教师资格证高中数学301-高中数学必修四视频黄冈
常 用 积 分 公 式
(一)含有
ax?b
的积分(
a?0
)
1.
dx1
=
?
ax?ba
lnax?b?C
2.
(ax?b)dx
=
?
?
1
(ax?b)?
?1
?C
(
?
??1
)
a(
?<
br>?1)
3.
x1
=
dx
?
ax?ba
2(ax?b?blnax?b)?C
x
2
1
?
1?
dx
=
3
?
(ax?b)
2
?2b(ax?
b)?b
2
lnax?b
?
?C
4.
?
a
?
2
ax?b
?
5.
1ax?b
dx
?
=
?
x(ax?b)
b
ln
x
?C
6.
?
1aax?b
dx
??ln?C
=
22
bxbx
x(ax?b)
7.
x
1b
dx
=
(lnax?b?)?C
?
(ax?b)
2
a
2
ax?b
x
2
1b
2
dx
=
3
(
ax?b?2blnax?b?)?C
8.
?
2
(ax?b)
aa
x?b
9.
?
11ax?b
dx
?ln?C
=
x
x(ax?b)
2
b(ax?b)b
2
(二)含有
ax?b
的积分
2
3
(ax?b)?C
?
3a
2
3
11.
?
xax?bdx
=
(3ax?2b)(ax?
b)?C
2
15a
2
2
(15a
2
x<
br>2
?12abx?8b
2
)(ax?b)
3
?C
1
2.
?
xax?bdx
=
3
105a
10.
ax?
bdx
=
13.
?
x
2
dx
=
2
(ax?2b)ax?b?C
3a
ax?b
14.
?
x
2
2
dx
=
(3a
2
x
2<
br>?4abx?8b
2
)ax?b?C
3
15a
ax
?b
?
?
dx
?
15.
?
=
?
x
ax?b
?
?
?
16.
1
ln
b
ax?b
?b
?C(b?0)
ax?b?b
2ax?b
arctan?C(
b?0)
?b
?b
?
x
?
?
2
dx
ax?badx
=
?
?
?
bx2b
xax?b
ax?b
17.
ax?b
dx
dx
=
2ax?b?
b
?
x
xax?b
ax?b
ax?badx
dx
=
?
?
x
2
x2
?
xax?b
22
18.
(三
)含有
x?a
的积分
19.
dx1x
=
arctan?C
?
x
2
?a
2
aa
dxx2n?3dx
?
=
?
(x
2
?a
2
)
n
2(n?1)a
2
(
x
2
?a
2
)
n?1
2(n?1)a
2
?
(x
2
?a
2
)
n?1
1x?a
dx
ln
=
?
x
2
?a
2
2ax?a<
br>?C
2
20.
21.
(四)含有
ax?b(a?0)
的积分 <
br>?
1
arctan
?
dx
?
ab
22.?
2
=
?
ax?b
?
1
ln
?
2?ab
?
23.
a
x?C
b
(b?0)
ax??b
?C(b?0)
ax??b
x1
2
dx
=<
br>?
ax
2
?b2a
lnax?b?C
24.
?
x
2
ax
2
?b
dx
=
x
a
?
b
a
?
dx
ax
2
?b
.
?
dx
x(ax
2
?b)
=
1x
2
25
2b
ln
ax
2
?b
?C
26.
?
dx
1a
x
2
(ax
2<
br>?b)
=
?
bx
?
dx
b
?
ax<
br>2
?b
27.
?
dx
a
ax
2<
br>?b
1
x
3
(ax
2
?b)
=
2b
2
ln
x
2
?
2bx
2
?C
<
br>28.
?
dxx
(ax
2
?b)
2
=
2b(ax
2
?b)
?
1dx
2b
?
ax
2
?b
(五)含有
ax
2
?bx?c
(a?0)
的积分
?
22ax
?
2
arctan
?b
29.
?
dx
?
4ac?b4ac?b
2
?C
ax
2
?b
x?c
=
?
?
12ax?b?b
2
?
?
l
n
4ac
?C
?
b
2
?4ac2ax?b?b
2<
br>?4ac
30.
?
x1bdx
ax
2
?bx?cdx
=
2a
lnax
2
?bx?c?
2a
?<
br>ax
2
?bx?c
(六)含有
x
2
?a
2<
br>(a?0)
的积分
31.
