高中数学必修二第二章同步练习

1.1.1 柱、锥、台、球的的结构特征
练习一
一、 选择题
1、 下列命题中，正确命题的个数是（ ）
（1）桌面是平面；（2）一个平面长2米， 宽3米；（3）用平行四边形表示平面，只能画出平面的一部
分；（4）空间图形是由空间的点、线、面 所构成。
A 、 1 B、 2
C、 3 D、 4

2、下列说法正确的是（ ）
A、 水平放置的平面是大小确定的平行四边形
B、 平面ABCD就是四边形ABCD的四条边围来的部分
C、 100个平面重叠在一起比10个平面重叠在一起厚
D、 平面是光滑的，向四周无限延展的面

3、下列说法中表示平面的是（ ）
A、 水面 B、 屏面
C、 版面 D、 铅垂面

4、 下列说法中正确的是（ ）
A、 棱柱的面中，至少有两个面互相平行
B、 棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C、 棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高
D、 棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形

5、长方体的 三条棱长分别是AA

=1，AB=2，AD=4，则从A点出发，沿长方体的表面到C

的最短距离是（
A、 5 B、 7
C、
29
D、
37


6、若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ ）
A、 三棱锥 B、 四棱锥
C、 五棱锥 D、 六棱锥]

）

7、过球面上两点可能作出球的大圆（ ）
A、 0个或1个 B、 有且仅有1个
C、 无数个 D、 一个或无数个


8、一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为（ ）
A、 10 B、 20
C、 40 D、 15


二、填空题
9、用一个平面去截一个正方体，截面边数最多是
---------- ------
条。

10、正三棱台的上、下底面边长及高分别为1、2、2，则它 的斜高是
------------
。

11、一个圆柱的轴截面面积为 Q，则它的侧面面积是
----------------
。

12、若 圆锥的侧面面积是其底面面积的2倍，则这个圆锥的母线与底面所成的角为
------------- ---
，圆锥的侧面
展开图扇形的圆心角为
----------------
。

13、在赤道上，东经140与西经130的海面上有两点A、B，则A、B两点的球 面距离是多少海里
---------------
。
（1海里是球心角1所对大圆的 弧长）。

三、解答题
14、一个正三棱柱的底面边长是4，高是6，过下底面的一条棱和该棱所对的上底面的顶 点作截面，求这
截面的面积。





15、圆锥底面半径是6，轴截面顶角是直角，过两条母线的截面截去底面圆周的


00
1
，求截面面积。
6

答案：
一、选择题
1、B； 2、D； 3、D； 4、A；5、A；6、D；7、D；8、B
二、填空题
9、6
10、
73

6
00
11、Q
12、60，180
13、5400
三、解答题
14、解：如图，正三 棱柱ABC—ABC，符合题意的截面为ABC，在R
t
ABB中，AB=4，BB=6
∴AB=
=2
13

在等腰ABC中，BO=
AOBC，∴ AO=
=




A

B
2
?BB
2
=
4
2
?6
2

1
?4
=2
2
A

B
2
?BO
2

?
213
?

2
?2
2
=4
3

∴S
ABC
=
11

BC·AO=·4·4
3
=8
3

22
∴这截面的面积为8
3

15、解：由题意知：SA=SB=SC=6
2
，
∠BOC=
2
?
?
=，∴OB=OC=BC=6。
6
3

∴SD=
72?9
=3
7
< br>∴S
SCB
=
1
·6·3
7
=9
7

2
解题提示： 通过解三角形可使问题自然获解。


1.1.2 简单组合体的结构特征
练习一
一、 选择题
1、平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念。
其中正确命题的个数是（ ）
A、 1个 B、 2个 C、 3个 D、 4个

2、在空间中，下列说法中正确的是（ ）
A、 一个点运动形成直线
B、 直线平行移动形成平面或曲面
C、 直线绕定点运动形成锥面
D、 矩形上各点沿同一方向移动形成长方体


