高中数学导数微积分测试题

高中数学导数微积分测试题
导数、微积分
1、(2012德州二模)如图, 在边长为π的正方形内的正弦曲线
y?sinx与x
轴围成的区域记为
M(图中阴影部 分),随机往正方形内投一个点P,则点P落在区域M内的概率就是


1

?
2
3
C.
2

?
A.
2

?
2
4
D.
2

?
B.
?
答案:B
解析:区域M的面积为:S
M
＝
概率为P＝
?
0
2
sinxdx
＝－cosx
|
?
0
＝2,而正方形的面积为S＝
?
,所以,所求
2
,选B。
?
2
2
2、(2012济南三模)已知函数
f(x)? 3x?2x?1
,若
?
1
?1
f(x)dx?2f(a)(a?0)
成立,则
a
＝________、
1
答案:
3
23212
解析:因为
?
1
f(x)
d
x＝
?1
(3x＋2x＋1)
d
x＝(x＋x＋x)|
－1
＝4,所 以2(3a＋2a＋1)＝4?a
?
-1
?
-1
1
＝－1或 a＝、
3
?
x
2
0?x?1
3、(2012莱芜3月模拟 )函数
f(x)?
?
的图像与x轴所围成的封闭图形的
2?x1?x?2?
面积为 、
【答案】
【解析】
5
6
?
2
0
f(x)dx?
?
xdx?
?
(2?x)dx?
01
1
2
2
1
3
x
3
1
0
?(2x?
1
22
5
x)
1
?

26
4、(2012济南三模)已知
?
、
?
就 是三次函数
f(x)?
值点,且
?
?(0,1)
,
?
?(1,2)
,则
A.
(??,)

答案:B
13
1
2
x?ax?2bx(a,b?R)
的两个极
32
b?3
的取值范围就是( )
a?2
C.
(1,??)
D.
(??,)?(1,??)

2
5
B.
(,1)

2
5
2
5
解析:因为函数有两个极 值,则
f'(x)?0
有两个不同的根,即
??0
,又
f'(x)? x
2
?ax?2b
,又
?
?(0,1),
?
?(1 ,2)
,所以有

高中数学导数微积分测试题
?
f'(0)? 0
?
2b?0
b?3
?
?
,即。的几何意义就是指动点P(a,b)
到定点
A(2,3)
两点
f'(1)?0
1?a? 2b?0
?
?
a?2
?
f'(2)?0
?
4?2a ?2b?0
?
?
斜率的取值范围,做出可行域如图,,由图象可知当直线经过AB时, 斜率最小,此时斜率为
k?
1?32
0?3
?
,直线经过AD时,斜 率最大,此时斜率为
k??1
,所以
?3?25
?1?2
2b?3< br>??1
,选B、
5a?2
5、(2012临沂3月模拟)函数
f(x )?x?x?x?1
在点
(1，2)
处的切线与函数
g(x)?x
围
成的图形的面积等于_________;
【答案】
322
4


3
2
f(x)?3x -2x?1
,所以
f'(1)?3-2?1?2
,即切线方程为【解析】函数的导数为
‘
?
y?x
2
解得交点坐标为
(0,0),(2,2),所以切线与函数
y?2?2(x?1)
,整理得
y?2x
。由
?
?
y?2x
2
184
2
g(x)?x
2
围成的图形的面积为
?
(2x?x
2
)dx?(x
2
?x< br>3
)
0
?4??
。
0
333
6、(201 2临沂二模)已知
??(x，y)0?x?1，0?y?1
,
A
就是由直线< br>??
y?0
,
x?a(0?a?1)
与曲线
y?x
3
围成的曲边三角形区域,若向区域
?
上随机投一点,点
落在区域
A< br>内的概率为
1
,则
a
的值就是
64
1
111
(A) (B) (C) (D)
8
6442
【答案】D
【解析】区边三角形的面积为
a
1
4a
1
4
x
0
?a
,区域
?
的面 积为1,
若向区域
?
上
?
0
44
1
41
11
4
随机投一点,点落在区域
A
内的概率
a?,所以
a?
,所以
a?
,选D、
464
162
2
a
6
2
3
2
x
7、(2012青岛二模)设< br>a?
?
(1?3x)dx?4
,则二项式
(x?)
展开式中不 含项的系数与
．．
0
x
x
3
dx?
就是
A.
?160
B.
160
C.
161
D.
?161

