2020版高中数学高一必修2教案及练习归纳整理20知识讲解直线平面垂直的性质提高

直线、平面垂直的性质
【学习目标】
1.掌握直线与平面垂直的性质定理,并能解决有关问题；
2.掌握两个平面垂直的性质定理,并能解决有关问题；
3.能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题.
【要点梳理】
要点一、直线与平面垂直的性质
1.基本性质
文字语言：一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.
符号语言：
l?
?
,m?
?
?l?m

图形语言：

2.性质定理
文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号语言：
l?
?
,m?
?
?lm

图形语言：

3.直线与平面垂直的其他性质
(1)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面。
(2)若
l?
?
于
A
,
AP?l
,则
AP?
?< br>。
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它必垂直于另一个平面。
要点诠释：
线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽,通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相< br>互转化。
要点二、平面与平面垂直的性质
1.性质定理
文字语言：两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号语言：
?
?
?
,
?
图形语言：
?
?m,l?
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,l?m?l?
?

1

要点诠释：
面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和 方法,在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到。这
种线面垂直与面面垂直间的相互转化,是我们 立体几何中求解(证)问题的重要思想方法。
2.平面与平面垂直性质定理的推论
如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内。
要点三、垂直关系的综合转化
线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的,能够相互转化, 转化的纽带是对应的定义、判定定理和性
质定理,具体的转化关系如下图所示：

在解决问题时,可以从条件入手,分析已有的垂直关系,早从结论探求所需的关系,从而架起条 件与结论
的桥梁.
垂直间的关系可按下面的口诀记忆：
线面垂直的关键,定义来证最常见,
判定定理也常用,它的意义要记清.
平面之内两直线,两线交于一个点,
面外还有一条线,垂直两线是条件.
面面垂直要证好,原有图中去寻找,
若是这样还不好,辅助线面是个宝.
先作交线的垂线,面面转为线和面,
再证一步线和线,面面垂直即可见.
借助辅助线和面,加的时候不能乱,
以某性质为基础,不能主观凭臆断,
判断线和面垂直,线垂面中两交线.
两线垂直同一面,相互平行共伸展,
两面垂直同一线,一面平行另一面.
要让面和面垂直,面过另面一垂线,
面面垂直成直角,线面垂直记心间.
【典型例题】
类型一：直线与平面垂直的性质
例1.设a,b为异面直线,AB是它们的公垂线(与两异面直线都垂直且相交的直线)。
(1)若a,b都平行于平面
?
,求证：AB⊥
?
；
(2 )若a,b分别垂直于平面
?
,
?
,且
??
?c
, 求证：AB∥c。
【思路点拨】(1)依据直线和平面垂直的判定定理证明AB⊥
?
,可先证明线与线的平行。(2)由于此时
垂直的关系较多,因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB ∥c。
证明：(1)如图(1),在
?
内任取一点P,设直线a与点P确定的平面与 平面
?
的
2