几道高中数学奥数难题-高中数学教师教育经历
子击出，遭田子方于道，下车伏谒。子方不为礼。子击怒，谓子方曰：“富贵者骄人乎？贫贱者骄
人乎？”子方曰：“亦贫贱者骄人耳！富贵者安敢骄人！国君而骄人，则失去国；大夫而骄人则失去家。失其国者
未闻有以国待之者也，失其家者未闻有以家待之者也。
最新北师大版高中数学必修二学案：第二章
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学习目标 1.理解圆与圆的位置关系的种类.2.掌握圆与圆
的位置关系
的代数判定方法与几何判定方法，能够利用上述方法判定两圆的位置
关系.3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性．
知识点 两圆位置关系的判定
思考
圆与圆的位置关系有几种？如何判断圆与圆的位置关系？
梳理 两圆位置关系的判定
已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝
<
br>r，则圆心距d＝|C1C2|＝________________________________
.
两圆C1，C2有以下位置关系：
图示 位置关系
两圆相离
公共点个数 圆心距与半径的关系
d>r
1
＋r
2
____个
两圆内含 d<|r
1
－r
2
|
两圆相交 ____个
|r
1
－r
2
|
＋r
2
两圆内切 ____个 d＝|r
1
－r
2
|
子击出，遭田子方于道，下车伏谒。子方不为礼。子击怒，谓子方曰：“富贵者骄人乎？
贫贱者骄人乎？”子方曰：“亦贫贱者骄人耳！富贵者安敢骄人！国君而骄人，则失去国；大夫而骄人则失去家。
失其国者未闻有以国待之者也，失其家者未闻有以家待之者也。
两圆外切
d＝r
1
＋r
2
特别提醒：(1)仅从圆与圆的交点个
数判定是不科学的，如有1个交点，
就不能判定是内切不是外切，应再结合图像判定．
(2)判定圆与圆位置的方法有几何法和代数法，代数法要注意相切时的
判定．
(3)一般情况下，我们尽量选择利用几何法进行判断，以减少运算量，
提高解题的速度．
类型一 两圆的位置关系
例1 已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直
线x＋y＝0所得线段的长
度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(
)
A．内切
C．外切
B．相交
D．相离
反思与感悟 判断圆与圆的位置关系的一般步骤
(1)将两圆的方程化为标准方程(若圆方程已是标准形式，此步骤不需
要)．
(2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r1，r2.
(3)求两圆的圆心距d.
(4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系．
(5)根据大小关系确定位置关系．
跟踪训练1 已知圆C1：x2＋y2－2x＋
4y＋4＝0和圆C2：4x2＋4y2－
16x＋8y＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为(
)
A．1或3 B．4 C．0 D．2
嵿遣将出海擒之，获其二
舟，贼乃遁。寻召掌南京都察院事，就改工部尚书。嘉靖六年大计京官，拾遗被劾，致仕
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子击出，遭田子方于道，下车伏谒。子方不为礼。子击怒，谓子方曰：“富贵者骄
人乎？贫贱者骄人乎？”子方曰：“亦贫贱者骄人耳！富贵者安敢骄人！国君而骄人，则失去国；大夫而骄人则失
去家。失其国者未闻有以国待之者也，失其家者未闻有以家待之者也。
例2 当a为何值时，两圆C1：
x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：
x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0：
(1)外切；(2)相交；(3)相离．
反思与感悟
(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的
取值范围有以下几个步骤
①将圆的方程化成标准形式，写出圆心和半径．
②计算两圆圆心的距离d.
③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数
的范围，必要时
可借助于图形，数形结合．
(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单
清晰的，
要理清圆心距与两圆半径的关系．
跟踪训练2
若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，
则a的值为( )
A．±3
C．3或5
B．±5
D．±3或±5
类型二 两圆的公共弦问题
例3
已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
(3)求公共弦的长度．
反思与感悟
(1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y
＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2
嵿遣将出海擒之，获其二舟，贼乃遁。寻召掌
南京都察院事，就改工部尚书。嘉靖六年大计京官，拾遗被劾，致仕
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子击出，遭田子方于道，下车伏谒。子方不为礼。子击怒，谓子方曰：“富贵者骄人乎？贫贱者骄人 乎？”子方曰：“亦贫贱者骄人耳！富贵者安敢骄人！国君而骄人，则失去国；大夫而骄人则失去家。失其国者未 闻有以国待之者也，失其家者未闻有以家待之者也。
＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－ D2)x＋(E1－E2)y＋
F1－F2＝0.
