(新)高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系测试题答案

这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！
第二章 直线与平面的位置关系 测试题

一、选择题
1．设

，为两个不同的平面，
l
，
m
为两条不同的直线，且
l?
∥，则
l
∥
m
；②若
l
⊥
m
，则⊥
，
m
?
?
，
．那么有如下的两个命题：①若
( )．
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题 D．①②都是假命题
2．如图，
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
为正方体，下面结论 错误
．．
的是( )．
A．
BD
∥平面
CB
1
D
1
B．
AC
1
⊥
BD

C．
AC
1
⊥平面
CB
1
D
1
D．异面直线
AD
与
CB
1
角为60°
3．关于直线
m
，
n
与平面，，有下列四个命题：
(第2题)

①
m
∥，
n
∥且∥，则
m
∥
n
； ②
m
⊥，
n
⊥且
，则
m
⊥
n
；
③
m
⊥，
n
∥且∥，则
m
⊥
n
； ④
m
∥，
n
⊥且
，则
m
∥
n．

其中真命题的序号是( )．
A．①② B．③④ C．①④
D．②③
4．给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行
②垂直于同一平面的两个平面互相平行
③若直线
l
1
，
l
2
与同一平面所成的角相等，则
l
1
，
l
2
互相平行
④若直线
l
1
，
l
2
是异面直线，则 与
l
1
，
l
2
都相交的两条直线是异面直线
其中假
．
命题的个数是( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．下列命题中正确的个数是( )．
看人生峰高处，唯有磨难多正果。
1
⊥
⊥

这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！ ①若直线
l
上有无数个点不在平面
②若直线
l
与平面
内 ，则
l
∥
平行，则
l
与平面内的任意一条直线都平行
③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这
个平面平行
④若直线
l
与平面
公共点
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
平行，则
l
与平面内的任意一条直线都没有
6． 两直线
l
1
与
l
2
异面，过
l
1
作平面与
l
2
平行，这样的平面( )．
A．不存在
两个
7．把正方 形
ABCD
沿对角线
AC
折起，当以
A
，
B
，
C
，
D
四点为顶点的三棱锥
体积最大时，直线
BD和平面
ABC
所成的角的大小为( )．
A．90°

B．60° C．45°
B．有唯一的一个 C．有无数个 D．只有
D．30°
8．下列说法中不正确的是( )．
．．．．
A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形
B．同一平面的两条垂线一定共面
C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一
个平面内
D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
9．给出以下四个命题：
①如果 一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相
交，那么这条直线和交线平行
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于
这个平面
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直
其中真命题的个数是( )．
A．4 B．3 C．2 D．1
看人生峰高处，唯有磨难多正果。
2

这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！ 10．异面直线
a
，
b
所成的角60°，直线
a
⊥c
，则直线
b
与
c
所成的角的范
围为( )．
A．[30°，90°] B．[60°，90°]
D．[30°，120°]
二、填空题
11．已知三棱锥
P－ABC
的三 条侧棱
PA
，
PB
，
PC
两两相互垂直，且三个侧面
的面积分别为
S
1
，
S
2
，
S
3
，则这个三棱锥的体积为 ．
12．
P
是△
ABC
所在平面
连
PA
，
PB
，
PC
．
(1) 若
PA
＝
PB
＝
PC
，则
O
为△
ABC
的 心；
(2)
PA
⊥
PB
，
PA
⊥
PC
，
PC
⊥
PB
，则
O
是△
ABC
的 心；
(3)若点
P
到三边
AB
，
BC
，
CA
的距离相等， 则
O
是△
ABC
的 心；
(4)若
PA
＝
PB
＝
PC
，∠
C
＝90?，则
O
是
AB
边的 点；
(5)若
PA
＝
PB
＝
PC
，
AB
＝
AC
，则点O
在△
ABC
的 线上．
13．如图，在 正三角形
ABC
中，
D
，
E
，
F
分别为< br>各边的中点，
G
，
H
，
I
，
J
分别 为
AF
，
AD
，
BE
，
DE
的
中 点，将△
ABC
沿
DE
，
EF
，
DF
折成 三棱锥以后，
GH
与
IJ
所成角的度数为 ．


