新西兰高中数学卷-2018河北高中数学竞赛预赛
-------------------------------------------
------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点----------
-------------------------------------------
模块检测
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共6
0分.在每小题给出的四
个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.用
a
,
b
,
c
表示三条不同的直线,
γ
表示平面,给出下列命题
:
①若
a
∥
b
,
b
∥
c
,则<
br>a
∥
c
;②若
a
⊥
b
,
b
⊥
c
,则
a
⊥
c
;③若
a
∥
γ<
br>,
b
∥
γ
,则
a
∥
b
;④若
a
⊥
γ
,
b
⊥
γ
,则
a
∥b
.
其中真命题的序号是
A.①②
C.①④
( ).
B.②③
D.③④
解析 由平行公理可知①正确;②不正确,若三条
直线在同一平面内,则
a
∥
c
;③不正确,
a
与
b
有可能平行,也有可能异面或相交;由线面垂直的性质
可知④正确.
答案 C
2.直线2
x
-
y
+3=0的倾斜角所在区间是
π
??
A.
?
0,
?
4
??<
br>?
ππ
?
B.
?
,
?
2
??
4
( ).
信达
--
--------------------------------------------------
---------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-------------------
----------------------------------
?
π3π
?
C.
?
,
?
4
??
2
?
3π
?
,π
?
D.
?
?
4
?
?
ππ
?
解析 由直线方程
得其斜率
k
=2,又
k
>1,∴倾斜角的范围为
?
,
?
.故
2
??
4
选B.
答案 B
1
3.若直线
y
=
x
+2
k
+1与直线
y
=
-
x
+2的交点在第一象限,则实数
k
2
的取值范围是
?
51
?
A.
?
-,
?
?22
?
1
??
5
C.
?
-,-
?
2
??
2
( ).
?
21
?
B.
?
-,
?
?52
?
?
21
?
D.
?
-,
?
?
52
?
解析
?
联立方程组
?
1<
br>y
=-
x
+2.
2
?
y
=
x
+2
k
+1,
21-2
k
?
?
x=
3
得
?
2
k
+5
y
=.
?
3
?
,
因为直
线
y
=
x
+2
k
+1与直线
y
=-
21-2
k
?
>0,
?
3
?
2
k
+5
?
?
3<
br>>0,
1
x
+2的交点在第一象限,所以
2
1?
k
<,
?
2
解得
?
5
k
>
-.
?
2
?
51
所以-<
k
<.
22
答案 A
4.在空间
直角坐标系中,已知点
P
(1,2,3),过
P
作平面
yOz
的垂线
PQ
,则垂足
Q
的坐标为
A.(0,2,0)
C.(1,0,3)
( ).
B.(0,2,3)
D.(1,2,0)
解析 根据空间直角坐标系的概念知,
yOz
平面上点
Q
的
x
坐标为0,
y
坐
信达
------------------------------------------------
-------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点---------------
--------------------------------------
标、
z
坐标与点
P
的
y
坐标2,
z
坐标3分别相等,∴
Q
(0,2,3).故选B.
答案 B
5.若
PQ
是圆
x
2
+
y
2
=9的弦,<
br>PQ
的中点是
M
(1,2),则直线
PQ
的方程是
( ).
A.
x
+2
y
-3=0
C.2
x
-
y
+4=0
2-0
解析
由题意知
k
OM
==2,
1-0
1
∴
k
PQ
=-,
2
∴直线
PQ
的方程为:
B.
x
+2
y
-5=0
D.2
x
-
y
=0
y
-2=-(
x
-1),
即
x
+2
y
-5=0.故选B.
答案 B
6.
直线
l
通过两直线7
x
+5
y
-24=0和
x-
y
=0的交点,且点(5,1)到
l
的距离为10,则
l的方程是
A.3
x
+
y
+4=0
C.3
x
-
y
-4=0
?
7
x
+5
y
-24=0,
解析
由
?
?
x
-
y
=0.
( ).
