高数必修二知识点总结

高中数学必修2

第一章

立体几何初步
'< br>h
特殊几何体表面积公式（
c
为底面周长，
h
为高，为斜高，
l
为母线）

S
直棱柱侧面积
?ch

1
S
正棱锥侧面积
?ch'

2
1
S< br>正棱台侧面积
?(c
1
?c
2
)h'

2< br>S
圆柱侧
?2
?
rh
S
圆锥侧面积
?
?
rl



S
圆柱表
?2
?
r
?
r?l
?

S
圆锥表
?
?
r
?
r?l
?

S
圆台侧面积
?(r?R)
?
l
< br>S
圆台表
?
?
r
2
?rl?Rl?R
2

??
柱体、锥体、台体的体积公式

V
柱
?Sh

1
V
锥
?Sh
3

1
'
V
台
?(S?S
'
S?S)h

3
V
圆柱
?Sh?
?
r
2
h

V
圆锥
1
2
?
?
rh

3
1
'
1
'
V
圆台
?(S?SS?S)h?
?(r
2
?rR?R
2
)h

33
球体的表面积和体积公式：

4
3
2
?
R
4
?
R
V
球
=
3
；
S
球面
=

第二章 直线与平面的位置关系

2.1
空间点、直线、平面之间的位置关系

1 平面含义：平面是无限延展的
2 三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
符号表示为
A∈L
B∈L => L α
A∈α
B∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内.
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
A
α
·


L
α
·

C
·

·

A B
（3）公理3：如果两个不重合的平面有 一个公共点，那么它们有且只有一条过
该点的公共直线。
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据.

α
β
·

L
P
2.1.2
空间中直线与直线之间的位置关系

1 空间的两条直线有如下三种关系：
共面直线
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线

a∥b
c∥b
=>a∥c
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都
适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角
相等或互补.
4 注意点：
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选
择无关，为了简便，点 O一般取在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；
2
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互
相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成
的角。

2.1.3
—
2.1.4
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
?

a α a∩α=A a∥α
2
.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1
直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理：平面 外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与
此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
a α
b β => a∥α
a∥b
2.2.2
平面与平面平行的判定

1、 两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面
平行。

符号表示：
a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3
—
2.2.4
直线与平面、平面与平面平行的性质

1、直线与平 面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任
一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：
a ∥α
a β a∥b
α∩β= b

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、两个平面平行的 性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交
线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1
直线与平面垂直的判定

1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平
面α互相垂直， 记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂
面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一 公共点P叫做垂足
。
P
a
L
2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线
与此平面垂直。
注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2
平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

2.3.3
—
2.3.4
直线与平面、平面与平面垂直的性质

1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2、两个平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个
平面垂直。
第三章 直线与方程

（
1
）直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线
与x轴平行或重合时 ,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是
0°≤α＜180°
（
2
）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角 的正切叫做这条直线的斜率。直
线的斜率常用k表示。即
k?tan
?
。斜率 反映直线与轴的倾斜程度。
当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
?
当
?
?0
?
,90
?
时，
k?0
； 当
?
?90
?
,180
?
时，
k?0
； 当
?
?90
时，
k
不存
?
?
??
在。

②过两点的直线的斜率公式：
k?
y
2
?y
1
(x
1
?x
2
)
（ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2）
x
2
?x
1注意下面四点：(1)当
x
1
?x
2
时，公式右边无意义，直线 的斜率不存在，倾斜角
为90°；
(2)k与P
1
、P
2
的顺序无关；
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求
得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（
3
）直线方程

①点斜式：
y?y
1
? k(x?x
1
)
直线斜率k，且过点
?
x
1
,y< br>1
?