14．直线
l
与平面

成角的取值范围
是 ．
15．棱长为1的正四面体内有一点
P
，由点
P
向各面引垂线， 垂线段长度分
别为
d
1
，
d
2
，
d
3
，
d
4
，则
d
1
＋
d
2＋
d
3
＋
d
4
的值为 ．
16．直二面角－
l
－的棱上有一点
A
，在平面
，
AC?
，内各有一
所成角为30°，
l
∩＝
A
，直线
m
∈，则
m
与
l
所
(第13题)

C．[30°，60°]
外一点，过
P
作
PO
⊥平面，垂 足是
O
，
J
条射线
AB
，
AC
与
l
成45°，
AB
?


，则∠
BAC
＝ ．
看人生峰高处，唯有磨难多正果。
3

这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！
三、解答题
17．在四面体
ABCD
中，△
ABC
与△< br>DBC
都是边长为4的正三角形．
(1)求证：
BC
⊥
AD
；
(2)若点
D
到平面
ABC
的距离等于3，求二面
角
A
－
BC
－
D
的正弦值；
(3)设二面角
A
－
BC
－
D
的大小为

，猜想

为何值时，四面体
A
－
BCD
的体积最大．(不要
求证明)













18． 如图，在长方体
ABCD
—
A1
B
1
C
1
D
1
中，
AB
＝ 2，
BB
1
＝
BC
＝1，
E
为
D
1
C
1
的中
点，连结
ED
，
EC
，
EB
和
DB
．
(1)求证：平面
EDB
⊥平面
EBC
；
(2)求二面角
E
－
DB
－
C
的正切值.




(第18题)

(第17题)

看人生峰高处，唯有磨难多正果。
4

这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！










19*．如图，在底面是直角梯形的四棱锥
Ｓ
－
ABCD
中，
AD
∥
BC
，∠
ABC
＝90°，
SA
⊥面< br>ABCD
，
SA
＝
AB
＝
BC
＝１，
AD
＝．
(1)求四棱锥
S
—
ABCD
的体积；
(2)求面
SCD
与面
SBA
所成的二面角的正切值．
(提示：延长
BA
，
CD
相交于点
E
，则直线
SE
是
所求二面角的棱.)










20*．斜三 棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，
求这个棱柱的体积．(提示：在
AA
1
上取一点
P
，过
P
作棱柱的截面，使
AA
1
垂
直于这个截面.)
看人生峰高处，唯有磨难多正果。
5
1
2
(第19题)

这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！









看人生峰高处，唯有磨难多正果。
第20题)
6
(

这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
参考答案
一、选择题
1．D 解析：命题②有反例，如图中平面∩平面＝直线
n
，
l
?
，
m
?
，
且
l
∥
n
，
m
⊥
n
，则
m
⊥
l
，显然平 面不垂直平面