3、在四面体中，平行于一组相对棱，并平分其余各棱的截面的形状是（ ）
A、 等边三角形 B、 等腰梯形
C、 长方体 D 、 正方形

4、在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）
A、 1个 B、 2个
C、 3个 D、 4个

5、设有三个命题：
甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体
乙：底面是矩形的平行六面体是长方体
丙：直四棱柱是直平行六面体
以上命题中，真命题的个数是（ ）
A、 0个 B、 1个

C、 2个 D、 3个

6、边长为5c m的长方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是（ ）
A、 10cm B、 5
2
cm
C、 5
?
?1
cm D、

7、半径为5的球，截得一条直线的线段长为8，则球心到直线的距离是（ ）
A、
29
B、 2
C、 2
2
D、 3


二、填空题
8、、空间中构成几何体的基本元素是
------------
、
--------------
、
----- ----------------
。

9、、用六根长度相等的火柴，最多搭成< br>----------------
个正三角形。

10、下列关于四棱柱的四个命题：
① 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；② 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，
则该四棱柱为直四棱柱；③ 若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④ 若四棱柱的四条对角
线两两相等，则该四棱柱为直四 棱柱。其中真命题的序号是
----------------
。
11、能否不通过 拉伸把球面切割为平面图形
-----------------
（填能、否）

三、解答题
12、圆锥的底面半径为r，母线长是底面半径的3倍，在底在圆周上有一点A， 求一个动点P自A出发在
侧面上绕一周到A点的最短距离。




13、已知棱棱锥的底面积是150cm，平行于底面的一个截面面积是54cm，截得棱台的高为12 cm，求棱锥
的高。


22
5
?
2
?4
cm
2

14、如图，侧棱长为2
3
的正三棱锥V—ABC中， AVB=BVC=CVA
=40，过A作截面AEF，求截面三角形AEF周长的最小值。








15、从北京（靠近北纬40，东经120，以 下经纬度均取近似值）飞往南非首都约翰内斯堡（南纬30，东
经30）有两条航空线可选择：
甲航空线：从北京沿纬度弧向西飞到土耳其首都安卡拉（北纬40，东经30），然后向南飞到目的地；
乙航空线：从北京向南飞到澳大利亚的珀斯（南纬30，东经120），然后向西飞到目的地。
请问：哪一条航空线最短？（地球视为半径R=6370km的球）

00
0 0
0
000
0
（提示：把北京、约翰内斯堡、安卡拉、珀斯分别看作球面上的 A、B、C、D四点，则甲航程为A、C
?
之和，乙航程是A、D两地间的球面距离
?
AC
与C、B两地间的球面距离
BC
AD
加上两地间的纬度长
?
D、B两地间的纬度线长。）







答案：
一、选择题
1、A；2、B；3、D；4、D；5、B；6、C；7、D
二、填空题

8、点、线、面。
9、4
10、②④
11、不能

三、解答题
12、解：如图，
扇形SAA
1
为圆锥的 侧面展开图，AA
1
即为所求的最短路程。已
0
ASA
1
= 120，在等腰三角形SAA
1
中可求得：AA
1
=3
3
r 。
知SA=SA
1
=3r，

13、导析：本题主要考查平行于 底面的截面的性质，即棱锥被平行于底面的平面所截，该截面面积与底面
面积之比等于截得小锥的高与原 锥的高的比的平方。
解：不妨高是三棱锥。设棱锥的高为h，
?
h?12
?
54
∵
??
=
150

?
h
?
∴ h=30(cm)

2

14、解：将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面 展开平铺在一个平面上，如图。线段AA
1
的长为所求三角形
AEF周长的最小值，取 AA
1
的中点D，则VDAA
1
， AVD=60，可求AD=3，则AA
1
=6。
15、解：设球心为O，O
1
、O
2
分别是北纬40圆与南纬30圆的圆心，则
∠AO
1
C=∠DO
2
B=120-30=90
000< br>00
0
AC
=从而
?
??
0
·O
1
C=Rcos40，
22
?
=
?
·O
2
B=
?
Rcos30
0
=
3
?
R，
BD
4
22
?
?
=R·∠COB=R（40+30）
CB
·
180
=
7
R，
18
?
?
AD
= R·∠AOD=R（40+30）·
180
=
7
R
18
?