1
2
B.3
x
-
y
+4=0
D.
x
-3
y
-4=0
得交点(2,2),
设
l
的方程为
y
-2=
k
(
x
-
2),
即
kx
-
y
+2-2
k
=0,
∴
|5
k
-1+2-2
k
|
=10,解得
k
=3.
22
k
+-1
∴
l
的方程为3
x
-
y
-4=0.故选C.
答案 C
7.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所
有棱的长都为
a
,顶点都在一个球面上,
则该球的表面积为 (
).
信达
-----------------------------
--------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是
一个起点----------------------------------------------
-------
A.π
a
2
C.
11
π
a
2
3
7
B.π
a
2
3
D.5π
a
2
解析 由题意知,该三棱柱为
正三棱柱,且侧棱与底面边长相等,均为
a
.
如图,
P
为三棱柱上底
面的中心,
O
为球心,
?
3
?
2
?
1<
br>?
2331
2
易知
AP
=×
a
=
a
,
OP
=
a
,所以球的半径
R
=
OA满足
R
=
?
a
?
+
?
a
?<
br>3232
?
3
?
?
2
?
2
7
2
7
2
=
a
,故
S
球
=4π
R
=π
a
2
.
123
答案 B
8.若直线+=1
与圆
x
2
+
y
2
=1有公共点,则
xy
ab
A.
a
2
+
b
2
≤1
11
C.
2
+
2
≤1
( ).
B.
a
2
+
b
2
≥1
11
D.
2
+
2
≥1
abab
解析
直线+=1与圆
x
2
+
y
2
=1有公共点,
因此
圆心(0,0)到直线
bx
+
ay
-
ab
=0的距离应小于
等于1.
|-
ab
|11
∴
2
≤1,∴
2
+
2
≥1.故选D.
ab
a
+
b
2
答案 D
9.若直线
l<
br>与直线
y
=1,
x
=7,分别交于点
P
,
Q
,且线段
PQ
的中点坐标
为(1,-1),则直线
l
的斜率
为
1
A.
3
( ).
xy
ab
1
B.-
3
信达
--
--------------------------------------------------
---------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-------------------
----------------------------------
3
C.-
2
2
D.
3
解析 设
P(
x
P
,
y
P
),由题意及中点坐标公式,得
x
P
+7=2,解得
x
P
=-5,
∴
P
(
-5,1),∴直线
l
的斜率
k
=
答案 B
10.已知点
A
(-3,-4),
B
(6,3)到直线
l
:
ax
+
y
+1=0的距离相等,则
实数
a
的值为
7
A.
9
71
C.-或-
93
( ).
1--1
-5-1
1
=-.
3
1
B.-
3
71
D.或
93
|-3
a
-4+1||6
a
+3+1|
解析
由题意及点到直线的距离公式得,=,解得
22
a
+1
a
+1
a
=-或-.
答案 C
11.在三棱柱
ABC
1
3<
br>7
9
A
1
B
1
C
1
中,各棱长相等
,侧棱垂直于底面,点
D
是侧面
( ).
BB
1
C
1
C
的中心,则
AD
与平面
BB
1
C1
C
所成角的大小是
A.30°
C.60°
B.45°
D.90°
解析 过
A
作
AE
⊥
BC
于
点
E
,则易知
AE
⊥面
BB
1
C
1
C
,则∠
ADE
即为所求,又
tan∠
ADE
=
AE
=3,
DE
故∠
ADE
=60°.故选C.
答案
C
12.过点
M
(-2,4)作圆
C
:(
x
-2
)
2
+(
y
-1)
2
=25的切线
l
,且
直线
l
1
:
ax
+3
y
+2
a
=
0与
l
平行,则
l
1
与
l
间的距离是
8
A.
5
( ).
2
B.
5
信达
--------------------------------
-----------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起
点-------------------------------------------------
----
C.
28
5
D.
12
5
解析
因为点
M
(-2,4)在圆
C
上,
所以切线
l
的
方程为(-2-2)(
x
-2)+(4-1)(
y
-1)=25,即4
x
-3
y
+20
=0.