?
dx
x
2
?a
2
=
arsh
x
a
?C
1
=
ln
(x?x
2
?a
2
)?C
32.
?
dx
x
(x
2
?a
2
)
3
=
a
2
x
2
?a
2
?C
33.
?
x
x
2
?a
2
dx
=
x
2
?a<
br>2
?C
34.
?
x
1
(x
2?a
2
)
3
dx
=
?
x
2
?
a
2
?C
(b
2
?4ac)
(b
2
?4ac)
35.
?
?
x
2
a
2
2<
br>x?a?ln(x?x
2
?a
2
)?C
dx
=
22
x
2
?a
2
x
2
36.
x
2
(x
2
?a
2
)
3
dx
dx
=
?
x
x
2
?a
2
?ln(x?x
2
?a
2
)?C
1x
2
?a
2
?a
?C
37.
?
=
ln
22
ax
xx?a
38.
?
x
2
x
2
?a
2
?C
=
?
2
22<
br>ax
x?a
dx
39.
?
x
2
a
2
2
x?a?ln(x?x
2
?a
2
)?C
x?adx
=
22
22
x3
4
223
2222<
br>(x?a)dx
=
(2x?5a)x?a?aln(x?x
2
?a2
)?C
?
88
1
22
41.
?<
br>xx?adx
=
(x
2
?a
2
)
3
?C
3
40.
42.
x
?
2
xa
4
2222
x?adx
=
(2x?a)x?a?ln(x?x
2<
br>?a
2
)?C
88
22
43.
?
?
x
2
?a
2
x
2
?a
2
?a<
br>22
dx
=
x?a?aln?C
x
x
x<
br>2
?a
2
x
2
?a
2
dx
=
??ln(x?x
2
?a
2
)?C
2
xx44.
(七)含有
x
2
?a
2
(a?0)
的积
分
45.
?
dx
x
2
?a
2
=
x
x
arch?C
1
=
lnx?x
2
?a
2
?C
xa
=
?
46.
?
?
d
x
(x?a)
x
x
2
?a
2
223
xa
2
x?a
22
?C
47.
dx
=
x
2
?a
2
?C
48.
?
x
(x?a)
223
dx
=
?
1
x?a
22
?C
49.
?
?
?
x
?
x
x
2
a
2
2
x?a?lnx?x
2
?a
2
?C
dx
=22
x
2
?a
2
x
2
50.
x
2
(x
2
?a
2
)
3
dx
x
2
?a
2
dx
dx
=
?
x
x
2?a
2
?lnx?x
2
?a
2
?C
51.=
1a
arccos?C
ax
52.
2
x
2
?a
2
?C
=
2
22
ax
x?a
22
53.
?
x2
a
2
2
x?a?lnx?x
2
?a
2
?C
x?adx
=
22
x3
4
223
222222
(x?a)dx
=
(2x?5a)x?a?alnx?x?a?C
?
88
1
22
55.
?
xx?adx
=
(x
2
?a
2
)
3
?C
3<
br>54.
56.
x
?
?
2
xa
4
22
22
x?adx
=
(2x?a)x?a?lnx?x
2
?a
2
?C
88
22
57.
a
x
2
?a
2
dx
=
x
2
?a
2
?aarcco
s?C
x
x
x
2
?a
2
x
2<
br>?a
2
22
dx??lnx?x?a?C
=
2
xx
58.
?
(八)含有
a
2
?x
2
(a?0
)
的积分
59.
?
dx
a
2
?x
2=
arcsin
x
?C
a
x
?C
60.
?
dx
(a?x)
223
=
a
2
a
?x
22
61.
?
x
a
2
?x2
dx
=
?a
2
?x
2
?C
1
a?x
22
62.
?
x
(a?x)
223dx
=
?C
63.
?
?
x
2
a
2
x
2
a?x?arcsin?C
dx
=<
br>?
22a
a
2
?x
2
x
2
64.<
br>x
2
(a
2
?x
2
)
3
dx
dx
=
x
a
2
?x
2
?arcsin
x
?C
a
1a?a
2
?x
2
?C
65.
?
=
ln
22
ax
xa?x
66.
?
x
2
a
2
?x
2
?C
=
?<
br>2
22
ax
a?x
dx
67.
