微积分解决高中数学问题共14页文档

微积分学的重要性，众所周知。世界上每年都有数千万人
学习微积分。我国高中数学新 课程中，也增加了微积分初步
的一些内容。
微积分的基本原理，很难说得清楚明白。在数学史 上，牛顿和莱布尼
兹被誉为微积分的主要创建人。他们对自己创建的微积分就说不明白。当
时和 后来的许多杰出数学家，包括欧拉这样的伟大数学家，也说不明白。
数学家使用原理说不清的方法来解决 问题，引来了激烈的冷嘲热讽。

数学家是向前看的。数学家的眼光，能看出淤泥中的种子的生 命力，
能透过浓雾看出光明的前方。他们没有因为逻辑上的困难和人们的非议而
抛弃新的方法， 而是积极地挖掘新方法带来的宝藏，在不稳固的地基上设
计并着手建设辉煌的大厦。

人们称此为第二次数学危机。

数学家们前赴后继，一代接着一代地思考。

在大约150年后，终于补上了微积分的基本概念上的漏洞。所用的方
法，就是近百年来大学数 学系微积分教程里要讲的极限定义方法，所谓ε
－δ语言的方法。(ε－δ读作“一不是龙逮儿它”)。 这个方法是法国
的柯西和德国的维尔斯特拉斯提出来的。

其实，用极限来说明微积分 的思想，莱布尼兹早已有了。但说不明白
极限的概念。概念说不明白，一系列的定理的证明只能含含糊糊 。直到出
现了ε－δ语言，把极限说清楚了，微积分也就说清楚了。

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虽然说清楚了，但ε－δ语言学起来太辛苦。除了数学专业，大学里
的理工科的高等数学课程里，都不要求掌握ε－δ语言的推理方法，只
求直观地大概了解微积分的原理 。

也就是说，在微积分的严谨化完成后100多年的今天，尽管每年有上
千万人学习 微积分，但其中百分之九十都是知其然而不知其所以然，对微
积分的原理只能做到模模糊糊地了解。
如何能够让学生轻松地弄明白微积分的原理，这是世界上数学教育领
域的百年难题。

如今，难题有望解决。

解决难题的方案令人惊奇:不用极限概念，用一个初等的不等 式来定义
函数的导数，也能够严谨地建立微分学。

这个不等式，就是我国著名数学家林群院士提出的“一致性不等式”。

林先生提出用 “一致性不等式”来定义导数，首先是为了直接地简捷
推出微积分基本定理。随后我们发现，这样定义导 数使更多的问题能够迎
刃而解。

这样一来，微积分中最基本的部分，就成了初等数学！

如果用“一致性不等式”来定 义导数，半节课就能严谨地证明这个命
题。所用的方法是初等的，高中生也能理解。

在一些数学大家的著作里，常常说，没有极限概念就无法定义导数。

现在发现，不用极限概念不但能定义导数，而且更利于展开推理。

如果当初牛顿发现了这个定义方法，第二次数学危机就没有了。数学
史就要改写。

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如果柯西和维尔斯特拉斯发现了这个定义方法，高等数学 教学的最大
难点就被消除了。

当初，用极限来定义导数，深化了人们对微积分的认识。

现在发现，不用极限也能定义导数，人们对微积分的认识更加深化了。

这真是激动人心的故事。而且就发生在我们身边。

真会这样？如何会这样？《数学家的眼光》书中新的一章，力图把这
个故事交代清楚。

说起来又很平常。数学家的眼光，常能见微知著，从细节里看出大问
题。这个故事说清楚了，其 实并不高深，高中生能够明白。

而且，高中生应当知道这个故事。他们应当知道，课本上说不 清的问
题，历史上大数学家说不清楚的问题，是如何说清楚的。

他们应当知道，几百年的东西，仍然可以改进，可以做得更好。

这对于培养探索精神，增强创新意识，极有好处。

以、导数在高中数学中的应用

《课标》中对微积分的教学内容明确提出：“ 导数概念是微积分
的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用．要求学生通过
大量 实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导
数概念，体会导数的思想及其内涵； 了解导数在研究函数的单调性、极值
等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分 打下
基础”．

