2019年郴州市高中必修二数学下期中第一次模拟试卷(含答案)

2019年郴州市高中必修二数学下期中第一次模拟试卷(含答案)

一、选择题
1
．已知
m
，
n
表示两条不同直线，
?
表示平面，下列说法正确的是（

）

A
．若< br>m
?
,n
?
,
则
mn

C
．若
m?
?
，
m?n
，则
n
?

B
．若
m?
?
，
n?
?
，则
m?n

D
．若
m
?
，
m?n
，则
n?
?

2．已知三棱锥
S?ABC
的所有顶点都在球
O
的求 面上，
?ABC
是边长为
1
的正三角形，
SC
为球
O
的直径，且
SC?2
，则此棱锥的体积为（ ）

A
．
2

6
B
．
3

6
C
．
2

3
D
．
2

2
3．三棱锥
P-ABC
中，
PA
⊥平面
ABC< br>，
AB
⊥
BC
，
PA=2
，
AB=BC=1
，则其外接球的表面积
为（ ）

A
．
6
?
B
．
5
?
C
．
4
?
D
．
3
?

4．已知 直线
m
、
n
及平面
?
，其中
m
∥
n
，那么在平面
?
内到两条直线
m
、
n
距离相等的
点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。其中正确
的 是（ ）

A
．（1）（2）（3）
B
．（1）（4）
C
．（1）（2）（4）
D
．（2）（4）

5
．已知定义在
R
上的函数
f (x)?2
x?m
?1(m为实数)
为偶函数
,
记
a=f( log
0.5
3),b=f(log
2
5),c=f(2m)
,则
a,b,c
,
的大小关系为（

）

A
．
a?b?c
B
．
c?a?b
C
．
a?c?b
D
．
c?b?a

6．已知三棱 锥
S?ABC
的所有顶点都在球
O
的球面上，
SC
为球O
的直径，且
SC?OA
，
SC?OB
，
VOAB为等边三角形，三棱锥
S?ABC
的体积为
43
，则球
O
3
的半径为( )

A
．
3

7．对于平面
B
．
1
C
．
2
D
．
4

、
?
、
?
和直线
a、
b
、
m
、
n
,
下列命题中真命题是
( )

A
．若
a?m,a?n,m?
?
,n?
?
,
,
则
a?
?

B
．若
ab,b?
?
,
则
a
?

C
．若
?

?
,
?
I
?
? a,
?
I
?
?b,
则
ab

D
． 若
a?
?
,b?
?
,a
?
,b
?
,
则
?

?

8．在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如
图，在鳖臑
ABCD
中，
AB?
平面
BCD
，且
AB?BC?CD
，则异面直线
A C
与
BD
所成角的余弦值为（ ）

A
．
1

2
22
B
．
?
1

2
C
．
3

2
D
．
?
3

2
9．已知圆
M< br>：
x+y+2y?0
与直线
l
：
ax?y?3a?5?0，则圆心
M
到直线
l
的最大距
离为（

）

A
．
5

A
．直角三角形

B
．
6

B
．等边三角形

C
．
35

C
．正方形

D
．
41

D
．正六边形

10．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）

11．已知三条直线m,n,l
，三个平面
?
,
?
,
?
，下列四个 命题中，正确的是（ ）

?
?
?
?
A
．< br>?
?
?
||
?

?
?
?
?
m||
?
?
B
．
?
?l?
?
< br>l?m
?
m||
?
?
m?
?
?
C< br>．
D
．
?
?m||n

?
?m||n

n||
?
?
n?
?
?
12．已知平面
?
?
?
且
?
I
??l
，
M
是平面
?
内一点，
m
，
n< br>是异于
l
且不重合的两条
直线，则下列说法中错误的是（

）
.

A
．若
m
?
且
m
?
，则
ml

C
．若
M?m
且
ml
，则
m
?

B
．若
m?
?
且
n?
?
，则
m? n

D
．若
M?m
且
m?l
，则
m??

二、填空题
13．已知
A
，
B
，
C
，
D
是同一球面上的四个点，其中
?ABC
是正三角形，
AD?
平面
ABC
，
AD?2AB?6
，则该球的体积为
_________
.

14．已知点
M
，点
F
是 直线
l:
y?x?3
上的一个动点，当
?MFN
最大
（，1 2），（N3，2）
时，过点
M
，
N
，
F
的圆的方 程是
__________
.

