人教版数学必修二：线面角与线线角

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线面角与线线角
【知识网络】 < br>1、异面直线所成的角：（1）范围：
?
?(0,
?
2
（2） 求法；
]
；
oo
2、直线和平面所成的角：（1）定义：（2）范围：[0,90]
；（3）求法；
3、一些常见模型中的角之间的关系。
【典型例题】
例1：（1）在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，下列几种说法正确的是 （ ）
oo
A、
AC
11
?AD
B、
D
1
C
1
?AB
C、
AC
1
与
DC
成
45
角 D、
AC
11
与
B
1
C
成
60
角
答案：D。解析：A
1
C
1
与AD成45°，D
1
C
1
与AB平行，AC
1
与DC所成角的正切为
2
。 2
（2）在正方体AC
1
中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A
1
B成30
0
角的平面的
个数为 （ ）
A、2个 B、4个 C、6个 D、8个
答案：B。解析：平面A
1
ACC
1
，平面BB
1
D
1
D，平面ABC
1
D
1
，平面A
1
D
1
CC
1
。
（3）正六棱柱ABCDEF－A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
底面边长是1，侧棱长是
2
，则这个棱柱的侧
面对角线E
1
D与BC
1
所成的角是 （ ）
A．90? B．60? C．45? D．30?
答案：B。解析将BC
1
平移到E
1
F即可。
（4）在空间四边形ABCD中，AB⊥CD，BC⊥DA，那么对角线AC与BD的位置关系
是 。
答案：AC⊥BD。解析：过A作AH⊥平面BCD，垂足为H，因为CD⊥AB，BC⊥ AD，
所以CD⊥BH，BC⊥DH，故H为△BCD的垂心，从而BD⊥CH，可得BD⊥AC。 < br>（5）点AB到平面
?
距离距离分别为12，20，若斜线AB与
?
成
30
0
的角，则AB的
长等于__ ___.
答案：16或64。解析：分A、B在平面α的同侧和异侧进行讨论。
例2：．如图：已知直 三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
，AB＝AC，F为棱BB< br>1
上一点，BF∶FB
1
＝2∶1，BF＝BC＝2a。
（I）若D为BC的中点，E为AD上不同于
A、D的任意一点，证明EF⊥FC
1
；
（II）试问：若AB＝2a，在线段AD上的E
点能否使EF与平面BB
1
C
1
C成60°角，为什么？证明你的结论。

答案：（I）连结DF，DC

∵三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
是直三棱柱，
∴CC
1
⊥平面ABC，∴平面BB
1
C
1
C⊥平面ABC
∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD⊥平面BB
1
C
1
C
∴DF为EF在平面BB
1
C
1
C上的射影，
在 △DFC
1
中，∵DF
2
＝BF
2
＋BD
2
＝5a
2
，
DC
1
2
＝
CC
1
2
＋DC
2
＝10a
2
，

FC
1< br>＝B
1
F
2
＋
B
1
C
1
2
＝5a
2
， ∴
DC
1
2
＝DF
2
＋
FC
1
2
，∴DF⊥FC
1
FC
1
⊥EF
（II）∵AD⊥平面BB
1
C
1
C，∴∠DFE是EF与平面BB
1
C
1
C所成的角
在△EDF中，若∠EFD＝60°，则ED＝DFtg60°＝
3
·
5 a
＝
15a
，
∴
15a
＞
3a
，∴E在DA的延长线上，而不在线段AD上
故线段AD上的E点不能使EF与平面BB
1
C
1
C成60°角。
P

例3： 如图, 四棱锥P-ABCD的底面是AB=2, BC
A
=
2
的矩形, 侧面PAB是等边三角形, 且侧面
PAB⊥底面ABCD.
D
(Ⅰ)证明:BC⊥侧面PAB;
B
(Ⅱ)证明: 侧面PAD⊥侧面PAB;
(Ⅲ)求侧棱PC与底面ABCD所成角的大小;
C
答案： (Ⅰ)证: ∵侧面PAB⊥底面ABCD, 且侧面PAB与底面ABCD的交线是AB, 在
矩形ABCD中, BC⊥AB，.∴BC⊥侧面PAB.
(Ⅱ)证: 在矩形ABCD中, AD∥BC, BC⊥侧面PAB, ∴AD⊥侧面PAB. 又AD
?
平面PAD,
∴侧面PAD⊥侧面PAB.
(Ⅲ)解: 在侧面PAB内, 过点P做PE⊥AB, 垂足为E, 连结EC, ∵侧面PAB与底面ABCD
的交线是AB, PE⊥AB, ∴PE⊥底面ABCD. 于是EC为PC在底面ABCD内的射影.
∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成的角. 在△PAB和△BEC中, 易求得PE=
3
,
EC=
3
.在Rt△PEC中, ∠PCE=45°.
例4：设△ABC内接于⊙O，其中AB为⊙O的直径，PA⊥平面ABC。如 图
2
cos?ABC?
答案：