因为直线
l
与直线
l
1
平行,所以-=,
33<
br>即
a
=-4,所以直线
l
1
的方程是-4
x
+3
y
-8=0,即4
x
-3
y
+8=0.
所以直线
l
1
与直线
l
间的距离为
答案 D
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线
上)
1
3.已知圆心在
x
轴上,半径为2的圆
O
位于
y
轴左侧,且
与直线
x
+
y
=0
相切,则圆
O
的方程是____
____.
解析 设圆心为(
a,
0)(
a
<0),
则
r
=
|
a
+0|
=2,∴
a
=-2, <
br>22
1+1
|20-8|
4
2
+-3
=
2<
br>12
.故选D.
5
a
4
∴圆
O
的方程为(
x
+2)
2
+
y
2
=2.
答案
(
x
+2)
2
+
y
2
=2
14.若过点
P
(1-
a,
1+
a
)与
Q
(3,2a
)的直线的倾斜角为钝角,则实数
a
的取
值范围是________.
解析
k
=tan
α
=
∵
α
为钝角,∴<
br>∴-2<
a
<1.
答案 (-2,1)
15.与
x
轴相切并和圆
x
2
+
y
2
=1外切的圆的圆心的轨迹方程
是________.
解析 设
M
(
x
,
y
)为
所求轨迹上任一点,则由题意知1+|
y
|=
x
2
+
y2
,化
2
a
-1+
a
3-1-
a
=<
br>a
-1
.
a
+2
a
-1
<0,即(
a
-1)(
a
+2)<0.
a
+2
信达
---------------------------------------------
----------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点------------
-----------------------------------------
简得
x
=2|
y
|+1.
答案
x
2
=2|
y
|+1.
2
16.如图
所示,正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1,以
D
为原点,以正方体
的三条棱
DA
,
DC
,
DD
1
所在的直线分别为
x
轴,
y
轴,
z
轴建立空间直角坐标系,
若点
P
在正方体的侧面
B
CC
1
B
1
及其边界上运动,并且总是保持
AP
⊥
BD
1
,则下列
1
??
1
点
P
的坐标①(
1,1,1),②(0,1,0),③(1,1,0),④(0,1,1),⑤
?
,1,
?
中正
2
??
2
确的是________.
解析 ∵点
P
在正方体的侧面
BCC
1
B
1
及其边界上运动,
BD
1
是定线段,
AP
⊥
BD
1
,
∴直线
AP
在与直线
BD
1
垂直的平面内运动,
连接
AB
1
,
AC
得平面
ACB
1
,由于
BD
1
⊥平面
ACB
1
而△
ACB
1与平面
BCC
1
B
1
的交线为
CB
1
,点
P
的轨迹是线段
CB
1
,故
正确的结论有①②⑤.
答案 ①②⑤
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证<
br>明过程或演算步骤)
17.(10分)求经过原点,且过圆
x
2
+<
br>y
2
+8
x
-6
y
+21=0和直线
x-
y
+5=0
的两个交点的圆的方程.
?
x
+
y
+8
x
-6
y
+21=0,
解 由
?
?
x
-
y
+5=0,
求得交点(-2,3),(-4,1). 设所求圆的方程为
x
2
+
y
2
+
Dx
+
Ey
+
F
=0,
信达
22
p>
-----------------------------------------
--------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点--------
---------------------------------------------
∵(0,0),(-2,3),(-4,1)三点在圆上,
?
∴
?
4+9-2
D
+3
E
+
F
=0,?
16+1-4
D
+
E
+
F
=0,
程
为
x
2
+
y
2
+
199
x
-y
=0.
55
F
=0,
?
?
9<
br>解得
?
E
=-,
5
?
?
F
=0,<
br>19
D
=,
5
所以所求圆的方
18.(12分)在
△
ABC
中,
BC
边上的高所在直线的方程为
x
-2
y
+1=0,∠
A
的平分线所在的直线方程为
y
=0.若点
B
的坐标为(1,2),求点
A
和点
C
的坐标.
