高中数学1 2测试卷答案解析-高中数学问题解决教学
必修2 学期综合测评(二)
对应学生用书P89
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部
分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、
选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目
要求的)
1．已知圆x
2
＋y
2
－2x＋my－4＝0上两点M，
N关于直线2x＋y＝0对称，
则圆的半径为( )
A．9 B．3 C．23
D．2
答案 B
m
??
解析 由题意知圆的圆心坐标为
?1，－
2
?
，又点M，N关于直线2x＋y＝0
??
m
对称，所以该直线过圆心，即2－
2
＝0，解得m＝4．此时该圆方程为(x－1)
2
＋
(y＋2)
2
＝9，所以该圆的半径为3．
2．用一个平面去截一个所有棱长均为1的五棱锥，其截面图形不可能是
( )
A．钝角三角形 B．等腰梯形
C．平行四边形 D．正五边形
答案 C
解析 ①若截面过棱PB，PE，则截面△PBE与△ABE是全等三角形，且
∠BAE＝10
8°，所以截面△PBE是钝角三角形，如图1．
②在平面PAB内作MN∥AB，交PA
，PB于点M，N，连接CE，则CE∥AB，
所以MN∥CE，且MN≠CE．又由题
意及作图知ME＝NC，所以四边形CEMN
是等腰梯形，如图2．
③用平行于底面的平面截
该棱锥，其截面图形是正五边形，如图3．综上所
述，不可能的截面图形是平行四边形．
3．△OAB的斜二测直观图如图所示，则原△OAB的面积为( )
2
A．
2
B．1
C．2 D．4
答案 C
1
解析
原三角形OAB为直角三角形，OB＝2，OA＝2，∴S＝
2
OA·OB＝2．
4
．过不重合的A(m
2
＋2，m
2
－3)，B(3－m－m
2
，
2m)两点的直线l的倾斜角
为45°，则m的值为( )
A．－1
B．－2
C．－1或2 D．1或－2
答案 B
解析 过A(m
2<
br>＋2，m
2
－3)，B(3－m－m
2
，
2m)两点的直线l
的斜率k＝
22
?
m
2
－2m－3
?
m
＋
2≠3－m－m，
＝
2
．且
?
即m≠－1．
22
2
m
＋2－3＋m＋m
2m
＋m－1
?
?
m
－3≠2m，
m
2
－3－2m
m
2
－2m－3
∵直线l的倾斜角为45°，∴k＝
2
＝1，化为整式方程为m
2
＋
3m＋
2m
＋m－1
2＝0，解得m＝－1(舍)或m＝－2，∴m＝－2．
5．圆x
2
＋y
2
－2x＋4y＝0与直线y－2tx＋2t＋1＝0(t
∈R)的位置关系为( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
答案 C
解析 圆x
2
＋y
2
－2x＋4
y＝0的圆心为(1，－2)，半径为5．因为y－2tx＋
2t＋1＝0(t∈R)，所以直线恒过点
(1，－1)．因为
所以点(1，－1)在圆内，故直线与圆相交．
6．在三棱锥A－BCD
中，E，F分别是AB，CD的中点，AC＝BD＝2，且
直线BD与AC所成的角为60°，则线段E
F的长度为( )
A．1 B．2 C．1或2 D．1或3
答案 D
?1－1?
2
＋?－2＋1?
2
＝1＜5，
解析
如图，取BC的中点G，连接EG，FG，则∠EGF(或其补角)为BD
与AC所成的角．∵BD与A
C所成的角为60°，∴∠EGF＝60°或∠EGF＝
120°．∵BD＝AC＝2，
∴EG＝FG＝1．∴当∠EGF＝60°时，EF＝1；
3
当∠EGF＝120°
时，EF＝1×
2
×2＝3．故EF＝1或EF＝3．
7．方程x
2
＝y
2
表示的图形是( )
A．两条相交而不垂直的直线
B．一个点
C．两条垂直的直线
D．两条平行直线
答案 C
解析
x
2
＝y
2
即(x＋y)(x－y)＝0，∴y＝±x．
8．将一张边长为6 cm的正方形纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等
的等腰三角形，
余下的部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥(底面是正方
形，顶点在底面的射影为底面正方形的中
心)模型，如图2放置．若正四棱锥的
主视图是正三角形(如图3)，则正四棱锥的体积
是( )
8646
A．
3
cm
3
B．
3
cm
3
8242
C．
3
cm
3
D．
3
cm
3
答案 A
解析 ∵正四棱锥的主视图是正三角形，设该正三角形的边长为a，则正四
3
棱锥的高
为
2
a，斜高为a．∵将一张边长为6 cm的正方形纸片按题图1的阴影
1a
部分截去四个全等的等腰三角形，∴
2
×62＝a＋
2
，a＝22(cm)
，∴正四棱锥
1386
的体积为
3
×a
2
×
2a＝
3
(cm
3
)．
9．到定点(1，0，0)的距离小于或等于1的点的集合为( )
A．{(x，y，z)
|(x－1)
2
＋y
2
＋z
2
≤1}
B．{(x
，y，z)|(x－1)
2
＋y
2
＋z
2
＝1}
C．{(x，y，z)|(x－1)
2
＋y
2
＋z
2
<1}
D．{(x，y，z)|(x－1)
2
≤1}
答案 A
解析
设动点坐标为(x，y，z)，
则?x－1?
