高中数学：定积分与微积分基本定理练习

高中数学：定积分与微积分基本定理练习


1．定积分
?
1
(3x＋e
x
)dx的值为( D )
?
0
A．e＋1
1
C．e－
2
B．e
1
D．e＋
2
31
?
3
?
解析：
?
1
(3x＋e
x
)dx＝
?
2
x
2< br>＋e
x
?
|
1
0
＝＋e－1＝e＋.
22
??
?
0
2.(河南郑州一模)汽车以v＝(3t＋2)ms做变速运动时, 在第1 s至第2 s之间的1 s内经过的
路程是( D )
A
．
5 m
C
．
6 m
11
B．
2
m
13
D．
2
m
解析：根据题意,汽车以v＝(3t＋2)ms做变速运动时,汽车在第1 s至第2 s之间的1 s 内经
过的路程s＝
?
?
1
2
(3t＋2)dt＝
?
?
3t
2
?
2
13
＋2t
?
|< br>1
＝m,故选D
．

2
?
2
?
?< br>?
lgx，x＞0，
3.若f(x)＝
?
?
a
3t< br>2
dt，x≤0，
f(f(1))＝1,则a的值为( A )
x＋
?
?
?
0
A．1
C．－1
B．2
D．－2

33
解析：因为f(1)＝lg1＝0, f(0)＝
?
a
3t
2
dt＝t
3
|
a< br>0
＝a,所以由f(f(1))＝1得a＝1,所以a＝1.
?
0
?
xdx
?
?
1
3
?
?
a
b
??
1
2
?
4．(孝义质检)定义
?

?
＝ad－bc,如
?

?
＝1×4－2×3＝－2,那么
?
1


?)＝
?
c
d
??
3
4
?
?
2
?
2
( D )
A．6 B．3

3
C．
2
D．0


5．(福建省师大附中等校联考)已知函数f(x)＝－x
3
＋ax
2
＋bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与
1
x轴相切于原点,且x轴与函数图 象所围成区域(图中阴影部分)的面积为
12
,则a的值为( C )

A．0
C．－1
解析：f′(x)＝－3x
2
＋2ax＋b
．

由题意得f′(0)＝0,得b＝0,
∴f(x)＝－x
2
(x－a)．
由
?
?
a
0
(x
3
－ax
2)dx＝
?
?
B．1
D．－2
1
4
13
?
0
a
4
a
4
a
4
1x－
3
ax
?
|
a
＝0－＋＝＝,得a＝±1. 431212
?
4
?
函数f(x)与x轴的交点的横坐标一个为0,另一 个为A．,根据图形可知a＜0,即a＝－1.
6.已知函数y＝f(x)的图象为如图所示的折线ABC,则,
?
1
[(x＋1)f(x)]dx等于( D )
?
-1

A．2
C．1
B．－2,
D．－1
?
－x－1，－1≤x≤0，
解析：由题图易知,f(x)＝
?

x－1，0＜x≤1，
?
所以
?
1
[(x＋1)f(x)]dx
?
-1
＝
?
0
(x＋1)(－x－1)dx＋
?
1
(x＋1)(x－1)dx
?
-1
?
0
＝
?
(－x－2x－1)dx＋?
?
-1
?
0
0
2
1
(x
2
－1)dx＝
?
?
－

?
1
32
?
0
12
?
1
3
?
1
x－x－x
?
|
－
1
＋
?
x－x
?
|
0＝－－＝－1,故选
3
33
??
3
?
D
．
7.(新疆第一次适应性检测)由曲线y＝x
2
＋1,直线y＝－x＋3,x轴 正半轴与y轴正半轴所围
成图形的面积为( B )
A．3
7
C．
3

10
B．
3

8
D．
3

解析：由题可知题中所围成的图形如图中阴影部分所示,

?
y＝x
2
＋1，
?
x＝－2，
?x＝1，
由
?
解得
?
(舍去)或
?
即A(1, 2),
?
y＝－x＋3，
?
y＝5
?
y＝2，

110
?
1
?
结合图形 可知,所求的面积为
?
1
(x
2
＋1)dx＋
2
× 2
2
＝
?
3
x
3
＋x
?
|
1
0
＋2＝.
3
??
?
0
8.(呼和浩特质检 )若S
1
＝
?
?
1
A
．
S
1＜S
2
＜S
3

C
．
S
2
＜S
3
＜S
1
< br>2
x
2
dx,S
1
2
x
2
＝
?
dx,S
3
＝
?
edx,则S
1
,S
2
,S
3
的大小关系为( B )
?
1
x
?1
2
B．S
2
＜S
1
＜S
3

