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高中数学微积分

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 17:59
tags:高中数学微积分

高中数学选修1椭圆大题-高中数学课堂提问技巧举例

2020年10月6日发(作者:倪应颐)


高中数学 微积分
一、导数
1.导数的定义
定义:设函数
y?f
?
x
?
在点
x
0
的某邻域内有定义,若极 限
lim
x?x
0
f
?
x
?
?f
?
x
0
?
存在,
x?x
0
则称函数
f在点
x
0
处可导,并称该极限值为函数
f
在点
x
0
处的导数,记为
f
?
?
x
0
?
(或< br>dydf
.若令
x?x
0
??x

?y?f
?
x
0
??x
?
?f
?
x
0
?< br>,则
y
?
|
x?x
0
,|
x?x
0
,|
x?x
0

dxdx
x?x
0
li m
f
?
x
0
??x
?
?f
?
x< br>0
?
f
?
x
?
?f
?
x
0
?
?f
?
?
x
0
?
.所以,导数是函数增 量可改写为
lim
?x?0
?x
x?x
0
?y
与自 变量增量
?x
之比的极限.这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(又称差
商) ,而导数
f
?
?
x
0
?
则为
f

x
0
处关于
x
的变化率.若
lim
x?x
0
f
?
x
?
?f
?
x
0
?
极限不存在,则
x?x
0

f
在点
x
0
处不可导.
2.导函数
若函数在区间
I
上每一点都可导(对区间端点,仅 考虑相应的单侧导数),则称
f

I
上的可导函数.此时,对每一个
x?I
,都有
f
的一个导数
f
?
?
x
?< br>(或单侧导数)与之对应,
这样就定义了一个在
I
上的函数,称为
f< br>在
I
上的导函数,也简称为导数,记为
f
?

y?


f
?
?
x
?
?lim
?x?0
f
?
x??x
?
?f
?
x
?,x?I

?x
3.导数的几何意义
函数
f
在点< br>x
0
处的导数
f
?
?
x
0
?
是曲线
y?f
?
x
?
在点
?
x
0
,y
0
?
处的切线斜率.曲线
y?f
?
x
?在点
?
x
0
,y
0
?
处的切线方程为
y?y
0
?f
?
?
x
0
??
x?x
0
?

4.求导法则
(1)基本求导法则



?
u?v
?
?
?u
?
?v
?


?
uv
?
?
?u
?
v?uv
?

?
cu
?
?
?cu
?

c为常数);

?
?
u
?
?
u
?v?uv
?

?
1
?
?
?v
?

?
?
??
?
2
v
2
v
?< br>v
??
v
?
dx
dx
dy
④反函数导数
dy
?
1

⑤复合函数导数
dydydu

??
dxdudx
(2)基本初等函数导数公式

?
c
?
?
?0

c
为常数);

x
?
?
?
?
x
?
?1

?
为任意实数);
??

?
sinx
?
?
?cosx

?
cosx
?
?
??sinx< br>;

?
tanx
?
?
?sec
2
x

?
cotx
?
?
??csc
2
x
?
secx
?
?
?secxtanx

?
cscx
?
?
??cscxcotx


a< br>x
?
?a
x
lna

e
x
?
?e
x

????

?
log
a
x< br>?
?
?
11

?
lnx
?
?
?

xlnax
5.导数的应用
(1)判断函数单调性
定理 :设函数
f
?
x
?
在区间
I
上可导,则
f
?
x
?

I
上递增(减)的充要条件是
f
?
?
x
?
?0
?
?0
?

推论 :设函数
f
?
x
?
在区间
I
上可导,若
f
?
?
x
?
?0
?
?0
?
,则f
?
x
?
在区间
I
上严格递
增(严格递减).
(2)函数的极值
定义:若函数
f
?
x
?
在点< br>x
0
的某邻域
U
?
x
0
?
内对一切
x?U
?
x
0
?

f
?
x
0
?
?f
?
x
?
?
f
?
x0
?
?f
?
x
?
?
,则称函数
f?
x
?
在点
x
0
取得极大(小)值,称点
x< br>0
为极
大(小)值点.极大值和极小值统称为极值;极大值点和极小值点统称为极值点.


(3)最值
对于闭区间
?
a,b
?
上的连 续函数
f
?
x
?
,我们只要比较
f
在所有稳定点、 不可导点和区
间端点上的函数值,就能从中找到
f
在区间
?
a,b< br>?
上的最大值与最小值.
二、定积分
1.定义:设
f
是定 义在
?
a,b
?
上的一个函数,若对任给的正数
?