5
,PA:PB?4:3,
求直线PB和平面PAC所成角的大小.
6

设PA?4x,AB?3x,则PB?5x,BC?3 xcos?ABC?
?AB是?O的直径
??ACB?90
?
,即BC?AC
又?PA?面ABC,?PA?BC
?BC?面PAC
??BPC是PB和面PAC所 成的角
5x
1
在Rt?BPC中,sin?BPC?
2
?,??BP C?30
?
5x2
即直线PB和平面PAC所成的角为30
?
5x
2

【课内练习】
1．若平面
?
外的直线
a
与平面
?
所成的角为
?
，则
?
的取值范围是 （ ）
（A）
(0,
?
2
)
（B）
[0,
?
2
)
（C）
(0,
?
2
]
（D）
[0,
?
2
]

答案：D。解析：a和α平行，a和α斜交。
2．在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
,O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱 DD
1
、D
1
C
1

的中点，则直线OM ( )
A 是AC和MN的公垂线 B 垂直于AC但不垂直于MN
C 垂直于MN，但不垂直于AC D 与AC、MN都不垂直
答案：A 。解析：易证OM⊥AC，OM⊥MN。
3．设正四棱锥 S—ABCD的侧棱长为
2
，底面边长为
3
，E是SA的中点，则异面
直线BE与SC所成的角是
A．30° B．45° C．60°
答案：C 。解析：连AC、BD交于O，连OE，则OESC.

D．90°
（ ）
13
?
32
22
22
?
1
,??BEO? 60?

?BE?2,OB?,OE?,?cos?BEO?
22
2
2
2?2?
2
4．异面直线a , b所成的角为
60?
，过空间一定点P，作直线L，使L与a ,b 所成的角
均为
60?
，这样的直线L有 条。
答案：三条。解析：如换成50°，70°呢。
5．已知三棱锥P- ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，D是底面三角形内一点，且
∠DPA=45
0
，∠DPB=60
0
，则∠DPC=__________。
答案：60
0
。解析：以PD为对角线构造长方体
6．正方体AC
1
中，过点A作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角都相
等，试写出满足条件的一个截面____________
答案：面AD
1
C。解析：可得12条棱分成三类：平行、相交、异面，考虑正三棱锥D-AD
1
C，
7．如图，四面体ABCS中，SA，SB，SC两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M
C
为AB的中点，求：
（1）BC与平面SAB所成的角；
（2）SC与平面ABC所成角的正弦值。

H

2?
S

B
M
A

解析：（1）∵SC⊥SB，SC⊥SA，∴SC⊥平面SAB。
于是SB就是直线BC与平面SAB所成的角，为60°。
（2）联结SM，CM，∵在Rt △SAB中，∠SBA=45°，∴SM⊥AB，∴AB⊥平面SCM。
作SH⊥CM于H，则AB⊥ SH，故SH⊥平面ABC，所以∠SCH为SC与平面ABC所
成的角。
设SA=a，则S B=a，SC=
3a
，SM=
在Rt△CSM中，
CM?
2
a
。
2
1
SC
2
?SM
2
?3a
2
?a
2
，
2
2
a
SM7
2
sin?SCH?sin?SCM???
。
CM7
7
a
2
7
即SC与平面ABC所成角的正弦值为。
7
8．如图，已知正四棱柱ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，底面边长AB＝2，侧棱BB
1
的长为4，
过点 B作B
1
C的垂线交侧棱CC
1
于点E，交B
1
C于点F，
⑴求证：A
1
C⊥平面BDE；
⑵求A
1
B与平面BDE所成角的正弦值。





