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高一数学必修2第4章圆与方程的导学案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 17:55
tags:高中数学必修二视频

高中数学知识点大全千寻文档-浙江丽水高中数学试卷

2020年10月6日发(作者:梅镇岳)


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高一数学必修2导学案 主备人: 备课时间: 备课组长:
4.1.1圆的标准方程
一、学习目标
知 识与技能:1、掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程。2、会用待定系
数法求圆的标 准方程。
过程与方法:进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,通过圆< br>的标准方
程解决实际问题的学习,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观:通过运用圆的知识解决实际问题的学习,从而激发学生学习数学的热情
和兴 趣。
二、学习重点、难点:
学习重点: 圆的标准方程
学习难点: 会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程。
三、使用说明及学法指导:
1、 先阅读教材118—120页,然后仔细审题,认真思考、独立规范作答。2、不会的,模棱
两可的问题 标记好。3、对小班学生要求完成全部问题,实验班完成90℅以上,平行班完成
80℅以上
四、知识链接:
1.两点间的距离公式?
2.具有什么性质的点的轨迹称为圆?圆的定义?
平面内与一定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径.
五、学习过程:(自主探究)
A问题1阅读教材118页内容,回答问题
已知在平 面直角坐标系中,圆心A的坐标用(a,b)来表示,半径用r来表示,则我们如何
写出圆的方程?



问题2圆的方程形式有什么特点?当圆心在原点时,圆的方程是什么?

例1:1写出下列各圆的方程:
(1)圆心在原点,半径是3; (2) 圆心在C(3,4),半径是
5

(3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3);
2、写出下列各圆的圆心坐标和半径:
2222
(1) (
x
-1) +
y
= 6 (2) (
x
+1)+(
y
-2)= 9
(3)
(x?a)?(y)?a

例2:写出圆心为
A(2,?3)
半径长 等于5的圆的方程,判断
M
1
(5,?7),M
2
(?5,?1)< br>是否在
这个圆上。


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问题3点M< br>0
(x
0
,y
0
)在圆(x-a)+(y-b)=r上、内、 外的条件是什么?





例3△ABC的三个顶点的 坐标是
A(5,1),B(7,?3),C(2,?8),
求它的外接圆的方程




例4已知圆心为
C
的圆经过点
A(1,1)

B(2,?2)
,且圆心在
l:x?y?1?0
上,求圆心为C
的圆的标准方程.



注:比较例3、例4可得出△ABC外接圆的标准方程的两种求法:
1.根据题设条件,列出 关于
a、b、r
的方程组,解方程组得到
a、b、r
得值,写出圆的标
准方程.
2.根据确定圆的要素,以及题设条件,分别求出圆心坐标和半径大小,然后再写出圆的标 准
方程.
六、达标检测
1、已知两点P
1
(4,9)和P
2
(6,3),求以P
1
P
2
为直径的圆的方程,试判断点M(6 ,9)、N(3,
3)、
Q(5,3)是在圆上,在圆内,还是在圆外?


2、求圆心C在直线 x+2y+4=0 上,且过两定点A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。


22
3、从圆x+y=9外一点P(3,2)向该圆引切线,求切线方程。


4、求以C(1,3)为圆心,并且和直线3
x
-4
y
-7=0 相切的圆的方程.


C5. 求过点A(3,2),圆心在直线y=2x上,且与直线y=2x+5相切的圆的方程:

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七、小结与反思
①圆的方程的推导步骤:建系设点→写条件→列方程→化简→说明
②圆的方程的特点:点(a,b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径;
③求圆的方程的两种方法:(1)待定系数法;确定a,b,r;
【金玉良言】临渊羡鱼不如退而结网。