2
＋?y－0?
2
＋
?z－0?
2
≤1，
即(x－1)
2
＋y
2
＋z
2
≤1，故选A． <
br>10．过点(3，1)作圆(x－2)
2
＋(y－2)
2
＝4的弦，其
中最短弦的长为( )
A．2 B．22 C．2 D．4
答案 B
解析 点(3，1)在圆内，要使弦长最短，须圆心C(2，2)与点N(3，1)所在
直
线与弦垂直，此时|CN|＝2，则弦长为24－2＝22．
11．在四棱锥P
－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面四边形ABCD是矩形，
且AD＝3AB，E是底面的边BC
上的动点，设
的λ的值有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案 C
BE
＝λ(0<λ<1)，则满足PE⊥DE
BC
解析 如图，连接AE．∵PA⊥底面ABCD，DE?平面ABCD，∴PA⊥DE．又
∵P
E⊥DE，PA∩PE＝P，∴DE⊥平面PAE，∴DE⊥AE，
∴点E在以AD为直径的圆上．∵
AD＝3AB，∴以AD为直径的圆与BC
有两个交点，∴满足PE⊥DE的λ的值有2个．故选C．
12．在空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(1，0，2)，
(1，2
，0)，(1，2，1)，(0，2，2)，若主视图以yOz平面为投射面，则该四面体
左视图面积为
( )
1
A．
2
B．1 C．2 D．4
答案 B
解析
若主视图以yOz平面为投射面，则该四面体左视图为三角形，底高
分别为1，2，面积为1．
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若圆柱、圆锥的底面直径和高
都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体
积的比为________．
答案 3∶1∶2
1
2π
解析 设球的直径为2R，则V
柱
＝πR
2
·2R＝2πR
3
，V
锥
＝
3
πR
2
·2
R＝
3
R
3
，
4
V
球
＝
3
πR
3
．V
柱
∶V
锥
∶V
球
＝3∶1∶
2．
14．设圆C：(x－3)
2
＋(y－5)
2
＝5，过圆心C
作直线l交圆于A，B两点，
交y轴于点P，若A恰好为线段BP的中点，则直线l的方程为_____
___．
答案 2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0
解析 因为点A为PB
的中点，而点C为AB的中点，因此，点C为PB的
一个四等分点．而C(3，5)，P点的横坐标为0
，因此A，B的横坐标分别为2，
4，将A的横坐标代入圆的方程，可得A(2，3)或A(2，7)，
根据直线的两点式得
到直线l的方程为2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0．
15．在平
面直角坐标系xOy中，已知圆x
2
＋y
2
＝4上有且仅有三个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的值为________．
答案 ±13
解析 由圆x
2
＋y
2
＝4，可知圆心为坐标原点，半径长为2．由
于圆上有且
仅有三个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，故圆心到直线的距离为1，即d
＝
|c|
12
＋5
22
＝1，解得c＝±13．
16．
如图，正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，线段B
1
D
1
上有两个动点
2
E，F，且EF＝
2
．给出下列命题：
①AC⊥BE；②EF∥平面ABCD；③三棱锥A－BEF的体积为定值．
其中正确的命题的序号为________．
答案 ①②③
解析 ①连接DB，由
题意知AC⊥平面DD
1
B
1
B，故AC⊥BE，正确；②由
正方体
ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的两个底面
