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人教B版高中数学必修二模块检测

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 17:45
tags:高中数学必修二视频

新西兰高中数学卷-2018河北高中数学竞赛预赛

2020年10月6日发(作者:叶佩雯)


------------------------------------------- ------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点---------- -------------------------------------------








模块检测

(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共6 0分.在每小题给出的四
个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.用
a

b

c
表示三条不同的直线,
γ
表示平面,给出下列命题 :
①若
a

b

b

c
,则< br>a

c
;②若
a

b

b

c
,则
a

c
;③若
a

γ< br>,
b

γ
,则
a

b
;④若
a

γ

b

γ
,则
a
b
.
其中真命题的序号是
A.①②
C.①④
( ).
B.②③
D.③④
解析 由平行公理可知①正确;②不正确,若三条 直线在同一平面内,则
a

c
;③不正确,
a

b
有可能平行,也有可能异面或相交;由线面垂直的性质
可知④正确.
答案 C
2.直线2
x

y
+3=0的倾斜角所在区间是
π
??
A.
?
0,
?

4
??< br>?
ππ
?
B.
?

?

2
??
4
( ).
信达


-- -------------------------------------------------- ---------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点------------------- ----------------------------------



?
π3π
?
C.
?

?

4
??
2
?

?
,π
?
D.
?
?
4
?
?
ππ
?
解析 由直线方程 得其斜率
k
=2,又
k
>1,∴倾斜角的范围为
?

?
.故
2
??
4
选B.
答案 B
1
3.若直线
y

x
+2
k
+1与直线
y
= -
x
+2的交点在第一象限,则实数
k
2
的取值范围是
?
51
?
A.
?
-,
?

?22
?
1
??
5
C.
?
-,-
?
2
??
2
( ).
?
21
?
B.
?
-,
?

?52
?
?
21
?
D.
?
-,
?

?
52
?
解析
?
联立方程组
?
1< br>y
=-
x
+2.
2
?
y

x
+2
k
+1,

21-2
k
?
?
x
3

?
2
k
+5
y
=.
?
3
?


因为直
线
y

x
+2
k
+1与直线
y
=-
21-2
k
?
>0,
?
3
?
2
k
+5
?
?
3< br>>0,
1
x
+2的交点在第一象限,所以
2

1?
k
<,
?
2
解得
?
5
k
> -.
?
2
?



51
所以-<
k
<.
22
答案 A
4.在空间 直角坐标系中,已知点
P
(1,2,3),过
P
作平面
yOz
的垂线
PQ
,则垂足
Q
的坐标为
A.(0,2,0)
C.(1,0,3)
( ).
B.(0,2,3)
D.(1,2,0)
解析 根据空间直角坐标系的概念知,
yOz
平面上点
Q

x
坐标为0,
y

信达

------------------------------------------------ -------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点--------------- --------------------------------------



标、
z
坐标与点
P

y
坐标2,
z
坐标3分别相等,∴
Q
(0,2,3).故选B.
答案 B
5.若
PQ
是圆
x
2

y
2
=9的弦,< br>PQ
的中点是
M
(1,2),则直线
PQ
的方程是
( ).
A.
x
+2
y
-3=0
C.2
x

y
+4=0
2-0
解析 由题意知
k
OM
==2,
1-0
1

k
PQ
=-,
2
∴直线
PQ
的方程为:
B.
x
+2
y
-5=0
D.2
x

y
=0
y
-2=-(
x
-1),

x
+2
y
-5=0.故选B.
答案 B
6. 直线
l
通过两直线7
x
+5
y
-24=0和
x
y
=0的交点,且点(5,1)到
l
的距离为10,则
l的方程是
A.3
x

y
+4=0
C.3
x

y
-4=0
?
7
x
+5
y
-24=0,
解析 由
?
?
x

y
=0.
( ).
1
2
B.3
x

y
+4=0
D.
x
-3
y
-4=0

得交点(2,2),

l
的方程为
y
-2=
k
(
x
- 2),

kx

y
+2-2
k
=0,

|5
k
-1+2-2
k
|
=10,解得
k
=3.
22
k
+-1

l
的方程为3
x

y
-4=0.故选C.
答案 C
7.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所 有棱的长都为
a
,顶点都在一个球面上,
则该球的表面积为 ( ).
信达


----------------------------- --------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是 一个起点---------------------------------------------- -------



A.π
a
2

C.
11
π
a
2

3
7
B.π
a
2

3
D.5π
a
2


解析 由题意知,该三棱柱为 正三棱柱,且侧棱与底面边长相等,均为
a
.
如图,
P
为三棱柱上底 面的中心,
O
为球心,
?
3
?
2
?
1< br>?
2331
2
易知
AP
=×
a

a

OP

a
,所以球的半径
R

OA满足
R

?
a
?

