必修二++空间几何证明经典题型

…
…
…
…
○
…
…
……
线
…
…
…
…
○

_
…_
_
_
…
_
_
_
…
_
：号
…
考
订
_
_
_
…
_
__
…
_
_
：
…
级
班
…
__
○
_
_
_
_
…
_
_
：…
名
…
姓
_
…
_
_
_
_装
_
_
_
…
_
_
_
…
:校
学
…
…
○
…
…
…
…
内…
…
…
…
○
…
…
…
…
第1页 共2页

◎ 第2页 共2页

必修二 空间几何证明经典题型

一．解答题（共25小题）

1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB ⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E
和F分别是CD和PC的中点，求 证：

（Ⅰ）BE∥平面PAD；（Ⅱ）PA⊥BC；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．


【解答】解：（Ⅰ）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，< br>
由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．

（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，

故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD．

又AD?平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE∥平面PAD．

（Ⅲ）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD．

由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，

∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．

再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，

∴CD⊥EF．

而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．

由于CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．

2．如图，在三棱锥V﹣AB C中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，
O，M分别为A B，VA的中点．

（Ⅰ）求证：VB∥平面 M OC；（Ⅱ）求证：平面MOC⊥平面VAB；

（Ⅲ）求三棱锥A﹣MOC的体积．


【解答】（Ⅰ）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB，

∵VB?平面MOC，OM?平面MOC，∴VB∥平面MOC；

（Ⅱ）证明：∵AC=BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，

又∵平面VAB⊥平面ABC，平面ABC∩平面VAB=AB，且OC?平面ABC，

∴OC⊥平面VAB，

∵OC?平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB；

（Ⅲ）解：在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，

∴等边三角形VAB的边长为2，S
△
VAB
=，

∵O，M分别为AB，VA的中点．∴．

又∵OC⊥平面VAB，∴三棱锥．

3．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥PC ，AB=PB，E，F分别是PA，AC的中点．求证：
（1）EF∥平面PBC；（2）平面BEF⊥ 平面PAB．



【解答】证明：（1）在△APC中，因为E、F分别是PA、AC的中点，

所以EF∥PC，…（3分）

又PC?平面PAC，EF?平面PAC，所以EF∥平面PBC． …（6分）

（2）因为AB=PB，且点E是PA的中点，所以PA⊥BE，…（9分）

又PA⊥PC，EF∥PC，所以PA⊥EF，…（12分）

因为BE?平面BEF，EF?平面BEF，BE∩EF=E，

所以PA⊥平面BEF，又PA?平面PAB，所以平面PAB⊥平面BEF．…（14分）

1

4．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，B C⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D（Ⅱ）∵△ABC为等边三角形∴BG⊥AC

不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．

求证：（1）EF∥平面ABC；

（2）AD⊥AC．



【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，

所以AB∥EF，

又因为EF?平面ABC，AB?平面ABC，所以由线面平行判 定定理可知：EF∥平面ABC；

（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，

因为BC⊥BD，FG∥BC，所以FG⊥BD，

又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，

又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，

故AD⊥AC．

5．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1， CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；（Ⅱ）求证 ：平面ADE⊥平面ACD；（Ⅲ）求四棱锥A﹣BCDE的体积．

【解答】证明：（Ⅰ）取AC中点G，连接FG、BG，

∵F，G分别是AD，AC的中点 ∴FG∥CD，且FG=DC=1．

∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等∴EF∥BG．

EF?面ABC，BG?面ABC

∴EF∥面ABC…（4分）

又∵DC⊥面ABC，BG?面ABC∴DC⊥BG

∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC，DC，

∴BG⊥面ADC． …（6分）

∵EF∥BG

∴EF⊥面ADC

∵EF?面ADE，∴面ADE⊥面ADC． …（8分）

解：（Ⅲ）

方法一：连接EC，该四棱锥分为两个三棱锥E﹣ABC和E﹣ADC．

．…（12分）

方法二：取BC的中点为O，连接AO，则AO⊥BC，又CD⊥平面ABC，

∴CD⊥AO，BC∩CD=C，∴AO⊥平面BCDE，

∴AO为V
A
﹣
BCDE
的高，，∴．

6．如图 ，四棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中 ，平面A
1
ABB
1
⊥平面ABCD，且∠ABC=．