AC
+
CB
故甲航程为s
1
=
?

=
7?
0
R cos40+R，
18
2
?
+
?
AD
= 故乙航程为s
2
=
BD
3
7
?
R+R
4
18
由cos40＜cos30，知s
1
＜s
2
，所以甲航 空线较短。

00
1.2.1 空间几何体的三视图
练习一
一、 选择题
1、关于三视图，判断正确的是（ ）
A、 物体的三视图唯一确定物体
B、 物体唯一确定它的三视图
C、 俯视图和左视图的宽相等
D、 商品房广告使用的三视图的主视图一定是正面的投影

2、 下列说法正确的是（ ）
A、 作图时，虚线通常表达的是不可见轮廓线
B、 视图中，主视图反映的是物体的长和高，左视图反映的是长和宽，而俯视图反映的是高和宽
C、 在三视图中，仅有点的两个面上的投影，不能确定点的空间位置
D、 用2：1的比例绘图时，这是缩小的比例

3、一个几何体由几个相同的小正方体组合而成， 它的主视图、左视图、俯视图如图所示，则这个组合体
包含的小正方体的个数是（ ）




A、 7 B、 6
C、 4 D、 5

4、一个物体的三视图如图所示，则该物体形状的名称为（ ）

A、 三棱柱 B、 四棱柱
C、 圆柱 D、 圆锥

二、填空题
5、对于一个几何体的三视图要证主视图与左视图一样 ________,主视图和俯视图一样________,俯视图和
左视图一样________.

6、对于正投影，垂直于投射面的直线或线段的正投影是
------------ ---------
。

7、一个几何体的三视图是全等的平面图形，这样的几何体 可能是
------------
。（写出符合的一种几何体即可）

8、 如果一个几何体的视图之一是三角形，那么这个几何体可能是
--------------
。 （写出两个几何体即可）。

三、做图
9、画出下面几何体的三视图。



10、据下面三视图，想象物体的原形。






11、画出下面几何体的三视图。






12、画出下面几何体的三视图

13、画出下面几何体的三视图









14、已知某几何体的主视图，左视图和俯视图，求作此几何体。




主视图 左视图


15、已知某几何体，求作此几何体的主视图，左视图和俯视图。





答案：
一、选择题
1、C；2、A；3、C；4、B
二、填空题
5、高 长 宽
俯视图

6、点
7、球或正方体
8、三棱锥；圆锥
三、做图
9、 解：





1 0、解：由几何体的三视图知道：本题图的几何体是一个简单组合体，上部是个圆柱，下部是个正四棱柱。
且圆柱的下底面圆和正四棱柱的上底面正方形内切。

11、解：


评述：本题主要考查三视图的画法。


12、解：三视图如下








13、解：
如图



主视图 左视图 俯视图

14、解：
如图





15、







主视图 左视图 俯视图



1.2.1 空间几何体的三视图
练习二
一、 选择题
1、若一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则这个几何体可能是（ ）
A、 圆柱 B、 三棱柱
C、 圆锥 D、 球体

2、若一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则这个几何体可能是（ ）
A、 圆柱 B、 三棱柱
C、 圆锥 D、 球体

3、甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一个四边形桌子旁边，桌上一张纸上写着数字“9” ，甲说他看到
的是“6”，乙说他看到的是“ ”，丙说他看到的是“ ”，丁说他看到的是“9”，则下列说
法正确的是( )

A、甲在丁的对面，乙在甲的左边，丙在丁的右边
B、丙在乙的对面，丙的左边是甲，右边是乙
C、甲在乙的对面，甲的右边是丙，左边是丁
D、甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边

二、填空题
4、一个 几何体的三视图是全等的平面图形，这样的几何体可能是
------------------
。（写出符合的一种几何体即
可）。

5、对于一个几何体的三视图要保证主视图 和左视图一样
---------------
，主视图和俯视图一样
------- --------
，俯视图
和左视图一样
-------------------< br>。