J
是一个确定的实数.
总存在某一正数
?
,使得对
?
a, b
?
的任何分割
T
,以及在其上任意选取的点集
?
?
i
?
,只要
T?
?
,就有
?
f
?
?
i
?
?x
i
?J?
?
,则称函数
f< br>在区间
?
a,b
?
上可积或黎曼可积;数
J
i?1< br>n
称为
f
在区间
?
a,b
?
上的定积分或黎 曼积分,记为
J?
?
f
?
x
?
dx
,其中
f
称为被积函数,
a
b
x
称为积分变量,
?
a,b
?
称为积分区间,
a,b
分别称为这个定积分的下限和上限. 牛顿—莱布尼茨公式:若函数
f

?
a,b
?
上连续, 且存在原函数
F
,即
F
?
?
x
?
?f?
x
?

x?
?
a,b
?
,则
f

?
a,b
?
上可积,且
?
a
f?
x
?
dx?F
?
b
?
?F
?
a
?
,这称
为牛顿—莱布尼茨公式,它也常写为
b
?
b< br>a
f
?
x
?
dx?F
?
x
?
|
b
a

2.几何意义:对于
?
a,b
?上的连续函数
f
,当
f
?
x
?
?0

x?
?
a,b
?
,定积分的几何
意义就是
y?f< br>?
x
?

x?a

x?b

y?0
所围成的曲边梯形的面积;当
f
?
x
?
?0
x?
?
a,b
?
时,这时
J??
?
a
?
?
?f
?
x
?
?
?
dx
是位于
x
轴下方的曲边梯形面积的相反数,不妨
称之为“负面积”;对于一般非定号的
f
?
x
?
而言,定积分
J
的值则是曲线
y?f< br>?
x
?

x

上方部分所有曲边梯形的正面积与下方 部分所有曲边梯形的负面积的代数和.
3.性质:
性质1:若
f

?
a,b
?
上可积,
k
为常数,则
kf

?
a,b
?
上也可积,且
b
?
b
a
kf
?
x
?
dx?k
?
f
?
x
?dx

a
b
性质2:若
f

g
都在
?
a,b
?
上可积,则
f?g

?
a,b
?
上也可积,且


?
b
a
?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?dx?
?
a
f
?
x
?
dx?
?
a
g
?
x
?
dx

性质3:若
f
g
都在
?
a,b
?
上可积,则
f?g

?
a,b
?
上也可积.
性质4:
f

?
a,b
?
上可积的充要条件是:任给
c?
?
a,b?

f

?
a,b
?

?
a ,b
?

bb
都可积.此时又有等式
?
b
a
f
?
x
?
dx?
?
f
?
x
?< br>dx?
?
f
?
x
?
dx

ac< br>cb
性质5:设
f

?
a,b
?
上的可积函 数.若
f
?
x
?
?0

x?
?
a ,b
?
,则
性质6:若
f

?
a,b
?< br>上可积,则
f

?
a,b
?
上也可积,且
?
f
?
x
?
dx?0

a
b
?
b
a

f
?
x
?
dx?
?
f
?
x
?
dx

ab
性质7:(积分第一中值定理)若
f

?
a,b
?< br>上连续,则至少存在一点
?
?
?
a,b
?

使得
?
f
?
x
?
dx?f
?
?
? ?
b?a
?

a
b
性质8:设
f
?
a,b
?
上连续,若
F
?
x
?
?< br>处处可导.
4.定积分的应用
?
f
?
t
?
dt

x?
?
a,b
?

F
?
x
?

?
a,b
?

a
x
①求平 面图形的面积:由连续曲线
y?f
?
x
?
(?0)
以及直线
x?a

x?b
?
a?b
?

y?0所围成的曲边梯形的面积为
A?
?
f
?
x
?
d x?
?
ydx
,如果
f

?
a,b
?上不都是非
aa
bb
负的,则所围成图形的面积为
A?
?
b
a
f
?
x
?
dx?
?
ydx
.一般地,由上、下两条连续曲线
a
b
y?f
2
?
x
?

y?f
1
?
x
?
以及两条直线
x? a

x?b
?
a?b
?
所围成的平面图形的面积为
A?
?
?
f
?
x
?
?f
1
?x
?
?
?
dx

a
?
2
b
三、例题选讲

例1
求下列函数的导数.