?
x
-2
y
+1=0,
解
由方程组
?
?
y
=0,
解得点
A
的坐标
为(-1,0),又直线
AB
的
斜率
k
AB
=1,
x
轴是∠
A
的平分线,
所以
k
AC
=-1,
则
AC
边所在的直线方程为
y
=-(
x
+1).①
又已知
BC
边上的高所在直线的方程为
x
-2
y
+
1=0,
故直线
BC
的斜率
k
BC
=-2,
所
以
BC
边所在的直线方程为
y
-2=-2(
x
-1).②
?
x
=5,
解①②组成的方程组得
?
?
y
=-6,
即顶点
C
的坐标为(5,-6).
19.(12分)已知圆
C
:
x
2
+
y
2
+2
x
-4<
br>y
+3=0,若圆
C
的切线在
x
轴、
y
轴<
br>上的截距相等,求切线的方程.
解 由方程
x
+
y
+2x
-4
y
+3=0知圆心为(-1,2),半径为2.
当切线过原点时
,设切线方程为
y
=
kx
,则
|
k
+2|
=2,
k
2
+1
22
∴
k
=2±6,即切线方程为
y
=(2±6)
x
.
当切线不过原点时,设切线方程为
x
+
y
=
a
,
|-1+2-
a
|
则=2.
2
信达
------------------------------------------------
-------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点---------------
--------------------------------------
解得
a
=-1或
a
=3,
即切线方程为
x
+
y
+1=0或
x
+
y
-3=0.
∴切线方程为
y
=(2±6)
x
或
x
+
y
+1=0或
x
+
y
-3=0.
20.(12分)过点
P<
br>(3,0)作一直线,使它夹在两直线
l
1
:2
x
-
y
-2=0与
l
2
:
x
+
y
+3=0之间
的线段
AB
恰被点
P
平分,求此直线的方程.
解 法一
设点
A
(
x
,
y
)在
l
1
上,
x
+
x
?
?
2
=3,
由题意知
?
y
+
y
?
?
2
=0,
B
B
∴点
B
(6-
x
,-
y
), ?
2
x
-
y
-2=0,
解方程组
?
?
6-
x
+-
y
+3=0,
11
?
x
=,
?
3
得
?
16
y
=
?
?<
br>3
.
16
-0
3
∴
k
==8.
11
-33
∴所求的直线方程为
y
=8(
x
-3),
即8
x
-
y
-24=0.
法二
设所求的直线方程为
y
=
k
(
x
-3),
?y
=
kx
-3,
则
?
?
2
x
-
y
-2=0,
3
k
-2
?
?
x
=
k
-2
,
解得
?
4
ky
=
?
?
k
-2
.
A
A
?<
br>y
=
kx
-3,
由
?
?
x
+
y
+3=0,
3
k
-3
?
x
=
?
k
+1
,
解得
?
-6
k
?
?
y
=
k
+1
.
B
B
∵
P
(3,0)是线段
AB
的中点,
信达
---------------------------------------------
----------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点------------
-----------------------------------------
∴
y
A
+
y
B
=0,即
4k
-6
k
+=0,
k
-2
k
+1
∴
k
2
-8
k
=0,解得
k
=0或
k
=8.
又∵当
k
=0时,
x
A
=1,
x
B
=-3,
此时
x
A
+
x
B
1-3<
br>2
=
2
≠3,∴
k
=0舍去,
∴所求的直线方程为
y
=8(
x
-3),即8
x
-
y
-24=
0.
21.(12分)如图所示,已知直二面角
αABβ
,
P<
br>∈
α
,
Q
∈
β
,
PQ
与平
面
α
,
β
所成的角都为30°,
PQ
=4,
PC<
br>⊥
AB
,
C
为垂足,
QD
⊥
AB
,
D
为垂足.求:
(1)直线
PQ
与
CD
所成角的大小;
(2)四面体
PCDQ
的体积.