15．过点
(?1,2)
且 与直线
2x?3y?9?0
垂直的直线方程为
____________
．< br>
16
．已知正三棱锥
P?
ABC
，点
P
，
A
，
B
，
C
都在半径为
3
的求面上，若< br>PA
，
PB
，
PC
两
两互相垂直，则球心到截面ABC
的距离为
________
．

17．一个直三棱柱的每 条棱长都是
3
，且每个顶点都在球
O
的表面上，则球
O
的表 面积为
________

18．在各棱长均为
1
的正四棱锥
P?ABCD
中，
M
为线段
PB
上的一动点，则当
AM? MC
最小时，
cos?AMC?
_________

19．已知点
A
?
?1,0
?
，
B
?
2,0
?
，直线
l
：
kx?y?5k?0
上存在点
P
，使得
PA
2
?2PB
2
?9
成立，则实数
k
的 取值范围是
______
.

20．已知
PA
垂直于平行四 边形
ABCD
所在平面，若
PC?BD
，则平行四边形
ABCD一

定是
___________
.

三、解答题
21．已知点
P
?
1,0
?
，圆
C:x?y?6x ?4y?4?0
.

22
（
1
）若直线
l
过点
P
且到圆心
C
的距离为
2
，求直线
l
的方程；

（
2
）设过点
Q
?
0,?1
?
的直线
m
与圆
C
交于
A
、
B
两点 （
m
的斜率为负），当
|AB|?4
时，求以线段
AB
为直 径的圆的方程
.

22．已知平面内两点
A(8,?6),B(2,2)
.

（1）求
AB
的中垂线方程；

（2）求过点
P(2,?3 )
且与直线
AB
平行的直线
l
的方程．

23．在 三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，侧面
A A
1
C
1
C?
底面
ABC
，
AA
1
?AC?AC?AB?BC?2
，且点
O
为
AC
中点.< br>
1

(1)证明：
A
1
O?
平面
ABC
；

(2)求三棱锥
C
1
?ABC
的体积.

24．已 知点
A(?3,4),B(9,0)
，
C,D
分别为线段
OA,OB
上的动点，且满足
AC?BD

（1）若
AC?4,
求直线
CD
的方程；

（2）证明：
?OCD
的外接圆恒过定点（异于原点）．

25．已 知空间几何体
ABCDE
中，△
BCD
与△
CDE
均是边长 为
2
的等边三角形，△
ABC
是
腰长为
3
的等腰三 角形，平面
CDE
⊥平面
BCD
，平面
ABC
⊥平面
BCD.


(1)
试在平面
BCD
内作一条直线，使得 直线上任意一点
F
与
E
的连线
EF
均与平面
ABC
平
行，并给出证明；

(2)
求三棱锥
E
－
ABC
的体积
.
< br>26．已知过点
P
?
0,?2
?
的圆
M
的圆 心
?
a,0
?
在
x
轴的非负半轴上，且圆
M
截直线
x?y?2?0
所得弦长为
22
．

（1）求
M
的标准方程；

（2）若过点
Q
?
0,1
?
且斜率为
k
的直线
l
交圆M
于
A
、
B
两点，若
△PAB
的面积为
33
，求直线
l
的方程．


【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除



一、选择题

1．B
解析：
B

【解析】

试题分 析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故
B
正确
.

考点：空间点线面位置关系．

2
．
A
解析：
A

【解析】

【分析】

【详解】

根据题意作出图形：

设球心为
O
，过
ABC
三点的小圆的圆心为
O
1
，则
OO
1
⊥平面
ABC
，

延长
CO
1
交球于点
D
，则
SD
⊥平面
ABC
．∵
CO
1
=< br>∴
OO
1
?1?
233
，

??
323
16
，

?
33
∴高
SD=2OO
1
=
26
3
，∵△
ABC
是边长为< br>1
的正三角形，∴
S
△
ABC
=
，

4
3
13262
．

???
3436
∴
V
三棱锥S?ABC
?

考点：棱锥与外接球，体积．

【名师点睛】

本题 考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关
系，如正方体（长方 体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内
切球）球心在棱锥的高上，对一般棱 锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以
考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距 离相等的点是三角形的外心，球心一
定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点 距离相等等等．

3．A
解析：
A

【解析】

分析：将三棱锥的外接球转化为以
AP,AB,BC
为长宽高的长方体的外接球，从而 可得球
半径，进而可得结果
.

详解：因为
PA?
平面AB
，
AB,BC?
平面
ABC
，

?PA?BC
，
PA?AB,QAB?BC
，

所以三棱锥的外接球，就是以
AP,AB,BC
为长宽高的长方体的外接球，

外接球的直径等于长方体的对角线，

即
2R?4?1?1?6
，所以外接球的表面积为：

4
?
R
2
?6
?
，故选
A.
< br>点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题
.
要求外接球的表面积和体积 ，
关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：

①若三条棱两垂直则用
4R
2
?a
2
?b
2
?c
2
（
a,b,c
为三棱的长）；

②若
SA?
面
ABC
（
SA?a
），则
4R
2
?4r
2
?a
2
（
r
为
?ABC
外接圆半径）

③可以转化为长方体的外接球；

④特殊几何体可以直接找出球心和半径
.