【答案】C
【解析】
2
6
232
2
(1?3x)dx?(x?x)?? 6
(x?)
,展开,所以,二项式为
a??6?4??2
0
?
0
x
2

高中数学导数微积分测试题
式的通项为
T
k?1
?C
6
(x)
k26?k
2
k12?3k< br>(?)
k
?C
6
x(?2)
k
,令
12?3 k?3
,即
k?3
,所以
x
333
T
4
? C
6
x(?2)
3
,所以
x
3
的系数为
? 2
3
C
6
??160
,令
x?1
,得所有项的系数 与为
1
,所以
不含
x
项的系数与为
1?(?160)?16 1
,选C、
8、(2012青岛二模)已知函数
f
?
x
?
的定义域为
?
?1,5
?
,部分对应值如下表,
f
?
x
?
的导函数
3
y?f
?
?
x
?
的图象如图所示、 下列关于
f
?
x
?
的命题:

①函数
f
?
x
?
的极大值点为
0
,
4
;
②函数
f
?
x
?
在
?
0,2
?
上就是减函数;
③如果当
x?
?
?1, t
?
时,
f
?
x
?
的最大值就是2,那么
t
的最大值为4;
④当
1?a?2
时,函数
y?f
?x
?
?a
有
4
个零点;
⑤函数
y?f
?
x
?
?a
的零点个数可能为0、1、2、3、4个.
其中正确命题的序号就是 .
【答案】①②⑤
【解析】由导数图象可知,当
?1?x?0
或
2? x?4
时,
f'(x)?0
,函数单调递增,当
0?x?2
或
4?x?5
,
f'(x)?0
,函数单调递减,当
x?0
与
x?4
,函数取得极大值
f(0)?2
,
f(4)?2
,当
x?2
时,函数取得极小值
f(2)
,所以①正确;②正确;因为在当
x? 0
与
x?4
,函数取得极大值
f(0)?2
,
f(4)?2
,要使当
x?[?1,t]
函数
f(x)
的最大值
就是4, 当
2?t?5
,所以
t
的最大值为5,所以③不正确;由
f(x)? a
知,因为极小值
f(2)
未
知,所以无法判断函数
y?f(x)? a
有几个零点,所以④不正确,根据函数的单调性与极值,

高中数学导数微积分 测试题
做出函数的图象如图,(线段只代表单调性),根据题意函数
的极小值不确定,分f(2)?1
或
1?f(2)?2
两种情况,由图象知,函数
y?f(x )
与
y?a
的交点个数有0,1,2,3,4等不同情形,所以⑤正确,综上正确的命 题序号为①②⑤。
9、(2012青岛3月模拟)直线
y?2x?4
与抛物线
y?x?1
所围成封闭图形的面积就是
A.
2
32
1016
B. C.
33
3
D.16
答案:C
【解析】联立方程求得交点分别为?
?1,2
?
,
?
3,10
?
.
< br>3
14032
?4?
?
2?10
?
?
??
x
2
?1
?
dx?24??.

?1
233
3
10、(2012日照5月模拟)如图,由曲线
y?sinx
,直 线
x?
?
与
x
轴围成的阴影部分
2
所以阴影部分的面积为
S?
的面积就是
(A)1
(B)2
(C)
22

(D)3
答案:D
【解析】由定积分的几何意义,阴影部分的面积等于
?
?
0
sinxdx?
?
sinxdx??cosx|
0
?cosx|< br>?
?3.(或3
?
2
sinxdx?-3cosx|
0
2
?3)
选D、
?
0
3
?
2
?
3
?
2
?
?
11、(2012泰安一模)已知
??
?
x,y
?
x?1,y?1
,A就是曲线
y?x
与
y?x
围成的区域,
2
??
1
2
若向区域
?上随机投一点P,则点P落入区域A的概率为
A、
1

3
B、
1

4
C、
1

8
D、
1

12
【答案】D
【解析】本题为几 何概率、区域
?
的面积为
2?2?4
、区域A的面积为
1
1
21
31
211
2
3
?
1
,
(x ?x)dx?(x?x)???
,所以点P落入区域A的概率为
P?
0
?0
33333
412
1
2
3
2
选D、
12、(2012滨州二模)已知函数f(x)＝
1
2
x
,g(x)＝el nx。
2

