高中数学教招试题6-高中数学简单逻辑语句题型归纳
凡事豫(预)则立,不豫(预)则废。
1.6 垂直关系 教案
【教学目标】掌握空间元素的垂直关系的判定方法与性质定理,并能运用这些知识解决与垂
直有关的问题
。
【教学重点】空间线线、线面、面面垂直关系的相互转化是重点。
【教学难点】线面垂直关系、线线垂直关系的判定。
【教学过程】
一.课前预习
1.(05天津)设
?
、
?
、
?
为平面,
m、n、l
为直线,则
m?
?
的一个充分条件是 ( )。
(A)
?
?
?
,
?
?
?
?l,m?l
(C)
?
?
?
,
?
?
?
,m?
?
(B)
?
?
?
?m,
?
?
?
,
?
?
?
(D)
n?
?
,n?
?
,m?
?
2.(05浙江)设
?
、
?
为两个不同的平面,
l
、
m
为两条不同的直线,且
l
?
?
,
m
?
?
,
有如下的两个命题:①若
?
∥
?
,则
l
∥
m
;②若
l
⊥
m
,则
?
⊥
?
.那么( )。
(A) ①是真命题,②是假命题 (B)
①是假命题,②是真命题
(C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题
3.(05重庆)对于不重合的两个平面
?
与
?
,给定下列条件:
①存在平面
?
,使得
?
、
?
都垂直于
?<
br>;
②存在平面
?
,使得
?
、
?
都平行于
?
;
③
?
内有不共线的三点到
?
的距离相等;
④存在异面直线
l
、
m
,使得
l
?
,
l
?
,
m
?
,
m
?
,
其中,可以判定
?
与
?
平行的条件有( )。
A.1个, B.2个, C.3个, D.4个
4.如图,三棱锥S-ABC的底面是
等腰直角三角形ABC,∠ACB=90?,S在
以AB为直径的半圆上移动,当半平面与底面垂直时,
对于棱SC而言下列
结论正确的是( )
A有最大值,无最小值;
B有最小值,无最大值;
C无最大值,也无最小值; D是一个定值
5.正四棱锥的侧棱
与底面所成角的余弦值为自变量x,则相邻两侧面所成二面角的余弦值
f(x)与x之间的函数解析式是
( )
3
x
2
x
2
?2x
2
x
f(x)?
f(x)?
A.
f(x)?
2
B
f(x)?
C. D.
22
3
x?2xx?2
6
.设x,y,z是空间的不同直线或不同平面,且直线不在平面内,那么下列条件中,能保证
“x
?
z,且y
?
z,则x∥y”为真命题的是___________(填上所有正确
的代号)。
凡事豫(预)则立,不豫(预)则废。
(1)x为直线,y,z为平面;(2)x,y,z均为平面;(3)x,y为直线,z为平面;
(4)x,y为平面,z为直线;(5)x,y,z均为直线。
二.梳理知识
直线与平面的垂直是联系直线与直线垂直,平面与平面垂直的纽带,更是求有关角,距离
的重要方法。
重要判定定理
(1)
一条直线与平面内两条相交直线都垂直,则这条直线与这个平面垂直(线面垂直判
定定理)
(2) 平面内的一条直线与另一个平面垂直,则这个平面互相垂直(面面垂直判定定理)
(3) 三垂线定理及其逆定理
三.典型例题选讲
例1.(05江西)如图,在长
方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
,中,
AD=AA
1
=1,AB=2,点E在棱AB
上移动。
(1)证明:D
1
E⊥A
1
D;
D
1
C
1
(2)当E为AB的中点时,求点E到面ACD
1
的距离;
B
1
?
(3)AE等于何值时,二面角D
1
—EC—D的大小为。
4
A
1
例2.(05浙江)如图,在三棱锥
P
-
ABC
中,AB
⊥
BC
,
BC
=
kPA
,点
O<
br>、
D
分别是
AC
、
PC
的中点,
OP
⊥底面
ABC
.
(Ⅰ)当
k
=
D
AE
B
C
P
D
AB
=
A
O
B<
br>C
1
时,求直线
PA
与平面
PBC
所成角的大
2
小;
(Ⅱ) 当
k
取何值时,
O
在平面
PBC
内的射影恰好为△
PBC
的重心?
例3.如图,
四棱锥
P
-
ABCD
的底面是矩形,侧面
PAD
是正三角形
,且侧面
PAD
⊥底面
ABCD
,
E
为侧棱
PD
的中点。
P
(1)求证:
PB
平面
EAC
;
(2)求证:
AE
⊥平面
PCD
;
E
(3)若
A
D
=
AB
,试求二面角
A
-
PC
-
D的正切值;
D
C
AB
凡事豫(预)则立,不豫(预)则废。
(4)当
AD
为何值时,
PB
⊥
AC
?