4．C
解析：
C

【解析】

【分析】

根据题 意，对每一个选项进行逐一判定，不正确的只需举出反例，正确的作出证明，即可
得到答案
.< br>
【详解】

如图（
1
）所示，在平面内不可能由符合题的点；

如图（
2
），直线
a,b
到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符
合题意的点；

如图（
3
），直线
a,b
所在平面 与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线，

综上可知（1）（2）（4）是正确的，故选C.

【点睛】

本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟记空间中点、线 、面的位置关
系是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于基础题< br>.

5
．
B
解析：
B

【解析】

由
f
?
x
?
为偶函数得
m?0
,
所以
a?2
log
0,5
3
?1?2< br>log
2
3
?1?3?1?2,
b?2
log
25
?1?5?1?4
,
c?2
0
?1?0
,
所 以
c?a?b
,
故选
B.

考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算
.

6
．
C
解析：
C

【解析】

【分析】

根据题 意作出图形，欲求球的半径
r
．利用截面的性质即可得到三棱锥
S?ABC
的 体积可
看成是两个小三棱锥
S?ABO
和
C?ABO
的体积和，即可 计算出三棱锥的体积，从而建立
关于
r
的方程，即可求出
r
，从而解 决问题．

【详解】

解：根据题意作出图形：

设球心为
O
，球的半径
r
．

QSC?OA
，
SC?OB
，
?SC?
平面
AOB
，

三棱锥
S?ABC
的体积可看成是两个小三棱锥
S?ABO
和
C? ABO
的体积和．

3
2
43
1
，
?V
三棱锥S?ABC
?V
三棱锥S?ABO
?V
三棱锥C?A BO
???r?r?2?
343
?r?2
．

故选：
C
．

【点睛】

本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥
S?ABC
的体积看< br>成是两个小三棱锥
S?ABO
和
C?ABO
的体积和，属于中档题．< br>
7．C
解析：
C

【解析】

【分析】

【详解】

若
线时
,
才有
若
错误；

由面面平行的性 质定理
:
若两平面平行
,
第三个平面与他们都相交
,
则交线 平行
,
可判断
,
若

错误；

此时由线面平行的判定定理可知
,
只有当在平面

外时
,< br>才有
由线面垂直的判定定理知
,
只有当和为相交
?

?
，
?
?
?
?a
，
?
I
?
?b
，则
ab
为真命题
,
正确；

若
交 线时
,
才有
?

?
,D
错误
.

故选
C.

考点：考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系
.

此时由面面平行的判定定理可知
,
只有当、为相
8．A
解析：
A

【解析】

如图，分别取
BC,CD, AD,BD
的中点
M,N,P,Q
，连
MN,NP,PM,PQ
，< br>

则
MNPBD,NPPAC
，

∴
?PNM
即为异面直线
AC
和
BD
所成的角（或其补角） ．

又由题意得
PQ?MQ
，
PQ?
11
AB,M Q?CD
.

22
设
AB?BC?CD?2
，则
P M?
又
MN?
2
.

11
BD?2,NP?AC?2
,

22
∴
?PNM
为等边三角形，

∴
∠PNM?60?
，

∴异面直线
AC
与
BD
所成角为
60?
，其余弦值为
点睛：

用几何法求空 间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的
角，并给出证明，然后将所求的 角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并
结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角 函数值．

1
．选A．

2
9．A
解析：
A

【解析】

【分析】

计算圆 心为
M
?
0,?1
?
，
ax?y?3a?5?0
过 定点
N
?
3,?5
?
，最大距离为
MN
，得到答< br>案.

【详解】

圆
M
：
x+y+2y?0
，即
x
2
?
?
y?1
?
?1
，圆 心为
M
?
0,?1
?
，

22
2
ax?y?3a?5?0
过定点
N
?
3,?5
?
，故圆心< br>M
到直线
l
的最大距离为
MN?5
.

故选：
A
.

【点睛】

本题考查了点到直线距离 的最值问题，确定直线过定点
N
?
3,?5
?
是解题的关键
.