高中数学导数微积分测试题
(I)设函数F(x)＝f(x)－g(x),求F(x)的单调区间;
(II)若存在常数k ,m,使得f(x)≥kx＋m,对x∈R恒成立,且g(x)≤kx＋m,对x∈(0,＋∞)
恒成立 ,则称直线y＝kx＋m为函数f(x)与g(x)的“分界线”,试问:f(x)与g(x)就是否存在“分< br>界线”？若存在,求出“分界线”的方程,若不存在,请说明理由。
1
2
x
,g(x)＝elnx,
2
1
2
因此,F(x)＝f(x)－g(x)＝
x
－elnx,
2
解析:(I)由 于函数f(x)＝
e
x
2
?e
(x?e)(x?e)
,x? (0,??)
, 则
F'(x)?x?
＝＝
x
x
x
当0＜x＜
e
时,
F'(x)
＜0,所以F(x)在(0,
e
)上就是减函数;
当x＞
e
时,
F'(x)
＞0,所以F(x) 在(
e
,＋
?
)上就是增函数;
因此,函数F(x)的单调减区间 就是(0,
e
),单调增区间就是(
e
,＋
?
)。
(II)由(I)可知,当x＝
e
时,F(x)取得最小值F(
e
)＝0,
e
)。
2
e
假设f(x)与g(x)存在“分界线”,则其必过点 (
e
,)。
2
ee
故设其方程为:
y??k(x?e)< br>,即
y?kx??ke
,
22
e
由f(x)≥
kx??ke
对x∈R恒成立,
2< br>则f(x)与g(x)的图象在x＝
e
处有公共点(
e
,
则< br>x?2kx?e?2ke?0
对x∈R恒成立,
222
所以,
??4 k?4(2ke?e)?4k?8ke?4e?e(k?e)
≤0成立,
2
因此k＝
e
,“分界线“的方程为:
y?
下面证明g(x)≤
ex?
e
ex?

2
e
对x∈(0,＋∞)恒成立,
2
ee(e?x)
e
,则
G'(x)??e?
,
xx
2
设G(x)＝
elnx?xe?
所以当0＜x＜
e
时 ,
G'(x)?0
,当x＞
e
时,
G'(x)
＜0, 当x＝
e
时,G(x)取得最大值0,则g(x)≤
ex?
e
对 x∈(0,＋∞)恒成立,
2

高中数学导数微积分测试题
故所求“分界线“的方程为:
y?
e
ex?

2
1 3、(2012德州二模)设函数
f(x)?xlnx(x?0),g(x)??x?2.

(I)求函数f(x)在点
M(e,f(e))
处的切线方程;
(II)设
F(x)?ax?(a?2)x?f
?
(x)(a?0),
讨论函 数
F(x)
的单调性;
(III)设函数
H(x)?f(x)?g( x)
,就是否同时存在实数m与
M(m?M)
,使得对每一个
2
1< br>t?[m,M]
,直线
y?t与曲线y?H(x)(x?[,c])
都有公共点 ？若存在,求出最小的
e
实数m与最大的实数M;若不存在,说明理由。
解析:(I )解:
f'(x)
＝lnx＋1(x＞0),则函数
f'(x)
在点
M(e,f(e))
处的斜率为
f'(e)
＝2,f(e)＝
e,所以,所求 切线方程为y－e＝2(x－e),即y＝2x－e
(II)
F(x)?ax?(a?2)x?lnx?1(x?0),

212ax
2
?(a?2)x?1
(2x?1)(ax?1)
F'(x)? 2ax?(a?2)??
＝
(x?0,a?0)
,
xx
x
11
或,
2a
11
11
①当0＜
a
＜2,即
?
时,令
F'(x)
＞0,解得0＜x＜或x＞
2a
a2
11
令
F'(x)
＜0,解得＜x＜
2 a
1111
所以,F(x)在(0,),(,＋
?
)上单调递增,在(,)单 调递减。
2a2a
11
②当
a
＝2,即
?
时,< br>F'(x)
≥0恒成立,
a2
所以,F(x)在(0,＋
?
)上单调递增。
11
③当
a
＞2,即
?
时,
a2
111 1
所以,F(x)在(0,),(,＋
?
)上单调递增,在(,)单调递减
a2a2
令
F'(x)
＝0,则x＝
(III)
H(x)??x?2 ?xlnx,H'(x)?lnx.
,令
H'(x)
＝0,则x＝1,
当x 在区间
(,e)
内变化时,
H'(x),H(x)
的变化情况如下表:
1
e
x

1

e
1
(,1)

e
1

(1,e)

e

高中数学导数微积分测试题
H'(x)

H(x)

又
2?

