2020年全国高考数学·第15讲 定积分和微积分基本定理

2020年全国高考数学 第15讲
定积分和微积分基本定理

考纲解读
1.了解定积分的实际背景、基本思想及概念.
2.了解微积分基本定理的含义.

命题趋势探究
定积分的考查以计算为主，其应用主要是求一个曲边梯形的面积，题型主要为选择题和填空题.
知识点精讲

基本概念
1.定积分的极念
一般地，设函效f
?
x
?
在区间[a，b]上连续.用分点
a=x
0< br>1
2
i-1
i

n
=b
将区间
[a,b]
等
分成n
个小区间，每个小区间长度为
D
x
（
D
x
=
作和式：
S
n
?
b
-
a
），在每个小区间
[
x
i
-1
,
x
i
]
上任取一点
?
i
?
i?1,2,L,n
?
，
n
?f(
?
)?x?

?
i
i?1i?1
nnb?a
f(
?
i
)
，当
D
x
无限接近 于
0
（亦即
n???
）时，上述和式
S
n
无限趋近 于
n
常数
S
，那么称该常数
S
为函数
f(x)在区间
[a,b]
上的定积分．记为：
S?
积分变量，
[a,b ]
为积分区间，
b
为积分上限，
a
为积分下限．
需要注意以下几点：
（1）定积分
?
b
a
f(x)dx< br>，
f(x)
为被积函数，
x
为
?
b
a
f(x)dx
是一个常数，即
S
n
无限趋近的常数
S
（< br>n???
时），称为
?
f(x)dx
，而不是
S
n< br>．
a
b
（2）用定义求定积分的一般方法.
①分割：
n< br>等分区间
[
a
,
b
]
；②近似代替：取点
?
i
?
?
x
i?1
,x
i
?
；③求 和：
b?a
f(
?
i
)
；④取极限：
?
n
i?1
n
?
b
a
f(x)dx?lim
?
f
?
?
i
?
n??
i?1
n
b?a

n
（3）曲边图形面积：
S?
2．定积分的几何意义
?
b
a
f
?
x
?
dx
；变速运动路程
S?
?
v(t)dt
；变力做功
S?
?
F(x)dx

a
t
1
t
2
b
从几何上看，如果在区间
[
a
,
b
]
上函数
f
(
x
)
连续且恒有
f(x)?0
，那么定积分
?
f
?
x
?
dx
表示由直线
a
b
这就是定积分
x?a,x?b(a? b),y?0
和曲线
y
=
f
(
x
)
所围成 的曲边梯形(如图3-13中的阴影部分所示)的面积，
?
f
?
x
?
dx
的几何意义．
a
b

一般情况下，定积分

?
b
a
f(x)dx
的值的几何意义是介于
x
轴、 函数
f(x)
的图像以及直线
x
=
a
,
x
=
b
之间各部分
面积的代数和，在
x
轴上方的面积取正号，在
x
轴下方的面积取负号．





1

基本性质
?
1dx?b?a
.
性质2
?
kf(x)dx?k
?
f(x)dx(其中k是不为0的常数)
（定积分的 线性性质）.
性质3
?
[f(x)?f(x)]dx?
?
f(x )dx?
?
f(x)dx
（定积分的线性性质）.
性质4
?f(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx(其中a?c?b)< br>（定积分对积分区间的可加性）
推广1
?
[f(x)?f(x)?L?f( x)]dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx?L?
?
f (x)

推广2
?
f(x)dx?
?
f(x)dx??
f(x)dx?L?
?
f(x)dx
．
性质1
a
b
bb
aa
bbb
a
12
a
1
a
2
bcb
aac
bbbb
a
12m
a
1< br>a
2
a
m
bc
1
c
2
b
a ac
1
c
k
基本定理
设函数
f(x)
是在区间< br>[a,b]
上连续，且
F
?
x
?
是
f(x)
是在
[a,b]
上的任意一个原函数，即
F(x)?f(x)
，则< br>'
?
b
a
f(x)dx?F(b)?F(a)
，或记为
?
f(x)dx?F
?
x
?
b
a
b
a< br>?

F(b)?F(a)
，称为牛顿—莱布尼兹公式，也称为微积
分基本定理．
该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，只要求出被积函数
f
?
x
?的一个原函数
F
?
x
?
．然后计算原函数
F
?
x
?
在区间
?
a,b
?
上的增量
F(b) ?F(a)
即可，这一定理提示了定积分与不定积分之间的内在联系．

题型归纳及思路提示
题型51 定积分的计算
思路提示
对于定积分的计 算问题，若该定积分具有明显的几何意义，如圆的面积等（例3.26及其变式），则利用圆面积
计算， 否则考虑用牛顿-莱布尼茨公式计算．
例3.25 计算

4
?
?
x
-1
1
2
?sinx
?
dx
= ．
1
?
2
x
dx?
??