6、对于正投影，垂直于投射面的直线或线段的正投影是
------- --------------
。

三、做图
7、画出下图所示几何体的三视图。





8、如图
体图形的视图。




9、如图是由 几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上的小正方块的个数，
请画出这个几 何体的主视图、左视图。



四、判断题
10、两条平行的直线的水平放置直观图仍然是相等线段。（ ）
是一些立体图形的视图， 但是观察的方向不同，试说明下列图是哪一种立

11、两条长度相等的线段水平放置的直 观图仍是相等线段。（ ）
12、正视图、侧视图、俯视图相同的几何体只有球。（ ）

五、解答题
13、下图(1)、（2）、（3）中哪一幅是主视图？







14、已知某几何体，求做其主视图，左视图，俯视图




15、已知某几何体，求做其主视图，左视图，俯视图











答案：
一、选择题
1、C；2、C；3、D
二、填空题
4、球或正方体。

5、高；长；宽。
6、点
三、做图
7、解：上图为一个圆锥与一个圆台的组合体按圆锥、圆台的三视图画出它们的组合形状。三视图如下









解题提示：三视图的训练有助于我们空间想象力的培养和 今后应用数学知识解决工程建设、机械制造
及日常生活中的问题。
8、解：从柱、锥、台、球和三视图各方面全面考虑。
（1） 可能为球、圆柱。如图。

（2）可能为棱锥、圆锥、棱柱。如图。
（3）可能为四棱锥，如下图。







解题提示：由示图到立 体图是培养我们立体感的又一种方法，它又是工人
操作的过程，在作题时，要认真想象立体图的样子，再 仔细分析三视图。

9、解：

四、
10、对
11、错
12、错


五、解答题
13、（2）
14、




主视图 左视图 俯视图


15、


主视图 左视图 俯视图


1.2.2 空间几何体的直观图
练习一
一、 选择题
1、水平放置的
?ABC
有一边在水平线上 ，他的直观图是正
?A
1
B
1
C
1
，则
? ABC
是（
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、任意三角形

）

2、已知一个正方形的直观图是一个 平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（ ）
A、 16 B、 64
C、 16或64 D、 都不对

3、已知正方形ABCD的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）
A、6cm B、8cm C、
(2?32)cm
D、
(2?23)cm


4、一个三角形斜二测画法画出来是一个正三角形，边长为2，则此三角形的面积是（ ）
A、 2
6
B、 4
6

C、
3
D、 都不对

5、用斜二测画法做出一个三角形的直观图，其直观图的面积是原三角形面积的（ ）
A、

6、已知ABC的平面直观图
?A

B

C

是的边长为a的正三角形，那么原ABC的面积为（ ）
A、

二、填空题
7、斜二测画法画圆，得到直观图的形状是
------------- ------
。

8、根据斜二测画法的规则画直观图时，把ox，oy，oz轴画成对应的ox，oy，oz，使∠xo y=
-----------------
，
∠xo z=
-----------------
。

9、用斜二测画法作直观图 时，原图中平行且相等的线段，在直观图中对应的两条线段____________。
10、用斜二测画法画各边长为2cm的正三角形的直观图的面积为___________.

11、如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为
45
，腰和底 均为1的等腰梯形，那么原平面
图形的面积是（ ）

三、解答题
12、画出一个正三棱台的直观图（尺寸为上、下底面边长为1cm、2cm、高2cm）。
0


22
1
B、2 C、 D、
24
2
3
2
3
2
6
2
a
B、
a
C、
a
D、
6a
2

242

13、画正五边形的直观图。




14、如图为一个平面图形的直观图，请画出它的实际形状。



15、画出一个正三棱台的直观图（尺寸为上、下底面边长为1cm、2cm、高2cm）。







答案：
一、选择题
1、C；2、C；3、B；4、C；5、B；6、C
二、填空题
7、椭圆
8、45（或135），90
9、平行且相等
10、
000
6
2
cm