?
x
2
a
2
x
2
a?x?arcsin?C
a?xd
x
=
22a
22
x3
4
x
223
2222
(a?x)dx
=
(5a?2x)a?x?aarcsin?C
?
88a
1
22
69.
?
xa?xdx
=
?
(a
2
?x
2
)
3
?C
3
68
.
70.
x
?
2
xa
4
x
2222
a?xdx
=
(2x?a)a?x?arcsin?C
88a
2
2
71.
?
?
a
2
?x
2
a?a
2
?x
2
22
dx
=
a?x?aln?C
x
x
a
2
?x
2
a
2
?x
2<
br>x
dx??arcsin?C
=
x
2
xa
72.<
br>(九)含有
?ax
2
?bx?c
(a?0)
的积分
73.
?
dx
ax
2
?bx?c
=
1
ln
2ax?b?2aax
2
?bx?c?C
a
74.
?
ax
2
?bx?cdx
=
2ax?b
ax
2
?bx?c
4a
?
x
ax
2
?bx?c
4ac?b
2
8a
3
ln2ax?b?2aa
x
2
?bx?c?C
75.
?
dx
=
1
ax
2
?bx?c
a
b
2a
3
ln2ax?b?2aax
2
?bx?c?C
?
dxc?bx?ax
2
2
76.
?
=
?
12ax?
b
arcsin?C
2
a
b?4ac
77.
?<
br>?
2ax?bb
2
?4ac2ax?b
2
c?bx?axdx
=
c?bx?ax?arcsin?C
32
4a
8ab?
4ac
x
c?bx?ax
2
dx
=
?
1b2ax?
b
c?bx?ax
2
?arcsin?C
32
a
2ab?4ac
78.
(十)含有
?
x?a
或
(x?a)(
b?x)
的积分
x?b
x?b)?C
79.
?
?
?
x?ax?a
dx
=
(x?b)?(b?a)ln(x?a?
x
?bx?b
80.
x?ax?ax?a
dx
=
(x?b)?(b?a
)arcsin?C
b?xb?xb?x
x?a
dx
?C
=
2arcsin
b?x
(x?a)(b?x)
81.
(a?b)<
br>
82.
?
2x?a?b(b?a)
2
x?a
(x?
a)(b?x)?arcsin?C
(x?a)(b?x)dx
=
44b?x
(a?b)
(十一)含有三角函数的积分
83.
sinxdx
=
?cosx?C
?
84.
cosxdx
=
sinx?C
85.
tanxdx
=
?lncosx?C
86.
cotxdx
=
lnsinx?C
87.
secxdx
=
lntan(
?
?
?
?
?
?x
?)?C
=
lnsecx?tanx?C
42
88.
cscxdx
=
lntan
x
?C
=
lncscx
?cotx?C
2
89.
secxdx
=
tanx?C
90.
cscxdx
=
?cotx?C
91.
secxtanxdx
=
secx?C
92.
cscxcotxdx
=
?cscx?C
?
?
2
2
?
?
x1
?sin2x?C
?
24
x1
2
94.
?
cosxdx
=
?s
in2x?C
24
1
n?1
n?1
n
n?295.
?
sinxdx
=
?sinxcosx?sinxdx
?
nn
1n?1
n
n?1n?2
96.
?
cosxdx
=
cosxsinx?cosxdx
?
nn
dx1cosxn?2dx
97.
?
=
?
??
sin
n
xn?1sin
n?1
xn?1
?
s
in
n?2
x
dx1sinxn?2dx
98.
?
= ??
nn?1n?2
?
cosxn?1cosxn?1cosx
1m?1
mn
m?2n
99.
?
cosxsinxdx
=
c
os
m?1
xsin
n?1
x?cosxsinxdx
?
m?nm?n
1n?1
cos
m?1
xsin
n?1
x?cos
m
xsin
n?2
xdx
=
?
?<
br>m?nm?n
93.
sinxdx
=
2
100.
si
naxcosbxdx
=
?
?
11
cos(a?b)x?cos(a
?b)x?C
2(a?b)2(a?b)
101.
sina
xsinbxdx
=
?
?
11
sin(a?b)x?sin(a?b
)x?C
2(a?b)2(a?b)
102.
cosaxcosbxdx<
br>=
?
11
sin(a?b)x?sin(a?b)x?C
2
(a?b)2(a?b)
103.