答案：⑴由三垂线定理可得，A
1
C⊥BD，A
1C⊥BE
?
A
1
C⊥平面BDE
⑵以DA、DC、DD
1
分别为x、y、z轴，建立坐标系，则
A
1
(2,0,4)
，< br>C(0,2,0)

B(2,2,0)
，∴
AC?(?2,2,?4)
，
A
1
B?(0,2,?4)

1
A
1< br>C?A
1
B
uruuur
?
∴
cos?A
1
C,A
1
B??
uu
A
1
C?A
1
B
uuuruuur
uuuruuur
uuuruuur
30
< br>6
设A
1
C
I
平面BDE＝K，由⑴可知，∠A
1< br>BK为A
1
B与平面BDE所成角，
30

6
9． A是△BCD所在平面外的点，∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2.
（Ⅰ）求证：AB⊥CD；
（Ⅱ）求AB与平面BCD所成角的余弦值. ,A
1
B??
∴
sin?A
1
BK?cos?AC1

uuuruuur

答案：（Ⅰ）∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°， AC=AD=2，AB=3， ∴△ABC≌△ABD，BC=BD.
取CD的中点M，连AM、BM，则CD⊥AM，CD⊥BM. ∴CD⊥平面ABM，于是AB⊥BD.
（Ⅱ）由CD⊥平面ABM，则平面ABM⊥平面BCD，这样∠ABM是AB与平面BCD所成的角.
在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，
?BC?AB
2
?AC< br>2
?AB?AC?7
. 在△ACD中，
AC=AD=2，∠CAD=60°，∴△ACD是正三角形，AM=
3
. 在Rt△BCM中，BC=
7
，CM=1，
3
222
?BM?6< br>.
?cos?ABM?
AB?BM?AM
?
6
.

2AB?BM
10．已知等腰?ABC中，AC = BC = 2，
?
ACB = 120?，?ABC所在平面外的一点P到三
角形三顶点的距离都 等于4，求直线PC与平面ABC所成的角。





答案：设点P在底面上的射影为O，连OB、OC，则OC是PC在平面ABC内的射影，
∴
?
PCO是PC与面ABC所成的角。∵ PA = PB = PC，
∴点P在底面的射影是?ABC的外心，




注意到?ABC为钝角三角形，∴点O在?ABC的外部，
∵AC = BC，O是?ABC的外心，∴OC⊥AB

在?OBC中，OC = OB，
?
OCB = 60?，∴?OBC为等边三角形，∴OC = 2
在Rt?POC中，
cos?PCO?

OC1
?
∴
?
PCO = 60? 。
PC2

【作业本】
A组
1．垂直于同一条直线的两条直线一定 （ ）
A、平行 B、相交 C、异面 D、以上都有可能
答案：D。解析：注意空间和平面中的位置关系的不同。
2．
a
是平面α的斜线，
b?
?
，
a
与
b
成α所成角的大小为 。
答案：
??
角，
b< br>与
a
在α内的射影成角，则
a
与
34
??
2
??
。解析：
cos?coscos
?
,?cos
?
?
，即θ=。
342
44

3．
PA、 PB、PC
是两两成
60
0
角的三条射线,则
PC
与平面< br>PAB
所成角的余弦值是
（ ）
A．
633
1
B． C． D．
332
2
答案：C。解析：可放入正四面中考虑。
4．直线
l与平面α成角为30
0
，
l?
?
?A,m?
?
,A?m
则m与
l
所成角的取值范围是
。
答案： [ 30
0
, 90
0
]。解析：斜线与平面内所有直线的所成角中，线面角最小角。
5．边长为2 的正方形ABCD在平面α内的射影是EFCD，如果AB与平面α的距离为
2
，则AC与平面 α所成角的大小是 。
答案：
30?
。解析：
sin
?
?
21
?,?
?
?30
o
。
22
2
6．如图，在长方体ABCD-A
1
B1
C
1
D
1
中，AB=5，AD=8，AA
1
=4，M为B
1
C
1
上一点，
且B
1
M=2，点N 在线段A
1
D上，A
1
D⊥AN，求：
uuuuruuuur
(1)
cos?A
1
D,AM?
；
(2) 直线AD与平面ANM所成的角的正切；
(3) 平面ANM与平面ABCD所成角（锐角）的余
弦值.