1．导数在函数单调性问题上的应用

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函数的单调性是函数的最基本性质之一，是研究函数所要掌握 的
最基本的知识．用单调性的定义来处理单调性问题有很强的技巧性，较难
掌握好，而用导数知 识来判断函数的单调性简便而且快捷．

例 (2009年广东卷文)函数
（ ）

的单调递增区间是
A. B.(0,3) C.(1,4) D.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

分析 ：对函数求导，求不等式和的解，则
的解为单调增区间．

解：
令
所以
，得

，

，故选D．

的单调增区间为
2．导数在函数的极值问题上的应用

利用导数求极值可分为三步：

1：求导数
2：求方程
3：检验
；

的根；

在方程的根的左右两边的符号，确定极值．

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例 求函数，的极值，最值．

解：因为
又因为

，令， 得．

由表中可知，为函数的极小值点，．

当时，，所以在区间上最大值为，最小值为.

在高考中，关于函数极值问题比较常见 的题型是已知函数的极值确定
字母的取值范围或值．

例 （2008四川卷理）已知
极值点，求．

是函数的一个
解：因为，所以，因此．

3．导数在方程解的问题上的应用

(1) 利用导数判定单调性，可研究方程根的个数问题.

例 若，则方程在上有多少根？

解：设
当且时，
，则
，

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，

故
故
在
在
上单调递减，而
上只有一个根．

在与处都连续，且

(2) 用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出方程实根的 近似值，
这种方法叫做切线法（牛顿法）．

例 求方程的近似解．

解 设，，可以知道方程

的唯一根在
开区间(1，2)之中，取
x
０
＝2，牛顿法的迭代公式为
x
n
+1
则

＝
x
n
－＝
x
n
－＝ ，


x
１
＝＝1.77185


x
２
＝＝1.76324


x
３
＝＝1.76323

因此给定一个精确度，我们就可以求出该方程的近似解．
4．用导数证明不等式


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利 用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、
导数、不等式综合中的一个难点，也是近几 年高考的热点．其主要思想是
构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最< br>值，从而证得不等式．

例 当
证明：设
时，证明不等式
，则
成立．

．

∴
∴
一般地，证明
在内单调递减，而
， 故当时，
，

成立．

，

，可以构造函数
如果
定义可知，
，则在
时，有
上是减函数，同时若
，即证明了，
时，恒有
，由减函数的
．

例 （2007年安徽高考试题）设
．求证：当
分析：此题要证明的不等式
．
< br>变是由已知函数
形而来．所以证明此不等式，我们无需构造新的函数，只需要通过研究已
知函数的单调性，就可以使结论获证．

解：对求导得：，，

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故，，

于是，，所以，当时，．

因为，所以的极小值
，恒有
．

．

不难求得，对 一切
从而当
所以当
故当
时，恒有
时，
时，恒有
，故
，即
在内单调增加．

．

．

5．用微积分知识证明恒等式

用微积分知识证明恒等式的实质是将等式问题转化成函数问题，
进而求导证明恒等关系，依据
例 证明
证 设

则

故

．

．

又时，．从而 ，因此．原题得证．

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6．导数在曲线的切线问题上的应用

导数的几何意义：如果函数
处的导数即为该函数在点（，
可以求出曲线的切线方程．

的导数存在，则的函数在
）切线的斜率．利用这个我们
例（2009宁夏海南卷文）曲 线
为 ．

在点（0,1）处的切线方程
解 析：因为，在点（0,1）处斜率斜率为k＝
．

＝
3，所以切线方程为y－ 1＝3x，即
例（2009福建卷理）若曲线
实数取值范围是_____________.< br>
存在垂直于轴的切线，则
解析：本小题考查导数的几何意义、切线的求法．由题意可知
，又因为存在垂直于轴的切线，所以

这些题目都考查导数的几何意义，在填空题中也是一种典型题型，不
容忽视．

7．运用微分学知识研究函数图像

函数图像的直观性有着别的工具不可替代 的作用，特别是在说明一个函
数的整体情况及其特性的时候，其作用尤为明显，这就要求我们能正确地< br>作出函数的图形．学微分学之前，用描点法作图是十分必要的，不过它有
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< /p>