（ 1）求证：BC∥平面AB
1
C
1
；（2）求证：平面A
1
ABB
1
⊥平面AB
1
C
1
．


2

【解答】证明：（1）∵BC∥B
1
C
1
，且B
1
C
1
?平面AB
1C
1
，BC?平面AB
1
C
1
，

∴BC∥平面AB
1
C
1
．

（2）∵平面A1
ABB
1
⊥平面ABCD，平面ABCD∥平面A
1
B
1
C
1
D
1
，

∴平面A
1
A BB
1
⊥平面A
1
B
1
C
1
D
1
，

∵平面A
1
ABB
1
∩平面A
1B
1
C
1
D
1
=A
1
B
1< br>，A
1
B
1
⊥C
1
B
1
，

∴C
1
B
1
?平面AB
1
C
1
，

∴平面A
1
ABB
1
⊥平面AB
1
C< br>1
．

7．如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的正 方形，平面ABED⊥底面ABC，
若G、F分别是EC、BD的中点．

（Ⅰ）求证：GF∥底面ABC；

（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；

（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V．



【解答】解：（I）证法一：取BE的中点H，连接HF、GH，（如图）

∵G、F分别是EC和BD的中点

∴HG∥BC，HF∥DE，（2分）

又∵ADEB为正方形∴DE∥AB，从而HF∥AB

∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC，HF∩HG=H，

∴平面HGF∥平面ABC

∴GF∥平面ABC（5分）

证法二：取BC的中点M，AB的中点N连接GM、FN、MN

（如图）



∵G、F分别是EC和BD的中点

∴（2分）

又∵ADEB为正方形∴BE∥AD，BE=AD

∴GM∥NF且GM=NF

∴MNFG为平行四边形

∴GF∥MN，又MN?平面ABC，

∴GF∥平面ABC（5分）

证法三：连接AE，

∵ADEB为正方形，

∴AE∩BD=F，且F是AE中点，（2分）

∴GF∥AC，

又AC?平面ABC，

∴GF∥平面ABC（5分）

（Ⅱ）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，∴GF∥平面ABC（5分）

又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC（7分）

∴BE⊥AC

又∵CA
2
+CB
2
=AB
2

∴AC⊥BC，

∵BC∩BE=B，

∴AC⊥平面BCE（9分）

（Ⅲ）连接CN，因为AC=BC，∴CN⊥AB，（10分）

又平面ABED⊥平 面ABC，CN?平面ABC，∴CN⊥平面ABED．（11分）
∵三角形ABC是等腰直角三角形， ∴，（12分）

∵C﹣ABED是四棱锥，

∴V
C
﹣
ABED
==（14分）



3

8．如图，在直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．

（1 ）求证：B
1
C
1
∥平面A
1
DE；（2）求证：平面A< br>1
DE⊥平面ACC
1
A
1
．


【解答】证明：（1）因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，…（2分）
< br>又因为在三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，B
1
C
1
∥BC，所以B
1
C
1
∥DE…（4分）

又B
1
C
1
?平面A
1
DE，DE?平 面A
1
DE，所以B
1
C
1
∥平面A
1
D E…（6分）

（2）在直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C1
中，CC
1
⊥底面ABC，

又DE?底面ABC，所以CC
1
⊥DE…（8分）

又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，…（10分）

又CC
1，AC?平面ACC
1
A
1
，且CC
1
∩AC=C，所 以DE⊥平面ACC
1
A
1
…（12分）

又DE?平面A
1
DE，所以平面A
1
DE⊥平面ACC
1
A
1< br>…（14分）

9．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，B D相交于点O，EF∥AB，EF=AB，
平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，G为BC的中点， 求证：

（1）OG∥平面ABFE；（2）AC⊥平面BDE．


【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，

∴O是AC中点，

∵G为BC的中点，∴OG∥AB，

∵OG?平面ABFE，AB?平面ABFE，∴OG∥平面ABFE．

（2）∵四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，

∴AC⊥BD，O是AC中点，


∵G为BC的中点，∵EF∥AB，EF=AB，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，

∴FG⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，∴EO⊥AC，

∵EO∩BD=O，∴AC⊥平面BDE．

10．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的 底面为直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB．点E是PC
的中点．