平行，且EF?平面A
1
B
1
C
1
D
1
，
得EF与平
面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，正确；③由几何体的性质及题图知，
△BEF的面积是定值，点A到面DD
1
B
1
B距离是定值，故三棱锥A－
BEF的体
积为定值，正确．综上可知，①②③正确．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知一个组合体的三视图如下图所示，请根据具体
数据来求此几何体的
体积(单位：cm)．
解 由三视图知，此几何体是下面是一个圆柱中间是一个圆柱，上面
是一个
与中间圆柱同底的圆锥的组合体．由条件中尺寸可知
118
2
V圆锥
＝
3
Sh＝
3
π×2
×2＝
3
π
(cm
3
)．
V
圆柱中
＝Sh＝π×2
2
×10＝40π(cm
3
)，
V
圆柱下
＝Sh＝π×6<
br>2
×2＝72π(cm
3
)．
∴此组合体的体积V＝V
圆锥
＋V
圆柱中
＋V
圆柱下
8344
＝
3<
br>π＋40π＋72π＝
3
π(cm
3
)．
18．(本小题满
分12分)如图，C，D是以AB为直径的圆上两点，AB＝2AD
1
＝23，AC＝BC，F
是AB上一点，且AF＝
3
AB，将圆沿直径AB折起，使点
C在平面ABD内的射影
E在BD上，已知CE＝2．
(1)求证：AD⊥BC；
(2)求三棱锥A－CFD的体积．
解
(1)证明：依题意，得AD⊥BD，CE⊥平面ABD，
∴CE⊥AD．
∵BD∩CE＝E，
∴AD⊥平面BCD，
∴AD⊥BC．
(2)由题意可知∠ADB＝90°，AB＝2AD＝23，
∴AD＝3，
∴DB＝AB
2
－AD
2
＝
?23?
2
－?3?
2
＝3．
1331
∴S
△<
br>ABD
＝
2
×3×3＝
2
．又∵AF＝
3
A
B，
13
∴S
△
FAD
＝
3
S
△
ABD
＝
2
．
∵CE⊥平面ABD，
1136
∴V
A
－
CFD
＝V
C
－
AFD
＝
3
·S
△
FAD
·CE＝
3
×
2
×2＝
6
．
19．(本小题满分12分)如图，已知圆O：x
2
＋y
2
＝1和定点A(2，1)，由圆O
外一点P(a，b)向圆O引切线
PQ，切点为Q，且满足|PQ|＝|PA|．
(1)求实数a，b间满足的等量关系；
(2)求线段PQ长的最小值；
(3)若以P为圆心的圆P与圆O有公共点，试求圆P的半径长最小时圆P的
方程．
解 (1)如图，连接OP．∵Q为切点，∴PQ⊥OQ．
由勾股定理，有|PQ|
2
＝|OP|
2
－|OQ|
2
．
又由题意知|PQ|＝|PA|，故|PQ|
2
＝|PA|
2
， <
br>即(a
2
＋b
2
)－1
2
＝(a－2)
2<
br>＋(b－1)
2
，
化简得实数a，b间满足的等量关系为2a＋b－3＝0．
(2)解法一：由2a＋b－3＝0，得b＝－2a＋3．
|PQ|＝
＝
＝
＝
a
2
＋b
2
－1
a
2
＋?－2a＋3?
2
－1
5a
2
－12a＋8
625
?
6
?
4<
br>5
?
a－
5
?
2
＋
5
．当a＝5
时，|PQ|
min
＝
5
，
??
25
即线段PQ长的最小值为
5
．
解法二：由(1)知，点P在直线l：2x＋y－3＝0上，
所以|PQ|
min
＝|PA|
min
，即求点A到直线l的距离．
|2×2＋1－3|
25
所以|PQ|
min
＝＝
5
．
22
2
＋1
(3)解法一：设圆P的半径长为R．
∵圆P与圆O有公共点，圆O的半径长为1，
∴|R－1|≤|OP|≤R＋1，
即R≥||OP|－1|且R≤|OP|＋1．
而|OP|＝a
2
＋b2
＝a
2
＋?－2a＋3?
2
＝
?
6
?
9
5
?
a－
5
?
2
＋
5．
??
635
当a＝
5
时，|OP|
min
＝
5
．
335
此时，b＝－2a＋3＝
5
，R
m
in
＝
5
－1．
6
??
3
?
?
35
?
2
?
?
．
故半径长取最小值时圆P的方程为
?
x－
5
?
2
＋
?
y－
5
?<
br>2
＝
?
????
?
5
－1
?