4
11、
2?2

三、解答题

12、解：略
提示：正确利用斜二测画法作出空间图形时要注意画法的法则。
13、解：（1）建立如图（ 1）所示的直角坐标系xoy，再建立如图（2）所示的坐标系xoy，使∠xoy=45；
（2）在 图（1）中作BGx轴于G，EHx轴于H，在坐标系xoy中作OH=OH，OG=OG，OA=
CD x轴且CD=CD。
（3）在平面xoy中，过G作GB=




0
1

OF，过F作
2
1

1

BG ，过H作HEy轴，且HE=HE，连结AB、BC、DE、EA得
22
五边形ABCDE，则 其为正五边形ABCDE的平面直观图。







14、解：在图中建立如图所示的坐标系xAy，再建立一个直角坐标系，如图所示。
在x轴上截取线段AB=AB，在y轴上截取线段AD，使AD=2AD。
过B作BCAD， 过D作DCAB，使BC与DC交于点C，则四边形ABCD即为ABCD
的实际图形。
15、解：（略）
正确利用斜二测画法作出空间图形时要注意画法规则。





1.2.2 空间几何体的直观图
练习二
一、 选择题

1、 已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图
?ABC
的面积为（ ） A、
3
2
3
2
6
2
6
2
a< br> B、
a
C、
a
D、
a

48816

2、水平放置的ABC有一边在水平线上，它的 直观图是正ABC，则ABC是（ ）
A、 锐角三角形 B、 直角三角形
C、 钝角三角形 D、 任意三角形

3、如图的正方形OABC的 边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）

A、 6cm B、 8cm
C、 （2+3
2
）cm
D 、 （2+2
3
）cm

4、已知ABC的平面直观图是边长为a的正三角形，那么原ABC的
A、
面积是（ ）
3
2
3
2
a B、 a
24
C、

6
22
a D、
6
a
2
5、下列说法中正确的是（ ）
A、 互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线
B、 梯形的直观图可能是平行四边形
C、 矩形的直观图可能是梯形
D、 正方形的直观图可能是平行四边形

6、在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段（ ）
A、 平行且相等 B、 平行不相等
C、 相等不平行
D、 既不平行也不相等

7、若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图的面积是原三角形面积的（ ）倍
A、
1
B、 2
2
2
D、
2

2

C、

8、水平放置ABC，有一边在水平线上，它的斜二测画法直观图是正三角形ABC，则ABC是（ ）
A、 锐角三角形 B、 直角三角形
C、 钝角三角形 D、 任意三角形

二、填空题
9、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角 为45，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个原平
面图形的面积是
------------- ------
。
0

10、用斜二测画法画各边长为2cm 的正三角形的直观图的面积为
------------------
。

11、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为
45
0
，腰和上底为1的 等腰梯形，则这个原平
面图形的面积是____________________________.

12、关于直角AOB在定平面内的正投影有如下判断：① 可能是0角；② 可能是锐角；③ 可能是直角；
④ 可能是钝角；⑤ 可能是180的角。其中正确判断的序号是
----------------
。


三、解答题
13、画出正方形的中心投影图。





14、画出一个锐角为45的平行四边形的直观图。





15已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图ABC的面积。








答案：
一、选择题
0
0
0

1、D；2、C；3、B；4、C；5、D；6、 A；7、A；8、C
二、填空题
9、2+
2

10、
6
4
cm
2

11、
2?2

12、①②③④⑤

三、解答题
13、解：如图所示为正方形的中心投影图。

解题提示：中心投影法的线一定要交于一点，以表示点光源，如本题中的点O。
14、解：略

15、解：如图（1）、（2）所示的实际图形和直观图，由（2）知，A

B

=AB=a，O

C

=
1
2
OC =
3

2

6
1
4
a，在图（2）中作CD⊥ AB于D

，则C

D

=
2
OC=
8
a，∴
S
?A

B

C
< br>=
2
A

B

·C

D

=
1
2
·a·
6
8
a
=
6
2
16
a。
解题提示：本例是求直观图的面积，因此 应在直观图中求解，需求直观图的底
和高，然后利用三角形的面积求解。



1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
练习一
一、 选择题
1、将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（ ）
A、 6 a
2
B、 12 a
2