10．A
解析：
A

【解析】

【分析】

【详解】

画出截面图形如图

显然
A
正三角形
C
正方形：

D
正六边形

可以画出三角形但不是直角三角形；

故选
A
．

用一个平面去截正方体，则截面的情况为：

①截面为三角形时，可以是锐角三角形、 等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角
形、直角三角形；

②截面为四边形时 ，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直
角梯形；

③截面为五边形时，不可能是正五边形；

④截面为六边形时，可以是正六边形．

故可选
A
．

11．D
解析：
D

【解析】

?
?r mP
?
}?l?
?
}?
?
P
?
?
,
?
试题分析：
A.
不正确，以墙角为例，可能相交；
B.
l?m
?
?r
不正确，
l,
?
有可能平行；
C.< br>D
。

考点：本题主要考查立体几何中线线、线面、面面平行及垂直。

点评：典型题，要求牢记立体几何中的定理。

mPr
}?mPn
不 正确，
m,n
可能平行、相交、异面；故选
nPr
12
．
D
解析：
D

【解析】

【分析】

根据已知条件和线面位置关系一一进行判断即可
.

【详解】
选项
A
：一条直线平行于两个相交平面，必平行于两个面交线，故
A
正确 ；

选项
B
：垂直于两垂直面的两条直线相互垂直，故
B
正确；

选项
C
：
M?m
且
ml
得
m?
?
且
m
?
，故
C
正确；

选项
D< br>：
M?m
且
m?l
不一定得到
m?
?
，所以
m,l
可以异面，不一定得到
m?
?
.

故选：
D.

【点睛】

本题主要考查的是空间点、线、面 的位置关系的判定，掌握线面、线线之间的判定定理和
性质定理是解决本题的关键，是基础题
.

二、填空题

13．【解析】【分析】取正的外心为过作平面的垂线在上 取点使得即得是三棱
锥外接球球心求出球半径可得体积【详解】如图是外心延长线与交于点是中点
过作平面取∵平面ABC∴到的距离相等∴是三棱锥外接球球心∴所以故答
解析：
323
?

【解析】

【分析】

取正
ABC
的外心为
M
，过
M
作平面
AB C
的垂线，在上取点
O
，使得
OM?
得
O
是三棱锥
A?BCD
外接球球心，求出球半径可得体积．

【详解】

如图，
M
是
?ABC
外心，
AM
延长线与
BC< br>交于点
E
，
E
是
BC
中点，过
M
作
MO?
平面
ABC
，取
OM?
1
AD
，即
2
1
AD
，

2
∵
AD?
平面< br>ABC
，∴
MOAD
，
O
到
A,D
的距离相 等，∴
O
是三棱锥
A?BCD
外接
球球心，

23
AM???3?3
，
OM?3
，∴
OA?OM
2
? AM
2
?3
2
?(3)
2
?23
，
32
所以
V?
44
?
?
(OA)
2
? ?(23)
3
?323
?
．

33
故答案为：
323
?
．

【点睛】

本题考查求球的体积，解题关键是作出外接球球心．三棱锥外接球球心在过 各面中点且与
面垂直的直线上．

14．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题 意设圆心坐标为C（2a）当
∠MFN最大时过点MNF的圆与直线y=x-3相切∴∴a=1或9a= 1时
r=∠MCN=90°∠MFN=45°a=9时r=∠MCN＜90
解析：
(x?2)
2
?(y?1)
2
?2

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：根据 题意，设圆心坐标为
C
（
2
，
a
），当∠
MFN< br>最大时，过点
M
，
N
，
F
的圆
与直线
y=x-3
相切．

∴
?
2?1
?
?
?
a?2
?
?
22
2?a?3
2
，

∴
a=1
或
9
，

a=1
时，
r =
2
，∠
MCN=90°
，∠
MFN=45°
，

a=9
时，
r=
52
，∠
MCN
＜
90°
，∠
MFN
＜
45°
，

则所求圆的方程为
(x?2)?(y?1)?2

考点：圆的标准方程

22
15．【解析】【分析】因为直线l与已知直线垂 直根据两直线垂直时斜率的乘
积为-1由已知直线的斜率求出直线l的斜率然后根据（-12）和求出的 斜率写
出直线l的方程即可【详解】因为直线2x-3y+9=0的斜率为所
解析：
3x?2y?1?0

【解析】

【分析】

因为直线
l
与已知直线垂直，根据两直线垂直时斜率的乘积为
-1
， 由已知直线的斜率求出
直线
l
的斜率，然后根据（
-1
，
2
）和求出的斜率写出直线
l
的方程即可．

【详解】

因为直线2x-3y+9=0的斜率为
23
，所以直线l的斜率为
?
，

32
3
2
）
则直线l的方程为：
y?2??（x?1
，化简得
3x?2y?1?0
.