（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；

（Ⅱ）已知平面PCD⊥底面ABCD，且PC= DC．在棱PD上是否存在点F，使CF⊥PA？请说明理
由．



【解答】（1）证明：取PD中点Q，连结AQ、EQ．…（1分）

∵E为PC的中点，∴EQ∥CD且EQ=CD．…（2分）

又∵AB∥CD且AB=CD，

∴EQ∥AB且EQ=AB．…（3分）

∴四边形ABED是平行四边形，

∴BE∥AQ．…（4分）

又∵BE?平面PAD，AQ?平面PAD，

∴BE∥平面PAD．…（5分）

（2）解：棱PD上存在点F为PD的中点，使CF⊥PA，

∵平面PCD⊥底面ABCD，平面PCD∩底面ABCD=CD，AD⊥CD，

∴AD⊥平面PCD，

∴DP是PA在平面PCD中的射影，

∴PC=DC，PF=DF，

∴CF⊥DP，∴CF⊥PA．

4

11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形， 侧面PAD⊥底面ABCD，且
PA=PD=AD，E、F分别为PC、BD的中点．

（1）求证：EF∥平面PAD；

（2）求证：面PAB⊥平面PDC．



【解答】解：（1）ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
是长方体，AB=BC=EC=．

可得平面A BCD和平面A
1
B
1
C
1
D
1
是正方形 ，E为CC
1
的中点．



连接AC与DB交于O，连接OE，

【解答】证明：（1）连接AC，由正方形性质 可知，AC与BD相交于BD的中点F，F也为AC中
可得：AC
1
∥OE，

点，E为PC中点．

OE?平面BDE．

所以在△CPA中，EF∥PA，

∴AC
1
∥平面BDE．

又PA?平面PAD，EF?平面PAD，

（2）连接OA
1
，

所以EF∥平面PAD；

根据三垂线定理，可得OA
1
⊥DB，OE⊥DB，OA
1
∩OE=O，
（2）平面PAD⊥平面ABCD

∴平面A
1
OE⊥DB．

平面PAD∩面ABCD=AD?CD⊥平面PAD?CD⊥PA

可得A
1
E⊥DB．

正方形ABCD中CD⊥ADPA?平面PADCD?平面ABCD

∵E为CC
1
的中点．设AB=BC=EC=AA
1
=a

又，所以PA
2
+PD
2
=AD
2

∴，A
1
E=，A
1
B=

所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD．

∵A
1
B< br>2
=A
1
E
2
+BE
2
．∴A
1< br>E⊥EB．

因为CD∩PD=D，且CD、PD?面PDC

∵EB?平面BDE．BD?平面BDE．EB∩BD=B，∴A
1
E⊥平面BDE

所以PA⊥面PDC

13．如图，ACQP所在的平面与菱形ABCD所 在的平面相互垂直，交线为AC，若
又PA?面PAB，

分别是PQ，CQ的中点．求证：

所以面PAB⊥面PDC．

（1）CE∥平面PBD；

12．在长方体ABCD﹣A
1
B1
C
1
D
1
中，AB=BC=EC=．求证：

（2）平面FBD⊥平面PBD．

（1）AC
1
∥平面BDE；

（2）A
1
E⊥平面BDE．


【解答】证明：（1）设AC∩BD=O，连接PO，则

5

∵O是AC的中点，E是PQ的中点，

∴PE=OC，PE∥OC，

∴四边形POCE是平行四边形，

∴CE∥PO，

∵CE?平面PBD，PO?平面PBD，

∴CE∥平面PBD；

（2）∵平面ACQP⊥平面ABCD，平面ACQP∩平面ABCD=AC，BD⊥AC，

∴BD⊥平面ACQP，

∵PO?平面ACQP，∴BD⊥PO，

连接AQ，OF，则由三角形相似可AQ⊥PO，

∵F是CQ中点，O是AC的中点，

∴OF∥AQ，

∴OF⊥PO，

∵BD∩OF=O，

∴PO⊥平面FBD，

∵PO?平面PBD，

∴平面FBD⊥平面PBD．


14．已知直四棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
的底面是菱形，F为棱BB
1
的中点，M为线段AC
1
的中点．
求证：

