新课标高中数学微积分习题

高二数学微积分练习题

一、选择题：

1．已知自由落体 运动的速率
v?gt
，则
落体运动从
t?0
到
t?t
0
所走的路
程为 （ ）

则a的值为 （
A．6 B。4 C。3
[解析]

4、用S表示图中阴影部分的面积，则S
的值是( )


gt
2
A．
0
B．
gt
0

3
2
c
A．
?
2
gtgt
C．
0
D．
0
?
a

26
B．|
?
c
f(x)dx|

?
a
2
f(x)dx
[解析]要学生理解微积分在物理学中的
应用，可用来求路程、位移、功

C．
?
b
f(x)dx＋
?
c
f(x)dx

?
a
?
b


c
D．
?
f(x)dx－
?
b
f(x)dx

?b
?
a
5、已知f(x)为偶函数且
?
6
f(x)dx＝8，则
?
0
?
6
f(x)dx等于( )

?
-6
2、如图，阴影部分的面积是
A．
23


B．
9?23

32

3
C．

A．0 B．4 C．8
D．
35

3
D．16

6、函数y＝
?
x
(cost＋t
2
＋2)dt(x>0)( )

?
-x
A．是奇函数 B．是偶
[解析]让学生理解利用微积分求曲边形
的面积

3、 若
?
a
1
1
(2x?)dx?3?ln2
，且a＞1，
x函数

C．非奇非偶函数 D．以上
都不正确

?
x＋1 (－1≤x<0)
7、函数f(x)＝
?
?
?
?
cosx (0≤x≤
π

的图
2
)
象与x轴所围成的封闭图形的面积为
( )

A.
3
2
B．1 C．2
D.
1
2

8、
?
?
3
|x
2
－4|dx＝( )

0
A.
21
B.
2223
3

3
C.
3

D.
25
3

二、填空题：

9．曲线
y?x
2
,x?0,y?1，所围成的
图形的面积可用定积分表示
为 ．
10．由
y?c osx
及
x
轴围成的介于0与2
π之间的平面图形的面积，利用定
积 分应表达为 ．
11、若等比数列{a
2
n
}的首项为
3
，且a
4
＝
?
4
?

1
(1＋2x)dx，则公比等于____．

12、.已知函数f(x)＝ 3x
2
＋2x＋1，若
?
1
?
-1
f(x)dx＝ 2f(a)成立，则a＝________


一，选择题

二、填空题

9、 10、
11、 12、

三、解答题：．

13．计算下列定积分的值

?
（1）
?
2
5
1
(x?1)dx
； （2）
?2
?
?
c
2
14．求曲线
y??x
3
?x
2
?2x
与
x
轴所
围成的图形的面积．

1

2

3

4


15．已知f(a)＝
?
?
1(2ax
2
－a
2
0
x)dx，求f(a)
的最大值；

16．设y=f（x）是二次函数,方程f（x）
=0有两个相等的实根，且

f′（x）=2x+2.

（1）求y=f（x）的表达式；

（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围
成图形的面积.

（2）若直线 x=－t（0＜t＜1＝把y=f（x）
的图象与两坐标轴所围成图形的面
积二等分，求t的值 .

参考答案

一、1．C；2．C；3．D；4．D；5 A 6
C 7．D 8；C

二、9
?
1
0
(1?x
2
)dx
10．
?
2
?
0
|cosx|dx
；11、
3 12、-1或13

三、
5

6

7

8

15、[解
析]

取F(x)
＝
2
3
ax
3
－
1
2
a
2
x2

则F′(x)＝2ax
2
－a
2
x
∴f(a)＝
?
1
?
(2ax
2
－a
2
x)dx

0
＝F(1)－F(0)＝
21
3
a－
2
a
2

＝－
1
?
2
?
2?
?
a－
3
?
?
2
＋
2
9< br>
∴当a＝
22
3
时，f(a)有最大值
9
.
16．解：（1）设f（x）=ax
2
+bx+c，则f′
（x）=2ax+b，

又已知f′（x）=2x+2

∴a=1，b=2.

∴f（x）=x
2
+2x+c

又方程f（x）=0有两个相等实根，

∴判别式
Δ
=4－4c=0，即c=1.

故f（x）=x
2
+2x+1.

（2）依题意，有所求面积
=
评述：本题考查导数和积分的基本概念.

?
.

0
?1
1
3
1
20
(x?2x?1)dx?(x?x?x)|
?1
?
33
2
（3?t
?1
）依题意，有
?
∴
2
(x
2
?2x?1)dx?
?
0
(x?2x?1)dx
?t
，
< br>1
3
1
32?t
(x?x?x)|
?1
?(x?x< br>2
?x)|
0
?t
33
，

－t
3
+t
2
－t+=t
3
－t
2
+t，
1
3
11
33
2t
3
－6t
2
+6t －1=0，

∴2（t－1）
3
=－1，于是t=1－
3
1
.

2