解析：(1) 以A为原点，AB、AD、AA
1
所在直线 为x轴，y轴，z轴.
则D(0,8,0)，A
1
(0，0，4)，M(5,2,4)









?A
1
D?(0,8,?4
)
AM?(5,2,4)

∵
A
1
D?AM?0
∴
cos?A
1
D,AM??0

(2) 由(1)知A
1
D⊥AM，又由已知A
1
D⊥AN，
?A
1
D?
平 面AMN，垂足为N.
因此AD与平面ANM所成的角即是
?DAN.

∴
tan?DAN?tan?AA
1
D?2

(3) ∵< br>AA
1
?
平面ABCD，A
1
N
?
平面AM N，
∴
AA
1
和NA
1
分别成为平面ABCD和平面AM N的法向量。
设平面AMN与平面ABCD所成的角（锐角）为
?
，则
u uuruuur
5
cos
?
?cos?AA
1
,NA
1
??cos?AA
1
N?cos?AA
1
D?

5
P
7．已知∠ACB=90
0
，且在平面α内，PC与CA、CB所成角
∠PCA=∠PCB=60
0
,求PC与平面α所成角。


A
B
C
α

答案：解：如图过点P作PH⊥平面ABC于H，
过点H作HD⊥AC于D，作HE⊥BC于E，连PD、PE，∴PD⊥AC，PE⊥BC，
∵∠PCA=∠PCB=60
0
，∴ΔPCD≌ΔPCE，∴CD=CE，∴ΔHCD≌ΔHC E，
P
12
a,
∴HD=HE，∴CH平分∠ACB，设PC=a∴< br>CE?a,CH?
22
∴∠PCH=45
0
，即PC与平面α所成角为 45
0
。
D
C
α
H
E
B
A
8.

如图，正方形ACC
1
A
1
与 等腰直角△ACB互相垂直，∠ACB=90°，E、F分别是AB、
BC的中点， G是AA
1
上的点.
（1）若
AC
1
?
EG
，试确定点G的位置；
（ 2）在满足条件（1）的情况下，试求cos＜
AC
，
GF
＞的值.




建立如图所示的空间直角坐标系。
uuuruu ur
uuuur
解析：（1）以C为原点，
CB
为x轴正方向，
CA
为y轴正方向，
CC
1
为 z轴正方向，
z
C
1< br>11
A
1
令
A(0,1,0)
，则
B(1,0,0) ,E(,,0),C
1
(0,0,1)
，
22
G
uuuu ruuur
11
C
设
G(0,1,a)
，则
AC
1
?(0,?1,1),EG?(?,,a)
，
A
22
F
u uuuruuur
E
1
由
AC
1
?EG
得
a?
，∴G为AA
1
的中点。
2
x
B
uuurr
uuuruuur
11
uuu
16
（2）
GF?(,?1, ?),AC?(0,?1,0)
，
?cos?AC,GF??
。
?
22
3
3
2

y

B组
1．一条 直线与一个平面所成的角等于
?
，另一直线与这个平面所成的角是
?
. 则这两
3
6
条直线的位置关系
A．必定相交 B．平行 C．必定异面
答案：D。解析：若平行则直线与平面的所成角必相等。
2．如图正四面体D-ABC中, P∈面DBA, 则在平面DAB
内过点P与直线BC成60°角的直线共有 ( )
A 0条 B 1条
C 2条 D 3条
答案：C。解析：过B分别作BD，AB的平行线即可。
（ ）
D．不可能平行
D
·
P
A
C
B 3．正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1中，点P在侧面BCC
1
B
1
及其边界上运动，并且总保持
AP⊥BD
1
,则动点P的轨迹 （ ）
A、线段B
1
C B、BB
1
的中点与CC
1
中点连成的线段
C、线段BC
1
D、CB中点与B
1
C
1
中点连成的线段
答案：A。解析：B1
C⊥面BD
1
C
1
，∴P点轨迹为线段B
1
C。
4．设
?
?MN?
?
为直二面角，
A?MN
，
AB?
?
，
AC?
?
，∠BAN＝∠CAN＝45?，
则∠BAC＝ 。
答案：60?。解析：
cos?BAC?co s45?cos45?
oo
1
,??BAC?60
o
。
2
5．一个直角三角形的两条直角边长为2和4，沿斜边高线折成直二面角，则两直角边所夹
角的 余弦值为_____。
答案：
2
。解析：CD为斜边上的高，
5
设
BD?x,AB?2
2
?4
2
?25

x?
2
2
25
?
2
5
?
2
25
5
AD?25?5?5

5
58

?CD?AB,?BD?CD,AD?CD

??ADB
为二 面角的平面角，
??ADB?
?AB?(
28
5)
2
?(5 )
2
?
55
2
2
?4
2
?(
?c os?ACB?
?
2

20?320285
?