（Ⅰ）直线MF∥平面ABCD；

（Ⅱ）平面AFC
1
⊥平面AC C
1
A
1
．




【解答】（本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）延长C
1
F交CB的 延长线于点N，连接AN．因为F是BB
1
的中点，
所以，F为C
1
N的中点，B为CN的中点．又M是线段AC
1
的中点，

故MF∥AN．又 MF不在平面ABCD内，AN?平面ABCD，∴MF∥平面ABCD．
（Ⅱ）连BD，由直四棱柱A BCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
，

可知A
1
A⊥平面ABCD，又∵BD?平面ABCD，∴A
1
A⊥ BD．

∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．又∵AC∩A
1
A=A，

AC，A
1
A?平面ACC
1
A
1
，∴BD⊥平面ACC
1
A
1
．

在四边形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四边形DANB为平行四边形，

故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC
1
A
1
，又因为NA?平面AFC1
，

∴平面AFC
1
⊥ACC
1
A
1
．

15．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB．

（1）求证：CD⊥AP；（2）若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB．


【解答】（本小题满分14分）

证明：（1）因为AD⊥平面PAB，AP?平面PAB，所以AD⊥AP．…（2分）

6

又因为AP⊥AB，AB∩AD=A，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，

所以AP⊥平面ABCD．…（4分）

因为CD?平面ABCD，所以CD⊥AP．…（6分）

（2）因为CD⊥AP，C D⊥PD，且PD∩AP=P，PD?平面PAD，AP?平面PAD，

所以CD⊥平面PAD．①…（8分）

因为AD⊥平面PAB，AB?平面PAB，所以AB⊥AD．

又因为AP⊥AB，AP∩AD=A，AP?平面PAD，AD?平面PAD，

所以AB⊥平面PAD．②…（10分）

由①②得CD∥AB，…（12分）

因为CD?平面PAB，AB?平面PAB，所以CD∥平面PAB．…（14分）

16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD．

（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD．

由（Ⅰ）得EG∥AF，∴EG⊥面PDC

又EG?平面PCE，∴平面PEC⊥平面PCD．

17．如图，三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
l
中，M，N分别为CC
1
，A
1
B
1
的中点．CA⊥CB
1
，CA=CB
1，BA=BC=BB
1
．

（Ⅰ）求证：直线MN∥平面CAB
1
；（Ⅱ）求证：直线BA
1
⊥平面CAB
1
．


【解答】证明：（Ⅰ）设A
1
B与AB
1
交于点O，连接CO，ON ．

因为四边形ABB
1
A
1
是平行四边形，所以是O是A B
1
的中点，又N是A
1
B
1
的中点，

所以．ON

又因为M是CC
1
的中点，所以．

所以四边形CMNO是平行四边形，所以MN∥CO．

又因为MN?平面CAB
1
，CO?CAB
1
平面，

所以直线NM∥平面CAB
1
．…（6分）

（Ⅱ）因为BA=BB
1
，所以平行四边形ABB
1
A
1
是菱形，所以BA
1
⊥AB
1
．

因为CA=CB
1
，O是AB< br>1
的中点，所以CO⊥AB
1
，

又CA⊥CB
1
，∴CO=AO．


【解答】证明：（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，

∴FG为△CDP的中位线，FG∥CD，FG=CD．

∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，∴AE∥CD，AE=CD．

∴FG=AE，FG∥AE，∴四边形AEGF是平行四边形，

∴AF∥EG又EG?平面PCE，AF?平面PCE，

∴AF∥平面PCE；

（Ⅱ）∵PA=AD．∴AF⊥PD

PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，

又因为CD⊥AB，AP∩AB=A，∴CD⊥面APD

∴CD⊥AF，且PD∩CD=D，∴AF⊥面PDC

7
又因为BA=BC，所以△BOC≌△BOA，

所以∠BOC=∠BOA，故BO⊥CO，即BA
1
⊥CO．

又A B
1
∩CO=O，AB
1
?平面CAB
1
，CO?平面CA B
1
，

所以直线BA
1
⊥平面CAB
1
．…（12分）

18．如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2，∠ABC=60°，M是AB的中
点，N是CE的中点．