?
a
?< br>3232
?
3
?
?
2
?
2
7
2
7
2

a
,故
S

=4π
R
=π
a
2
.
123
答案 B
8.若直线+=1 与圆
x
2

y
2
=1有公共点,则
xy
ab


A.
a
2

b
2
≤1
11
C.
2

2
≤1
( ).
B.
a
2

b
2
≥1
11
D.
2

2
≥1
abab
解析 直线+=1与圆
x
2

y
2
=1有公共点,
因此 圆心(0,0)到直线
bx

ay

ab
=0的距离应小于 等于1.
|-
ab
|11

2
≤1,∴
2

2
≥1.故选D.
ab
a

b
2
答案 D
9.若直线
l< br>与直线
y
=1,
x
=7,分别交于点
P

Q
,且线段
PQ
的中点坐标
为(1,-1),则直线
l
的斜率 为
1
A.
3
( ).
xy
ab
1
B.-
3
信达


-- -------------------------------------------------- ---------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点------------------- ----------------------------------



3
C.-
2
2
D.
3
解析 设
P(
x
P

y
P
),由题意及中点坐标公式,得
x
P
+7=2,解得
x
P
=-5,

P
( -5,1),∴直线
l
的斜率
k

答案 B
10.已知点
A
(-3,-4),
B
(6,3)到直线
l

ax

y
+1=0的距离相等,则
实数
a
的值为
7
A.
9
71
C.-或-
93
( ).
1--1
-5-1
1
=-.
3
1
B.-
3
71
D.或
93
|-3
a
-4+1||6
a
+3+1|
解析 由题意及点到直线的距离公式得,=,解得
22
a
+1
a
+1
a
=-或-.
答案 C
11.在三棱柱
ABC
1
3< br>7
9
A
1
B
1
C
1
中,各棱长相等 ,侧棱垂直于底面,点
D
是侧面
( ).
BB
1
C
1
C
的中心,则
AD
与平面
BB
1
C1
C
所成角的大小是
A.30°
C.60°
B.45°
D.90°
解析 过
A

AE

BC
于 点
E
,则易知
AE
⊥面
BB
1
C
1
C
,则∠
ADE
即为所求,又
tan∠
ADE

AE
=3,
DE
故∠
ADE
=60°.故选C.
答案 C
12.过点
M
(-2,4)作圆
C
:(
x
-2 )
2
+(
y
-1)
2
=25的切线
l
,且 直线
l
1

ax
+3
y
+2
a
= 0与
l
平行,则
l
1

l
间的距离是

8
A.
5
( ).
2
B.
5

信达


-------------------------------- -----------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起 点------------------------------------------------- ----



C.
28

5
D.
12

5
解析 因为点
M
(-2,4)在圆
C
上,
所以切线
l
的 方程为(-2-2)(
x
-2)+(4-1)(
y
-1)=25,即4
x
-3
y
+20
=0.
因为直线
l
与直线
l
1
平行,所以-=,
33< br>即
a
=-4,所以直线
l
1
的方程是-4
x
+3
y
-8=0,即4
x
-3
y
+8=0.
所以直线
l
1
与直线
l
间的距离为
答案 D
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线
上)
1 3.已知圆心在
x
轴上,半径为2的圆
O
位于
y
轴左侧,且 与直线
x

y
=0
相切,则圆
O
的方程是____ ____.
解析 设圆心为(
a,
0)(
a
<0),

r

|
a
+0|
=2,∴
a
=-2, < br>22
1+1
|20-8|
4
2
+-3

2< br>12
.故选D.
5
a
4
∴圆
O
的方程为(
x
+2)
2

y
2
=2.
答案 (
x
+2)
2

y
2
=2
14.若过点
P
(1-
a,
1+
a
)与
Q
(3,2a
)的直线的倾斜角为钝角,则实数
a
的取
值范围是________.
解析
k
=tan
α


α
为钝角,∴< br>∴-2<
a
<1.
答案 (-2,1)
15.与
x
轴相切并和圆
x
2

y
2
=1外切的圆的圆心的轨迹方程 是________.
解析 设
M
(
x

y
)为 所求轨迹上任一点,则由题意知1+|
y
|=
x
2

y2
,化
2
a
-1+
a
3-1-
a
=< br>a
-1
.
a
+2
a
-1
<0,即(
a
-1)(
a
+2)<0.
a
+2
信达


--------------------------------------------- ----------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点------------ -----------------------------------------