D．S
3
＜S
2
＜S
1

1817
2
解析：方法一 S
1
＝
3
x
3
|
2
1
＝－＝,,S
2
＝lnx|
1
＝l n2＜lne＝1,
333
2
S
3
＝e
x
|1
＝e
2
－e≈2.7
2
－2.7＝4.59,
所以S
2
＜S
1
＜S
3
.
1
方法二 S
1
,S
2
,S
3
分别表示曲 线y＝x
2
,y＝
x
,y＝e
x
与直线x＝1,x＝2及x 轴围成的图形的面积,
通过作图易知S
2
＜S
1
＜S
3.
9.若函数f(x)在R上可导,f(x)＝x
3
＋x
2
f ′(1),则
?
2
f(x)dx＝－4__.
?
0
解析： 因为f(x)＝x
3
＋x
2
f′(1),
所以f′(x)＝3x< br>2
＋2xf′(1)．,所以f′(1)＝3＋2f′(1),解得f′(1)＝－3.
?
x
?
所以f(x)＝x－3x.,故
?
2
f(x)dx ＝
?
2
(x－3x)dx＝
?
4
－x
3
?
|
2
0
＝－4.
??
?
0
?
0
3232
4
149
10.一物体作变速直线运动,其v－t曲线如图所示,则 该物体在
2
s～6 s间的运动路程为
4
m．

2t， 0≤t＜1，
?
?
2，1≤t≤3，
解析：由题图可知,v(t)＝
?
1
?
?
3
t＋1，3＜t≤6.
由变速直线运动的路程公 式,可得

61
?
1< br>?
??
s＝
?
v(t)dt＝
?
2tdt＋
?
3
2dt＋
?
6
?
3
t＋1
?
dt
??
??
11
13
??
22
?
1< br>1
?
6
49
3
?
2
＝t
2
?
＋2t|
1
1
＋
?
t＋t
?
|
3
＝(m)．
?
4
?
6
?
2
?
149
所以物体在
2
s～6 s间的运动路程是
4
m．
11.设M,m分别是f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值,则m(b－a)≤
?
b
f(x)dx≤M(b－a)．根
?
a
据上述估值定理可知定积分
?
2
?
-1
2
－
x
2

?
3
?
dx的取值范围是
?
16
，3
?
.
??
解析：因为当－1≤x≤2时,0≤x
2
≤4,
1
所以
16
≤2－x
2
≤1.
1
根据估 值定理得
16
×[2－(－1)]≤
?
2
2－x
2
dx≤1×[2－(－1)],
?
-1
3
即
16
≤
?
2
2－x
2
dx≤3.
?
-1
12．如图, 由曲线y＝x
2
和直线y＝t
2
(0＜t＜1),x＝1,x＝0所围成的图 形(阴影部分)的面积的
1
最小值是
4
.

解析：设图中阴影部分的面积为S(t),
41
则S(t)＝
?
t
(t
2
－x
2
)dx＋
?
1
(x
2
－t
2
)dx＝
3
t
3
－t
2
＋
3
.
?
0
?
t
1
由S′(t)＝2t (2t－1)＝0,得t＝
2
为S(t)在区间(0,1)上的最小值点,

?
1
?
1
此时S(t)
min
＝S
?
2
?
＝
4
.
??


π
13．(青岛模拟)已知函数f(x)在R上满足f(π－x)＝f(x),若当 0≤x≤
2
时,f(x)＝cosx－1,则当
0≤x≤π时,f(x)的图象与x轴 所围成图形的面积为( A )
A．π－2
C．3π－6
π
解析：∵当0≤x≤
2
时,
f(x)＝cosx－1,
ππ
∴当
2
＜x≤π时,0≤π－x＜
2
,f(x)＝f(π－x )＝cos(π－x)－1＝－cosx－1,
π
cosx－1，0≤x≤
?
?
2
，
∴f(x)＝
?
π
－cosx－1，
?< br>?
2
＜x≤π.
B．2π－4
D．4π－8


所以当0≤x≤π时,f(x)的图象与x轴所围成图形的面

14.如图,一横截 面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线
所示),则原始的最大流量 与当前最大流量的比值为1.2__.

解析：建立如图所示的平面直角坐标系,

2
由抛物线过点(0,－2),(－5,0),(5, 0)得抛物线的函数表达式为y＝
25
x
2
－2,抛物线与x轴围成
的面积S
1
＝

π
1
15.(郑州调研)
?
1
(1－x
2
＋e
x
－1)dx＝
2
＋e－
e
－2.
?
-1

?
a
?
16.(安徽六安第一中学模拟)已知a＞0,
?
－x
?
6
展开式的常数项为240,则
?

a
(x
2
＋xcosx ＋
?
x
?
?
－a
16
4－x
2
) dx＝
3
＋2π.