即答案为
3x?2y?1?0
．

【点睛】

本题 考查学生掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据一点和斜率写出直线的点斜式方程，
是一道基础题．
16．【解析】正三棱锥P-ABC可看作由正方体PADC- BEFG截得如图所示PF为三
棱锥P-ABC的外接球的直径且设正方体棱长为a则由得所以因为球心 到平面
ABC的距离为考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的
解析：
3

3
【解析】

正三棱锥
P-ABC
可看作由正方体
PADC- BEFG
截得，如图所示，

PF
为三棱锥
P-ABC
的外 接球的直径，且
PF?平面ABC
,
设正方体棱长为
a
，则
3a
2
?12,a?2,AB?AC?BC?22
，
S
?ABC?
由
V
P?ABC
?V
B?PAC
，得
?h
?
S
?ABC
?
ABC
的距离为
13
?22?22??23

22
1
3
11
23
??
2
?
2
?
2
，所以
h?
，因为球心到平面
32
3
3
.

3
考点定位：本题考查三棱锥的体积 与球的几何性质，意在考查考生作图的能力和空间想象
能力

17
．【解析】 【分析】设此直三棱柱两底面的中心分别为则球心为线段的中点
利用勾股定理求出球的半径由此能求出球 的表面积【详解】
∵
一个直三棱柱的
每条棱长都是且每个顶点都在球的球面上
∴
设此直三棱柱两底面的中心分别

解析：
21
?

【解析】

【分析】

设此直三棱柱两底面的中心分别为
O
1
,O
2
，则球心
O
为线段
O
1
O
2
的中点，利用勾股定理
求出球
O
的半径
R
2< br>，由此能求出球
O
的表面积．

【详解】

∵一个直 三棱柱的每条棱长都是
3
，且每个顶点都在球
O
的球面上，

∴设此直三棱柱两底面的中心分别为
O
1
,O
2
，则球心
O
为线段
O
1
O
2
的中点，

3
?
21
?
3
?
?
2
2
?3 ?
设球
O
的半径为
R
，则
R?
??
??
?

?
??
2324
??
??
∴球
O
的表面积
S?4
?
R
2
?21
?
.

故答案为：
21
?
．

2
2

【点睛】

本题考查球的表面积的求法，空间思维能 力，考查转化化归思想、数形结合思想、属于中
档题．

18．【解析】【分析】将侧 面和侧面平展在一个平面上连即可求出满足最小时
点的位置以及长解即可求出结论【详解】将侧面和侧面 平展在一个平面上连与
交点即为满足最小正四棱锥各棱长均为在平展的平面中四边形为菱形且在正
1
解析：
?

3
【解析】

【分析】

将侧面
PAB
和侧面
PBC
平展在一个 平面上，连
AC
，即可求出满足
AM?MC
最小时，
点
M< br>的位置，以及
AM,CM
长，解
VAMC
，即可求出结论
.< br>
【详解】

将侧面
PAB
和侧面
PBC
平展在一个平面上，

连
AC
与
PB
交点即为满足
AM?MC
最小，

正四棱锥
P?ABCD
各棱长均为
1
，

在平展的 平面中四边形
PABC
为菱形，且
?PAB?60
o
，
< br>AM?MC?
3
，在正四棱锥
P?ABCD
中，
AC?2
2
222
33
??2
AM?CM?AC1
?
44
??
.

在
VACM
中，
cos?AMC?< br>3
2AM?CM3
2?
4
1
故答案为
:
?< br>.

3

【点睛】

本题考查线线角，要注意多 面体表面的长度关系转化为共面的长度关系，考查直观想象能
力，属于中档题
.
19
．【解析】【分析】先求出直线经过的定点设直线上的点坐标由可求得点的
轨迹方程进 而求得斜率的取值范围【详解】解：由题意得：直线因此直线经过
定点；设点坐标为；化简得：因此点为 与直线的交点所以应当满足圆心到直

?
1515
?
,
解析：
?
?
?

1515
??
【解析】

【分析】

先求出直线< br>l
经过的定点，设直线上的
p
点坐标，由
PA
2
?2 PB
2
?9
可求得点
P
的轨迹方
程，进而求得斜率
k
的取值范围．

【详解】

解：由题意得：直线
l:y?k(x?5)
，

因此直线
l
经过定点
(5,0)
；

设点
P
坐标为
(x
0
，
y
0
)
；
QP A
2
?2PB
2
?9
，

?
y
0
2
?(x
0
?1)
2
?2y
0
2
?2(x
0
?2)
2
?9

化简得：
x
0
2
?y
0
2
?2x
0
?0
，
< br>因此点
p
为
x?y?2x?0
与直线
l:y?k(x?5)< br>的交点．

22
所以应当满足圆心
(1,0)
到直线的距离小于等于半径

?
|?4k|
k?1
2
?
1

解得：
k?[?
1515
,]

1515
1515
,]

