高中数学16微积分基本定理(教案)

三、教学过程
1、复习：
定积分的概念及用定义计算
2、引入新课
我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分 的一般方法。我们必须
寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体 所在位置为S(t),速度为v(t)（
v(t)?o
），
则物体在时间间隔
[T
1
,T
2
]
内经过的路程可用速度函数表示为
?T
2
T
1
v(t)dt
。
另一方面，这段路 程还可以通过位置函数S（t）在
[T
1
,T
2
]
上的增量
S(T
1
)?S(T
2
)
来表达，即
< br>?
T
2
T
1
v(t)dt
=
S(T
1
)?S(T
2
)


而
S
?
(t)?v(t)
。
对于一般函数
f(x)
，设
F
?
(x)?f(x)
，是否也有

?
b
a
f(x)dx?F(b)?F(a)

若上式成立， 我们就找到了用
f(x)
的原函数（即满足
F
?
(x)?f(x)< br>）的数值差
F(b)?F(a)
来计算
f(x)
在
[a,b]
上的定积分的方法。
注：1：定理 如果函数
F(x)
是
[a, b]
上的连续函数
f(x)
的任意一个原函数，则
?
b
a
f(x)dx?F(b)?F(a)

证明：因为< br>?(x)
=
?
x
a
f(t)dt
与
F(x)
都是
f(x)
的原函数，故
F(x)
-
?(x)
=C（
a?x?b
）
其中C为某一常数。
令
x?a
得
F(a)
-
?( a)
=C，且
?(a)
=
?
a
a
f(t)dt=0 即有C=
F(a)
，故
F(x)
=
?(x)+
F(a)

?

?(x)
=
F(x)
-
F(a)
=
?
f(t)dt

a
x
令
x?b
，有
?
b
a
f(x)dx?F(b)?F(a)
b
此处并不要求学生理解证明的过程
为了方便起见，还常用
F(x) |
a
表示
F(b)?F(a)
，即
?
b
a
f(x)dx?F(x)|
b
a
?F(b)?F(a)

该式 称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求
定积分的问 题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积
分之间的 内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中
处于极其 重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，
是微积分 学中最重要最辉煌的成果。

例1．计算下列定积分：
3
11
（1）
?
dx
； （2）
?
(2x?
2
)dx
。
1
x
1< br>x
2
11
'2
解：（1）因为
(lnx)?
，所以< br>?
dx?lnx|
1
?ln2?ln1?ln2
。
1
xx
333
11
'
11
2'
（2））因为
(x) ?2x,()??
2
，所以
?
(2x?
2
)dx?
?
2xdx?
?
2
dx

111
xxxx
1
3
122
3
。
?x< br>2
|
1
?|
1
?(9?1)?(?1)?
x332
练习：计算
解：由于
?
1
0
x
2
d x

1
1
3
11
3
1
3
1
=
x
是
x
2
的一个原函数，有
?
x
2
dx
=
x
3
|
1
?1??0
=
0
0
33333
例2．计算下列定积分：
'
?
?< br>0
sinxdx,
?
sinxdx,
?
sinxdx
。
?
0
2
?
2
?
由计算结果你能发现什么结论？ 试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。
解：因为
(?cosx)?sinx
，所以
?
?
?
sinxdx?(?cosx)|?(?cos2
?
)?(?cos
?
)? ?2
，
?
?
?
?
?
sinxdx?(?cosx )|?(?cos2
?
)?(?cos0)?0
.
?
0
2
2
2
0
2
0
?
sinxdx?(?cosx)|
?
0
?(?cos
?
)?(?cos0)?2
，
可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图1.6一3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面
积；

图1 . 6 一 3 ( 2 ）
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形
的面积的相反数；


( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图 1 .
6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．

例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度
a
=1.8米秒刹车，
问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
2
32 ?1000
米
3600
秒
?
8.88米秒,刹车后汽车减速行驶,其 速度为
v(t)=v
0
?at=8.88-1.8t
当汽车停住时,速度v(t)=0
,故从
8.88
?4.93
秒
v(t)=8.8 8-1.8t=0
解得
t=
1.8
解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多 少时间。当t=0时，汽车速度
v
0
=32公里小时=
于是在这段时间内,汽 车所走过的距离是
s?
?
4.93
0
v(t)dt?
?< br>4.93
0
1
(8.88?1.8t)dt
=
(8.88?1 .8?t
2
)
2
0
4.93
?21.90
米,即在 刹车后,汽车需走过
21.90米才能停住.
微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在 联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微
积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微 积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以
毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要 、最辉煌的成果．