(1)
y?x?x?x
; (2)
y?sinx?cosx

(3)
y?
53
x
2
; (4)
y?xcosx?3x?1

1?x
解析:
根据求导法则及四则运算进行求解.
(1)
y
?
?x
??
?
?
?
x
?
?
?x
?
?5x
534
?3x
2
?1


(2)
y
?
?
?
sinx
?
?
?
cosx
?
?cosx?sinx

??
?
?< br>x
?
x
?
?
1?x
?
?x
?
1?x
?
1
?
?
(3)
y
?
?
?

?
?
22
1?x
?
1?x
??1?x
?
??
(4)
y
?
?x
??
?
cosx?x
?
cosx
?
?
?3?2xcosx?x222
sinx?3

2
?
处的切线方程.
例2

求过曲线
y?2lnx
上点
A
?
e ,
?
2
解析:
利用导数的几何意义得到切线斜率是解题关键.
?y< br>?
?
?
2lnx
?
?
,由导数
x
2 2
2
?
处的斜率
k?|
x?e
?
,故所求的切线方 程为的几何意义,曲线在点
A
?
e,
xe
2
y?2?
?
x?e
?
,即
2x?ey?0

e
例3


y?x
4
?2x
2
?8
的单调区间.
解析:

y
?
?4x
3
?4x?4x
?
x
2
?1
?
?4x
?
x?1
??
x?1?
?0
,得
x
1
?0

x
2
??1

x
3
?1
,列表如下:
x

?
??,?1
?

小于0

单调递减
?
?1,0
?

大于0

单调递增
?
0,1
?

小于0

单调递减
?
1,??
?

大于0

单调递增
f
?
?
x
?

f
?
x
?

,0
?

?
1,??
?
上单调递增;在区间
?
??,?1
?

?
0,1
?
上单调递减.所以
f
?
x
?
在 区间
?
?1

例4

已知函数
f
?
x
?
?x
3
?
1
2
x?bx?c
. < br>2
(1)若
f
?
x
?
有极值,求
b
的取值范围;
,2
?
时,
f
?
x
?
?c
恒成立,求
c
的取值范(2)若
f
?
x
?

x?1
处取得极值,当
x?
?
?1
2
围; 2
?
内的任意两个值
x
1

x
2
,都 有(3)若
f
?
x
?

x?1
处取得极值时,证明 :对
?
?1,
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?
7

2
1

12
2
解析:
(1)
f
?
?
x
?
?3x?x?b
,令
f
?
?
x
?
?0
, 由
??0
,得
1?12b?0
,即
b?
(2)因为
f
?
x
?

x?1
处取得极值,故
f
?< br>?
1
?
?0
,即
3?1?b?0
,得
b?? 2
,令


22
f
?
?
x
?
? 0
,得
x
1
??

x
2
?1
,当
x
的取值为
?

1

?1

2< br>时,经比较,当
x?2
时,
33
f
?
x
?< br>max
?2?c
,所以
2?c?c
2
,解得
c?2< br>或
c??1

(3)可以计算得
f
?
x
?
max
?2?c

f
?
x
?
min
??
3
2
?
内的任意两个值
?c
,所以对
??1,
2
?
3
?
7
x
1

x
2
,都有
f
?
x
1
?
?f
?x
2
?
?2?c?
?
??c
?
?

?
2
?
2
例5
计算:

(1)
(2)
?
?
x
1
0
2
?2dx

?
?
?
x?cosx
?
dx

(3)< br>?
?
ax?bx
?
dx
,其中
a

b
为实数.
2
0
2
2
1
?
7
?
1
3
?
1
1
2
解析:
(1)
?< br>?
x?2
?
dx?
?
x?2x
?
|
0
??2?

0
33
?
3
?
1
?
1
?
2
?
(2)
?
2
?
x?c osx
?
dx?
?
x
2
?sinx
?
|< br>0
??1

0
28
??
(3)
?
?
2
?
?
ax
2
1
2
b
?
2
8aab7a3b
?
a
?bxdx?
?
x
3< br>?x
2
?
|
1
??2b????

3233232
??
?
例6

计算由曲线
y?x< br>2

y
2
?x
所围成的图形的面积.
解析:
如图,所求面积为图中阴影部分的面积.



2
?
?
y?x,
解方程组
?
得交点横坐标为
x? 0

x?1

2
?
?
y?x,
?S?S
曲边梯形OABC
?S
曲边梯形OABD
?
?
1
0
21
31
211
xdx?
?
xdx?x
2
|
1
?x|
0
???.

0
0
33333
1
2
3

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