1515
故答案为
k?[?
【点睛】

本题考查了求轨迹方程，一次函数的性质，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．

20．菱形【解析】【分析】【详解】根据题意画出图形如图∵PA垂直平行四边
形ABCD所在平面∴ PA⊥BD又∵PC⊥BDPA?平面PACPC?平面
PACPA∩PC=P∴BD⊥平面PAC又∵ AC?平面PAC∴A
解析：菱形

【解析】

【分析】

【详解】

根据题意，画出图形如图，∵
PA垂直平行四边形
ABCD
所在平面，∴
PA
⊥
BD
，< br>
又∵
PC
⊥
BD
，
PA
?平面
P AC
，
PC
?平面
PAC
，
PA∩PC=P
．
∴
BD
⊥平面
PAC
又∵
AC
?平面
PAC
∴
AC
⊥
BD
又
ABCD
是平行四边形< br>
∴平行四边形
ABCD
一定是

菱形．故答案为菱形

三、解答题

21．（
1
）
x?1
或
y?0
；（
2
）
?
x?1?
?
?
y?3
?
?4
.

【解析】

【分析】

（
1
）对直线
l< br>的斜率是否存在进行分类讨论，利用圆心到直线
l
的距离等于2可求得直线
l< br>的方程；

（
2
）先通过点到直线的距离及勾股定理可解得直线
m
的斜率，然后将直线
m
的方程与圆
的方程联立，求出线段
AB< br>的中点，作为圆心，并求出所求圆的半径，进而可得出所求圆
的方程
.

【详解】

（
1
）由题意知，圆
C
的标准方程为< br>?
x?3
?
?
?
y?2
?
?9
，< br>?
圆心
C
?
3,?2
?
，半径
22
22
r?3
，

①当直线
l
的斜率
k
存在 时，设直线的方程为
y?0?k
?
x?1
?
，即
kx?y? k?0
，

则圆心到直线
l
的距离为
d?
3k?2 ?k
k?1
2
?2
，
?k?0
.

?
直线
l
的方程为
y?0
；

②当直线< br>l
的斜率不存在时，直线
l
的方程为
x?1
，
此时圆心
C
到直线
l
的距离为
2
，符合题意
.

综上所述，直线
l
的方程为
x?1
或
y?0；

（
2
）依题意可设直线
m
的方程为
y?k x?1
，即
kx?y?1?0
?
k?0
?
，
则圆心
C
?
3,?2
?
到直线
m
的距离
d?
3k?2?1
1?k
2
?AB?
?r
2
?< br>??
?5
，

?
2
?
2

?2k
2
?3k?2?0
，解得
k?
1
或
k? ?2
，

2
又
Qk?0
，
?k??2
，< br>?
直线
m
的方程为
?2x?y?1?0
即
2x?y? 1?0
，

?
?
2x?y?1?0
设点
A
?
x
1
,y
1
?
、
B
?
x
2
,y
2
?
，联立直线
m
与圆
C
的方程 得
?
，

22
?
?
?
x?3
?< br>?
?
y?2
?
?9
消去
y
得
5x< br>2
?10x?1?0
，
?x
1
?x
2
?2< br>，

则线段
AB
的中点的横坐标为
x
1
?x
2
?1
，把
x?1
代入直线
m
中得
y?? 3
，

2
1
AB?2
，

2
22
所以，线段
AB
的中点的坐标为
?
1,?3
?
，< br>
由题意知，所求圆的半径为：
?
以线段
AB
为直径的圆的方 程为：
?
x?1
?
?
?
y?3
?
?4.

【点睛】

本题考查利用圆心到直线的距离求直线方程，同时也考查 了圆的方程的求解，涉及利用直
线截圆所得弦长求参数，考查计算能力，属于中等题
.

22．（1）
3x?4y?23?0
; （2）
4x?3y?1?0
.

【解析】

试题分析：

(1)
首先求得中点坐标，然后求得斜率，最后利用点斜式公式即可求得直线方程；

(2)
利用点斜式可得直线方程为
4x?3y?1?0
.

试题解析：

（1）
8?2?6?2
?5
，
??2
∴
AB
的中点坐标为
?
5,?2
?


22
?6?243
??
，∴
AB
的中垂线斜率为

8?234
3
?
x?5
?
∴
AB
的中垂线方程为
3x?4y?23?0


4
4
?
x?2
?
∴直线
l
的方程
4x?3y?1?0

3
k
AB< br>?
∴由点斜式可得
y?2?
（2）由点斜式
y?3??
23． （1）证明见解析；（2）1.