2
dx
=
?
a?bsin
x
a
2
?b
2
arctan
atan
x
?
b
2
?C
22
a?b
(a
2
?b
2
)
x
22
?b?b?a
dx
1
2
10
4.
?
=
ln?C
22
x
a?bsinx
b?a<
br>atan?b?b
2
?a
2
2
atan
105.(a
2
?b
2
)
2a?ba?bx
dxarctan(tan)?C
=
?
a?bcosx
a?ba?ba?b2
(a
2
?b
2
)
x
?
dx1a?b
2
106.
?
=
ln
a?bcosx
a?bb?a
x
tan?
2
tan
107.
a?b
b?a
?C
a?b
b?a
(a
2
?b
2
)
dx1b
=
arctan(tanx)?C
?
a
2
cos
2
x?b
2
sin
2
xaba
1btanx?a
dx
ln
=
?
a
2
co
s
2
x?b
2
sin
2
x
2abbtanx?a<
br>?C
108.
11
sinax?xcosax?C
?a
2
a
1
2
22
2
110.
?
xsinaxdx
=
?xcosax?
2
xsinax?
3
cosax?C
aaa
11
111.
?
xcosaxd
x
=
2
cosax?xsinax?C
aa
1
2
22
2
112.
?
xcosaxdx
=
xsina
x?
2
xcosax?
3
sinax?C
aaa
(十二)含有反三角函数的积分(其中
a?0
)
xx
22
113.
?
arcsindx
=
xarcsin?a?x?C
aa
109.
xsinaxdx
=
x2
a
2
xx
2
x
a?x
2
?C
114.
?
xarcsindx
=
(?)arcsin?
24a
4
a
x
3
x1
2
x
222
115.
?
xarcsindx
=
arcsin?(x?2a)a?x?C
3a9
a
2
116.
arccosdx
=
xarccos
?
x
a
x
?a
2
?x
2
?C
a
x
2
a
2
xx
2
x
a?
x
2
?C
117.
?
xarccosdx
=
(?
)arccos?
24a4
a
x
3
x1
2
x
222
118.
?
xarccosdx
=
arccos?(x?2
a)a?x?C
3a9
a
2
xxa
=
dxxar
ctan?ln(a
2
?x
2
)?C
?
aa2<
br>x1
2
xa
2
120.
?
xarctandx
=
(a?x)arctan?x?C
a2a2
119.
arct
an
x
3
xa
2
a
3
x
ln(a
2
?x
2
)?C
121.
?
xarctandx
=
arctan?x?
3a66
a
2
(十三)含有指数函数的积分
1
x
a?C
?
lna
1
ax
a
x
123.
?
edx
=
e?C
a
1ax
ax
124.
?
xedx
=
2
(ax?1
)e?C
a
1
nax
n
n?1ax
nax
125.
?
xedx
=
xe?
?
xedx
aa
122.
adx
=
x
126.
xadx
=
nx
?
x
x
x
1
a?a
x
?C<
br>
2
lna(lna)
1
nx
n
n?1x
x
a?xadx
?
lnalna
?
1
ax
e
ax
(asinbx?bcosbx)?C
128.
?
esinbxdx
=
22
a?b
1
ax
ax
e(bsinbx?ac
osbx)?C
129.
?
ecosbxdx
=
22
a?
b
127.
xadx
=
130.
esinbxdx<
br>=
?
axn
1
e
ax
sin
n?1
bx(asinbx?nbcosbx)
222
a?bn
n(n?1)b<
br>2
axn?2
esinbxdx
?
2
a?b
2
n
2
?
131.
e
cosbxdx
=
?
axn
1
axn?1
ecosbx(a
cosbx?nbsinbx)
222
a?bn
n(n?1)b
2
axn?2
ecosbxdx
?
222
?
a?bn
(十四)含有对数函数的积分
132.
lnxdx
=
xlnx?x?C
?
dx
?
xlnx
=
lnlnx?C
1
n?1
1
n
134.
?
xlnxdx
=
x
(lnx?)?C
n?1n?1
133.
135.
(lnx)dx
=
x(lnx)?n(lnx)
136.
x(lnx)dx
=
?
n
n
?
n?1
dx
?
?
m
n
1n
mn?1
x
m?1
(lnx)
n
?x(ln
x)dx
?
m?1m?1
(十五)含有双曲函数的积分
137.
shxdx
=
chx?C
138.
chxdx
=
shx?C
139.
thxdx
=
lnchx?C
?