简得
x
=2|
y
|+1.
答案
x
2
=2|
y
|+1.
2

16.如图 所示,正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1,以
D
为原点,以正方体
的三条棱
DA

DC

DD
1
所在的直线分别为
x
轴,
y
轴,
z
轴建立空间直角坐标系,
若点
P
在正方体的侧面
B CC
1
B
1
及其边界上运动,并且总是保持
AP

BD
1
,则下列
1
??
1

P
的坐标①( 1,1,1),②(0,1,0),③(1,1,0),④(0,1,1),⑤
?
,1,
?
中正
2
??
2
确的是________.
解析 ∵点
P
在正方体的侧面
BCC
1
B
1
及其边界上运动,
BD
1
是定线段,
AP

BD
1


∴直线
AP
在与直线
BD
1
垂直的平面内运动, 连接
AB
1

AC
得平面
ACB
1
,由于
BD
1
⊥平面
ACB
1
而△
ACB
1与平面
BCC
1
B
1
的交线为
CB
1
,点
P
的轨迹是线段
CB
1
,故
正确的结论有①②⑤.
答案 ①②⑤
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证< br>明过程或演算步骤)
17.(10分)求经过原点,且过圆
x
2
+< br>y
2
+8
x
-6
y
+21=0和直线
x
y
+5=0
的两个交点的圆的方程.
?
x

y
+8
x
-6
y
+21=0,
解 由
?
?
x

y
+5=0,
求得交点(-2,3),(-4,1). 设所求圆的方程为
x
2

y
2

Dx

Ey

F
=0,
信达
22


----------------------------------------- --------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-------- ---------------------------------------------



∵(0,0),(-2,3),(-4,1)三点在圆上,
?

?
4+9-2
D
+3
E

F
=0,?
16+1-4
D

E

F
=0,
程 为
x
2

y
2

199
x
y
=0.
55
F
=0,

?
?
9< br>解得
?
E
=-,
5
?
?
F
=0,< br>19
D
=,
5

所以所求圆的方
18.(12分)在 △
ABC
中,
BC
边上的高所在直线的方程为
x
-2
y
+1=0,∠
A
的平分线所在的直线方程为
y
=0.若点
B
的坐标为(1,2),求点
A
和点
C
的坐标.
?
x
-2
y
+1=0,
解 由方程组
?
?
y
=0,

解得点
A
的坐标 为(-1,0),又直线
AB

斜率
k
AB
=1,
x
轴是∠
A
的平分线,
所以
k
AC
=-1,

AC
边所在的直线方程为
y
=-(
x
+1).①
又已知
BC
边上的高所在直线的方程为
x
-2
y
+ 1=0,
故直线
BC
的斜率
k
BC
=-2,
所 以
BC
边所在的直线方程为
y
-2=-2(
x
-1).②
?
x
=5,
解①②组成的方程组得
?
?
y
=-6,
即顶点
C
的坐标为(5,-6).
19.(12分)已知圆
C

x
2

y
2
+2
x
-4< br>y
+3=0,若圆
C
的切线在
x
轴、
y
轴< br>上的截距相等,求切线的方程.
解 由方程
x

y
+2x
-4
y
+3=0知圆心为(-1,2),半径为2.
当切线过原点时 ,设切线方程为
y

kx
,则
|
k
+2|
=2,
k
2
+1
22



k
=2±6,即切线方程为
y
=(2±6)
x
.
当切线不过原点时,设切线方程为
x

y

a

|-1+2-
a
|
则=2.
2
信达

------------------------------------------------ -------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点--------------- --------------------------------------



解得
a
=-1或
a
=3,
即切线方程为
x

y
+1=0或
x

y
-3=0.
∴切线方程为
y
=(2±6)
x

x

y
+1=0或
x

y
-3=0.
20.(12分)过点
P< br>(3,0)作一直线,使它夹在两直线
l
1
:2
x

y
-2=0与
l
2

x

y
+3=0之间 的线段
AB
恰被点
P
平分,求此直线的方程.
解 法一 设点
A
(
x

y
)在
l
1
上,
x

x
?
?
2
=3,
由题意知
?
y

y
?
?
2
=0,
B
B


∴点
B
(6-
x
,-
y
), ?
2
x

y
-2=0,
解方程组
?
?
6-
x
+-
y
+3=0,
11
?
x
=,
?
3

?
16
y

?
?< br>3
.