【解析】

试题分析：（1）利用等腰三角 形的性质可得
A
1
O?AC
，利用面面垂直的性质可得
A
1
O?
平面
ABC
，根据线面垂直的性质可得结论；（2）先证明
A< br>1
C
1
||
平面
ABC
，可得
C
1
到平面
ABC
的距离等于
A
1
到平面
ABC
的距离，利用等积变换及棱锥的体积公式可得
111
V
C
1
?AB C
?V
A
1
?ABC
?S
?ABC
?AO???2 ?3?3?1
.


1
332

试题解析：（ 1）∵
AA
1
?A
1
C
，且
O
为
AC
的中点.

∴
A
1
O?AC
.
又∵平面
AA
1
C
1
C?
平面
ABC
，平面
AA
1
C
1
C?
平面
ABC?AC
，

?
平面
AAC
且
AO
111
C
，

∴
A
1
O?
平面
ABC
.

∵
BC?
平面
ABC
，

∴
A
1
O?BC
.

（2）∵
A
1
C
1
||AC
，
A
1
C
1
?< br>平面
ABC
，
AC?
平面
ABC
，

∴
A
1
C
1
||
平面
ABC
.

即
C
1
到平面
ABC
的距离等于
A
1到平面
ABC
的距离.

由（1）知
A
1
O?
平面
ABC
且
AO?
1
∴三棱锥
C
1?ABC
的体积：

AA
1
2
?AO
2
?3
.

111

V
C
1
?ABC
?V
A
1
?ABC
?S
?ABC
?AO???2?3?3?1
.

1
332
24
．（
1
）
x?7y?5?0
（
2
）详见解析

【解析】

试题分析：（
1）求直线
CD
的方程，只需确定
C
，
D
坐标即可：C(?,)
，
D(5,0)
，直
34
55
4
5
??
1
线
CD
的斜率，直线
CD
的方程为
x?7y?5?0
．

7
?
3
?
5?
?< br>?
?
?
5
?
0?
（
2
）证明动圆过 定点，关键在于表示出圆的方程，本题适宜设圆的一般式：
x
2
?y
2
?Dx+Ey?F?0
设
C(?3m,4m)(0?m?1)
，则
D
(5m+4,0)
，从而
F?0,
{9m
2
?16m
2< br>?3mD?4mE?F?0,
解之得
D??(5m?4),F?0
,
E ??10m?3
,
整理得
?
5m?4
?
?
?
5m?4
?
D?F?0.
x
2
?y
2
?4x?3 y?5m(x?2y)?0
，所以△
OCD
的外接圆恒过定点为
(2,?1)
．

2

试题解析：（
1
）因为
A(?3 ,4)
，所以
OA?(?3)
2
?4
2
?5
， 1
分

又因为
AC?4
，所以
OC? 1
，所以
C(?,)
，
3
分

由
BD?4
，得
D(5,0)
，
4
分

34
55
4
5
??
1
所以直线
CD
的斜率，
5
分

7
?
3
?
5?
?
?
?
?
5
?
0?
1
(x?5)
，即
x?7y?5?0
．
6
分

7
（
2
）设
C(?3m,4m)(0?m?1)
，则
OC?5m
．
7
分

所以直线
CD
的方程为
y??
则
AC?OA?OC?5?5m
，

因为
AC?BD
，所以
OD?OB?BD?5m+4
，

所以
D
点的坐标为
(5m+4,0)
8
分

又设
?OCD
的外接圆的方程为
x?y?Dx+Ey?F?0
，

22
F?0,
22
则有
{9m?16m?3mD?4mE?F?0,
10
分

?
5m?4
?
?
?
5m ?4
?
D?F?0.
解之得
D??(5m?4),F?0
,
E??10m?3
,

所以
?OCD
的外接圆的方程为
x? y?(5m?4)x?(10m?3)y?0
，
12
分

整理得
x?y?4x?3y?5m(x?2y)?0
，

22
22
2
x?0,x?2,
x
2
?y
2
?4x?3 y=0,
{
{
{
令，所以（舍）或

y??1.
y ?0.
x+2y=0
所以△
OCD
的外接圆恒过定点为
(2,?1)
．
14
分

考点：直线与圆方程

25．（1） 取
DC
的中点
N
，取
BD
的中点
M
，连接
MN
，则
MN
即为所求，证明见解析
（2）
6

3
【解析】

【分析】

（
1
）取
DC
的中点
N
，取
BD
的中点
M
，连接
MN
，则
MN
即为所求，证明
EN
∥
AH
，
MN
∥
BC
可得平面
EMN
∥平面
ABC
即可（
2
）因为点
E
到平面
ABC
的距离与点
N
到平面
ABC
的距离相等，求三棱锥
E
－
ABC
的体积可转 化为求三棱锥
N
－
ABC
的体积，根据体积
公式计算即可.