A.
-2ln2
B.
2ln2
C.
-ln2
D.
ln2

变式1

变式2
?
1
0
(e
x
?2x)dx?
??

A.1 B
e
?1
. C.
e
D.
e+1


变式3 设函数
f
?
x
?< br>?ax?c
?
a?0
?
，若
2
?
f
?
x
?
dx?f
?
x
??
0?x
0
0
1
0
?1
?
，则
x
0
的值为 ．
变式4 设函数
y?f
?
x
?
的定义域为R, 若对于 给定的正数
k
，定义函数
f
k
?
x
?
?< br>?
2
1
f
?
x
?
?,k?1
时，定 积分
?
1
f
k
?
x
?
dx
的值为 （ ）
x
4
A.
2ln2?2
B.
2ln2?1
C.
2ln2
D.
2ln2?1

?
k,f(x)?k
，则当函数
?
f
?
x
?
,f
?
x
?
?k

例3.26 根据定积分的几何意义计算下列定积分
（1）

?
?
2?x
?
dx
； （2）
?
0
41
?1
1?x
2
dx




2

题型52 求曲边梯形的面积
思路提示
函数
y?f
?
x
?
,y?g
?
x
?
与直线
x?a,x?b
?
a?b
?
围 成曲边梯形的面积为
S?
?
|f
?
x
?
?g
?
x
?
|dx
，具体
a
b
思路是：先作出所涉及 的函数图象，确定出它们所围成图形的上、下曲线所对应函数，被积函数左、右边界分别是
积分下、上限 ．
例3.27 由曲线
y?x,y?x
围成的封闭图形的面积为（ ）
A.
23
1117
B. C. D.
124312


变式1已知二次函数
y?f
?
x
?
的图象如图3-16所求，则它与
x
轴所围成图形的面积为（ ）
A.
2
?
43
?
B. C. D.
532
2

y


1
?1
O

1

x


图3-16


2
2
变式2 由曲线
y?x和直线
x?0,x?1,y?t,t?
?
0,1
?
所围成的图形 （如图3-17中阴影部分所示）面积的最小值
为（ ）
A.
2111
B. C. D.
3324




2
变式3 求抛物线
y?4x
与
y?2x?4
围成的平面图形的面积．








变式4 求由两条曲线
y?4x
2
,y?

1
2
x
和直线
y?4
所围成的面积．
4








3

最有效训练题15（限时45分钟）

1.已知函数f
?
x
?
?x?2x?3
，则
2
?
f
?
x
?
dx?
（ ）
?1
1
A. -2 B.
?
2.定积分
A,
?
?
1
016
16
C.-4 D.
3
3
1?
?
x?1
?
?xdx?
（ ）
2
?
??
?1
?
?1
D.
?1
C.
4
242
2
?
x
2,x?
?
0,1
?
3.设
f
?
x
?< br>?
?
，则
?
f
?
x
?
dx?
（ ）
0
2?x,x?(1,2]
?
345
A. B. C. D.不存在
456
B.
4.
a?
?
?2
?
2
0
xdx,b?
?
edx,c ?
?
sinxdx
，则
a,b,c
的大小关系是（ ）
00
2
x
2
A,
a?c?b
B.
a?b?c
C.
c?b?a
D.
c?a?b

5.曲线
y?sinx,y?cosx
与直线
x?0,x?
A,１ B. ２ C.
2?1
D.
2
6.由直线
x??
?
?
2?1

?
2
所围成的平面区域的面积为（ ）
,y?0
与曲线
y?cos
?
所围成的平面图形的面积为（ ）
3
3
1
A, B.１ C. D.
3

2
2
2
7.抛物线
y?2x
与直 线
y?4?x
围成的平面图形的面积为 ．
3
,x?
8 .已知
f
?
x
?
是偶函数，且
9.
2
0< br>??
?
5
0
f
?
x
?
dx?6，则
?
f
?
x
?
dx?
．
?5
5
?
?
2?|1?x|
?
dx?
．
?
1
?
,5
?
,C
?
1,0
?
．函数
y?xf
?
x
??
0?x?1
?
的图象
2
??
B
?
10.已知函数
y?f
?
x
?
的图象是折线段ABC，其中
A
?
0,0
?
，
与
x
轴所围成的图形的面积为 ．
11.根据定积分的几何意义计算下列定积分．
2
?
2
1
?
（１）
?
|x|dx
； （２）
?
?
x?
4
?
dx
； （３）
?
x1?xdx
；
1
?1
1
x
??
?
?
cos2x
2
x
dx
（４）
?
cosdx
； （５）
?
2
0
cosx ?sinx
0
2
1
2
??
１２．有一条直线与抛物线
y?x
相交于Ａ，Ｂ两点，线段ＡＢ与抛物线所围成图形的面积恒等于
的中点Ｐ的轨迹方程．
2
4
，求线段ＡＢ
3
4