(第1题)
故②是假命题；命题①显然也是假命题，
2．D解析：异面直线
AD
与
CB
1
角为45°．
3．D解析：在①、④的条件下，
m
，
n
的位置关系不确定．
4．D解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确，故选择
答案D．
5．B解析：学会用长方体模型分析问题，
A
1
A
有
无数点在平面< br>ABCD
外，但
AA
1
与平面
ABCD
相交，①不正确；
A
1
B
1
∥平面
ABCD
，显然A
1
B
1
不平行于
BD
，②
不正确；
A
1
B
1
∥
AB
，
A
1
B
1
∥平面
ABCD
，但
AB
?
平面
ABCD内，③不正确；
l
与平面α平行，则
l
与
公共点，
l< br>与平面
无
，
内的所有直线都没有公共点，④正确，应选
B． (第5题)
6．B解析：设平面
平面 ，与
过
l
1
，且
l
2
∥，则
l
1
上一定点
P
与
l
2
确定一
的交线
l
3
∥
l
2
，且
l
3
过点
P
. 又过点
P
与
l
2
平行的
直线只有一条，即
l
3
有唯一性，所以经过
l
1
和
l
3
的平面是唯一的，即过
l
1
且
平行于
l
2
的平面是唯一的.
7．C解析：当三棱锥
D
－
ABC
体积最大时， 平面
DAC
⊥
ABC
，取
AC
的中点
O
，
则△
DBO
是等腰直角三角形，即∠
DBO
＝45°．
8 ．D解析：A．一组对边平行就决定了共面；B．同一平面的两条垂线互相
平行，因而共面；C．这些直 线都在同一个平面内即直线的垂面；D．把书本的书
脊垂直放在桌上就明确了．
看人生峰高处，唯有磨难多正果。
7

这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！
9．B解析：因为①②④正确，故选B．
10．A解析：异面直线
a
，b
所成的角为60°，直线
c
⊥
a
，过空间任一点
P
，
作直线
a
’∥
a
，
b
’∥
b
，
c
’∥
c
. 若
a
’，
b
’，
c
’ 共面则
b
’ 与
c
’ 成
30° 角，否则
b
’

与
c
’

所成的角的范围为(30°，90°]，所以直线
b
与
c
所成角的范围为[30°，90°] ．
二、填空题
11．
1
2
1
3
2S
1
S
2
S
3
．解析：设三条侧棱长为
a
，
b
，
c
．
则
ab
＝
S
1
，
bc
＝
S
2
，
ca
＝
S
3
三式相乘：
∴
a
2
b
2
c
2
＝
S
1
S
2
S
3
，
∴
abc＝
2
2S
1
S
2
S
3
．
∵ 三侧棱两两垂直，
∴
V＝abc
·＝
1
3
1
2
1
3
2S
1
S
2
S
3
．
1
2
1
2
1
8
12．外，垂，内，中，BC
边的垂直平分．
解析：(1)由三角形全等可证得
O
为△
ABC
的外心；
(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，
O
为△
ABC
的垂心；
(3)由直线和平面垂直的判定定理可证得，
O
为△
ABC
的内心；
(4)由三角形全等可证得，
O
为
AB
边的中点；
(5)由(1)知，
O
在
BC
边的垂直平分线上，或说
O
在∠
BAC
的平分线上．
13．60°．解析：将△
ABC
沿
DE
，
EF
，
DF
折成三棱锥以后，
GH
与
IJ
所成角
的度数为60°．
14．[30°，90°]．解析：直线
l
与平面
所成角的最小值，当
m
在
的的最大值为90°．
15．
＝
6
．
3
61313
．解析：作等积变换 ：
?
×(
d
1
＋
d
2
＋
d
3
＋
d
4
)＝
?
·
h
，而
h< br>33434
所成的30°的角为
m
与
l
内适当旋转就可以得到
l
⊥
m
，即
m
与
l
所成角
16． 60°或120°．解析：不妨固定
AB
，则
AC
有两种可能．
三、解答题
看人生峰高处，唯有磨难多正果。
8