【详解】

(1)
如图所示，取
DC
的中点
N，取
BD
的中点
M
，连接
MN
，则
MN
即为所求
.

证明：连接
EM
，
EN
，取
BC
的中点
H
，连接
AH
，

∵△
ABC
是腰长为
3
的等腰三角形，
H
为
BC
的中点，

∴
AH
⊥
BC
，又平面
ABC
⊥平面
BCD
，平面
ABC∩
平面
BCD
＝
BC
，
AH
?平面
ABC
，

∴
AH
⊥平面
BCD
，同理可证
EN
⊥平面
BCD
，

∴
EN
∥
AH
，

∵
EN?平面
ABC
，
AH
?平面
ABC
，

∴
EN
∥平面
ABC.

又
M
，
N
分别为
BD
，
DC
的中点，

∴
MN
∥
BC
，

∵
MN
?平面
ABC
，
BC
?平面
ABC
，

∴
MN
∥平面
ABC.

又
MN∩EN
＝
N
，
MN
?平面
EMN
，
EN
?平面EMN
，

∴平面
EMN
∥平面
ABC
，

又
EF
?平面
EMN
，

∴
EF
∥平面
ABC
，

即直线
MN上任意一点
F
与
E
的连线
EF
均与平面
ABC
平行
.

(2)
连接
DH
，取
CH
的中点
G
，连接
NG
，则
NG
∥
DH
，

由
(1)
可知
EN
∥平面
ABC
，
∴点
E
到平面
ABC
的距离与点
N
到平面
AB C
的距离相等，

又△
BCD
是边长为
2
的等边三角形，

∴
DH
⊥
BC
，

又平面
ABC
⊥平面
BCD
，平面
ABC∩
平面
BCD
＝
BC< br>，
DH
?平面
BCD
，

∴
DH
⊥ 平面
ABC
，∴
NG
⊥平面
ABC
，

易 知
DH
＝
3
，∴
NG
＝
又
S
△< br>ABC
＝
3
，

2
11
·BC·AH
＝
×2×
3
2
?1
2
＝
2
2
，

22
∴
V
E
－
ABC
＝
【点睛】

1
6
·S
△
ABC
·NG
＝
.

3
3
本题主要考查了线线平行，线面平行，面面平行的判定，面面垂直的性质，等体积 法求三
棱锥的体积，属于中档题
.

26．（1）
x?y?4
；（
2
）
y?1
.

22

【解析】

【分析】

（1）根据题意 可得圆
M
的方程为
?
x?a
?
?y
2
?a
2
?4
，求出圆心到直线
x?y?2?0
的距离，结合
M< br>截直线
x?y?2?0
所得弦长为
22
,利用勾股定理列方程可得a
的值，
代入圆
M
的方程即可得结果；（2）设直线
l
的方程为
y?kx?1
，结合直线与圆的位置关
系可得
AB
的值，求 出点
P
到直线
AB
的距离，由三角形面积公式可得
2
13? 4k
2
?d
?
?AB?3??33
，解得
k
的值， 代入直线
l
的方程即可得结果．

2
21?k
【详解】

（1）根据题意，圆
M
的圆 心
?
a,0
?
且经过点
?
0,?2
?
，则 圆
M
的方程为
?
x?a
?
2
?y
2
?a
2
?4
，

圆心
M
到直线
x?y? 2?0
的距离
d?
a?2
2
，

若圆
M< br>截直线
x?y?2?0
所得弦长为
22
，

?
22
?
?
a?2
?
2
??a?4
，
< br>则有
??
??
?
2
?
??
?
2?
解可得：
a?0
，

则
r
2
?a
2
?4?4
，

则圆
M
的方程为
x?y?4
；

（2）根据题意， 设直线
l
的方程为
y?kx?1
，即
kx?y?1?0
，< br>
圆
M
的方程为
x?y?4
，则圆心
M
到直 线
l
的距离
d?
22
22
2
2
1
1?k
2
，

3?4k
2
则
AB?2?r?d?2
，

2
1?k
22
又由
P
?
0,?2
?
，则
P
到直线
l
的距离
d'?
2?1
1?k
2
?
3
1?k
2
，

13?4k
2
若
△PAB
的面积为
33
，则
?d
?
?AB?3??33，

2
21?k
解可得：
k?0
，

则直线
l
的方程为
y?1
．

【点睛】

本题主要考查圆的方程、直线与圆方的位置关系，以及点到直线的距离公式与三角形面积
公式的 应用，涉及直线与圆相交弦长的计算，属于基础题．求圆的弦长有两种方法：一是
利用弦长公式
l?1?k
2
x
1
?x
2
，结合韦达定理求解；二是利用半 弦长，弦心距，圆半

径构成直角三角形，利用勾股定理求解.