AB
备用题
例.(05湖北)如图,在四棱锥P—ABC右,底面ABCD为
矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=
3
,BC=1,PA=2,E为PD的中点
(Ⅰ)求直线AC与PB所成角的余弦值;
(Ⅱ)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥面PAC,并求出N点到
AB和AP的距离。
P
E
D
A
参考答案
一. 课前预习: 1D 2 D 3
B 4D 5 C 6①③④
三.典型例题选讲
例1、解法(一)
(1)证明:
∵AE⊥平面AA
1
DD
1
,A
1
D⊥AD
1,∴A
1
D⊥D
1
E
(2)设点E到面ACD
1的距离为
h
,在△ACD
1
中,AC=CD
1
=
5
,AD
1
=
2
,
故
S
?AD
1
C
?
C
B
11311
?2?5??,而S
?ACE
??AE?BC?.
22222
131
??1??h,?h?.
223
A
1
D
1
B
1
D
A
H
?V
D
1
?AEC
11
?S
?AEC
?DD
1
?S
?AD
1
C
?h,
33
C
1
(3)过D作DH⊥CE于H
,连D
1
H、DE,则D
1
H⊥CE,
∴∠DHD
1
为二面角D
1
—EC—D的平面角.
设AE=
x
,则BE=2-
x
C
E
B
在
Rt?D
1
DH中,
?
?DHD
1
?
?
4
,?DH?1.
?
在Rt?ADE中,DE?1?x
2
,?在Rt?
DHE中,EH?x,
在Rt?DHC中CH?3,在Rt?CBE中CE?x
2<
br>?4x?5.
?x?3?x
2
?4x?5?x?2?3.?AE?2?3时,二
面角D
1
?EC?D的大小为.
4
?
凡事豫(预)则立,不豫(预)则废。
解法(二):以D为坐标原
点,直线DA,DC,DD
1
分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
设AE=<
br>x
,则A
1
(1,0,1),D
1
(0,0,1),E(1,
x,0),A(1,0,0)C(0,2,0)
(1)
因为DA
1
,D1
E?(1,0,1),(1,x,?1)?0,所以DA
1
?D
1E.
(2)因为E为AB的中点,则E(1,1,0),
D
1
z
B
1
从而
D
1
E?(1,1,?1),AC?(?1,
2,0)
,
AD
1
?(?1,0,1)
,
C<
br>1
A
1
D
o
?
?
n?AC?0,
设
平面ACD
1
的法向量为
n?(a,b,c)
,则
?
?
?
n?AD
1
?0,
也即
?
C
E<
br>B
y
x
A
?
?a?2b?0
?
a?2b,得
?
,从而
n?(2,1,2)
,所以点E到平面AD
1C的距离为
?a?c?0a?c
??
?
2?1?21
?.
3
3
h?
|D
1
E?n|
|n|
(3)设平面D
1<
br>EC的法向量
n?(a,b,c)
,∴
CE?(1,x?2,0),D
1
C?(0,2,?1),DD
1
?(0,0,1),
?
?
n?D
1
C?0,
?
2b?c?0
由
?
令b=1,
∴c=2,
a
=2-
x
,∴
n?(2?x,1,2).
<
br>?
?
a?b(x?2)?0.
?
?
?
n?CE?0,
依题意
cos
?
4
?
|n?DD
1
||n|?|DD
1
|
?
2
?
2
2
(x
?2)
2
?5
?
2
.
∴
x
1
?2?3
(不合,舍
2
去),
x
2
?2?3
.
∴AE=
2?3
时,二面角D
1
—EC—D的大小为
例2.解:方法
一:
(Ⅰ) ∵O、D分别为AC、PC中点,
? OD∥PA
?
。
4
又PA?平面PAB
,
?
OD∥平面PAB
(Ⅱ)
AB?BC,OA?OC,
?
OA?OB?OC,
又 OP?平面ABC
,
?
PA?PB?PC.
取BC中点E,连结PE,则BC?平面POE
作OF?PE于F,连结DF,则OF?平面PBC
?
PA与平面PBC所成的角的大小等
?
?ODF是OD与平面PBC所成的角.
又
OD∥PA
,
于
?ODF
,
在Rt?ODF中,sin?ODF?
OF210
?,
OD30
210
? PA与平面PBC所成的角为arcsin.