?
x1
?sh2x?C
?
24
x1<
br>2
141.
?
chxdx
=
?sh2x?C
24
140.
shxdx
=
?
2
(十六)定积分
142.
143.
?
?
??
?
cosnxdx=
?
sinnxdx
=0
??
?
?
??
cosmxsinnxdx
=0
144.
?
0,m?n
cosmxcosnxdx
=
?<
br>?
??
?
?,m?n
?
?
0,m?n
145.
?
sinmxsinnxdx
=
?
??
?,m?n
?
?
146.
?
?
0
sinm
xsinnxdx
=
?
?
2
0
?
0
?0,m?n
?
cosmxcosnxdx
=
?
?
,m?n
?
?2
147.
I
n
=
I
n
=
?
sinxdx
=
?
cos
n
xdx
n
?
2
0
n?1
I
n?2
n
n?1n?342
I
n
?
,
I
1
=1
??
L
??
(
n
为大于1的正奇数)
nn?2
53
n?1n?331??
,
I
0
=
I
n
???
L
???
(
n
为正偶数)
nn?24222
一、 (系数不为0的情况)
?
a
0
?
b
0
a
0
x
n
?a
1
x
n?1
?
L
?a
n
?
?
lim??
0
x??
bx
m
?bx
m?1
?
L
?b
01m
?
?
?
?
?
sinx
lim?1
x?0
x
n?m
n?m
n?m
<
br>lim
?
1?x
?
?e
1
x
二、重要公式(
1) (2)
x?0
(3)
lim
n
a(a?o)?1
n??
n
(4
)
n??
limn?1
limarccotx?0
lime
x
??
limarctanx?
(5)
x??
?
2
(6)
x???
l
imarctanx??
lime
x
?0
?
2
(7)
x??
(8)
x???
limarccotx?
?
(9)
x???
(10)
x???
(11)
x?0
x
limx?1
?
三、下列常用等价无穷小关系(
x?0
)
1?cosx:
1
2
x
2
sinx:x
tanx:x
arcsinx:x
arctanx:x
ln
?
1?x
?
:x
e?1:x
a?1:
xx
xlna
?
1?x
?
?
?1:?x
四、导数的四则运算法则
?
u?v
?
?
?u
?
?v
?
?
uv
?
?
?u
?
v?uv
?
五、基本导数公式
?
u
?
?
u
?v?uv
?
??
?
v
2
?
v
?
??
?1
c
?
?
?0sinx
?
?<
br>?cosx
??
x?
?
x
⑴ ⑵
⑶
cosx
?
?
??sinxtanx
?
?
?s
ec
2
xcotx
?
?
??csc
2
x
?
??
⑷ ⑸ ⑹
secx
?
?
?secx?tan
xcscx
?
?
??cscx?cotx
??
⑺
⑻
⑼
?
e
?
?
?e
xx
⑽
?
a
?
?
?a
x
lna
x
1<
br>?
lnx?
??
x
⑾
⑿
?
log
?
x
a
?
?
1
1
?
arc
sinx
?
?
?
1?x
2
xlna
⒀
?
arccosx
?
?
??
⒁
1
1?x
2
1
?
arctanx
?<
br>?
?
1?x
2
⒂
六、高阶导数的运算法则
1
?
arccotx
?
?
??
2
1?x
⒃
x
?
?
?1
?
?
⒄⒅
x
??
?
1
2x
(1)
?
?
u
?
x
?
?v
?
x
?
?
?
?
n
?
?
n
?
?u
?
x
?
?n
?
?v
?
x
?
?
n
?
(2)
?
?
cu
?
x
?
?
?
?c
u
?
n
?
?
x
?
(3)
?
?
u
?
ax?b
?
?
?
?n
?
?
n
?
?a
n
u
?
n<
br>?
?
ax?b
?
k
n
(4)
??
u
?
x
?
?v
?
x
?
?<
br>?
?
?
cu
k?0
n
?
n?k<
br>?
?
x
?
v
?
x
?
(k)
七、基本初等函数的n阶导数公式
(1)
?
x
n
?
?
n
?
?n!
(2)
?
n
??
e
ax?b
?
?
n
?
?a
n
?e
ax?b
(3)
?
a
x
?