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y
1
。
当直线的 斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表
示．但因l上每一点的横坐标都等于x< br>1
，所以它的方程是x=x
1
。


②斜截式：< br>y?kx?b
，直线斜率为
k
，直线在
y
轴上的截距为
b


③两点式：

④截矩式：

⑤一般式：
Ax?By?C


y?y
1
x?x< br>1
?
（
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
）直线两点
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?

y
2?y
1
x
2
?x
1
xy
??1
其中直 线
l
与
x
轴交于点
(a,0)
,与
y
轴交 于点
(0,b)
,即
l
与
x
轴、
y
轴ab
的截距分别为
a,b
。
?0
（A，B不全为0）
1
各式的适用范围 ○
2
特殊的方程如： 注意：○
平行于x轴的直线：
y?b
（b为常数）； 平行于y轴的直线：
x?a
（a为常数）；

（
4
）两直线平行与垂直

当
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k2
x?b
2
时，
l
1
l
2
?k1
?k
2
,b
1
?b
2
；
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。


（
5
）两条直线的交点

l
1
:A
1x?B
1
y?C
1
?0

l
2
:A< br>2
x?B
2
y?C
2
?0
相交
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
交点坐标即方程组
?的一组解。
?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
方程组无解
?l
1
l
2
； 方程组有无数解
?
l
1
与
l
2
重合
Bx
2
,y
2
）
（
6
）两点间距离公式：
设< br>A(x
1
,y
1
)，（
是平面直角坐标系中的两个点， 则
|AB|?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2



（
7< br>）点到直线距离公式
：一点
P
?
x
0
,y
0
?
到直线
l
1
:Ax?By?C?0
的距离
d?< br>


Ax
0
?By
0
?C
A?B
22

（
8
）两平行直线距离公式

已知两条平行线直线
l
1
和
l
2
的一般式方程为
l
1
：
Ax? By?C
1
?0
，
l
2
：
Ax?By?C
2
?0
，则
l
1
与
l
2
的距离为
d?
C
1
?C
2
A?B
22

第四章 圆与方程

1
、圆的定义：
平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆 ，定点为圆心，定长为
圆的半径。
2
、圆的方程

（1）标准方程
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r
， 圆心
22
2
222
?
a,b
?
，半径为r； 点
M(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)?(y? b)?r
的位置关系：
当
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
>
r
，点在圆外
当
(x0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
=
r< br>，点在圆上
当
(x
0
?a)
2
?(y
0< br>?b)
2
<
r
，点在圆内


2
2
2

（2）一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

DE
?
，半径为
r?
1
D
2
?E
2
?4F
当
D?E?4F?0
时，方程表示圆，此时圆心为
??
?,?
?
?
22
?
22
2
?E2
?4F?0
时，表示一个点；
22
当
D?E?4F?0
时，方程不表示任何图形。
当
D


（3）求圆方程的方法：
2
一般都采用 待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆
的标准方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心
的位置。

3
、直线与圆的位置关系：


直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：
（1）设直线
l:Ax?By? C?0
，圆
C:
?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
，圆心
C
?
a,b< br>?
到l的距
离为
d?
Aa?Bb?C
A?B
22，则有
d?r?l与C相离
；
d?r?l与C相切
；

d?r?l与C相交


（2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成 立②k存在，设点斜式方程，
用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】

(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
，圆上一点为(x
0
，
y
0
)，则过此点
的切线方程为(x
0
-a)(x-a)+(y
0
-b)(y-b)= r
2


4
、圆与圆的位置关系
：
通过两圆半径 的和（差），与圆心距（d）之间的大
小比较来确定。
设圆
C
1
:
?
x?a
1
?
2
?
?
y?b
1< br>?
2
?r
2
，
C
2
:
?
x ?a
2
?
2
?
?
y?b
2
?
2< br>?R
2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来
确定。
当
d?R?r
时两圆外离，此时有公切线四条；

当
d?R?r
时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；

当
R?r?d?R?r
时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；

当
d?R?r
时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线

当
d?R?r
时，两圆内含； 当
d?0
时，为同心圆。

注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线
圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点