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公
式求出弦长．
< br>②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦
心距构成的直角三角形，根据 勾股定理求解．
跟踪训练3 (1)两圆相交于两点A(1,3)和B(m，－1)，两圆圆 心都在
直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为____________．
(2) 求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所
在的直线被圆C3： (x－1)2＋(y－1)2＝截得的弦长．
类型三 圆系方程及应用
例4 求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和
x2＋y2－4 y－6＝0的交点的圆的方程．
反思与感悟 当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x2＋ y2＋D1x＋
E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，然后用待定系数法求 出
λ即可．
跟踪训练4 求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点
M(3，－)的圆的方程．
1．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是( )
A．内切
C．外切
B．相交
D．相离
嵿遣将出海擒之，获其二舟，贼乃遁。寻召掌南京都察院事，就改工部尚书。嘉靖六年大计京官，拾遗被劾， 致仕
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子击出，遭田子方于道，下车伏谒。子方不为礼。
子击怒，谓子方曰：“富贵者骄人乎？贫贱者骄人乎？”子方曰：“亦贫贱者骄人耳！富贵者安敢骄人！国君而骄
人，则失去国；大夫而骄人则失去家。失其国者未闻有以国待之者也，失其家者未闻有以家待之者也。
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．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有
( )
A．1条
C．3条
B．2条
D．4条
3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB
的垂直平分
线的方程是( )
A．x＋y＋3＝0
C．3x－y－9＝0
B．2x－y－5＝0
D．4x－3y＋7＝0
4．已知以C(
4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的
方程是
___________
__________________________________________________
___________．
5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝
0(a＞0)的公共弦长为2，
则a＝________.
1．判断两圆的位置关系的方法
(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定
，这种方法计算量比
较大，一般不用．
(2)依据圆心距与两圆半径的和或两圆半径的差的绝对值的大小关系．
2．当两圆
相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共
弦所在的直线方程．
3．求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾
股定理求弦长．
嵿遣将出海擒之，获其二舟，贼乃遁。寻召掌南京都察院事，就改工部尚书。嘉靖六年大计京官，拾遗被
劾，致仕
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子击出，遭田子方于道，下车伏谒。子方不为
礼。子击怒，谓子方曰：“富贵者骄人乎？贫贱者骄人乎？”子方曰：“亦贫贱者骄人耳！富贵者安敢骄人！国君
而骄人，则失去国；大夫而骄人则失去家。失其国者未闻有以国待之者也，失其家者未闻有以家待之者也。
答案精析
问题导学
知识点
思考 圆与圆的位置关系
有五种，分别为：相离、外切、相交、内切、
内含．可根据两圆连心线的长与两圆半径的和差关系判定．
梳理 x1－x22＋y1－y22) 0 2 1
题型探究
例1 B [由得两交点分别为(0,0)，(－a，a)．
∵圆M截直线所得线段的长度为2，
∴－a2)＝2，
又a＞0，∴a＝2.
∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，
即x2＋(y－2)2＝4，圆心为M(0,2)，
半径为r1＝2.
又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为N(1,1)，半径为r2＝1，
∴|MN|＝0－12＋2－12)＝.
∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1＜|MN|＜3，
∴两圆相交．]
跟踪训练1 D
例2 解 将两圆方程写成标准方程，则
C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.
∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.
<
br>嵿遣将出海擒之，获其二舟，贼乃遁。寻召掌南京都察院事，就改工部尚书。嘉靖六年大计京官，拾遗被劾
，致仕
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子击出，遭田子方于道，下车伏谒。子方不为礼
。子击怒，谓子方曰：“富贵者骄人乎？贫贱者骄人乎？”子方曰：“亦贫贱者骄人耳！富贵者安敢骄人！国君而
骄人，则失去国；大夫而骄人则失去家。失其国者未闻有以国待之者也，失其家者未闻有以家待之者也。
设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.
(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，
此时a＝－5或a＝2.
(2)当1＜d＜5，即1＜2a2＋6a＋5＜25时，
两圆相交，此时－5＜a＜
－2或－1＜a＜2.