（I）求证：EM⊥AD；

（II）求证：MN∥平面ADE；

（III）求点A到平面BCE的距离．

【解答】证明：（Ⅰ）∵EA=EB，M是AB的中点，∴EM⊥AB，（1分）

∵平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD=AB，EM?平面ABE，

∴EM⊥平面ABCD，（4分）

∵AD?平面ABCD，∴EM⊥AD．（5分）

（Ⅱ）取DE的中点F，连接AF，NF，

∵N是CE的中点．，∴NFCD，

∵M是AB的中点，∴AM，

∴NFAM，∴四边形AMNF是平行四边形，（7分）

∴MN∥AF，（8分）

∵MN?平面ADE，AF?平面ADE，

∴MN∥平面ADE．（10分）

解：（III）设点A到平面BCE的距离为d，

由（I）知ME⊥平面ABC，BC=BE=2，MC=ME=，

则CE=，BN==，（12分）

∴，

=，

∵V
A
﹣
BCE
=V
E
﹣
ABC
，（13 分）即，

解得d=，故点A到平面BCE的距离为．（14分）






19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯 形，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2AD，BC⊥PD，
E，F分别是PB，BC的中 点．

求证：（1）PC∥平面DEF；

（2）平面PBC⊥平面PBD．



【解答】证明：（1）∵E，F分别是PB，BC的中点，

∴PC∥EF，

又PC?平面DEF，EF?平面DEF，

∴PC∥平面DEF．

（2）取CD的中点M，连结BM，

则ABDM，又AD⊥AB，AB=AD，

∴四边形ABMD是正方形，

∴BM⊥CD，BM=CM=DM=1，BD=，

∴BC=，

∴BD
2
+BC
2
=CD
2
，

∴BC⊥BD，又BC⊥PD，BD∩PD=D，

∴BC⊥平面PBD，

又BC?平面PBC，

∴平面PBC⊥平面PBD．






8

20．如图，菱形ABCD与 正三角形BCE的边长均为2，且平面ABCD⊥平面BCE，FD⊥平面ABCD，
．

（I）求证：EF∥平面ABCD；

（II）求证：平面ACF⊥平面BDF．



【解答】证明：（Ⅰ）如图，过点E作EH⊥BC于H，连接HD，∴．

∵平面ABCD⊥平面BCE，EH?平面BCE，

平面ABCD∩平面BCE=BC，

∴EH⊥平面ABCD，

又∵FD⊥平面ABCD，，

∴FD∥EH，FD=EH．

∴四边形EHDF为平行四边形．

∴EF∥HD．

∵EF?平面ABCD，HD?平面ABCD，

∴EF∥平面ABCD． …（7分）

（Ⅱ）∵FD⊥面ABCD，∴FD⊥AC，

又四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，

又FD∩BD=D，∴AC⊥面FBD，

又AC?面ACF，从而面ACF⊥面BDF．…（12分）

21．如图，在直三棱 柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，AC⊥BC，A
1< br>B与AB
1
交于点D，A
1
C与AC
1
交于点E．< br>
求证：（1）DE∥平面B
1
BCC
1
；

（2）平面A
1
BC⊥平面A
1
ACC
1
．



【解答】证明：（1）由题意，D，E分别为A
1
B，A< br>1
C的中点，

∴DE∥BC，

∵DE?平面B
1
BCC
1
，BC?平面B
1
BCC
1
，

∴DE∥平面B
1
BCC
1
；

（2）∵AA
1
⊥平面ABC，BC?平面ABC，

∴AA
1
⊥BC，

∵AC⊥BC，AC∩AA
1
=A，

∴BC⊥平面A
1
ACC
1
，

∵BC?平面A
1
BC，

∴平面A
1
BC⊥平面A
1
ACC
1
．

22．如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥ DC，AD
⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB=PD=DA=2PE，CD=3PE，F是CE的中点 ．