这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！ 17．证明：(1)取
BC
中点
O
，连结
AO
，
DO
．
∵△
ABC
，△
BCD
都是边长为4的正三角形，
∴AO
⊥
BC
，
DO
⊥
BC
，且
AO< br>∩
DO
＝
O，
∴
BC
⊥平面
AOD
．又
AD
?
平面
AOD
，
∴
BC
⊥
AD
． (第17题)
解：(2)由(1)知∠
AOD
为二面角
A
－
BC
－
D
的平面角，设∠
AOD
＝，则过点
D
作
DE
⊥
AD
，垂足为
E
．
∵
BC
⊥平面
ADO
，且
BC
?
平面
ABC
，
∴平面
ADO
⊥平面
ABC
．又平面
ADO
∩平面
ABC
＝
AO
，
∴
DE
⊥平面
ABC
．
∴线段
DE
的长 为点
D
到平面
ABC
的距离，即
DE
＝3．
又
DO
＝
3
2
BD
＝2
3
，
＝
3
DE
＝，
2
DO
3
．
2
在Rt△
DEO
中，sin
故二面角
A
－
BC< br>－
D
的正弦值为
(3)当 ＝90°时，四面体
ABCD
的体积最大．
18．证明：(1)在长方体
A BCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1中，
AB
＝2，
BB
1
＝
BC
＝1，
E
为
D
1
C
1
的
中点．∴△
DD
1
E
为等腰直角三角形，∠
D
1
ED
＝45°．同理∠C
1
EC
＝
45°．∴
?DEC?90?
，即
DE
⊥
EC
．
在长方体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
BC
⊥平面< br>D
1
DCC
1
，又
DE
?
平面
D< br>1
DCC
1
，
∴
BC
⊥
DE
．又
EC?BC?C
，∴
DE
⊥平面
EBC
．∵平面
D EB
过
DE
，∴平面
DEB
⊥
平面
EBC
．
(2)解：如图，过
E
在平面
D
1
DCC
1
中作
EO
⊥
DC
于
O
．在长方体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中 ，∵面
ABCD⊥面
D
1
DCC
1
，∴
EO
⊥面
ABCD
．过
O
在平面
DBC中作
OF
⊥< br>DB
于
F
，连结
EF
，∴
EF
⊥
B D
．∠
EFO
为二面角
E
－
DB
－
C的平面角．利用平面几何知识可得
OF
＝
1
， (第18
5
看人生峰高处，唯有磨难多正果。
9

这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！
题)
又
OE
＝1，所以，tan
?
EFO
＝5
．
1
3
1
19*．解：(1)直角梯形
ABCD< br>的面积是
M
底面
＝
(BC＋AD)?AB
＝
2
?
1＝
，
24
2
1＋
∴四棱锥
S—ABCD< br>的体积是
V
＝·
SA
·
M
底面
＝×1×＝．
(2)如图，延长
BA
，
CD
相交于点
E
，连结< br>SE
，则
SE
是所求二面角的棱．
∵
AD
∥
BC
，
BC
＝2
AD
，
∴
EA＝AB＝SA
，∴
SE
⊥
SB

∵
SA
⊥面
ABCD
，得面
SEB
⊥面
EBC
，
EB
是交线．
又
BC
⊥
EB
，∴
B C
⊥面
SEB
，故
SB
是
SC
在面
SEB
上的射影，
1
3
1
3
3
4
1
4
∴
CS
⊥
SE
，∠
BSC
是所求二面角的平面角．
∵
SB
＝
SA
2
＋AB
2
＝
2< br>，
BC
＝1，
BC
⊥
SB
，
∴tan∠
BSC
＝
BC2
，
＝
SB2
(第19题)
即所求二面角的正切值为
2
．
2
20*．解：如图，设斜三棱柱< br>ABC
—
A
1
B
1
C
1
的侧面BB
1
C
1
C
的面积为10，
A
1
A
和面
BB
1
C
1
C
的距离为6，在
AA< br>1
上取一
点
P
作截面
PQR
，使
AA
1
⊥截面
PQR
，
AA
1
∥CC
1
，∴ 截面
PQR
⊥侧面
BB
1
C
1
C
，过P
作
PO
⊥
QR
于
O
，则
PO
⊥侧面
BB
1
C
1
C
，且
PO
＝6．
(第20题)

∴
V
斜
＝
S
△
P QR
·
AA
1
＝·
QR
·
PO
·
AA
1
＝·
PO
·
QR
·
BB
1
＝×10×6
＝30．
1
2
1
2
1
2

看人生峰高处，唯有磨难多正果。
10