高一数学必修2导学案 主备人: 备课时间: 备课组长:
4.1.2圆的一般方程
一、学习目标:
知识与技能:(1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的 代数特征,由圆
22
的一般方程确定圆的圆心半径.掌握方程x+y+Dx+Ey+F=0表示 圆的条件.(2)能通过配
方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法求圆的方程。 (3)培养学生
探索发现及分析解决问题的实际能力。
22
过程与方法:通过对方程 x+y+Dx+Ey+F=0表示圆的条件的探究,培养学生探索发现及
分析解决问题的实际能力。 < br>情感态度与价值观:渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激
励学生 勇于创新,勇于探索。
二、学习重点、难点:
学习重点:圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定
方程中的系数D、E、F.
学习难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用.
三、学法指导及要求:
1、认真研读教材121---123页,认真思考、独立规范作答, 认真完成每一个问题,每一道
习题,不会的先绕过,做好记号.2、把学案中自己易忘、易出错的知识点 和疑难问题以及解
题方法规律,及时整理在解题本,多复习记忆. 3、A:自主学习;B:合作探究; C:能力提升
4、小班、重点班完成全部,平行班至少完成A.B类题.平行班的A级学生完成80%以 上B
完成70%~80%C力争完成60%以上.
222
四、知识链接:圆的标准方程:
(x?a)?(y?b)?r
圆心
(a,b)
;半径:r.
五、学习过程:问题的导入:
2222
问题1: 方程x+y-2x+4y+1=0表示什么图形?方程x+y-2x-4y+6=0表示什么图形?

22
问题2:方程x+y+Dx+Ey+F=0在什么条件下表示圆?

问题3:什么是圆的一般方程?

问题4:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?

典型例题:
例1 :求过三点O(0,0)M
1
(1,1)M
2
(4,2)的圆的方程



22
例2:已知:线段AB的端点B的坐标是(4,3),端 点A在(x+1)+y=4上运动,求线段AB
的中点M的轨迹方程。


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变式:已知一曲线是与两个定点O(0,0),A(3,0)距离比为
并画出曲线。

六、达标检测
1,已知方程x+y+kx+(1-k)y+
1
的点的轨迹, 求此曲线的方程
2
13
=0表示圆,则k的取值范围 ( )
4
A k>3 B
k??2
C -23或k<-2
22
2,方程
x?1?1?(y?1)
2
表示的曲线是( )
A.一个圆 B.两个半圆 C.两个圆 D.半圆
3,动圆
x?y?(4m?2)x?2my?4m?4m?1?0
的圆心的轨迹方程是 .
4,如果实数
x,y
满足等式
(x?2)?y?3
,那么
5,求下列各题的圆心坐标、半径长
22
(1)x+y-6x=0

22
(2) x+y+2by=0
(3) x+y-2
a
x-2
3
y+3
a
=0
222
222
22
y
的最大值是________。
x
6,下列各方程各表示什么图形?
22
(1)x+y=0

22
(2)x+y-2x+4y-6=0

222
(3) x+y+2
a
x-b=0




7,已知圆C:x?+y?-4x-5=0的弦AB的中点为P(3,1)求直线AB的方程










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七、小结与反思 掌握圆的一般方程的形式,理解其特点,能确定出圆心坐标和半径。
【励志良言】知识改变命运,勤奋造就人生!



高一数学必修2导学案 主备人: 备课时间: 备课组长:
4.2.1直线与圆的位置关系
一、学习目标:
1、知识与技能:(1)理解直线 与圆的位置的种类;(2)利用平面直角坐标系中点到直线的
距离公式求圆心到直线的距离;(3)会用 点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
2、过程与方法:通过学习直线与圆的位置关系,掌握解决问题的方法――代数法、几何法。
3、情感态度与价值观:让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的位置关系,培养学生数
形结合的思 想.
二、学习重、难点:
重点:直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.
难点:用坐标法判断直线与圆的位置关系.
三、学法指导及要求
1、认真研读教材126---128页,认真思考、独立规范作答,认真完成每一个问题,每一道习题,研究最佳答案准备展示,不会的先绕过,做好记号。
2、把学案中自己易忘、易出错的知识 点和疑难问题以及解题方法规律,及时整理在解题本,
多复习记忆。(尤其是直线与圆的位置关系的几何 图形及其判断方法必需牢记)
3、A:自主学习;B:合作探究;C:能力提升
4、小班、 重点班完成全部,平行班完成A.B类题。平行班的A级学生完成80%以上B级完
成70%~80%C 级力争完成60%以上。
四、知识链接
1、点和圆的位置关系有几种?
设点P(x
0