（1）求证：BF∥平面ADP

（2）已知O是BD的中点，求证：BD⊥平面AOF．



【解答】证明：（1）作FM⊥CD，垂足为M，连接BM，则DM=2PE=AB，EM∥PD

∵DM∥AB，

∴DMBA是平行四边形，

∴BM∥AD，

∵BM?平面ADP，AD?平面ADP

∴BM∥平面ADP

9

同理EM∥平面ADP

∵BM∩EM=M．

∴平面BFM∥平面ADP

∵BF?平面BFM，

∴BF∥平面ADP；

（2）由（1）可知FM=PE，DM=BM=2PE，∴F D=FB=
∵O是BD的中点，∴FO⊥BD，

∵AD=AB，O是BD的中点，∴AO⊥BD，

∵AO∩FO=O，

∴BD⊥平面AOF．

23．如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形 ，EF∥CD，CD⊥EA，CD=2EF=2，ED=
为棱FC上一点，平面ADM与棱FB交于点N ．

（Ⅰ）求证：ED⊥CD；

（Ⅱ）求证：AD∥MN；
（Ⅲ）若AD⊥ED，试问平面BCF是否可能与平面ADMN垂直？若能，求出
说明理由．

的值；若不能，
．M
PE，

（Ⅲ）解：平面ADMN与平面BCF可以垂直．证明如下：[（9分）]

连接DF．因为AD⊥ED，AD⊥CD．ED∩CD=D，

所以AD⊥平面CDEF．[（10分）]

所以AD⊥DM．

因为AD∥MN，所以DM⊥MN．[（11分）]

因为平面ADMN∩平面FBC=MN，

若使平面ADMN⊥平面BCF，

则DM⊥平面BCF，所以DM⊥FC．[（12分）]

在梯形CDEF中，因为E F∥CD，DE⊥CD，CD=2EF=2，ED=
所以DF=DC=2．

所以若使DM⊥FC能成立，则M为FC的中点．

所以=．[（14分）]

，

24．如图，在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且BD∥平面AEF．

（1）求证：EF∥平ABD面；

（2）若AE⊥平面BCD，BD⊥CD，求证：平面AEF⊥平面ACD．




【解答】（Ⅰ）证明：因为ABCD为矩形，所以VD⊥AD．[（1分）]

又因为CD⊥EA，[（2分）]

所以CD⊥平面EAD．[（3分）]

所以ED⊥CD．[（4分）]

（Ⅱ）证明：因为ABCD为矩形，所以AD∥BC，[（5分）]

所以AD∥平面FBC．[（7分）]

又因为平面ADMN∩平面FBC=MN，

所以AD∥MN．[（8分）]

10
【解答】证明：（1）∵BD∥平面AEF，BD?平面BCD，平面BCD∩平面AE F=EF，

∴BD∥EF，又BD?平面ABD，EF?平面ABD，

∴EF∥平ABD面．

（2）∵AE⊥平面BCD，CD?平面BCD，

∴AE⊥CD，

由（1）可知BD∥EF，又BD⊥CD，

∴EF⊥CD，

又AE∩EF=E，AE?平面AEF，EF?平面AEF，

∴CD⊥平面AEF，又CD?平面ACD，

∴平面AEF⊥平面ACD．



25．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且平面PAC ⊥平面ABCD，E为PD
又BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC．

的中点，PA=PC，AB=2BC=2，∠ABC=60°．

（Ⅰ）求证：PB∥平面ACE；

（Ⅱ）求证：平面PBC⊥平面PAC．


【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，交AC于点O，连接OE，

∵底面ABCD是平行四边形，∴O为BD中点，

又E为PD中点，∴OE∥PB，

又OE?平面ACE，PB?平面ACE，

∴PB∥平面ACE．

（Ⅱ）∵PA=PC，O为AC中点，∴PO⊥AC，

又平面PAC⊥平面ABCD，

平面PAC∩平面ABCD=AC，PO?平面PAC，

∴PO⊥平面ABCD，

又BC?平面ABCD，

∴PO⊥BC．

在△ABC中，AB=2BC=2，∠ABC=60°，

∴=，

∴AC
2
=AB
2
+BC
2，∴BC⊥AC．

又PO?平面PAC，AC?平面PAC，PO∩AC=O，∴BC⊥平面PAC，




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