C、 18 a
2
D、 24 a
2

2、侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则该三棱锥的全面积是（ ）
A、
3?3
2
3
a B、 a
2

4
4
3?3
2
6?3
2
a D、 a
24
C、

3、棱锥的高为16，底面积为512，平行于底面的截面积为50，则截面与底面之间的距离为( )
A、 25 B、 11
C、 10 D、 5

4、已知一个直平行六面体的底面是面积等于Q的菱形，两个对角面面积 分别是M和N，则这个平行六面体
的体积是（ ）
A、
1
2
MNQ
B、
MNQ

1
2
C、
2MNQ
D、

2MNQ

5、正四棱锥的底面面积为Q，侧面积为S，则它的体积为（ ）
A、
11
Q
S
B、
32
1
2
Q
?
S
2
?Q
2
?

Q
?
S
2
?Q
2
?
C、

S
?
S
2
?Q
2
?
D、
1
6
6、正棱锥的高和底面边长都缩小原来的
1
，则它的体 积是原来的（ ）
2
A、
11
B、
48
1
1
D、
16
32
C、

7、直三棱柱ABC——A
1
B
1
C
1
的体积为V，已知点P、Q分别为AA
1
、CC< br>1
上的点，而且满足AP=C
1
Q，则四棱锥
B—APQC的体积是（ ）
A、
11
V B、 V
23
12
V D、 V
43
C、

二、填空题
8、已知正六棱台的上、下底面边长分别是2和4，高是2，则这个棱台的侧面积是_____ 。

9、底面边长分别为a,b的一个直平行六面体的侧面积是(a+b)c，则它的高为
---------------------
。

10、正六棱柱的高为5cm，最长的对角线
为13cm，它的全面积为
-----------------
。

11、三棱锥的五条棱长都是5，另一条棱长是6，则它的体积是
-------------
。

三、解答题
12、右图中的图形是一个正方体，H、F、G分别是棱AB、AD、AA
1

的中点。现在沿三角形GFH所在平面锯掉一个角，问锯掉的
这块的体积是原正方体体积的几分之几？




13、直平行六 面体的底面是菱形,两个对角面面积分别为
Q
1
,Q
2
,求直平行六 面体的侧面积




14、如图，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内
放一个半径为r 的铁球，并向容器内注水，使水面恰在此时好
与铁球相切，将球取出后，容器内的水深是多少？

15、如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，P D=a，PA=PC=
2
a，且PD是四棱锥的高。
（1）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径。
（2）求四棱锥外接球的半径。







答案：
一、选择题
1、B；2、A；3、B；4、D；5、D；6、B；7、B
二、填空题
8、18
7

9、
c

2
2
10、
3633?5cm

??
11、
5
39

2
3
三、解答题 < br>12、解：设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a，锯掉的这个角是以三角形AGF为底面、H为顶点 的
一个三棱锥。其体积为V=
111111
1
3
S
AFG< br>·AH= ··a·a·a =a，
332222
48
1
。
48
∴所锯掉的这个角的体积是原正方体体积的

13、解：设底面边长为a,侧棱长为l,两条面对角线的长分别为c,d,则
?
cl?Q
1
...........(1)
?
?

dl?Q
2
...........(2)
?
?
1
2
1
2
(c)?(d)?a
2
.........(3)
?
2
?
2
由(1)得
c?
Q
1
Q
,由(2)得
d?
2
代入(3)得
l
l