y
0
)
,圆
(x-a)+(y-b )=r
,圆心(a,b)到
P(x
0

222
港口
y
0
)
的距离为d,则
点在圆内
(x
0

-a)
+
(y
0

-b)

r
d点在圆上
(x
0

-a)
+
(y
0

-b) =r
d=r,
点在圆外
(x
0

-a)
+
(y
0

-b)

r
d>r.
222
222
222
轮船
问题:一艘轮船在沿直线返回 港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西
70KM处,受影响的范围是半径为30K M的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40KM处,如果
轮船不改变航线,那么这艘轮船是否会受到 台风的影响?
五、学习过程
A问题1.初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几类?
A问题2.直线与圆的位置关系有哪几种呢?
A问题3.在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关系呢?

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例1已知直线l:3x?y ?6?0和圆心为C的圆x
2
?y
2
?2y?4?0,试判断直线l与圆的位 置
关系;如果相交,求它们交点的坐标.



B问题4.你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗?




例2已知过点M(?3,?3)的直线l被圆x
2
?y
2
?4y?21?0所截得的弦长为45,求直线l的方程.




C例3 .已知圆C:x
2
?y
2
?4和直线l:y?x?b ,b为何值时,
直线l与圆C
?
1
?
相交,
?
2
?
相切,
?
3
?
相离.



六、达标检测
A1.


1、从点P(x.3)向圆(x+2)+(y+2)=1作切线,则切线长度的最小值是( )
22
26
A. 4 B. C.5 D. 5.5
A2、M(3.0)是圆x+y-8x-2y+10=0内一点,则过点M最长的弦所在的直线方程是( )
A.x+y-3=0 B. 2x-y-6=0 C.x-y-3=0 D.2x+y-6=0
B3、直线l:
xsin
?
?ycos
?
?1
与圆x+y=1的关系是( )
22
22
A.相交 B.相切 C. 相离 D.不能确定
B4、设点P(3,2)是圆(x-2)+(y-1)=4内部一点,则以P为中点的弦 所在的直线方程是_______
B5.已知直线y=
x
+1与圆
x?y? 4
相交于
A
,
B
两点,求弦长|
AB
|的值



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七、小结与反思
【教师寄语】长风破浪会有时,直挂云帆济沧海 !



高一数学必修2导学案 主备人: 备课时间: 备课组长:
4.2.2圆与圆的位置关系
一、学习目标:
知识与技能:(1)理解圆与圆的位 置的种类;(2)利用平面直角坐标系中两点间的距离公式
求两圆的连心线长;(3)会用连心线长判断 两圆的位置关系.
过程与方法:用类比的思想研究圆与圆的位置关系,进一步将这些直观的事实转化为数学语
言。
情感态度与价值观:通过观察图形,理解并掌握圆与圆的位置关系,培养数形结合的思想.
二、学习重点、难点:用坐标法判断圆与圆的位置关系.
三、学法指导及要求:
1、认真研读教材129---130页,认真思考、独立规范作答,认真完成每一个问题,每一道习题,研究最佳答案准备展示,不会的先绕过,做好记号。2、把学案中自己易忘、易出错的
知识点 和疑难问题以及解题方法规律,及时整理在解题本,多复习记忆。(尤其是:圆与圆
的位置关系的几何图 形及其判断方法必需牢记)3、A:自主学习;B:合作探究;C:能力提升
4、小班、重点班完成全部 ,平行班完成A.B类题。平行班的A级学生完成80%以上B级完
成70%~80%C级力争完成60 %以上。
四、知识链接
1.直线与圆的位置关系:
相离、相交、相切
2.判断直线与圆的位置关系有哪些方法?
(1)根据圆心到直线的距离;
(2)根据直线的方程和圆的方程组成方程组的实数解的个数;
3.圆与圆的位置关系有哪几种?(作图说明)



如何根据圆的方程判断圆与圆的位置关系,我们将进一步探究.
五、学习过程
A问题1:圆与圆的位置关系
两个大小不等的圆,其位置关系有内含、内切、相交、外切、外 离等五种,在平面几何中,
这些位置关系是如何判定的?


B问题2:判断圆和圆的位置关系的方法
(1)几何法


(2)代数法

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B问题3:已知两圆
C
1
:x+y+D
1
x+ E
1
y+F
1
=0

C
2
:x+y+D
2
x+E
2
y+F
2
=0,
用上述方法判断
两个圆位置关系的操作步骤如何?