解法二：∵圆P与圆O有公共点，∴圆P半径长r最小时，与圆O外切(取
小者)，而这些半径长的
最小值为圆心O到直线l的距离减去1，圆心P为过原
点与l垂直的直线l′与l的交点P
0<
br>．
∴r
min
＝
35
－1＝
5
－1．
2
2
＋1
2
3
又直线l′的方程为x－2y＝0，结合直线
l：2x＋y－3＝0，得方程组
?
?
x－2y＝0，
?
?
?
2x＋y－3＝0，
6
?
?
x＝
5
，
解得
?
3
y＝
?
?
5
，
?
63
?
即P
0
?
5
，
5
?<
br>．
??
6
?
2
?
3
?
2
?
故所求圆的方程为
?
x－
5
?
＋
?
y－
5
?
????
?
35
?
2
＝<
br>?
－1
?
．
?
5
?
20．(本小题满分1
2分)已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，
线段AB的垂直平分线交圆P于点
C和D，且|CD|＝410．
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程；
(3)设点Q在圆P上，问：使△QAB的面积等于8的点Q共有几个？证明你
的结论．
解 (1)∵A(－1，0)和B(3，4)∴k
AB
＝1，
由题意知直线AB与CD垂直，
故k
CD
·k
AB
＝－1，∴k
CD
＝－1． <
br>又由题意知，线段CD经过线段AB的中点(1，2)，所以CD的直线方程为x
＋y－3＝0．
(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上，得
a＋b－3＝0．①
∵直径|CD|＝410，∴|PA|＝210．
∴(a＋1)
2
＋b
2
＝40．②
??<
br>?
a＝－3，
?
a＝5，
由①②解得
?
或
?
??
?
b＝6，
?
b＝－2.
∴圆心P(－3，
6)或P(5，－2)．
∴圆P的方程为(x＋3)
2
＋(y－6)
2＝40或(x－5)
2
＋(y＋2)
2
＝40．
(3)圆P上共有两个点Q使△QAB的面积为8．
证明：∵|AB|＝4
2
＋4
2
＝42，
∴当△QAB的面积为8时，点Q到直线AB的距离为22．
又圆心P到直线AB的距离为42，圆P的半径长r＝210，且42＋22＞
210，
∴圆P上共有两个点Q使△QAB的面积为8．
21．(本小题满分12分)某几何体的三视
图如图所示，P是正方形ABCD对
角线的交点，G是PB的中点．
(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；
(2)在直观图中，①证明：PD∥面AGC；
②证明：平面PBD⊥平面AGC．
解 (1)该几何体的直观图如图所示．
<
br>(2)证明：如图，①连接AC，BD交于点O，连接OG，因为G为PB的中点，
O为BD的中点，所以OG∥PD．
又OG?平面AGC，PD?平面AGC，
所以PD∥平面AGC．
②连接PO，由三视图，PO⊥平面ABCD，
所以AO⊥PO．
又AO⊥BO，BO∩PO＝O，所以AO⊥平面PBD．
因为AO?平面AGC，
所以平面PBD⊥平面AGC．
22．(本小题满分12
分)已知圆C：x
2
＋y
2
－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为
1的直线l，使以l被圆C所截得的弦AB为直径的圆经过原点？若存在，写出
直线l的方程；若不存在
，请说明理由．
解 假设直线l存在，设l的方程为y＝x＋m，
?
?
y＝x＋m，
由
?
得
22
?
?
x
＋y－2x＋4y－4＝0，
2x
2
＋2(m＋1)x＋m<
br>2
＋4m－4＝0．(*)
设A(x
1
，y
1
)，
B(x
2
，y
2
)，则
m
2
＋4m－4
x
1
＋x
2
＝－(m＋1)，x
1
x
2
＝
．
2
∵以AB为直径的圆为
(x－x
1
)(x－x2
)＋(y－y
1
)(y－y
2
)＝0，
若它经过原
点，则x
1
x
2
＋y
1
y
2
＝0． 又y
1
y
2
＝(x
1
＋m)(x
2
＋
m)
＝x
1
x
2
＋m(x
1
＋x
2)＋m
2
，
∴2x
1
x
2
＋m(x
1
＋x
2
)＋m
2
＝0，
∴m
2
＋3m－4＝0，解得m＝－4或m＝1．
当m＝－4或m＝1时，(*)式的Δ>0，
∴所求直线l的方程是x－y－4＝0或x－y＋1＝0．