(
Q
1
2
Q< br>2
2
)?()?a
2

2l2l
222 2
∴
Q
1
?Q
2
?4la

2la?Q
1
?Q
2

S
侧
?4al?2Q
1
?Q
2

思维启示 ：(1)此题需要大胆假设,为列方程方便,可以将对角线设出,但设而不解。(2)需大胆消元,整体代
入,三个方程四个未知数,不能将其一一解出,这里需要将a与l的乘积看做一个整体进行计算。
1 4、解：如图，由题意，轴截面PAB为正三角形，故当球在容器内时，水深为3r，水面半径为
3r，容
器内水的体积就是V=V
棱锥
-V
球
=
?（
3
r）·3r-
?
r=
?
r
233
2222
1
3
4
3
5
3
将球取出后，设容器中水 的深度为h，则水面半径为
33

1
2
h，此时容器内水的体积为V=
?
（h）·h=
33
3
1
3
h
9
由V=V，得h=
3
15r
。即铁球取出后水深为
3
15r
。


15、证明：（1）设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设 球心为S，连结SA、SB、SC、SD、
SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R。 < br>V
P——ABCD
=
11
·S
ABCD
·PD=·a ·a·a
33
=
1
3
11
2
a，S
PA D
= S
PDC
=·a·a=a，
322
2
2
1
·a·
2
a=a
2
2
S
PAB
= S
PBC
=
S
ABCD
=a。
2
V
P—ABCD
= V
S—PDA
+ V
S——PDC
+ V
S-ABCD
+ V
S—PAB
+ V
S—PBC
，
1
3
1
a=R（S
PAD
+ S
PDC
+ S
PAB
+ S
PBC
+ S
ABCD
），
33
1
3
11
2
1
2
2
2
a=R（a +a+a+
2
3322
2
22
a+a），
2
1
2
1
3
R（2+
2
）a=a， 33

∴R=
a
2?2
=
2?22
2a=（1-
2
）a
∴球的最大半径为（1-
2
2
）a
（2）设PB的中点为F，
∵ 在R
t
PDB中，FP=FB=FD，
在R
t
PAB中，FA=FP=FB，
在R
t
PBC中，FP=FB=FC，
∴FP=FB=FA=FC=FD。
∴F为四棱锥外接球的球心。
则FP为外接球的半径
∵FB=
1
3
2
PB，∴FB=
2
a。
∴四棱锥的外接球的半径为
3
2
a。



1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
练习二
一、 选择题
1 、底面是菱形的直棱柱，它的对角线的长分别9和15，高是15，则这个棱柱的侧面积是（
A、 130 B、 140
C、 150 D、 160

2、正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，棱台的高为
33
6
a
，则正三棱台的侧面积为（
A 、a
2
B、
1
2
a
2

C、
9
2
a
2
D、
3
2
a
2


3、正四棱锥底面外接圆半径为10cm，斜高为12cm，下面数据正确的是（ ）
A、高
h?211cm
B、 侧棱长 l=12cm
C、 侧面积
s?602cm
2

）
）

D、 对角面面积
s?1094cm


4、已知正面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体E FGH的表面积为T，
则
2
T
=（ ）
S
A、
C、
14
B、
99
11
D、
43

5、若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是（ ）
A、
C、

6、一个正四棱台两底面边长分别为m,n，侧面积等于两个底面积之和，则这个棱台的高为（ ）
A、
C、

7、正六棱台的两底面的边长分别为a和2a，高为a，则它的体积是（ ）
A、
3
B、
2

3

2
2
3
D、
mnmn
B、
m?nm?n
m?nm?n
D、
mnmn
2121
3
33
3
a
B、
a

22
73
3
a

2
C、 7
3
a
3
D、


二、填空题
8、一个长方体的长、宽、高之比是1：2：3，全面积为88cm< br>2
，则它的体积是
---------------
。


9、正六棱锥的底面边长为a，高为

3
a
，求这个正六棱锥的全 面积和侧棱长
-----------------------------------
。
2

10、一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为
15，那么这个三棱锥的体积是
-----------------
。


三、解答题
11、设正三棱锥S--- ABC的侧面积是底面积的2倍,正三棱锥的高为SO=3 .求此正三棱锥的全面积.