－
单调递减
0
极小值1
+
单调递增

2
2
2?

e
21
?2,所以函数H'(x)?(x?[,e])
的值域为[1,2]。
ee
据经可得,若
?
公共点。
?
m?1,
1,则对每一个
t?[m,M]
,直线y=t与曲线
y?H(x)(x?[,e])
都有
e
?
M?2
1
e
并且对每一个
t?( ??,m)U(M,??)
,直线
y?t
与曲线
y?H(x)(x?[,e] )
都没有公
共点。
综上,存在实数m=1与M＝2,使得对每一个
t?[m ,M]
,直线y=t与曲线
1
y?H(x)(x?[,e])
都有公共点。
e
14、(2012德州一模)已知函数
f(x)?ax?lnx(a?R)
.
(I)求
f(x)
的单调区间;
(Ⅱ)设
g (x)?x?2x?1
,若对任意
x
1
?(0,??)
,总存在x
2
?
[0,1],
使得
f(x
1
)?g(x
2
)
,求实数a的取值范围. < br>解析:(I)
f'(x)?a?
2
1ax?1
?(x?0)
。
xx
①当
a?0
时,由于x＞0,故ax＋1＞0,
f'(x)＞0,所以f(x)的单调递增区间为(0,＋
?
)。
②当
a?0时,由
f'(x)
＝0,得
x??
在区间(－
1
1,在区间(0,－)上,
f'(x)
＞0,
a
a
1
,＋
?
)上,
f'(x)
＜0,
a
11
),f(x)的单调递减区间为(－,＋
?
)
aa
所以,当
a?0
时,所以f(x)的单调递增区间为(0,＋
?
)。
当
a?0
时,f(x)的单调递增区间为(0,－
(II)由已知,转化为< br>f(x)
max
?g(x)
max
,又
g(x)
ma x
＝g(0)＝1
由(I)知,当
a?0
时, f(x)在(0,＋
?
)递增,值域为R,故不符合题意。
11
)递增,在(－,＋
?
)递减,
aa
11
故 f(x)的极大值即为最大值,
f(?)??1?ln(?)??1?ln(?a)
,
aa
当
a?0
时,f(x)在(0,－

高中数学导数微积分 测试题
所以1＞－1－ln(－a),解得:a<-
1

e
215、(2012济南3月模拟)已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数,设e为自然对数的底数 、
(1) 当a=-1时,求f(x)的最大值;
(2) 若f(x)在区间(0,e］上的最大值为-3,求a的值;
(3) 当a=-1时,试推断方程
f(x)
=
lnx1
?
就是否有实数解、
x2
11?x
【答案】解:(1) 当a=-1时,f(x)=-x+lnx,f′(x)=－1+
?
……………………1分
xx
当00;当x>1时,f′(x)<0、
∴f(x)在(0,1)上就是增函数,在(1,+∞)上就是减函数…………3分
f(x)
max
=f(1)=-1…………………………………………………………4分
(2) ∵f′(x)=a+
11
?
1
?
,x∈(0,e］,∈?
,??
?
………………………………5分
xx
?
e
?
① 若a≥
?
,则f′(x)≥0,从而f(x)在(0,e］上增函数
∴
f(x)
max
=f(e)=ae+1≥0、不合题意…………………………………6分
② 若a<
?
,则由f′(x)>0
?a?
由f(x)<0
?a?
1
e
1
e
11
>0,即0?

xa
11
<0,即
?
xa
1
???
1
?
从而f(x)在
?
0,?
?
上增函数, 在
?
?,e
?
为减函数
a
???
a
?< br>?
1
??
1
?
∴
f(x)
max
= f
?
?
?
=-1+ln
?
?
?
…………… …………………………8分
?
a
??
a
?
?
1< br>??
1
?
令-1+ln
?
?
?
=-3,则l n
?
?
?
=-2
?
a
??
a
?
11
∴
?
=
e
?2
,即a=
?e
?2
、 ∵
?e
?2
<
?
,∴a=
?e
2
为所求……………9分
ae
(3) 由(Ⅰ)知当a=-1时
f(x)
max
=f(1)=-1,
∴|f(x)|≥1……………………………………………………………10分
又令g(x)=
lnx11?lnx
,令g′(x)=0,得x=e,
?< br>,g′(x)=
2
x2x
当00,g(x) 在(0,e)单调递增;
当x>e时,g′(x)<0,g(x) 在(e,+∞)单调递减…………………………11分
11
?
<1, ∴g(x)<1……………………………12分
e2
lnx1
∴|f(x)|>g(x),即|f(x)|>
?
……………………………………13分 < br>x2
lnx1
∴方程|f(x)|=
?
没有实数解、…………………… ……………14分
x2
2
16、(2012莱芜3月模拟)已知函数
f(x )?x?ax?lnx,a?R.