B例1、已知圆
C
1
: x+y+2x+8y-8=0
和 圆
C
2
:x+y-4x-4y-2=0,
试判断圆
C
1< br>与圆
C
2
的位置关系.








六、达标测试
A1、判断下列两圆的位置关系:
2222
2222
(1)(x+2)
2
+(y-2)
2
=1

(x-2)
2
+(y-5)
2
=16
(2)x
2
+y
2
+6x-7=0

x
2
+y2
+6y-27=0




B2、
x+y =m
与圆
x+y+6x-8y-11=0
相交,求实数m的范围
22
A3、已知以(-4,3)为圆心的圆与
x+y=1
相切,求圆C的方程.


C4、求过点
A(0,6
)且与圆x+y+10x+10y=0
切于原点的圆的方程。



C 5、求与点
A(1,2)
的距离为
1
,且与点
B(3,1)
的距离为
2
的直线共有 条。




七、小结与反思
【励志金语】不经一番风霜苦,哪得梅花放清香!





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高一数学必修2导学案 主备人: 备课时间: 备课组长:
4.2.3直线与圆的方程的应用
一、学习目标:
知识与技能:(1)理解直线与 圆的位置关系的几何性质;(2)利用平面直角坐标系解决直线
与圆的位置关系;(3)会用“数形结合 ”的数学思想解决问题.
过程与方法:用坐标法解决几何问题的步骤:第一步:建立适当的平面直角坐 标系,用坐标
和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;第二步:通过代数运算,
解决代数问题;第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论.
情感态度与价值观:让学生通 过观察图形,理解并掌握直线与圆的方程的应用,培养学生分
析问题与解决问题的能力.
二、学习重点、难点:
学习重点:直线与圆的方程的应用.
学习难点:直线与圆的方程的应用时,坐标系的建立、方程的确定。
三、学法指导及要求:
1、认真研读教材130---132页,认真思考、独立规范作答,认真完成每一个问题,每
一道习题,不会的先绕过,做好记号.2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以
及解题方法 规律,及时整理在解题本,便于复习记忆. 3、A:自主学习;B:合作探究;C:能
力提升4、小班 、重点班完成全部,平行班至少完成A.B类题.平行班的A级学生完成80%
以上B完成70%~80 %C力争完成60%以上.
四、知识链接:
1,回忆各种直线方程的形式,说清其特点及不足。
222
2,圆的标准方程是:(x-a)+(y-b)=r 圆心(a,b);半径:r.
3,你能说出直线与圆的位置关系吗?
五、学习过程
问题的导入:
问题1: 你能举几个关于直线与圆的方程的应用的例子吗?
直线与圆的方程的应用是非常广泛的,下面我们看几个例子
典型例题
1.标准方程问题:
22
例1:圆(x-2)+(y+3)=4上的点到x-y+2=0的最远距离 最近的距离 。
22
2.轨迹问题:例2:过点A(4,0)作直线 L交圆O:x+y=4于B,C两点,求线段BC的中点P的
轨迹方程



22
3.弦长问题:例3: 直线L经过点(5,5),且和圆x+y=25相交,截得的弦长为
45
, 求直
线L的方程。



4.对称问题:例4:求圆
?
x?1
?
?
?
y?1
?
?4
关于点< br>?
2,2
?
对称的圆的方程.

22

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5.实际应用问题
例5:下图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度
A B
=20cm,拱高
OP
=4m,建
造时每间隔4m需要用一根支柱支撑,求 支柱
A
2
P
2
的高度(精确到0.01m).



6.用代数法证明几何问题
例6. 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边的距离等于这条边所对边
长的一半.



P
2
P
4m
A
A
1
A
2
O
A
3
A
4
B
B
C
O
A
D





六、达标检测
22
A1,求直线
l
:2x-y-2=0 被圆C:(x-3)+y=9 所截得的弦长
22
B2,圆(x-1)+(y-1)=4关于直线L:x-2y-2=0对称的圆的方程
B3,赵州桥的跨度是37.4m,圆拱高约7.2m,求拱圆的方程
B4,某圆拱桥的水面跨度20m,拱高4m。现有一船,宽10m,水面以上高3m,这条船能否从< br>桥下通过?