12、如图所示，三棱锥的顶点为P，PA、PB、PC为三条侧棱，且 PA、
PB、PC两两互相垂直，又PA=2，PB=3，PC=4，求三棱锥P—
ABC的体积为V。






13、已知三 棱台ABC—A
1
B
1
C
1
中，AB：A
1
B
1
=1：2，则三棱锥A
1
—ABC，B—A
1
B1
C，C—A
1
B
1
C
1
的体积之比是
多大。








1 4、斜三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
的底面ABC为正三角 形，AB=a，AA
1
=A
1
B=A
1
C=2a，求这个三棱柱的体积。

15、在正四棱台A BCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中,A
1
B
1
=a,AB=b(a>b) ，设
O
1
为底面A< br>1
B
1
C
1
D
1
的中心,且棱台的侧面积等 于
四棱锥O
1
--ABCD的侧面积,求棱台的高,并讨论此题是否总有解？







答案：
一、选择题
1、D；2、C；3、D；4、A；5、A；6、B；7、D
二、填空题
8、48 cm
3

9、S
93
全< br>=
2
a
2
，侧棱长l=
13
2
a

10、9
三、解答题
11、解：设正三棱锥的底面边长为a,斜高为
h
?

过O作OEAB ,SEAB,则SE=
h
?

S
侧
=2
S
底

∴
1< br>2
.3a.h
?
?
3
2
4
a.2
∴
a?3h
?

SOOE ∴
SO
2
?OE
2
?SE
2
∴
3
2
?(
3
6
?3h
?
)
2
?h< br>?
2

∴
h
?
=
23
a=
3h
?
=6
∴
S
底
=
3
4
a
2
=
3
4
?6
2
=
93

S
侧
=2
S
底
=18
3

S全
=
S
侧
+
S
底
=9
3
+1 8
3
=27
3

思维启示：将基本量转化到正三棱锥的三个直角三角形中去求解

12、 解：V=
1111
sh=S
PAC
·PB=··2·3·4=4
3 332
思维启示：三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当作底面来处理，这种方法叫做体积转移法（ 或称等
积法）。

13、解：设棱台的高为h
1
，S
AB C
=S，则
S
?A
1
B
1
C
1
= 4S，
∵
V
A
1
——ABC
=
11
S
ABC
·h=S h
33
S
?A
1
B
1
C
1
·h=
V
C——A
1
B
1
C
1
=
又V
台
=
1
3
4
S h
3
17
h（S+4S+2S）= S h
33
∴
V
B——A
1
B
1
C
= V
台
-
V
A
1
——ABC
-
V
C ——A
1
B
1
C
1
=
7412
S h- S h-S h= S h
3333
∴ 体积比为1：2：4


14、解：如图，由AA
1
=A
1
B=A
1
C=2 a，可以证明A
1
在平面ABC上的射影O为正ABC的中心。
在ABC中，AO=
3
22
AD=·AB
2
33
=
3
a。
3
在R
t
A< br>1
OA，A
1
O=
=
(2a)
2
?(
AA
1
2
?AO
2

33
3
2
a，
a)
=
3
3
S< br>ABC
=
3
2
3
2
33
a，V
棱柱
=a·a
443
=

11
3
a。
4
15、解：过高OO
1
和AD的中点E作棱锥和棱台的截面,得棱台的斜高 EE
1
和棱锥的斜高EO
1
,设OO
1
=h,则 S

1
棱锥侧
=
2
?4b?EO
1
=2b·E O
1

S
1
棱台侧
=
2
(4a?4b)E E
1
1
?
2
(a?
1
)?2(a?b).EE1

依题意得S
b
棱锥侧
=S
棱台侧
且OE=
2
，O
1
E
1
=
a
2
得2b·EO
1
=2(a+b)EE
1

EE
1
2
=h
2
+
(
a?b
2
)
2
, E O
1
2
=h
2
+
(
b
2
)
2

将其代入上式得
2
b
2
(h
2
+
b
4
)=(a+b)
2
?
?
?
h
2
?(
a?b
2
)
2
?
?
?

解此关于h的方程有：
h=
1a(2b
2
?a
2
)
2a?2b
，当且仅当2b
2
>a
2
,即
2b?a
时,才有解。