?<
br>n
?
?a
x
ln
n
a
(4)?
?
sin
?
ax?b
?
?
?
???
?a
n
sin
?
ax?b?n?
?
2?
?
(5)
?
?
cos
?
ax?
b
?
?
?
?
n
?
?
n
?
?
??
?a
n
cos
?
ax?b?n?
?
2
?
?
n
(6)
?
1
???
?
ax?b
?
?
?
?1
?
an
?n!
?
ax?b
?
n?1
?
?
l
n
?
ax?b
?
?
?
(7) ?
n
?
?
?
?1
?
n?1
a
n
?
?
n?1
?
!
?
ax?b
?
n
八、微分公式与微分运算法则
⑴
⑷
⑺
d
?
c
?
?0
⑵
d
?
x
?
?
?
?
x
?
?1
dx
⑶
d
?
sinx
?
?cosxdx
d
?
cosx
?
??sinxdx
⑸
d
?
tanx
?
?sec
2
xdx
⑹
d
?
cotx
?
??csc
2
xdx
d
?
secx
?
?secx?tanxdx
d
?<
br>e
xx
⑻
d
?
cscx
?
??cscx?cotxdx
d
?
lnx
?
?<
br>1
dx
x
⑼
?
?edx
⑽
d
?
a
?
?a
x
x
x
lnadx
1
⑾
1
d
?
log
a
?<
br>?dx
xlna
⑿
d
?
arctanx
?
?
d
?
arcsinx
?
?
⒀
1?x
2
dx
⒁
d
?
arccosx
?
??
1
1?x
2
dx
⒂
11
dxdarccotx??dx
??
22
1?x1?x
⒃
九、微分运算法则
⑴
d
?
u?v
?
?du?dv
⑵
d
?
cu
?
?cdu
⑶
d
?
uv
?
?vdu?udv
?
u
?
vdu?udv
d
??
?
2
vv
??
⑷
十、基本积分公式
x
?
?1
dx
xdx??c
?lnx?c
?
kdx?kx?c
?
?
?1
?
⑴ ⑵ ⑶
x
?
a
x
xx
adx??c
?
edx?e?ccosxdx?sinx?c
lna
⑷ ⑸
?
⑹
?
x
1
dx?
?
sec
2
xdx?tanx?c
2
s
inxdx??cosx?c
?
⑺
?
⑻
cosx
11
2
?cscxdx??cotx?cdx?arc
tanx?c
22
???
⑼
sinx
⑽
1?x
⑾
?
1
1?x
2
dx?arcsinx?c
十一、下列常用凑微分公式
积分型 换元公式
?
f
?
a
x?b
?
dx?
1
f
?
ax?b
?
d?
ax?b
?
a
?
u?ax?b
?
?
f
?
x
?
?
x
?
?1
dx?
?
?
1
f
?
x
??
d
?
x
?
?
u?x
?
1
f
?
lnx
?
?dx?
?
f
?
lnx
?
d
?
lnx
?
x
u?lnx
u?e
x
u?a
x
?
?
f
?
e
x
?
?e
x
dx
?
?
f
?
e
x
?
d
?
e
x
?
f
?
a
x
?
?a
x
dx?<
br>
1
xx
fada
????
lna
?
?
f
?
sinx
?
?cosxdx?
?
f?
sinx
?
d
?
sinx
?
u?sinx
u?cosx
?
f
?
cosx
?
?sinxdx??
?
f
?
cosx
?
d
?
cosx
?
?
f<
br>?
tanx
?
?sec
2
xdx?
?
f?
tanx
?
d
?
tanx
?
u?tanx<
br>
?
?
?
f
?<
br>cotx
?
?csc
2
xdx?
?
f
?cotx
?
d
?
cotx
?
f
?
ar
ctanx
?
?
f
?
arcsinx
?
?
u?cotx
1
dx?
?
f
?arctanx
?
d
?
arctanx
?
1?x
2
1
1?x
2
dx?
?
f
?
arcsinx
?
d
?
arcsinx
?
u?arctanx
u?arcsinx
十二、补充下面几个积分公式
?
tanxdx??lncosx?c
?
cotxdx?lnsinx?c
?
secxdx?lnsecx?tanx?c
?
cscxdx?lncscx?cotx?c
11x
dx?ar
ctan?c
?
a
2
?x
2
aa
11x?a
dx?ln?c
?
x
2
?a
2
2ax?a
?
