新课标高中数学微积分 习题

高二数学微积分练习题

一、选择题：

1．已知自由落体 运动的速率
v?gt
，则
落体运动从
t?0
到
t?t
0
所走的路
程为 （ ）

则a的值为 （
A．6 B。4 C。3
[解析]

4、用
S
表示图中阴影部分的面积，则
S
的值是( )

c
A．
?
f
(
x
)d
x
2
gt
0
gt
?
C． D．
0
a

26
A．
gt
0
2
B．
gt
0

3
22
[解析]要学生理解微积分 在物理学中的
应用，可用来求路程、位移、功

B．|
?
c
f
(
x
)d
x
|

?
a
C．?
b
f
(
x
)d
x
＋
?
c< br>f
(
x
)d
x

?
a
?
b


c

D．
?
f
(
x
)d
x
－
?
b
f(
x
)d
x

?
b
?
a
2、如图，阴影部分的面积是
A．
23


5、已知
f
(
x
)为偶函数且
?
6
f< br>(
x
)d
x
＝8，
?
0
则
?
6
f
(
x
)d
x
等于( )

?
-6
B．
9?23

32

3
C．

35
D．

3
[解析]让学生理解利用微积分求曲边形
的面积

A．0 B．4 C．8
D．16

6、函数
y< br>＝
?
x
(cos
t
＋
t
2
＋
?
-
x
2)d
t
(
x
>0)( )

3、 若
?
a
1
1
(2x?)dx?3?ln2
， 且a＞1，
x
A．是奇函数 B．是偶函

数

C．非奇非偶函数 D．以上都
不正确

?
x＋1 (－1≤x<0)
7、函数f(x)＝
?
?
cosx (0≤x≤
π
2
)

的图象与x轴所围成的封闭图形的面积
为( )

A.
3
2
B．1 C．2
D.
1
2

8、
?
3
|x
2
?
－4|dx＝( )

0
A.
2122
3
B.
3
C.
23
3

D.
25
3

二、填空题：

9．曲线
y?x
2
,x?0,y?1，所围成的
图形的面积可用定积分表示
为 ．
10．由
y?c osx
及
x
轴围成的介于0与2
π之间的平面图形的面积，利用定
积 分应表达为 ．
11、若等比数列{
a
2
n
}的首项为，且a
4
3
4
＝
?
?

1
(1＋2
x
)d
x
，则公比等于____．
< br>12、.已知函数
f
(
x
)＝3
x
2
＋2< br>x
＋1，若
?
1
?
-1
f
(
x)d
x
＝2
f
(
a
)成立，则
a
＝_ _______

一，选择题

二、填空题

9、 10、 11、
12、

三、解答题：．

13．计算下列定积分的值

?
2
（1）
?
1
(x?1)
5
dx
； （2）
?
2
?
?
c
2
14．求曲线
y??x
3
? x
2
?2x
与
x
轴所
围成的图形的面积．

1

2

3

4


15．已知f(a)＝
?
?
1(2ax
2
－a
2
x)dx，求f(a)
0
的最大值；

16．设
y
=
f
（
x
）是二次函数,方 程
f
（
x
）
=0有两个相等的实根，且

f
′（
x
）=2
x
+2.

（1）求
y
=
f
（
x
）的表达式；
（2）求
y
=
f
（
x
）的图象与两坐标轴所围
成图形的面积.

（2）若直线
x
=－
t
（0＜
t
＜1＝把
y
=
f
（
x
）
的图象与两坐标轴 所围成图形的面
积二等分，求
t
的值.

参考答案

一、1．C；2．C；3．D；4．D；5 A 6
C 7．D 8；C

二、9
?
1
0
(1?x
2
)dx
10．
?
2
?
0
|cosx|dx
；11、
3 12、-1或13

三、
5

6

7

8

15、
[解析]

取
F
(x
)
＝
2
3
3
ax
－
1
22
2
ax

则
F
′(
x
)＝2
ax
2
－
a
2
x

∴
f
(
a
)＝
?
1
?
(2
ax
2
－
a2
x
)d
x

0
＝
F
(1)－
F
(0)＝
21
3
a
－
2
a
2

＝－
1
?
2
?
2
2
?
?
a
－
3
?
2
?
＋
9

∴当
a
＝
2
3
时，
f
(
a
)有最大值
2
9
.

16．解：（1）设
f
（
x
） =
ax
2
+
bx
+
c
，则
f
′< br>（
x
）=2
ax
+
b
，

又已知
f
′（
x
）=2
x
+2

∴
a
=1，
b
=2.

∴
f
（< br>x
）=
x
2
+2
x
+
c

又方程
f
（
x
）=0有两个相等实根，

∴判别式
Δ
=4－4
c
=0，即
c
=1.

故
f
（
x
）=
x
2
+2
x
+1.

评述：本题考查导数和积分的基本概念.

（2）依题意，有所求 面积
=
?
0
?1
1
3
1
20
(x ?2x?1)dx?(x?x?x)|
?1
?
33
2
.
< br>（3
?t
?1
）依题意，有
?
∴
2
(x2
?2x?1)dx?
?
0
(x?2x?1)dx
?t
，

1
3
1
32?t
(x?x?x)|
?1
?(x?x
2
?x)|
0
?t
33
，

－
t
3
+
t
2
－
t
+=
t
3
－
t
2
+
t
，

1
3
11
33
2
t
3
－6
t
2
+6
t
－1=0，

∴2（
t
－1）
3
=－1，于是< br>t
=1－
3
1
.

2