(Ⅰ)若函数
f(x)
在[1,2]上就是减函数,求实数a的取值范围;
∴
g(x)
max
=g(e)=
(Ⅱ)令
g(x)?f( x)?x,
就是否存在实数a,当
x?
?
0,e
?
(e就是 自然常数)时,函数
g(x)

2

高中数学导数微积分测试题
的最小值就是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由;
5
x?(x?1)lnx.

2
12x
2
?ax?1
?0
在[1,2]上恒成立, (22)、解:解:(Ⅰ)
f
?
(x)?2x?a??
xx
(Ⅲ)当
x?
?
0,e
?
时,证明:
e
2
x
2
?
?
a??1,
h(1)?0,
?
?
2
令
h(x)?2x?ax?1
,有
?
得
?
7
…………3分
a??,
?
h(2)?0,
?
?2
所以
a??
7
、 …………4分
2
(Ⅱ)假设存在实数a,使
g(x)?ax?lnx(x?(0,e ])
有最小值3,
g
?
(x)?a?
1ax?1
、 …………5分
?
xx
①当
a?0
时,g(x)在[0,e]上单调递减,
g
min
(x)?g(e)?ae?1?3,a?
②当
0?
4(舍去)、
e
111
?e
时,g(x)在
(0,)
上 单调递减,在
(,e)
上单调递增,
aa
a
1
a
所以
g
min
(x)?g()?1?lna?3,a?e
2
,满足条 件、
③当
1
4
?e
时,g(x)在[0,e]上单调递减,
g
min
(x)?g(e)?ae?1?3,a?
(舍去)、
a
e
综上,存在实数
a?e
2
,使得当
x?(0,e]
时,g (x)有最小值3、 …………10分
(Ⅲ)令
F(x)?ex?lnx
,由(2)知
2
F
mi n
(x)?3
,令
?
(x)?
lnx51?lnx
, ?
,
?
?
(x)?
x2x
2
当
0?x ?e
时,
?
?
(x)?0
,
?
(x)
在< br>(0,e]
上单调递增,
所以
?
max
(x)?
?
(e)?
所以
e
2
x?lnx?
1515
???? 3
、
e222
lnx55
?
,即
e
2
x
2
?x?(x?1)lnx
、 …………14分
x22
17、(2012青岛二模)已知函数
f
?
x
?
? ln
?
2?3x
?
?
(Ⅰ)求函数
y?f
?
x
?
的极大值;
(Ⅱ)令
g
?
x
?
? f
?
x
?
?
3
2
x
、
2
3
2
x?
?
m?1
?
x
(
m
为 实常数),试判断函数
g
?
x
?
的单调性;
2

高中数学导数微积分测试题
(Ⅲ)若对任意
x?
?
,
?
,不等式
a?lnx?ln
?
f
?
?
x
?
?3x
?
?0
均成立,求实数
a
的 取值范
??
63
围、
解:(Ⅰ)
Qf
?
x
?
?ln
?
2?3x
?
?
?
11
???
3
2
?
2
?
x
,
?
y ?f
?
x
?
的定义域为
?
?,??
?
;
2
?
3
?
1
??
9
?
x?1?
?
x?
?
1
3
??
由于
f
?
?
x
?
??
,由
f
?
?
x?
?0?x?
,
3x?2
3
当
x?
?
?
?
21
??
1
?
,
?
时,
f
?
?
x
?
?0
;当
x?
?
,??
?
时,
f
?
?
x
?
?0
、 ?
33
??
3
?
?
21
?
?
1
?
?
y?f
?
x
?
在
?
?,< br>?
上为增函数;在
?
,??
?
上为减函数,
?33
?
?
3
?
从而
f
?
x
?
极大
?f
??
?ln3?
?
1
?
?
3
?
1
、 ………………………………………3分
6
?
?
2
?
?