1
a
2
?x
2
dx?arcsin
x
?c
a
?
1
x
2
?a
2
dx?lnx?x
2
?a
2
?c
十三、分部积分法公式
⑴形如
nax
x
?
edx
,令
u?x
n
,
dv?e
ax<
br>dx
?x
n
,
dv?sinxdx
形如
n
x
?
sinxdx
令
u
形如
n
x
?
cosxdx
令
u?x
n
,
dv?cosxdx
⑵形如
n
x
?
arctanxdx
,令
u?
arctanx
,
dv?x
n
dx
形如
n
x
?
lnxdx
,令
u?lnx
,
dv?x
n<
br>dx
ax
esinxdx
?
e
ax
cos
xdx
u?e
ax
,sinx,cosx
?
⑶形如,令均可。
十四、第二换元积分法中的三角换元公式
(1)
a
2
?x
2
2222
x?asint
(2)
a?x
x?atant
(3)
x?a
x?asect
【特殊角的三角函数值】
(1)
sin0?0
(2)
si
n
?
6
?
?
3
1
?
sin?
si
n?1
32
(4)
2
(3)
2
)
(5)
sin
?
?0
3
?
1
?
cos?cos?0
2
(3)
32
(4)
2
)
(5)
cos
?
??1
3
?
?
tan?3tan
3
(3)
32
不存在 (5)
tan
?
?0
(4)
cot
(3)
(1)
cos0?1
(2)
cos
?
6
?
(1)
tan0?0
(2)
tan
?
6
?
(1)
cot0
不存在
(2)
十五、三角函数公式
1.两角和公式
cot
?
6
?3
?
3
?
3
3
cot
(4
)
?
2
?0
(5)
cot
?
不存在
sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB
sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB
cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB
cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB
tanA?tanBta
nA?tanB
tan(A?B)?
1?tanAtanB
1?tanAtanB
cotA?cotB?1cotA?cotB?1
c
ot(A?B)?cot(A?B)?
cotB?cotA
cotB?cotA
tan(A?B)?
2.二倍角公式
sin2A?2sinAcosA
cos2A?cos2
A?sin
2
A?1?2sin
2
A?2cos
2<
br>A?1
tan2A?
3.半角公式
2tanA
1?tan
2
A
sin
A1?cosAA1?cosA
?cos?
2222
tan
A1?cosAsinAA1?cosAsinA
??cot??
21?cosA1?cosA
21?cosA1?cosA
4.和差化积公式
sina?sinb?2
sin
a?ba?ba?ba?b
?cossina?sinb?2cos?sin
2
2
22
a?ba?ba?ba?b
cosa?co
sb?2cos?coscosa?cosb??2sin?sin
22
22
sin
?
a?b
?
tana?tanb?<
br>cosa?cosb
5.积化和差公式
11
sinas
inb??
?
cosa?b?cosa?bcosacosb?
??
????
??
cos
?
a?b
?
?cos
?
a?b
?
?
?
2
?
2
11
s
inacosb?
?
sina?b?sina?bcosasinb?sin
?
a?b
?
?sin
?
a?b
?
???
????<
br>????
22
6.万能公式
a
1?tan
2
2
sina?
cosa?
a
1?ta
n
2
1?tan
2
2
2tan
7.平方关系
a
2
a
2
a
2
tana?
a
1?tan
2
2
2tan
sin
2
x?cos
2
x?1
sec
2
x?tan
2
x?1
csc
2
x?cot
2
x?1
8.倒数关系
tanx?cotx?1
secx?cosx?1
cscx?sinx?1
9.商数关系
tanx?
sinxcosx
cotx?
cosx
sinx
十六、几种常见的微分方程
dy
?f
?
x
?
g
?
y
?
f
?
x
?
g
1
?
y
?
dx?f
2
?x
?
g
2
?
y
?
dy?0
1.可分离
变量的微分方程:
dx
,
1
dy
?
y<
br>?
?f
??
dx
?
x
?
2.齐次微分方程:
dy
?p
?
x
?
y?Q
?
x
?
3.一阶线性非齐次微分方程:
dx
解为:
y?e
?
?p
?
x
?
dx<
br>?
Qxe
?
p
?
x
?
dx
dx?c
?
??
?
??
??