C的平面角,且∠AEC
=90°,∴AC=a,
∴△ACD是等边三角形,故②正确.
③由题意及①知,AE⊥平面BCD,故∠ABE是A B与平面BCD
所成的角,而∠ABE=45°,所以③不正确.
④分别取BC,AC的中点为M,N,连接ME,NE,MN.
1111
则MN
AB,且MN=
2
AB=
2
a,ME

CD ,且ME=
2
CD=
2
a,
∴∠EMN是异面直线AB,CD所成的角.
2
在Rt△AEC中,AE=CE=
2
a,AC=a,
11
∴NE=
2
AC=
2
a.∴△MEN是正三角形,∴∠EMN=60°,故 ④正确.
17(1)在正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,
∵F、F
1
分别是AC、A
1
C
1
的中点,∴B< br>1
F
1

BF,AF
1

C
1F.
又∵B
1
F
1
∩AF
1
=F
1
,C
1
F∩BF=F∴平面AB
1
F
1

平面C
1
BF.
(2)在三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,AA
1
⊥平面A
1
B
1
C1
,∴B
1
F
1
⊥AA
1
.
又B< br>1
F
1
⊥A
1
C
1
,A
1
C
1
∩AA
1
=A
1
∴B
1
F
1
⊥平面ACC
1
A
1
,而B
1
F
1
?
平面AB
1
F
1
∴平面AB
1
F
1< br>⊥平面ACC
1
A
1
.
8 11


18

(1)如图所示,连接AC,由AB=4,BC=3,∠ABC=90°,得AC
=5.
又AD=5,E是CD的中点,所以CD⊥AE.
∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,所以PA⊥CD.
而PA,AE是平面PAE内的两条相交直线,所以CD⊥平面PAE.
(2)过点B作BG

CD,分别与AE,AD相交于F,G,连接PF.
由(1)CD⊥平面PAE知,BG⊥平面PAE.于是∠BPF为直线PB与
平面PAE所成的角,且 BG⊥AE.
由PA⊥平面ABCD知,∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的
角.
AB=4,AG=2,BG⊥AF,由题意,知∠PBA=∠BPF,
PABF
因为 sin∠PBA=
PB
,sin∠BPF=
PB
,所以PA=BF.
由∠DAB=∠ABC=90°知,AD

BC,又BG

CD,所以四边 形
BCDG是平行四边形,故GD=BC=3.于是AG=2.
在Rt△BAG中,AB=4,AG=2,BG⊥AF,所以
2
AB1685
BG=AB
2
+AG
2
=25,BF=
BG
==
5
.于是PA=BF=
25
85
5
.
1
又梯形A BCD的面积为S=
2
×(5+3)×4=16,所以四棱锥P-
ABCD的体积为
11851285
V=
3
×S×PA=
3
×16×
5

15
.
19[解读] (1)证明:如图所示,取CD的中点E,连接PE,EM,
EA,
∵△PCD为正三角形,
9 11


∴PE⊥CD,PE=PDsin∠PDE=2sin60°=3.
∵平面PCD⊥平面ABCD,
∴PE⊥平面ABCD,而AM?平面ABCD,∴PE⊥AM.
∵四边形ABCD是矩形,
∴△ADE,△ECM,△ABM均为直角三角形,由勾股定理可求
得EM=3,AM=6,A E=3∴EM
2
+AM
2
=AE
2
.∴AM⊥EM.
又PE∩EM=E,∴AM⊥平面PEM,∴AM⊥PM.
(2)解:由(1)可知EM⊥AM,PM⊥AM,
∴∠PME是二面角P-AM-D的平面角.
PE3
∴tan∠PME=
EM
==1,∴∠PME=45°.
3
∴二面角P-AM-D的大小为45°
20
(1)因为侧面BCC1
B
1
是菱形,所以B
1
C⊥BC
1
又已知B
1
C⊥A
1
B,且A
1
B∩BC
1< br>=B,
所以B
1
C⊥平面A
1
BC
1
,又 B
1
C?平面AB
1
C
所以平面AB
1
C⊥平面A
1
BC
1
.
(2)设BC
1
交B
1
C于点E,连接DE,则DE是平面A
1< br>BC
1
与平面
B
1
CD的交线.
因为A
1
B

平面B
1
CD,A
1
B?平面A
1
BC
1
,平面A
1
BC
1
∩平面B
1CD
=DE,所以A
1
B

DE.
又E是BC
1
的中点,所以D为A
1
C
1
的中点.即A
1
D DC
1
=1.
21[解] (1)证明:连接AE,如下图所示.

∵ADEB为正方形∴AE∩BD=F,且F是AE的中点,
又G是EC的中点∴GF

AC,又AC?平面ABC,GF?平面ABC,
∴GF

平面ABC.
(2)证明:∵ADEB为正方形,∴EB⊥AB,
10 11


又∵平面ABED⊥平面ABC,平面ABED∩平面ABC= AB,EB
?平面ABED,
∴BE⊥平面ABC,∴BE⊥AC.
2
又 ∵AC=BC=
2
AB,∴CA
2
+CB
2
=AB
2
,∴AC⊥BC.
又∵BC∩BE=B,∴AC⊥平面BCE.
22
( 3)取AB的中点H,连GH,∵BC=AC=
2
AB=
2

1
∴CH⊥AB,且CH=
2
,又平面ABED⊥平面ABC
11 1
∴GH⊥平面ABCD,∴V=
3
×1×
2

6
.
22[解读] (1)证明:在直三棱柱ABC-A
1
B
1
C< br>1
中,底面三边长
AC=3,BC=4,AB=5,∴AC⊥BC.
又∵C
1
C⊥AC.∴AC⊥平面BCC
1
B
1
∵BC
1
?平面BCC
1
B,∴AC⊥BC
1
.
(2)证明:设CB
1
与C
1
B的交点为E,连接DE,又四边形B CC
1
B
1
为正方形.
∵D是AB的中点,E是BC
1< br>的中点,∴DE

AC
1
.
∵DE?平面CDB
1
,AC
1
?平面CDB
1

∴AC
1

平面CDB
1
.
(3)解:∵DE

AC
1

∴∠CED为AC
1
与B
1
C所成的角.
15
在 △CED中,ED=
2
AC
1

2

151CD=
2
AB=
2
,CE=
2
CB
1
=22,
222
∴cos∠CED=
5

5
.
2
22
∴异面直线AC
1
与B
1
C所成角的余弦值为
5
.

11 11

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