16
-0
3

k
==8.
11
-33
∴所求的直线方程为
y
=8(
x
-3),
即8
x

y
-24=0.
法二 设所求的直线方程为
y

k
(
x
-3),
?y

kx
-3,

?
?
2
x

y
-2=0,


3
k
-2
?
?
x

k
-2

解得
?
4
ky

?
?
k
-2
.
A
A
?< br>y

kx
-3,

?
?
x

y
+3=0,
3
k
-3
?
x

?
k
+1

解得
?
-6
k
?
?
y

k
+1
.
B
B





P
(3,0)是线段
AB
的中点,
信达


--------------------------------------------- ----------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点------------ -----------------------------------------




y
A

y
B
=0,即
4k
-6
k
+=0,
k
-2
k
+1

k
2
-8
k
=0,解得
k
=0或
k
=8.
又∵当
k
=0时,
x
A
=1,
x
B
=-3,
此时
x
A

x
B
1-3< br>2

2
≠3,∴
k
=0舍去,
∴所求的直线方程为
y
=8(
x
-3),即8
x

y
-24= 0.

21.(12分)如图所示,已知直二面角
αABβ

P< br>∈
α

Q

β

PQ
与平

α

β
所成的角都为30°,
PQ
=4,
PC< br>⊥
AB

C
为垂足,
QD

AB

D
为垂足.求:
(1)直线
PQ

CD
所成角的大小;
(2)四面体
PCDQ
的体积.


解 (1)如图,在 平面
β
内,作
CE

DQ
,连接
PE
,< br>QE
,则四边形
CDQE
为平
行四边形,所以
EQ

CD
,即∠
PQE
为直线
PQ

CD
所成 的角(或其补角).

α

β

α

β

AB

PC

AB

C
.

PC

β
.同理
QD

α


PQ
与平面
α

β
所成的角都为30°,
∴∠
PQC
=30°,∠
QPD
=30°,
3

CQ

PQ
·cos30°=4×=23,
2
1
DQ

PQ
·sin30°=4×=2.
2
在Rt△
CDQ
中,
CD

CQ
2
DQ
2
=12-4=22,从而
EQ
=22.

QD

AB
,且四边形
CDQE
为平行四边形,

QE

CE
.又
PC

β
,< br>EQ
?
β
,∴
EQ

PC
.
信达


--------------------------------------- ----------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点------ -----------------------------------------------




EQ
⊥平面
PCE
,从而
EQ

PE
.
在Rt△
PEQ
中,cos∠
PQE< br>=
EQ
222
==.
PQ
42
∴∠
PQE
=45°,即直线
PQ

CD
所成角的大小为45°.
( 2)在Rt△
PCQ
中,
PQ
=4,∠
PQC
=30°,
11

PC
=2.而
S

CDQ

CD
·
DQ
=×22×2=22,故四面体
PCDQ
的体积为V
22
1

S

CDQ
·
PC

3
14
=×22×2=2.
33

22.(12分) 如图所示,在正三棱柱(底面是正三角形,侧棱和底面垂直的三
棱柱)
ABCA
1B
1
C
1
中,
AB

AA
1

D

BC
上的一点,且
AD

C
1D
.
(1)求证:
A
1
B
∥平面
AC
1
D

(2)在棱
CC
1
上是否存在一点
P< br>,使直线
PB
1
⊥平面
AC
1
D
?若存在, 找出这个
点,并加以证明:若不存在,请说明理由.

(1)证明 ∵
ABCA
1
B
1
C
1
是正三棱柱,

CC
1
⊥平面
ABC
,又
AD
?平面
AB C


CC
1

AD
.

AD

C
1
D

CC
1

C
1
D

C
1
,∴
AD
⊥平面
BCC
1
B
1


AD

BC
,∴
D

BC
的中点.
连接
A
1
C
,设与< br>AC
1
相交于点
E
,则点
E

A
1
C
的中点.
连接
DE
,则在△
A
1
BC
中,
D

E
分别是
BC

A
1
C
的中点,∴
A
1
B

DE
.
信达


--------------------------------------------- ----------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点------------ -----------------------------------------




DE
?平面
AC
1
D

A< br>1
B
?平面
AC
1
D


A
1
B
∥平面
AC
1
D
.
(2)解 存在这样的点
P
,且点
P

CC
1
的中点. 下面给出证明:由(1)知
AD
⊥平面
BCC
1
B
1< br>,故
B
1
P

AD
.

PB1

C
1
D
相交于点
Q

由于△< br>DC
1
C
≌△
PB
1
C
1
,故∠< br>QB
1
C
1
=∠
CC
1
D
因为∠
QC
1
B
1
=∠
CDC
1

从而△
QC
1
B
1
∽△
CDC
1
,所以∠
C
1
QB
1
=∠
DCC
1
=90 °,
所以
B
1
P

C
1
D
.
因为
AD

C
1
D

D
,所以< br>B
1
P
⊥平面
AC
1
D
.
信达

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