C4 ,等边△ABC中,D,E分别在边BC,AC上,且∣BD∣=
相交于点P,求证:AP⊥CP


七、小结与反思
利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题;用坐标法解决平面几何问
题.
11
∣BC∣,∣CE∣=∣CA∣,AD,BE
33

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【励志金语】我的未来我把握,我的人生我设计!

高一数学必修2导学案 主备人: 备课时间: 备课组长:
圆的习题课
一、学习目标:
1、知识与技能:使学生掌握圆的各种方程的特点,能根据圆心、半径准确地写出圆的标准方
程 , 能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径,熟悉直线与圆,圆与圆的关系并能应
用。
2、过程与方法:能根据不同的条件,利用待定系数法、定义法求圆的标准方程,用转化法求
轨迹 。
3、情感态度与价值观:能运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题,培养学生的应用意识。
二、学习重点、难点:
学习重点:圆的各种方程、直线与圆,圆与圆的关系及应用。
学习难点:圆的方程的应用。
三、使用说明及学法指导:
认真复习总结、积累圆的 各种方程、直线与圆,圆与圆的关系等重要知识点,数形结合、分
类讨论,待定系数法等思想方法。要通 过解题积累经验,总结方法,融会贯通。
四、知识链接:
1、圆的标准方程 :
(x?a)?(y?b)?r

2、圆的一般方程:x+y+Dx+Ey+F=0
3、点和圆的位置关系:
设圆C∶
(x?a)?(x?b)?r
,点M到圆心的距离为d,则有:
(1)d>r点M在圆外;(2)d=r点M在圆上;(3)d<r 点M在圆内.
4、直线和圆的位置关系:如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则有
(1)直线l与⊙O相交 <=>dd=r(3)直线l与⊙O相离 <=>d>r。
五、学习过程
典型题精炼:1. 如何判断点与圆的位置关系?
例题1:已知点P(-2, 4)和圆C
x?y?6x?4y?9?0
, 试判断点P和圆C的位置关系.


练习:点P(-4, 3)和圆
x?y?24
的位置关系是( )
A. P在圆内 B. P在圆外 C. P在圆上 D. 以上都不对
2. 如何判断直线与圆的位置关系?
222
例题2:当a(a >0)取何值时,直线x+y-2a+1=0与圆x+y- 2ax+2y+a-a+1=0 相切,相离,
相交?




?
x?2cos
?
,
?
?
y?2sin
?

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22
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练习:圆 和3
x-
4
y=
9的位置关系是( )

A
.
相切 B. 相离 C. 直线过圆心 D. 相交但直线不过圆心
3、直线与圆的交点弦长:
22
例题3:已知圆的方程是x+y =2,它截直线y= x+1所得的弦长是
4、如何判断圆与圆的位置关系?
2222
例题4:圆C
1
: x+y- 6y=0和圆C
2
: x+y- 8x+12=0的位置关系如何?


5、求圆的方程的常用方法:
例5:(1). 一个圆经过点
P
( 2,-1 ), 和直线
x-

y =
1相切,并且圆心在直线
y=-
2
x
上,
求这个圆的方程.
(2). 已知两点
A
( 4 , 9 ) 和
B
( 6 , 3 )两点, 求以
AB
为直径的圆的方程.

练习: (1). 圆C的圆心为 ( 2 , -1 ) ,且截直线 y = x- 1 所得弦长为 2
2
, 求圆
C
的方程.








6、求圆的切线的常见形式:
22
例6: (1). 求过点P( -3 , 2 ),与圆x+y=13相切的直线方程.
22
(2). 求过点P( -5 , 9 ),与圆(x+1)+ (y-2) =13相切的直线方程.
(3). 设圆的方程x+y=13,它与斜率为
?
2
的直线 l 相切 , 求直线 l 的方程.
22
3





22
7、求最值问题:已知实数
x , y
满足方程
x
+
y
-4
x
+1=0.
(1) 求







y
22
的最大值和最小值; (2)求y- x的最小值;(3)求x+y的最大值和最小值.
x

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