3
?
( Ⅱ)
?
g
?
x
?
?ln
?
2?3x
?
?
?
m?1
?
x
,
?
x??
?g
?
?
x
?
?
3
?
m?1
?< br>x?2m?1
3
?m?1?
,………………………………………4分
2?3x2?3x
① 当
m?1?0
,即
m?1
时,
g
?
?
x
?
?
3
?0
,
2? 3x
?
2
?
?g
?
x
?
在
??,??
?
上为增函数;…………………………………………………………5分
?
3
?
?
2m?1
?
3
?
m?1
?
?
x?
?
3m?1
??
3
?
m?1?
x?2m?1
??
、 ②当
m?1?0
,即
m?1< br>时,
g
?
?
x
?
??
2?3x2?3x由
g
?
?
x
?
?0?x??
2m?1
,
3
?
m?1
?
?
2m?1
?
?
2
?
1
Q
?
?????
,
?
?
?
3
?
m?1
?
?
?
3m?1
?
??
?
?
(ⅰ)若
m?1
,则
?
2m?122
??
,
?

x??
时,
g
?
?
x
?
?0
,
3
?
m?1
?
3
3

高中数学导数微 积分测试题
?
2
?
?g
?
x
?
在
?
?,??
?
上为增函数;…………………………………………………………7分
?
3
?
(ⅱ)若
m?1
,则
?
2m?12
??
,
3
?
m?1
?
3
?
2< br>?
2m?1
?
2m?1
?
??
x?
?
?
?
3
?
m?1
?
,??
?
?
时,
g
?
x
?
?0
,
?
?
3< br>,?
3
?
m?1
?
?
?
时,
g?
x
?
?0
;
x?
?
??
??
?
2
?
2m?1
?
2m?1
?
上为增函数,在上 为减函数、
?,??
?,?
?g
?
x
?
在
??
?
?
?
33
?
m?1
?
?
?
3
?
m?1
?
?
??
综上可知:当
m? 1
时,
g
?
x
?
在
?
?
?
2
?
,??
?
上为增函数;
?
3
?
当
m?1
时,
g
?
x
?
在
?
??
2
?
2m?1
?
2m?1
?
?,??
上为增函数,在上为减函数、
,?
?
?
?
?
33
?
m?1
?
?
?
3
?
m?1
?
?
??
…………………………9分
(Ⅲ)由
a?lnx?ln
?< br>?
f
?
?
x
?
?3x
?
?
?0
?a?lnx?ln
3
?0
,
2?3x
36
?
11
?
Q
x?
?
,
?
,
?0? ln?ln
,而
a?lnx?0
,
2?3x5
?
63?
?
11
?
?
要对任意
x?
?
,?
,不等式
a?lnx?ln
?
?
f
?
?x
?
?3x
?
?
?0
均成立,必须:
63
??
ln
3
与
a?lnx
不同时为0、 ………………………………………………………11分
2?3x
1
1
3时,
ln
=0,所以为满足题意必有
a?ln?0
,
3
3
2?3x
因当且仅当
x?
即
a?ln
1
、 …………………………………………………………………12分
3
3
18、(2012青岛3月模拟)已知函数
f(x)?x
、 < br>t
f
?
(x),(t?R)
,求
?
(x)
的 极小值;
3
f
?
(x)
?sinx
的图象上存在互相垂直 的两条切线,求实数
?
的值及相(Ⅱ)若函数
h(x)?
?
?
x
(Ⅰ)记
?
(x)?f(x)?
应的切点坐标、
解:(Ⅰ)由 已知:
f
?
x
?
?x
,
?
?
?< br>x
?
?x?tx
,
?
?
?
x
??3x?2tx?3x(x?
332
2
2t
)

3

高中数学导数微积分测试题
由
?
?
?< br>x
?
?0?x?0
,或
x??
2t
,
3
当
t?0
时,
?
?
?
x
?
?3x
2
?0
,
?
?
?
x
?
在
?
??,??
?
为增函数,此时不存在极值;
当
t?0
时,
x
变化时,
?
?
?
x
?
,
?
?
x
?
变化如下:
x

(??,?
+

2t
)

3
?
2t

3
0
(?
2t
,0)

3
-

0
0
极小
(0,??)

+

?
?
?
x
?

?
?
x
?

极大
由上表可知:
?
?
x
?
极小
?
?
?
0
?
?0< br>、
当
t?0
时,
x
变化时,
?
?
?
x
?
,
?
?
x
?
变化如下:
x

(??,0)

+

0

0
极大
(0,?
2t
)

3
?
2t

3
0
(?
2t
,??)

3
+

?
?
?
x
?

?
?
x
?