255
2
85)
2
2
5
?

2? 2?45
1
6．在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，
PD? CD?AD?AB
，
2
∠ADC＝120?，
⑴求证：求异面直线AD，PB的所成角；
⑵若AB的中点为E，求二面角D－PC－E的大小。



< br>答案：⑴连BD，∵∠ADC＝120?，AB∥CD，∴∠DAB＝60?，又
AD?
3
1
AB
，∴
BD?AB

2
2
∴AD⊥ BD，又∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥AD，∴AD⊥平面PDB，∴AD⊥PB，
即异面直线AD、PB的所成角为90°。
⑵连DE，由已知可得△DEC为正三角形，取DC的中点F，连EF，则EF⊥CD，
∵PD⊥面ABCD，∴EF⊥PD，∴EF⊥面PCD，过F作FG⊥PC，连EG，
则∠EGF为二面角D－PC－E的平面角
1
CP?PD
3
设CD ＝a，则
EF?a
，在△PDC中，
PC?2a
，则
FG?
2
?
a

2
PC
22
EF
?
∴< br>tan?EGF?
FG
6
∴
?EGF?arctan6
（注：本题用空间向量做也可）
7． 如图，在三棱柱 ABC—A
1
B
1
C
1
中，AB=
2
a， BC=CA=AA
1
=a，A
1
在底面ABC
上的射影O在AC上.
（Ⅰ）求AB与侧面AC
1
所成的角；
（Ⅱ）若O恰是AC的中点，求此三棱柱的侧面积.

答案：(Ⅰ)在△ABC中，AB=
2a
，BC=AC=a ,∴△ABC是等腰直角三角形，BC⊥AC，
∠CAB=45°,又BC⊥A
1
O， 故BC⊥侧面AC
1
，AB与侧面AC
1
所成角就是∠BAC=45°. < br>（Ⅱ）由（Ⅰ）知四边形B
1
BCC
1
为矩形，
?S
BBCC
?a
2
.?A
1
O?AC,O为AC
中点， 11
?A
1
O?
33
2
a,S
A
1< br>ACC
1
?AC?A
1
O?a.作OE?AB
于E，连结A< br>1
E，则AB⊥A
1
E. 在
22
Rt△AOE
2 2
14
?AO?a
，在Rt△A
1
EO中，
A
1< br>E?A
1
O
2
?OE
2
?a.

4
24
7
2
?S
ABB
1
A
1
?A B?A
1
E?a.?S
侧
?(3?2?7)a
2
.
2
8．如图，在三棱锥
P
－
ABC
中，AB⊥BC，AB＝BC＝ kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，
OP⊥底面ABC．
P
中，
O E?
(Ⅰ)当k＝
1
时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
2
A
O
B
D
(Ⅱ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？
答案：(Ⅰ) ∵O、D分别为AC、PC中点，
? OD∥PA

C
又PA?平面PAB
，
? OD∥平面PAB


Q AB?BC，OA?OC，

? OA?OB?OC，
又Q OP?平面ABC
，
? PA?PB?PC.

取BC中点E，连结PE，则 BC?平面POE
，
作OF?PE于F，连结DF，则OF?平面PBC

? ?ODF是OD与平面PBC所成的角.

又
OD∥PA
，
?
PA与平面PBC所成的角的大小等于
?ODF
，
在Rt?ODF中，sin?ODF?
OF210
?,

OD 30
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
OF?平面PBC
，∴F是O在平面PBC内的射影
∵D是PC的中点，
若点F是
?PBC
的重心，则B，F，D三点共线，∴ 直线OB在平面PBC内的射影为直线BD，
QOB?PC,?PC?BD,?PB?PC
，即
k?1

反之，当
k?1
时，三棱锥
O?PBC
为正三棱锥，
∴O在平面PBC内的射影为
?PBC
的重心

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