高等数学与高中数学的关系

高等数学与高中数学的关系


高中数学与高等数学肯定有联系，这是数学学科特点所决定的。
数学从初中，直到大学，是一套完整的知识体系，其中简单的部分，
放在了初中与高中。 仅从知识体系分析，函数（包括三角函数）、数列、解析几何、立体
几何是在高中相对完整的知识。 这些内容到到大学拓展不是很大，在
高中已经学完骨干内容，这也是为什么高考做为重点考查内容的理由
之一。到大学，对这部分的拓展，实际上是内容的加深，比如高中函
数，大学就学习复变函数， 立体几何又新学了几个定理。这部分，大
学对高中依赖较强。
近几年，高中新加了不少内容。 比如算法、导数、积分、近世概率、
统计等等。这些内容实际上是把大学的完整知识结构，硬割出一点放
在高中，使高中生提前接触到近世数学内容。但是这部分内容，实际
上是鸡肋，对高中生讲，学 的太浅，不知所以然，到大学基本没用，
还得重学。因此，对今后大学学习没什么作用。
数学 =思维能力+应付高考，这种说法有一定道理，尤其对于现代的教
育制度。但不可忽视的是，认真学习数 学对能力的培养无可替代，而
且这种作用潜移默化。但是，高考制度的影响，使自己无法体会其中
滋味，胆识以后肯定会起作用的。
数学是一门概括性、逻辑性很强的学科，将它从自然科学 中分离
出来而成为一门独立的学科与自然科学、社会科学并驾齐驱，在修完
高等数学课程之后才 能体会到这个主张是非常科学的。因此有人把它

叫做思维的体操，也有人把它称作其他自 然科学必备的基础工具。这
些都是基于这种认识和理解，是有一定的道理的。 中小学的数学，
即使是高中数学的教学，它所要承担的教学任务和培养的目标只能是
学会基本的运算和简单的推理，由 于学生的接受能力有限，更深一层
次的研究只能在大学进行。只有通过大学高等数学各门必修课程和选< br>修课程的学习和理解，才能深切感受到数学这门充满生机、古老的学
科的庞大的体系和深邃的理论 ，才能认识到数学区别于其他学科的三
种特性：抽象性、严谨性和高度的概括性。 2. 国内外研究现状 大
学课程学习的思维单向性很强。大学的学习给学生的感觉是用中学知
识去 学习大学课程中的内容，学生几乎感觉不到能用大学知识解决中
学数学中的问题或对解中学数学问题有什 么帮助。“用”的观念淡薄
了，“学”的热情自然而然的就少了。抓住高等数学与初等数学之间
的联系，加强高等数学对初等数学的指导作用及高等数学在初等数学
中的一些应用是本课题研究的重点和 关键问题。中学数学教材中的教
学难点经常让新教师费劲口舌，但学生仍然晕头转向，不知其意。比如极限定义、集合和函数等。一位新数学教师在解释从非空数集A
到数集B的映射是函数时常常讲不 清楚函数的值域到底是不是B。如
果他的数学分析中的映射掌握得好，完全可以既讲得轻松而学生又听< br>得明白。法国数学家F·克莱因曾经说过：“教师应具备较高的数学
观点，理由是，观点越高，事 物就显得越简单。”数学教育专业的学
生绝不可以轻视高等数学对中学数学的指导作用。 要使高等数 学课
程学有所用，必须要尽可能了解中学数学教材内容，明确教材改革方

向和趋 势，这样才能在教学中将两者有机结合起来，从而提高学生的
思维，居高临下地解决问题。 3.高等数学与初等数学的联系 高等
数学是初等数学的延伸和发展，而初等数学却是高等数学的基础 。作
为学习和研究数学的步骤，无疑应该是先学习和掌握初等数学，然后
才能学习和应用高等数 学。反之，学

- 2 - 习高等数学能加深对初等数学的理解和掌握，可以开阔 思
路、提高数学修养和解决问题的能力。但由于中学数学知识几乎很难
和高等数学知识直接衔接 ，使不少大一新生一接触到“数学分析”、
“高等代数”等这些数学课程，就对数学专业课产生了畏难、 抵触情
绪。而且高等数学理论与中学教学需要严重脱节，许多大学师范毕业
生对如何运用高等数 学理论指导中学数学感到迷茫。毫无头绪。为了
解决上述长期存在的问题，笔者认为研究高等数学与中学 数学的联系
是一项有效的措施。 4.高等数学在初等数学中的一些应用 （1）.柯
西——施瓦兹不等式应用 柯西——施瓦兹不等式是高等代数的一
个重要不等式， 它在中学数学中有广泛的应用。由柯西不等式，得等
,线性相关时成立） 使用柯西——施瓦兹不等式重 要
的是构造一个合适的欧式空间，特别是构造內积运算，并找到两个适
当的向量。做到这一点是 有困难的，但是只要完成这个构造，余下的
问题便很容易解决。构造法就是在解决某个问题时，先构造一 种数学
对象，这种构造物有时看来与题意无关，但实际上恰与问题有内在的
联系，而且在某种条 件下正是题目所求，或者使我们可以用另一种方

法求解问题，这时构造物就成了一种桥梁 。 （2）.矩阵的应用 要
在问题中用上矩阵也必须构造出与问题有某种关系的矩阵，然后才能
使用矩阵的性质和定理。