缺陷：带有一定的盲目性、点取得不够多也许就会得到一个错误的图像
等．而运用 微分学作出的函数图像，就能克服描点法作图的缺点，可有效
地对函数的增减性、极值点、凹凸性等重要 性态和关键点作出准确的判
断．一般来说，讨论函数图像的步骤是：

(1)确定函数
(2)观察函数
(3)求出函数
(4)观察函数
(5)求出函数
的定 义域；

是否具有某些特征(奇偶性等)；

的单调区间，极值，列表；

是否有渐进线，如果有，求出渐进线；

的凸凹区间和拐点，列表；

与坐标轴的交点等．

(6)确定一些特殊点，如
例 描绘函数
解 ①定义域为
的图像．

，值域为．

②是偶函数，图形关于轴对称．

③，令，解得驻点，

，令
④当
，解得，

是渐近线．

，函数值无限接近于0，即
综上，画函数草图如下：

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中学用微分学知识作函数图像，举一、二个例子就行了 ．这里作为函
数的一个极为重要的特征—凹凸性，B版教材只在“探索与研究”中提到．其
实学 了导数，从单调性到凹凸性是很自然的事情．关于函数凹凸性的题目
在高考中也屡次露面，我们应该重视 函数凹凸性与导数的关系．

8．导数在数列问题中的应用

例1 求数列的和(其中，)．

分析：这道题可以用错位相减法求和，但若用导数方法运算会使
问题更加简明．

解 注意到
和．当
是的导数，即，可先求数列的前
，1时，

然后等式两边同时对求导，有

例2 已知首项与公差都是正整数的等差数列
，都有，（1）求数列的前n项的和
满足对任意
；（2）求数列
的最小项．

分析：这道题第2问可以把数列看成函数，求导得极小值即是所求的
项．

解（1）注意到，

∴恒成立，

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则， ∴．

（2）设
当1≤n＜5时，

＜0，当n＞5时，＞0，

故．

二、积分在高中数学中的应用

定积分是新课标中新加的内容，《课标》对定积分的定位如下： “（1）
通过求曲边梯形的面积、变力做功等实例，从问题情境中了解定积分的实
际背景；借助 几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念，
为以后进一步学习微积分打下基础；（2）通 过实例，直观了解微积分基
本定理的含义；（3）了解微积分的文化价值．可见，高中课程学习定积分，重在粗浅地领略其主要思想和基本方法，从一些实例中初步认识定积
分的工具作用．纵观08、 09年新课改地区高考主要在定积分的求法，定
积分的简单应用尤其是利用定积分求面积上作文章．
连续曲线
．

，轴二直线所围成的曲边梯形的面积
例1．（2 008海南、宁夏卷理）由直线
所围图形的面积是（ ）

，，曲线及轴
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A． B．


C．
D．
解： 如图，则此区域的面积
如果平面区域是区间
及直线
上的两条连续曲线与
，故选 D．

（相交）
所围成的，它的面积为

例2．求由两条曲线
解：两条曲线的交点是
与
与
围成的平面区域，如图

，则此区域的面积

定积分还可以用来求曲线的弧长、求旋转体的体积，虽然 教材不
作为教学内容，但可以向学生渗透一些思想．

微积分在解决数学问题 中有更广泛的用途，我们高中数学主要有
这几种用法，今后也需要我们更全面地探索和研究更多的用法． 高中阶段
微积分的应用是体现了数学的价值：既给学生提供了一种新的方法，又给
学生提供了一 种重要的思想，也为今后进一步学好微积分打下基础．相对
于对代数和几何等经典内容已经臻于完善的教 学研究，微积分的教学研究
还不成熟，处于摸索的阶段．但也正因为如此，探讨微积分的教学才更有价值和意义．

希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：

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1、常自认为是福薄的人，任何不好的事情发生都合情合理，有这样 平常
心态，将会战胜很多困难。

2、君子之交淡如水，要有好脾气和仁义广结好缘， 多结识良友，那是积
蓄无形资产。很多成功就是来源于无形资产。

3、一棵大树经过 一场雨之后倒了下来，原来是根基短浅。我们做任何事
都要打好基础，才能坚固不倒。


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