人教A版高中数学必修2《2.1.4 平面与平面之间的位置关系》_4

2.1.4 平面与平面之间的位置关系
一、教材分析
空间中平面与平面 之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，平面与平面的相交和平
行是本节的重点和难点.空间中 平面与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求
学生在公理3的基础上会判断平面与平面之间 的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中
平面与平面之间的位置关系.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）了解空间中平面与平面的位置关系；
（2）培养学生的空间想象能力.
（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；
（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.
3．情感、态度与价值
让学生感受到掌握空间两个平面关系的必要性，提高学生的学习兴趣.
三、教学重点与难点
平面与平面的相交和平行.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）复习
1.直线与直线的位置关系:相交、平行、异面.
2.直线与平面的位置关系：
①直线在平面内——有无数个公共点,
②直线与平面相交——有且只有一个公共点,
③直线与平面平行——没有公共点.
（二）导入新课
思路1. (情境导入)
拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？
思路2.(事例导入)

观察长方体（图1），围成长方体ABCD—A′B′ C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？

图1
（三）推进新课、新知探究、提出问题
①什么叫做两个平面平行？
②两个平面平行的画法.
③回忆两个平面相交的依据.
④什么叫做两个平面相交?
⑤用三种语言描述平面与平面之间的位置关系.
活动:先让学生思考，后再回答，经教师提示 、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对
回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
问题①引导学生回忆直线与平面平行的定义.
问题②怎样体现两个平面平行的特点.
问题③两个平面有一个公共点,两平面是否相交.
问题④回忆公理三.
问题⑤鼓励学生自我训练.
讨论结果：
①两个平面平行——没有公共点.
②画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行，如图2.

图2图3
③如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时 ，
就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图3，用符号语言表示为：P∈α
且P∈β
?
α∩β=l,且P∈l.

④两个平面相交——有一条公共直线.
⑤如果两个平面没有公共点，则两平面平行
?
若α∩β=,则α∥β.
如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交
?
若α∩β=AB,则α与β相交.
两平面平行与相交的图形表示如图4.

图4
（四）应用示例
思路1
例1 已知平面α,β,直线a,b,且α∥β,a
?
α,b?
β,则直线a与直线b具有怎样的位置关系?
活动：学生自己思考或讨论，再写出正确 的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠
正,并及时评价.
解：如图5,直线a与直线b的位置关系为平行或异面.

图5
例2 如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.
解：三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条,如图6.

图6
变式训练
α、β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定α∥β的是( )
A.α、β都平行于直线l、m

B.α内有三个不共线的点到β的距离相等
C.l、m是α内的两条直线,且l∥β,m∥β
D.l、m是两条异面直线,且l∥α、m∥α、l∥β,m∥β
分析：如图7,分别是A、B、C的反例.

图7
答案：D
点评：判断正误要结合图形，并善于发现反例，即注意发散思维.
思路2
例1 α∩β=l,a
?
α,b
?
β,试判断直线a、b的位置关系,并画图表示.
活动:学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,
并及 时评价.
解：如图8,直线a、b的位置关系是平行、相交、异面.

图8
变式训练
α∩β=l,a
?
α,b
?
β,b∩β=P,试 判断直线a、b的位置关系,并画图表示.
解：如图9,直线a、b的位置关系是相交、异面.

图9
直线a、b不可能平行，这里仅要求学生结合图形或实物模型加以体会，学完 下一节后可以
证明.

点评：结合图形或实物模型判断直线与平面的位置关系， 目的在于培养学生的空间想象
能力.
例2 如图10，在棱长为a的正方体ABCD—A< br>1
B
1
C
1
D
1
中，M、N分别是AA1
、D
1
C
1
的中点，
过D、M、N三点的平面与正方 体的下底面相交于直线l.

图10
（1）画出l的位置；
（2）设l∩A
1
B
1
=P，求PB
1
的长.
解：（1）平面DMN与平面AD
1
的交线为DM，
则平面DMN与平面A
1
C
1
的交线为QN.
QN即为所求作的直线l.如图10.
（2）设QN∩A
1
B
1
=P,
∵△MA
1Q≌△MAD，∴A
1
Q=AD=a=A
1
D
1
, < br>∴A
1
是QD
1
的中点.又A
1
P∥D
1< br>N,
∴A
1
P=
111
D
1
N=C
1
D
1
=a.
244
13
a?a
.
44
∴PB
1
=A
1
B
1
－A
1
P=
a?
变式训练
画出四面体ABCD中过E、F、G三点的截面与四面体各面的交线.
解：如图11,分别连接并延长线段EF、BD，

图11
∵线段EF、BD共面且不平行，∴线段EF、BD相交于一点P.
∴连接GP交线段CD于H,分别连接EG、GH、FH即为所作交线.
点评：利用公理3作两平面的交线是高考经常考查的内容，是两平面关系的重点.
（五）知能训练
三棱柱的各面把空间分成几部分?
解：分为21部分.
（六）拓展提升
已知平面α∩平面β=a,b
?
α,b∩a=A,c
?
β且c∥a,
求证：b、c是异面直线.
证明：反证法：若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交.
(1)若b∥c.∵a∥c,∴a∥b.这与a∩b=A矛盾.
(2)若b、c相交于B,则B∈β.又a∩b=A,∴A∈β.
∴AB
?
β,即b
?
β.这与b∩β=A矛盾.
∴b,c是异面直线.
（七）课堂小结
本节主要学习平面与平面的位置关系，平面与平面的位置关系有两种：
①两个平面平行——没有公共点；
②两个平面相交——有一条公共直线.
另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点.
（八）作业
课本习题2.1 B组1、2、3.