30
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,
OF?平面PBC
,∴F是O在平面PBC内的射影
∵D是PC的中点,若点F是
?PBC
的重心,则B,F,D三点共线,
∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD,
OB?PC,?PC?BD,?PB?PC<
br>,即
k?1
反之,当
k?1
时,三棱锥
O?PBC
为
正
凡事豫(预)则立,不豫(预)则废。
三棱锥,∴O在平面PBC内的射影为
?PBC
的重心
方法二:
OP?平面ABC
,
OA?OC,AB?BC
,
?OA?OB,OA?OP,
OB?OP.
以O为原点,射线OP为非负z轴,建立空间直角坐标系
O?xyz
(如图)
?
2
???
2
??
2
设
AB?a,
则<
br>A
?
?
2
a,0,0
?
?
,B
?<
br>?
0,
2
,0
?
?
,C
?
?
?
2
,0,0
?
?
,
??????
设
OP?h
,则
P
?
0,0,h
?
z
P<
br>D
?
21
?
(Ⅰ)D为PC的中点,
?OD?
??
?
4
a,0,
2
h
?
?
,
??
又
x
,
A
O
B
C
?
2
?
1
PA?
?
a,0,?h,?OD??PA,?ODPA?
?
2
?
2
??
y
?
OD∥平面PAB
?
277
?
1
a,?PA?
?
(Ⅱ)
k?
,即
PA?2a,?h?
?
2
a,0,
?
2
a
?
?
,
2
2
??
可求得
平面PBC的法向量
n?
?
1,?1,?
?
?
?
1
?
PA?n210
,,
?cos?PA,n???
?
?<
br>7
?
30
|PA|?|n|
210
,
30
设PA与平面PBC所成的角为
?
,则
sin
?
?|cos?PA,
n?|?
(Ⅲ)
?PBC
的重心
G
?
?
?
?
?
?
221
?
221
?
a,a,h
?<
br>a,a,h
?
,
?OG?
?
?
,
???<
br>663
?
63
??
6
OG?平面PBC,?OG?PB
,
??
21
2
1
2
2
a,?h,?OG?PB
?a?h?0,?h?a
, 又
PB?
?
0,
?
?
2
?
632
??
?PA?OA
2
?h
2
?
a
,即
k?1
,反之,当
k?1
时,三棱锥
O?PBC为正三棱锥,
∴O在平面PBC内的射影为
?PBC
的重心。
例3.
(1)证明:连
DB
,设
DBAC?O
,则在矩形
ABCD
中,
O
为
BD
中点。
连
EO
。因为
E<
br>为
DP
中点,所以,
OEBP
。
又因为
OE?平面
EAC
,
PB?
平面
EAC
,所以,
PB
平面
EAC
。
凡事豫(预)则立,不豫(预)则废。 矩形ABCD?CD?AD
?
?
?CD?面PAD
?
(2) 面PAD?面ABCD=AD
??
?面PDC?面PAD
CD?面PDC
?
面ABCD?面PAD
?
?
正
三角形
PAD
中,
E
为
PD
的中点,所以,
AE?
PD
,
又
面PDC面PAD?PD
,所以,
AE
⊥平面<
br>PCD
。
(3)在
PC
上取点
M
使得
PM
?
1
PC
。
4
由于正三角形
PAD
及矩形
ABCD
,且
AD
=
AB
,所以
PD?AD?AB?DC
所以,在等腰直角三角形
DPC
中,
EM?PC
, 连接
AM
,因为
AE
⊥平面
PCD
,所以,
A
M?PC
。
所以,
?AME
为二面角
A
-
PC<
br>-
D
的平面角。
AE
??6
。 在
Rt?AEM<
br>中,
tan?AME?
ME
12
?
22
即二面角A
-
PC
-
D
的正切值为
6
。
(4
)设
N
为
AD
中点,连接
PN
,则
PN?AD。
又面
PAD
⊥底面
ABCD
,所以,
PN
⊥底面
ABCD
。
所以,
NB
为
PB
在面
ABCD
上的射影。要使
PB
⊥
AC
,需且只需
NB⊥
AC
2
?
11
?
1
?
2
?x
在矩形
ABCD
中,设
AD
=1,
AB
=
x
则
??
?
?
?
?
34
?<
br>2
?
?
2
3
2
P
M
E
D<
br>N
A
O
B
C
2
?
?
1
2<
br>?
?1?x
?
,
?
?
?
?
??
?
3
解之得:
x?
2
AD
?2
时,
PB
⊥
AC
。
。所以,当
2
AB
证法二:(按解法一相应步骤给分)
设
N
为
AD
中点,
Q
为
BC
中点,则因为
?