解 (1)如图,在
平面
β
内,作
CE
綉
DQ
,连接
PE
,<
br>QE
,则四边形
CDQE
为平
行四边形,所以
EQ
綉
CD
,即∠
PQE
为直线
PQ
与
CD
所成
的角(或其补角).
∵
α
⊥
β
,
α
∩
β
=
AB
,
PC
⊥
AB
于
C
.
∴
PC
⊥
β
.同理
QD
⊥
α
,
又
PQ
与平面
α
,
β
所成的角都为30°,
∴∠
PQC
=30°,∠
QPD
=30°,
3
∴
CQ
=
PQ
·cos30°=4×=23,
2
1
DQ
=
PQ
·sin30°=4×=2.
2
在Rt△
CDQ
中,
CD
=
CQ
2
-DQ
2
=12-4=22,从而
EQ
=22.
∵
QD
⊥
AB
,且四边形
CDQE
为平行四边形,
∴
QE
⊥
CE
.又
PC
⊥
β
,<
br>EQ
?
β
,∴
EQ
⊥
PC
.
信达
---------------------------------------
----------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点------
-----------------------------------------------
故
EQ
⊥平面
PCE
,从而
EQ
⊥
PE
.
在Rt△
PEQ
中,cos∠
PQE<
br>=
EQ
222
==.
PQ
42
∴∠
PQE
=45°,即直线
PQ
与
CD
所成角的大小为45°.
(
2)在Rt△
PCQ
中,
PQ
=4,∠
PQC
=30°,
11
∴
PC
=2.而
S
△
CDQ
=
CD
·
DQ
=×22×2=22,故四面体
PCDQ
的体积为V
22
1
=
S
△
CDQ
·
PC
3
14
=×22×2=2.
33
22.(12分)
如图所示,在正三棱柱(底面是正三角形,侧棱和底面垂直的三
棱柱)
ABCA
1B
1
C
1
中,
AB
=
AA
1
,
D
是
BC
上的一点,且
AD
⊥
C
1D
.
(1)求证:
A
1
B
∥平面
AC
1
D
;
(2)在棱
CC
1
上是否存在一点
P<
br>,使直线
PB
1
⊥平面
AC
1
D
?若存在,
找出这个
点,并加以证明:若不存在,请说明理由.
(1)证明
∵
ABCA
1
B
1
C
1
是正三棱柱,
∴
CC
1
⊥平面
ABC
,又
AD
?平面
AB
C
∴
CC
1
⊥
AD
.
又
AD
⊥
C
1
D
,
CC
1
∩
C
1
D
=
C
1
,∴
AD
⊥平面
BCC
1
B
1
,
∴
AD
⊥
BC
,∴
D
是
BC
的中点.
连接
A
1
C
,设与<
br>AC
1
相交于点
E
,则点
E
为
A
1
C
的中点.
连接
DE
,则在△
A
1
BC
中,
∵D
、
E
分别是
BC
、
A
1
C
的中点,∴
A
1
B
∥
DE
.
信达
---------------------------------------------
----------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点------------
-----------------------------------------
又
DE
?平面
AC
1
D
,
A<
br>1
B
?平面
AC
1
D
,
∴
A
1
B
∥平面
AC
1
D
.
(2)解
存在这样的点
P
,且点
P
为
CC
1
的中点. 下面给出证明:由(1)知
AD
⊥平面
BCC
1
B
1<
br>,故
B
1
P
⊥
AD
.
设
PB1
与
C
1
D
相交于点
Q
,
由于△<
br>DC
1
C
≌△
PB
1
C
1
,故∠<
br>QB
1
C
1
=∠
CC
1
D
, 因为∠
QC
1
B
1
=∠
CDC
1
,
从而△
QC
1
B
1
∽△
CDC
1
,所以∠
C
1
QB
1
=∠
DCC
1
=90
°,
所以
B
1
P
⊥
C
1
D
.
因为
AD
∩
C
1
D
=
D
,所以<
br>B
1
P
⊥平面
AC
1
D
.
信达
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