-
极小
由上表可知:< br>?
(x)
极小
?
?
(?
2t4
)?t
3
、
327
(Ⅱ)
h
?
x
?
?3?
x?sinx?h
?
?
x
?
?3
?
?cosx

设两切点分别为
t
1
,h
?
t
1
?
,t
2
,h
?
t
2
?
,则
h
?
?
t
1
?
h
?
?
t
2
?
??1

即
?
3
?
?cos t
1
??
3
?
?cost
2
?
??1
????
?9
?
2
?3
?
cost1
?cost
2
?
?
?
?
cost
1
cost
2
?1
?
?0???
?
?
?
Q
?
?R
,
?
方程
?
?
?
的判别式
??
?
?
3
?
cost
1
?cost
2
?
?
?
?36
?
cost
1
cost
2
?1
?
?0
,
即
?
cost
1
?cost
2
?
?4
,又
?1?co st
1
?1,?1?cost
2
?1
,
?
?
cost
1
?cost
2
?
?4

从而可得:< br>?
cost
1
?cost
2
?
?4

2
22
2
?
cost
1
?1
?
cost
1
??1
上式要成立当且仅当
?
,或
?

cost??1cost?1
?
2
?
2
此时方程
?
?
?
的解为
?
?0
、

高中数学导数微积分测试题
f
?
?
x
?< br>?sinx
的图象在点
Qx?0
,
?
存在
?
?0
,此时函数
h
?
x
?
?
?
?
x
?
2k
?
,0
??
k?Z,k?0
?
处 的切线与在点
?
2m
?
?
?
,0
??
m? Z
?
处的切线互相垂直、
2
19、(2012日照5月模拟)已知二次函数
r(x)?x?ax?b(a,b为常数，a?R,b?R）
的一
个零点就是
?a
,函数
g(x)?lnx
,
e
就是自然对数的底数、设函数f(x)?r(x)?g(x)
、
(Ⅰ)过坐标原点O作曲线
y?f(x)
的切线,证明切点的横坐标为1;
(Ⅱ)令
F(x)?
f(x)
,若函数
F(x)
在区间(0,1］上 就是单调函数,求
a
的取值范围。
e
x
解:(Ⅰ)∵-a就是二次 函数
r(x)?x
2
?ax?b
的一个零点,∴b=0、

?f(x)?x
2
?ax?lnx,

?f'(x)?2x?a?
1
(x?0)
、 ………………………………………………2分
x
2
?ax
0
?ln x
0
1
x
0
设切点为
P(x
0
,y
0
),
则切线的斜率
k?2x
0
?a??
、
x
0
x
0
整理得
x
0
2
?lnx
0
?1?0
、显然,
x
0
?1
就是这个方程的解、 ………………4分
又因为
y?x
2
?lnx?1
在(0,
??
)上就是增函数,
所以方程
x
2
?lnx?1?0
有 唯一实数解。故
x
0
?1
、……………………6分
f(x)x2
?ax?lnx
F(x)?
x
?,
ee
x
( Ⅱ)…………………………7分
1
?x
2
?(2?a)x?a??lnx< br>x
F'(x)?
x
e
设
h(x)??x
2
? (2?a)x?a?
111
?lnx,
则
h'(x)??2x?
2< br>??2?a
、………………8分
xx
x
易知
h'(x)在
?
0,1
?
上就是减函数,从而
h'(x)?h'(1)?2 ?a
、
(1)当2-a
?
0,即
a?2
时,
h' (x)?0
,h(x)在间(0,1)上就是增函数。
∵
h(1)?0,?h(x) ?0
在
?
0,1
?
上恒成立,即
F'(x)?0
在
?
0,1
?
上恒成立。
∴F(x)在区间
?
0, 1
?
上就是减函数。所以,
a?2
满足题意、 …………………………10分
(2)当2-a<0,即a>2时,设函数
h'(x)
的唯一零点为
x
0
,
则
h(x)
在(0,
x
0
)上递增,在< br>(x
0
,1)
上递减。又∵
h(1)?0,?h(x
0
)?0
、