PAD
是正三角形,底面
ABCD
是矩形,所以,
PN?AD
,QN?AD
,又因为侧面
PAD
⊥底面
ABCD
,所以,
PN?面ABCD
,
QN?面PAD
,
以
N
为坐标原点
,
NA
、
NQ
、
NP
所在直线分别为
x,y,z<
br>轴如图建立
空间直角坐标系。设
AD?1
,
AB?a
,则P
?
0,0,
?
?
?
3
?
?
,
2
?
?
?
13
?
?
1
??1
??
1
??
1
?
B
?
,a,0?
,
A
?
,0,0
?
,
C
?
?,a,0
?
,
D
?
?,0,0
?
,
E<
br>?
?
?
4
,0,
4
?
?
。
?
2
??
2
??
2
??
2
?
?
?
凡事豫(预)则立,不豫(预)则废。
(2)
AE?
?<
br>?
?
?
1
?
33
?
3
?
,
,
DC?
?
0,a,0
?
,
PD??,0,?
,
0,
??
?
??
?
2
?
4
?
?<
br>2
?
4
33
?
3
??
1
?
AE?PD?
?
?
?
?
?
?
?
???0<
br>,
AE?DC?0
所以,
AE?PD,AE?DC
。
2?
4
??
2
?
4
又
PDDC?D
,<
br>PD,DC?面PDC
,所以,
AE
⊥平面
PCD
。
?
33
?
是平面
PDC
的法向量;
,0,
?
?
4
??
4
(3)当
a?1
时,由(2)可知
:
AE?
?
?
?
设平面
PAC
的法向量为
n
1
?
?
x,y,z
?
,则
n
1
?PA
,
n
1
?AC
,即
?
13
?3
3
?
z?0
?
x?
y?1,z?
,取,可得
:。所以,。
n?1,1,
x?1
??
?
22
1
??
3
3
??
?
?x?y?0
?
31
??
n?AE
7
?
44
??
向量
AE
与
n
1
所成角
?
的余弦值为:
cos
?
?
1
。所以,
7
37
n
1
?AC
?
2
3
tan
?
?6
。
又由图可知,二面角
A
-<
br>PC
-
D
的平面角为锐角,所以,二面角
A
-
PC<
br>-
D
的平面角就是向量
AE
与
n
1
所成角<
br>?
的补角。其正切值等于
6
。
PB?
?
(4)?
所以,当
?
1
?
2
,a,?
3
?<
br>BAC?
,令
P
AC?
?
?1,a,0
?
,
?
?
2
?
2
?0
,得
a?
21
a?
所以,。
?0
,
2
2
AD
?
2
时,
PB
⊥
AC
。
AB
备用题
解法一:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,
则A、B、C、D、P、E的坐标分别为
A(0,0,0), B(
3
,0,0),
C(
3
,1,0), D(0,1,0), P(0,0,2),
E(0,
1
,2),从而
AC
=(
3
,1,0),
PB
=(
3
,0,-2),设
AC
与
PB
的夹角为
?
,
2
AC?PB
|AC|?|PB|
?
3
27
?
37
37
,∴AC与PB所成角的余弦值为
14
14
则
cos
?
?
(Ⅱ)由于N点在侧面
PAB内,故可设N点坐标为(x,0,z),
凡事豫(预)则立,不豫(预)则废。
?
1
?
NE?AP?0,
则
ME?(?x,,1?z), 由NE⊥面PAC可得:
?
2
?
?
NE?AC?
0,
?
(?x,
?
?
即
?
?
(?x,?
?
1
?
,1?z)?(0,0,2)?0,
?
z?1
?0,
3
,
??
x?
2
化简得
?
?
?
1
6
1
?3x??0.
??
z?1.
,1?z)?(3,1,0)?0,
2
?
?
2
33
,0,
1),从而N点到AB、AP的距离分别为1,
66
即N点的坐标为(
解法二:(Ⅰ
)设AC∩BD=O,连OE,则OEPB,∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角
75
?
7
5
11
44
?
317
,
在ΔAOE中,AO=1,OE=PB=,AE=PD=,∴
cosEOA?
2
214
22
7
2??1
2
1?
即AC与PB所成角的余弦
值为
317
,
14
(Ⅱ)在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F,则
?ADF?
?
6
连PF,则在RtΔADF中DF=
AD
233
?,AF?ADtanADF?
cosADF33
设N为PF的中点
,连NE,则NEDF,∵DF⊥AC,DF⊥PA,∴DF⊥面PAC从而NE⊥面PAC
∴N点到AB的距离=
3
11
AP=1,N点到AP的距离=AF=。
6
22