(3)当d＞5，即2a2＋6a＋5＞25时，两圆相离，
此时a＞2或a＜－5.
跟踪训练2 D
例3 解
(1)将两圆方程配方化为标准方程，则
C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，
∴圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r1＝5，
圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r2＝.
又∵|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋，
|r1－r2|＝|5－|，
∴|r1－r2|<|C1C2|
∴两圆相交．
(2)将两圆方程相减，
得公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0.
(3)由(2)知圆C1的圆心(1，－5)到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝
∴公共弦长为
l＝2＝2＝2.
嵿遣将出海擒之，获其二舟，贼
乃遁。寻召掌南京都察院事，就改工部尚书。嘉靖六年大计京官，拾遗被劾，致仕
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子击出，遭田子方于道，下车伏谒。子方不为礼。子击怒，谓子方曰：“富贵者骄人乎？
贫贱者骄人乎？”子方曰：“亦贫贱者骄人耳！富贵者安敢骄人！国君而骄人，则失去国；大夫而骄人则失去家。
失其国者未闻有以国待之者也，失其家者未闻有以家待之者也。
方法二
设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组
解得或
?
?
?<
br>x＝0，
?
?
y＝2，
∴|AB|＝－4－02＋0－22)＝2.
即公共弦长为2.
跟踪训练3 (1)3
(2)解 由题意将两圆的方程相减，
可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0.
又圆C3的圆心坐标为(1,1)，
其到直线l的距离为d＝＝，
由条件知，r2－d2＝－＝，
所以弦长为2×＝.
例4 解
方法一 设经过两圆交点的圆系方程为
x2＋y2－4x－6＋
λ
(x2＋
y2－4y－6)＝0(
λ
≠－1)，
即x2＋y2－x－y－6＝0，
所以圆心坐标为(，)．
又圆心在直线x－y－4＝0上，
所以－－4＝0，
即λ＝－.
所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.
方法二
?
?
x2＋y2－4x－6＝0，
由
?
?
x2＋y2－4y－6＝0，
?
得两圆公共弦所在直线的方程为y＝x.
嵿遣将出海擒之，获其二舟，贼乃遁。寻召
掌南京都察院事，就改工部尚书。嘉靖六年大计京官，拾遗被劾，致仕
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子击出，遭田子方于道，下车伏谒。子方不为礼。子击怒，谓子方曰：“富贵者骄人乎？贫贱者骄
人乎？”子方曰：“亦贫贱者骄人耳！富贵者安敢骄人！国君而骄人，则失去国；大夫而骄人则失去家。失其国者
未闻有以国待之者也，失其家者未闻有以家待之者也。
?
?
y＝x，
由
?
?
?
x2＋y2－4y－6＝0，
?
?
x1＝－1，<
br>解得
?
?
y1＝－1，
?
?
?
x2＝3，
?
?
y2＝3.
?
所以两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点坐标分别为
A(－1，－1)，B(3,3)，
线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y－1＝－(x－1)．
由x－1，,x－
y－4＝0，))得
?
?
x＝3，
?
?
?
y＝－1
，
即所求圆的圆心为(3，－1)，
半径为3－32＋[3－－1]2)＝4.
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
跟踪训练4 解
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，
则a－12＋b2)＝r＋1.①
又所求圆过点M的切线为x＋y＝0，
故＝.②
|a＋3b|
＝r.③
2
解由①②③组成的方程组得
a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，
r＝6.
故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
当堂训练
嵿遣将出海擒之，获其二舟，贼乃遁。寻召掌南京都察院事，就改工部尚书
。嘉靖六年大计京官，拾遗被劾，致仕
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子击出，遭田子
方于道，下车伏谒。子方不为礼。子击怒，谓子方曰：“富贵者骄人乎？贫贱者骄人乎？”子方曰：“亦贫贱者骄
人耳！富贵者安敢骄人！国君而骄人，则失去国；大夫而骄人则失去家。失其国者未闻有以国待之者也，失其家者
未闻有以家待之者也。
1．B 2.B 3.C
4.(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36
5．1
嵿遣将出海擒之，获其二舟，贼乃遁。寻召掌南京都察院事，就改
工部尚书。嘉靖六年大计京官，拾遗被劾，致仕
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