高中数学导数微积分测试题
又∵
h(e
?a
)??e
?2a
?(2?a)e
?a
?a?e
a?lne
?a
?0
,
∴h(x)在(0,1)内有唯一一个零点
x
'
,
当
x? (0,x
'
)
时,h(x)<0,当
x?(x
'
1)
时,h(x)>0、
从而F(x)在(0,
x
'
)递减,在(
x
'
,1)递增,与在区间
?
0,1
?
上就是单调函数矛盾。
∴a>2不合题意、
综合(1)(2)得,
a?2
、即a的取值范围就是
(??,2]
、 …………………………14分
20、(2012威海二模)已知函数
f(x)?alnx?< br>(Ⅰ)当
a??
a?1
2
x?1
.
2
1< br>1
时,求
f(x)
在区间
[,e]
上的最值;
e
2
(Ⅱ)讨论函数
f(x)
的单调性;
(Ⅲ)当
?1?a?0
时,有
f(x)?1?
a
ln(?a)
恒成立,求< br>a
的取值范围.
2
1x
2
1
?1
, 解: (Ⅰ)当
a??
时,
f(x)??lnx?
24
2
?1xx
2
?1
??
∴
f
?
(x)?
.
2x22x
∵
f(x)
的定义域为
(0,??)
,∴由
f< br>?
(x)?0
得
x?1
. ---------------------------2分
∴
f(x)
在区间
[,e]
上的最值只可能在
f(1),f(),f(e)
取到,
1
e
1
e
51311e
2
而
f(1)?,f()??
2
,f(e)??
,
4e2
4e
24
∴
f(x)
max
1e
2
5
?f(e)??,f(x)
min
?f(1)?
. ---------------------------4分
244
(a?1)x
2
?a
，x?(0,??)
. (Ⅱ)
f
?
(x)?
x
①当
a?1?0
,即
a? ?1
时,
f
?
(x)?0,?f(x)
在
(0,??)单调递减;-------------5分
②当
a?0
时,
f
?
(x)?0,?f(x)
在
(0,??)
单调递增; ----------------6分
③当
?1?a?0
时,由
f
?
(x)?0
得
x?
2
?a
,?x?
a?1?a?a
或
x??
(舍去)
a?1a?1

高中数学导数微积分测试题
∴
f(x)
在
(
综上,
?a
?a
,??)
单调递增,在
(0,)
上单调递减; --------------------8分
a?1
a?1
当
a?0< br>时,
f(x)
在
(0,??)
单调递增;
当
?1 ?a?0
时,
f(x)
在
(
?a
?a
,??)单调递增,在
(0,)
上单调递减.
a?1
a?1
当
a??1
时,
f(x)
在
(0,??)
单调递减; -----------------------9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当
?1?a?0
时,
f
min
(x)?f(
?a
)

a?1
即原不等式等价于
f(
?aa
)?1?ln(?a)
---------------------------10分
a?12
即
al n
?aa?1?aa
???1?1?ln(?a)

a?12a?12
整理得
ln(a?1)??1

∴
a?
1
?1
, ----------------------------11分
e
?
1
?
?1,0
?
、 ---------------------------12分
?
e
?
又∵
?1?a?0
,所以
a
的取值范围为
?
21、(201 2烟台二模)已知函数
f
?
x
?
?
?
2?a
??
x?1
?
?2lnx

(1)当a=1时,求
f
?
x
?
的单调区间;
( 2)对任意的
x?
?
0,
?
,f
?
x
?< br>＞0恒成立,求a的最小值、
解析:(1)当a＝1时,f(x)＝x－1－2lnx,则f'(x)
＝1－
由
f'(x)
＞0,得x＞2,
f'(x)< br>＜0,得0＜x＜2,
故函数f(x)的单调减区间为(0,2］,单调增区间为(2,＋
?
)。
(2)对任意的
x?
?
0,
?
,f
?
x
?
＞0恒成立,即对
x?(0,)
,
a?2?
令l(x)＝
2 ?
?
?
1
?
2
?
2
,
x
?
?
1
?
2
?
1
2
2lnx
恒 成立,
x?1
2lnx
1
,
x?(0,)
,则
2
x?1

高中数学导数微积分测试题
22
(x?1)?2lnx2lnx??2
x
,
l'(x)??< br>x
?
2
(x?1)(x?1)
2
2
1
22? 2(1?x)
＜0,
?2
。
x?(0,)
,则
m'(x) ??
2
??
2
2
xxxx
1
1
故m(x) 在
(0,)
上为减函数,于就是m(x)＞m()＝2－2ln 2>0
2
2
1
从而
l'(x)
＞0,于就是l(x)在
(0,)
上为 增函数,
2
1
2lnx
所以,l(x)＜l()＝2－4ln2,故要使< br>a?2?
恒成立,只需
2
x?1
再令m(x)＝
2lnx?
a?2?4ln2
,所以,a的最小值为2－4ln2